APOSTILA CALCULO II

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Ca´lculo II
Profa. Lisiane Ramires Meneses
PELOTAS, RS.
2o Semestre de 2011
i
“Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam
seriamente esta cieˆncia acabam tomados de uma espe´cie de
paixa˜o pela mesma. Em verdade, o que proporciona o ma´ximo
prazer na˜o e´ o conhecimento e sim a aprendizagem, na˜o e´ a
posse mas a aquisic¸a˜o, na˜o e´ a presenc¸a mas o ato de atingir
a meta.”
Carl F. Gauss.
Theu
Realce
ii
Prefa´cio
Esta apostila foi elaborada para servir de base para a disciplina de Ca´lculo II dos cursos
superiores do Instituto Federal Sul-Rio-Grandense.
Lisiane R. Meneses - Instituto Federal Sul-Rio-Grandense - IF
iii
iv
Conteu´do
1 Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis Reais 1
1-1 Func¸o˜es de Duas Varia´veis Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1-1.a Domı´nio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1-1.b Gra´fico de Func¸o˜es de Duas Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . 6
1-1.c Curvas de Nı´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1-2 Func¸o˜es de Treˆs Varia´veis Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1-2.a Domı´nio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1-2.b Superfı´cies de Nı´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1-3 Func¸o˜es de “n” Varia´veis Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1-4 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Limite e Continuidade 17
2-1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2-2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2-3 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Derivadas Parciais 23
3-1 Derivadas Parciais de Func¸o˜es de Duas Varia´veis . . . . . . . . . . . . 23
3-1.a Regra Pra´tica para Determinar Derivadas Parciais . . . . . . 24
3-2 Interpretac¸a˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3-3 Diferenciac¸a˜o Parcial Implı´cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3-4 Derivadas Parciais de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3-4.a Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3-4.a.1 Equac¸a˜o de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3-4.a.2 Equac¸a˜o da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3-5 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3-6 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3-7 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3-8 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . 50
3-8.a Derivadas Direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3-9 Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3-9.a Propriedades Alge´bricas dos Gradientes . . . . . . . . . . . . 55
3-10 Planos Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
v
vi CONTEU´DO
3-11 Reta Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3-12 Valores Extremos de Func¸o˜es de Duas Varia´veis . . . . . . . . . . . . 62
3-12.a Extremos Absolutos em Conjuntos Fechados e Limitados . . . 67
3-12.b Problemas Aplicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3-13 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3-13..1 Interpretac¸a˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Integrais Duplas 83
4-1 Conceitos Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4-2 Problema Motivador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4-3 Func¸o˜es Integra´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4-4 Propriedades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4-5 Integrais Iteradas - Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4-6 Integrais duplas sobre regio˜es na˜o retangulares limitadas . . . . . . . 88
4-7 Integrais Duplas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4-8 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4-9 A´rea de Superfı´cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4-10 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4-11 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4-11.a Coordenadas Cilı´ndricas e Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . 100
Capı´tulo 1
Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis Reais
No estudo de fenoˆmenos fı´sicos, uma quantidade normalmente depende de duas ou mais
varia´veis. Portanto, precisamos ampliar a ide´ia ba´sica do ca´lculo de func¸o˜es de uma
u´nica varia´vel para func¸o˜es de va´rias varia´veis.
A seguir sa˜o apresentados alguns exemplos de func¸o˜es que dependem de mais de
uma varia´vel.
• A lei dos gases ideais PV = nRT , onde n e R sa˜o constantes, permite expressar
qualquer uma das varia´veis P , V e T como func¸o˜es das outras duas.
• A quantidade de energia utiliza´vel que um painel solar pode captar depende de sua
eficieˆncia, do seu aˆngulo de inclinac¸a˜o um relac¸a˜o aos raios solares, do aˆngulo de
elevac¸a˜o do sol acima do horizonte, e outros fatores.
• O volume de um cilindro circular reto depende de seu raio r e de sua altura h. De
fato, sabemos que V = pir2h. Podemos dizer que V e´ func¸a˜o de r e h, e escrevemos
V (r, h) = pir2h
1-1 Func¸o˜es de Duas Varia´veis Reais
Definic¸a˜o 1.1 Uma func¸a˜o f de duas varia´veis reais x e y, e´ uma lei que associa cada
ponto (x, y) de algum subconjunto D do R2 a um u´nico nu´mero real denotado por z =
f(x, y).
Quando escrevemos z = f(x, y), queremos tornar explı´citos os valores tomados por f
em um ponto gene´rico (x, y) ∈ D. As varia´veis x e y sa˜o varia´veis independentes, e z e´
a varia´vel dependene.
2 1. func¸o˜es de va´rias varia´veis reais
1-1.a Domı´nio e Imagem
Definic¸a˜o 1.2 Seja f uma func¸a˜o de duas varia´veis reais x e y, com z = f(x, y), defi-
nimos o domı´nio de f , denotado por D(f), como o maior conjunto do R2 para o qual a
lei de formac¸a˜o de f gera nu´meros reais a menos que esse domı´nio seja especificado de
forma explı´cita.
Definic¸a˜o 1.3 A imagem de uma func¸a˜o f de duas varia´veis reais, denotada por Im(f),
e´ definida como o conjunto dos valores z = f(x, y), com (x, y) ∈ D.
A seguir apresentamos alguns exemplos de obtenc¸a˜o do domı´nio.
Exemplo 1.1 Determine o domı´nio de f , sendo f definida por:
f(x, y) =
√
x+ y + 1
x− 1 .
Soluc¸a˜o: A expressa˜o para f esta´ bem definida se o denominador for diferente de zero e
o nu´mero cuja raiz quadrada sera´ extraı´da for na˜o negativo. Portanto, o domı´nio de f e´:
D(f) = {(x, y) ∈ R2/x+ y + 1 ≥ 0 e x 6= 1}.
A desigualdade x + y + 1 ≥ 0, ou y ≥ −x − 1, descreve os pontos que esta˜o sobre ou
acima da reta de equac¸a˜o y = −x− 1, ao passo que x 6= 1 significa que os pontos sobre a
reta x = 1 precisam ser excluı´dos do domı´nio. A figura a seguir, mostra o esboc¸o gra´fico
do domı´nio da func¸a˜o f , definida acima.
1-1. func¸o˜es de duas varia´veis reais 3
Exemplo 1.2 Determine o domı´nio de f , sendo f definida por f(x, y) = x ln(y2 − x).
Soluc¸a˜o: Como ln(y2− x) e´ definido somente quando y2− x > 0, ou seja, x < y2, segue
que o domı´nio de f sera´:
D(f) = {(x, y) ∈ R2/x < y2}.
Isso representa o conjunto de pontos a` esquerda da para´bola x = y2. O esboc¸o gra´fico do
domı´nio e´ apresentado na figura a seguir.
Exemplo 1.3 Determine o domı´nio de f , sendo f dada por:
f(x, y) =
√
y − x2 +
√
2x− y.
Soluc¸a˜o: Esta func¸a˜o esta´ definida se o nu´mero cuja raiz quadrada sera´ extraı´da for na˜o
negativo. Assim, o domı´nio de f e´
D(f) = {(x, y) ∈ R2/y ≥ x2 e y ≤ 2x}.
A desigualdade y ≥ x2 descreve os pontosque esta˜o acima da para´bola de equac¸a˜o
y = x2, enquanto que y ≤ 2x representa o conjunto dos pontos que esta˜o abaixo da reta
de equac¸a˜o y = 2x. Assim, o esboc¸o gra´fico do domı´nio e´ apresentado na figura a seguir.
4 1. func¸o˜es de va´rias varia´veis reais
Exemplo 1.4 Determine o domı´nio da func¸a˜o z = f(x, y) definida dada por
z2 + 4 = x2 + y2, z ≥ 0.
Soluc¸a˜o: Como z ≥ 0, a expressa˜o z2 + 4 = x2 + y2 pode ser reescrita como z =√
x2 + y2 − 4. Note que, esta func¸a˜o esta´ definida se x2+ y2− 4 ≥ 0. Assim, o domı´nio
de f e´ dado por:
D(f) = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≥ 4}.
A desigualdade x2 + y2 ≥ 4 descreve os pontos que esta˜o sobre a circunfereˆncia de
equac¸a˜o x2 + y2 = 4 e os pontos exteriores a ela, como podemos ver na ilustrac¸a˜o a
seguir.
Exemplo 1.5 Determine o domı´nio da func¸a˜o f definida dada por
f(x, y) =
√
x+ y
x− y .
Soluc¸a˜o: Esta func¸a˜o esta´ definida se
x+ y
x− y ≥ 0. Note que, uma frac¸a˜o assume um valor
positivo, se o numerador e o denominador forem ambos positivos, ou, se o numerador e o
denominador forem ambos negativos. Assim, temos:
x+ y
x− y ≥ 0 ⇒

x+ y ≥ 0 e x− y > 0
ou
x+ y ≤ 0 e x− y < 0
Logo, o domı´nio da func¸a˜o f e´:
D(f) = {(x, y) ∈ R2/y ≥ −x e y < x ou y ≤ −x e y > x}.
As desigualdades y ≥ −x e y < x descrevem os pontos que esta˜o acima da reta de
equac¸a˜o y = −x e abaixo da reta de equac¸a˜o y = x, enquanto que as desigualdades
y ≤ −x e y > x descrevem os pontos que esta˜o abaixo da reta de equac¸a˜o y = −x e
acima da reta de equac¸a˜o y = x. A figura a seguir apresenta o esboc¸o gra´fico da func¸a˜o
f .
1-1. func¸o˜es de duas varia´veis reais 5
Exemplo 1.6 Determine o domı´nio da func¸a˜o f definida dada por
f(x, y) = arcsin(xy).
Soluc¸a˜o: Esta func¸a˜o esta´ definida se −1 ≤ xy ≤ 1. Assim, o domı´nio de f e´ dado por:
D(f) = {(x, y) ∈ R2/− 1 ≤ xy ≤ 1}.
A desigualdade xy ≥ −1 descreve os pontos que esta˜o sobre a hipe´rbole de equac¸a˜o
xy = −1, bem como os pontos interiores aos ramos dela; e a desigualdade xy ≤ 1
descreve os pontos que esta˜o sobre a hipe´rbole de equac¸a˜o xy = 1, bem como os pontos
interiores aos ramos dela. Assim, o esboc¸o gra´fico do domı´nio da func¸a˜o definida acima e´
dado pela intersecc¸a˜o das regio˜es mencionadas, como podemos ver na ilustrac¸a˜o a seguir.
6 1. func¸o˜es de va´rias varia´veis reais
1-1.b Gra´fico de Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Definic¸a˜o 1.4 Se f e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis com domı´nio D, enta˜o o gra´fico de f
e´ o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em R3 tal que z = f(x, y) e (x, y) pertenc¸am a
D.
Considerando-se um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no R3, o gra´fico de
f pode ser pensado como o lugar geome´trico descrito pelo ponto (x, y, f(x, y)), quando
(x, y) percorre o domı´nio de f . Assim, o gra´fico de uma func¸a˜o com duas varia´veis e´ uma
superfı´cie S com equac¸a˜o z = f(x, y).
Vejamos alguns exemplos de esboc¸os gra´ficos.
Exemplo 1.7 O gra´fico da func¸a˜o constante f(x, y) = k e´ um plano paralelo ao plano
xy.
Exemplo 1.8 O gra´fico da func¸a˜o definida por z = 2x + y e´ um plano passando pela
origem e normal ao vetor −→n = (2, 1,−1).
Este plano, cujo esboc¸o gra´fico e´ apresentado a seguir, e´ determinado pelas retas de
equac¸o˜es:
r1 :
{
x = 0
z = y
e r2 :
{
y = 0
z = 2x
1-1. func¸o˜es de duas varia´veis reais 7
Exemplo 1.9 O gra´fico de f(x, y) =
√
16− x2 − y2 e´ o gra´fico da equac¸a˜o z =√
16− x2 − y2. Note que, apo´s elevar ambos os membros ao quadrado e realizar al-
gumas manipulac¸o˜es alge´bricas, a equac¸a˜o anterior pode ser reescrita como
x2 + y2 + z2 = 16,
a qual representa uma esfera de raio 4, centrada na origem. Como z ≥ 0, o gra´fico e´
somente a semi-esfera superior.
1-1.c Curvas de Nı´vel
Definic¸a˜o 1.5 As curvas de nı´vel ou curvas de contorno de uma func¸a˜o f de duas
varia´veis sa˜o aquelas com equac¸a˜o f(x, y) = k, onde k e´ uma constante real.
Se a superfı´cie z = f(x, y) for interceptada pelo plano horizontal z = k, enta˜o as
curvas de nı´vel f(x, y) = k sa˜o apenas trac¸os do gra´fico de f no plano horizontal z = k
projetado sobre o plano xy.
A figura a seguir ilustra este fato.
8 1. func¸o˜es de va´rias varia´veis reais
Um conjunto de curvas de nı´vel para z = f(x, y) e´ chamado de mapa de contorno de f .
Um exemplo comum de curvas de nı´vel ocorre em mapas topogra´ficos de regio˜es
montanhosas. As curvas de nı´vel sa˜o aquelas em que a elevac¸a˜o em relac¸a˜o ao nı´vel
do mar e´ constante. A superfı´cie sera´ mais inclinada onde as curvas de nı´vel estiverem
mais pro´ximas umas das outras. Ela e´ mais ou menos plana onde as curvas de nı´vel esta˜o
distantes umas das outras. Isto pode ser observado na ilustrac¸a˜o abaixo.
Outro exemplo comum e´ a func¸a˜o pressa˜o p(x, y) definida nos pontos geogra´ficos (x, y),
representados no mapa. Uma curva conectando os pontos de pressa˜o atmosfe´rica con-
stante sobre um mapa meteorolo´gico e´ chamada de linha isoba´rica ou iso´bara. Matemati-
camente, as iso´baras sa˜o curvas de nı´vel para a func¸a˜o pressa˜o. Linhas isoba´ricas muito
pro´ximas correspodem a inclinac¸o˜es ı´ngremes no gra´fico da func¸a˜o pressa˜o, e esta˜o usual-
mente associados a fortes ventos, quanto maior a inclinac¸a˜o, maior sera´ a velocidade do
vento.
1-1. func¸o˜es de duas varia´veis reais 9
Exemplo 1.10 O gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = y2−x2 noR3 e´ um parabolo´ide hiperbo´lico.
As curvas de nı´vel desta func¸a˜o tem a forma y2 − x2 = k. Para k > 0, essas curvas sa˜o
hipe´rboles com eixo real sobre o eixo dos y; para k < 0, elas sa˜o hipe´rboles com eixo real
sobre o eixo dos x, e para k = 0, a curva de nı´vel consiste nas retas y+x = 0 e y−x = 0.
10 1. func¸o˜es de va´rias varia´veis reais
Exemplo 1.11 O gra´fico da superfı´cie z = 1 − 2x − y e´ o plano que passa pelos pontos
A(1
2
, 0, 0), B(0, 1, 0) e C(0, 0, 1), ilustrado na figura a seguir.
A curva de nı´vel de altura k tem a equac¸a˜o 1 − 2x − y = k, a qual podemos reescrever
como
y = −2x+ (1− k).
Isto representa no plano xy, uma famı´lia de retas paralelas de inclinac¸a˜o −2. O mapa de
contorno e´ apresentado na figura a seguir.
A representac¸a˜o geome´trica do gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis nem sempre e´
tarefa fa´cil. Assim, quando se pretende ter uma visa˜o geome´trica da func¸a˜o, lanc¸a-se ma˜o
de suas curvas de nı´vel, cuja representac¸a˜o geome´trica e´ sempre mais fa´cil de ser obtida
do que o gra´fico da func¸a˜o. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo 1.12 Seja f a func¸a˜o definida por
f(x, y) =
1
x2 + y2
.
(a) Determine o domı´nio e a imagem de f .
(b) Desenhe as curvas de nı´vel de f .
(c) Esboce o gra´fico de f .
Soluc¸a˜o: (a) Esta func¸a˜o na˜o esta´ definida na origem, pois 02 + 02 = 0 e 1
0
na˜o existe.
Assim,
D(f) = {(x, y) ∈ R2/(x, y) 6= (0, 0)}
1-1. func¸o˜es de duas varia´veis reais 11
Como
1
x2 + y2
≥ 0, temos
Im(f) = {z ∈ R/z > 0}.
(b) A curva de nı´vel correspondente a z = k, com k > 0, e´:
1
x2 + y2
⇒ x2 + y2 = 1
k
Assim, as curvas de nı´vel sa˜o circunfereˆncias conceˆntricas de centro na origem e raio
1√
k
.
Note que, quando k tende a +∞, o raio tende a zero e quando k tende a zero, o raio tende
a +∞.
(c) O trac¸o desta superfı´cie no plano yz e´ a curva de equac¸a˜o
{
x = 0
z = 1
y2
, enquanto que,
o trac¸o desta superfı´cie no plano xz e´ a curva de equac¸a˜o
{
y = 0
z = 1
x2
. Para cada k > 0, o
plano z = k intercepta o gra´fico de f segundo a circunfereˆncia
{
z = k
x2 + y2 = 1
k
.
Observac¸a˜o 1.1 Note que a denominac¸a˜o curva de nı´vel varia de acordo com o que a
func¸a˜o f representa. Se f e´ uma distribuic¸a˜o de temperatura, ou seja, f(x, y) e´ a temper-
atura no ponto (x, y), as curvas de nı´vel denominam-se isotermas (pontos de temperaturaconstante); se f e´ a energia potencial de um certo campo de forc¸as bidimensionais, as
curvas de nı´vel denominam-se curvas equipotenciais, etc.
12 1. func¸o˜es de va´rias varia´veis reais
1-2 Func¸o˜es de Treˆs Varia´veis Reais
Definic¸a˜o 1.6 Uma func¸a˜o f de treˆs varia´veis reais x, y e z, e´ uma lei que associa
cada ponto (x, y, z) de algum subconjunto D do R3 a um u´nico nu´mero real denotado
por w = f(x, y, z). Chamamos x, y e z de varia´veis independentes e w de varia´vel
dependente.
Exemplo 1.13 Seja f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2, determine f(3, 0,−4) e
f(−1,−1,−2).
Soluc¸a˜o: f(3, 0,−4) =√32 + 02 + (−4)2 = √9 + 0 + 16 = 5
f(−1,−1,−2) =√(−1)2 + (−1)2 + (−2)2 = √1 + 1 + 4 = √6
Note que, o valor funcional de f , representa a distaˆncia do ponto de coordenadas
x, y e z a` origem.
1-2.a Domı´nio e Imagem
Definic¸a˜o 1.7 Seja f uma func¸a˜o de treˆs varia´veis reais x, y e z, com w = f(x, y, z),
definimos o domı´nio de f , denotado por D(f), como o maior conjunto do R3 para o qual
a lei de formac¸a˜o de f gera nu´meros reais a menos que esse domı´nio seja especificado de
forma explı´cita.
Definic¸a˜o 1.8 A imagem de uma func¸a˜o f de treˆs varia´veis reais, denotada por Im(f), e´
definida como o conjunto dos valores w = f(x, y, z), com (x, y, z) ∈ D.
Exemplo 1.14 Determine e fac¸a o esboc¸o gra´fico do domı´nio da func¸a˜o definida por
f(x, y, z) = ln(16− 4x2 − 4y2 − z2).
Soluc¸a˜o: Como ln(16−4x2−4y2−z2) e´ definido somente quando 16−4x2−4y2−z2 > 0,
ou seja,
x2
4
+
y2
4
+
z2
16
< 1, temos que, o domı´nio de f e´:
D(f) =
{
(x, y, z) ∈ R3 / x
2
4
+
y2
4
+
z2
16
< 1
}
Isso representa o conjunto de pontos interiores ao elipso´ide de centro na origem, cujo
gra´fico e´ apresentado a seguir.
1-2. func¸o˜es de treˆs varia´veis reais 13
Observac¸a˜o 1.2 Note que o gra´fico de y = f(x) e´ uma curva no R2 e o gra´fico de
z = f(x, y) e´ uma superfı´cie no R3, logo o nu´mero de dimenso˜es necessa´rias para esses
gra´ficos e´ o nu´mero de varia´veis mais 1. Consequ¨entemente, na˜o ha´ maneira de fazer o
gra´fico de uma func¸a˜o de treˆs varia´veis, uma vez que a quarta dimensa˜o e´ necessa´ria.
1-2.b Superfı´cies de Nı´vel
Definic¸a˜o 1.9 As superfı´cies de nı´vel de uma func¸a˜o f de treˆs varia´veis reais sa˜o aquelas
com equac¸a˜o f(x, y, z) = k, onde k e´ uma constante.
Assim, de acordo com esta definic¸a˜o, se um ponto (x, y, z) se move ao longo de uma
superfı´cie de nı´vel, o valor de f(x, y, z) permanece fixo.
Exemplo 1.15 Determine as superfı´cies de nı´vel da func¸a˜o
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
Soluc¸a˜o: As superfı´cies de nı´vel sa˜o x2 + y2 + z2 = k, onde k ≥ 0. Elas formam
uma famı´lia de esferas conceˆntricas com raio
√
k. Veja a figura a seguir. Enta˜o, quando
(x, y, z) varia sobre uma das esferas com centro O, o valor de f(x, y, z) permanece fixo.
14 1. func¸o˜es de va´rias varia´veis reais
1-3 Func¸o˜es de “n” Varia´veis Reais
A definic¸a˜o de func¸a˜o de duas ou treˆs varia´veis pode ser estendida para mais varia´veis,
conforme definic¸a˜o abaixo.
Definic¸a˜o 1.10 Uma func¸a˜o f de n varia´veis reais x1, x2, x3, ... xn e´ uma lei que associa
cada ponto (x1, x2, x3, ..., xn) de algum subconjunto D do espac¸o Rn a um u´nico nu´mero
real, denotado por f(x1, x2, x3, ..., xn).
1-4 Exercı´cios
1. Seja f(x, y) = x2y + 1. Calcule:
(a) f(1,−3)
(b) f(uv, u− v)
(c)
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
(d)
f(x, y + h)− f(x, y)
h
2. Seja f(x, y) =
x− y
x+ 2y
.
(a) Determine o domı´nio de f .
(b) Calcule f(2u+ v, v − u).
3. Determine o domı´nio das func¸o˜es z = f(x, y) definidas a seguir. Esboce-os grafi-
camente.
(a) f(x, y) =
1
x− y2
(b) f(x, y) = ln(y − 2x)
(c) f(x, y) = ln(1− x2 − y2)
(d) f(x, y) = ln x · y
(e) f(x, y) =
√
4− x2
y2 + 3
(f) f(x, y) =
x− y√
x2 + y2 − 9
(g) f(x, y) =
√|x| − |y|
(h) f(x, y) =
x− y
sinx− sin y
(i) f(x, y) =
√
x2 + y2 − 1 + ln(4− x2 − y2)
(j) f(x, y) = 4x2 + y2 + z2 = 1, z ≤ 0
Theu
Nota
Respostas 108
1-4. exercı´cios 15
4. Esboce o gra´fico de f , sendo f definida por:
(a) f(x, y) = x+ 3y
(b) f(x, y) = 6− 3x− 2y
(c) f(x, y) = x2, −1 ≤ x ≤ 0
(d) f(x, y) = 4− x2 − y2
(e) f(x, y) =
√
x2 + y2 − 1
(f) f(x, y) = 1 + x2 + y2
(g) f(x, y) =
√
x2 + y2
(h) f(x, y) = 1− x2, x ≥ 0, y ≥ 0 e x+ y ≤ 1
(i) f(x, y) = sin y
(j) f(x, y) = arctan(x2 + y2)
5. Esboce a curva de nı´vel z = k para os valores especificados de k.
(a) z = x2 + y2, k = 0, 1, 2, 3, 4
(b) z =
y
x
, k = −2,−1, 0, 1, 2
(c) z = x2 + y, k = −2,−1, 0, 1, 2
(d) z = x2 + 9y2, k = 0, 1, 2, 3, 4
(e) z = y cscx, k = −2,−1, 0, 1, 2
6. Seja f(x, y) = yex. Determine uma equac¸a˜o da curva de nı´vel que passa pelo
ponto:
(a) (ln 2, 1)
(b) (0, 3)
(c) (1,−2)
7. Se V (x, y) for a voltagem ou potencial sobre um ponto (x, y) no plano xy e
V =
8√
16 + x2 + y2
esboce as curvas equipotenciais nas quais V = 2, V = 1 e V = 0, 5.
8. Suponha que T (x, y) = xy represente uma distribuic¸a˜o de temperatura no plano
xy: T (x, y) e´ a temperatura, que podemos supor em ◦C, no ponto (x, y).
(a) Esboce as curvas isote´rmicas sobre as quais T = 1, T = 2 e T = 3.
(b) Determine a equac¸a˜o da curva de nı´vel que passa pelo ponto (1, 4).
16 1. func¸o˜es de va´rias varia´veis reais
Capı´tulo 2
Limite e Continuidade
2-1 Limite
Definic¸a˜o 2.1 Seja f uma func¸a˜o de duas varia´veis reais, definida em um domı´nio D ⊂
R2. Dizemos que f possui limite L quando (x, y) ∈ D aproxima-se (x0, y0), se, dado
qualquer nu´mero positivo ², existe um nu´mero positivo δ tal que, para todo (x, y) no
domı´nio de f ,
0 <
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ ⇒ |f(x, y)− L| < ²,
e escrevemos
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L.
Considere a figura a seguir, onde D representa o domı´nio de f e (x, y) ∈ D.
Dado ² > 0, podemos achar δ > 0 tal que, se (x, y) 6= (x0, y0), sua imagem estara´ entre
os planos horizontais z = L− ² e z = L+ ².
Para func¸o˜es de uma varia´vel real, quando fazemos x se aproximar de x0, ha´ apenas dois
sentidos possı´veis de aproximac¸a˜o: pela esquerda ou pela direita. Assim, definimos os
limites laterais no ponto x0, isto e´
lim
x→x−0
f(x) e lim
x→x+0
f(x).
18 2. limite e continuidade
Lembre-se do Ca´lculo I que, se lim
x→x−0
f(x) 6= lim
x→x+0
f(x), enta˜o lim
x→x0
f(x) na˜o existe. Para
func¸o˜es de duas ou treˆs varia´veis, a situac¸a˜o e´ mais complicada, pois ha´ infinitas maneiras
de (x, y) se aproximar de (x0, y0) por uma quantidade infinita de direc¸o˜es, bastando que
(x, y) se mantenha no domı´nio de f .
Se o limite existe, f(x, y) deve se aproximar do mesmo valor limite, independentemente
do modo como (x, y) se aproxima de (x0, y0). Assim, se acharmos dois caminhos
diferentes de aproximac¸a˜o ao longo dos quais f(x, y) tem limites diferentes, segue enta˜o
que lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) na˜o existe.
Exemplo 2.1 Mostre que lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
na˜o existe.
Soluc¸a˜o: Considere f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
. Inicialmente determinaremos este limite ao
longo do eixo x. Assim, tomando y = 0, temos f(x, 0) = x
2
x2
= 1 para todo x 6= 0,
logo
f(x, y)→ 1 quando (x, y)→ (0, 0) ao longo do eixo x.
Agora, determinaremos este limite ao longo do eixo y, fazendo-se x = 0, logo f(0, y) =
−y2
y2
= −1, para todo y 6= 0. Assim,
f(x, y)→ −1 quando (x, y)→ (0, 0) ao longo do eixo y.
Como f tem dois limites diferentes ao longo de duas retas distintas, concluı´mos que o
limite na˜o existe.
Observac¸a˜o 2.1 Na˜o podemos provar que f(x, y) → L quando (x, y) → (x0, y0)
provando que f(x, y)→ L quando (x, y)→ (x0, y0) ao longo de uma curva especificada
ou mesmo de uma famı´lia de curvas. Isto porque, pode existir alguma curva fora da
famı´lia para a qual o limite na˜o exista ou tenha um limite que e´ diferente de L.2-1. limite 19
Figura 2.2: Gra´fico da func¸a˜o definida por f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
Exemplo 2.2 Determine lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x2 + y2
, se este existir.
Soluc¸a˜o: Inicilamente determinaremos este limite ao longo de uma reta qualquer que
passa pela origem. Tomando y = mx, temos
f(x, y) = f(x,mx) =
2x2(mx)
x2 + (mx)2
=
2x3m
x2 + x2m2
=
2mx
1 +m2
Portanto, f(x, y)→ 0 quando (x, y)→ (0, 0) ao londo de y = mx.
Fazendo-se (x, y) se aproximar de (x0, y0) ao longo da para´bola de equac¸a˜o y = x2
tambe´m obtemos o limite 0. Assim, fazendo-se y = x2, temos:
f(x, y) = f(x, x2) =
2x2x2
x2 + x4
=
2x4
x2(1 + x2)
=
2x2
1 + x2
Logo, f(x, y)→ 0 quando (x, y)→ (0, 0) ao longo de y = x2.
Isto na˜o prova a existeˆncia do limite igual a 0, mas suspeitamos que o limite ex-
ista e seja igual a 0.
Para provar a existeˆncia deste limite, devemos provar que dado ² > 0, existe um
δ > 0, tal que ∣∣∣∣ 2x2yx2 + y2 − 0
∣∣∣∣ < ² sempre que 0 <√x2 + y2 < δ,
ou seja
2x2|y|
x2 + y2
< ² sempre que 0 <
√
x2 + y2 < δ.
Note que x2 ≤ x2 + y2, pois y2 ≥ 0. Logo x
2
x2 + y2
≤ 1 e, portanto
2x2|y|
x2 + y2
≤ 2|y| = 2
√
y2 ≤ 2
√
x2 + y2 < 2δ.
20 2. limite e continuidade
Assim, se escolhermos δ = ²
2
e considerando 0 <
√
x2 + y2 < δ, temos:∣∣∣∣ 2x2yx2 + y2 − 0
∣∣∣∣ ≤ 2√x2 + y2 < 2δ = 2 · ( ²2) = ².
Logo,
lim
(x,y)→(x0,y0)
2x2y
x2 + y2
= 0,
Provando que o limite existe.
Figura 2.3: Gra´fico da func¸a˜o definida por f(x, y) =
2x2y
x2 + y2
Teorema 2.1 Sejam f e g func¸o˜es de duas varia´veis x e y, ambas definidas no domı´nio
D do plano xy. Sejam
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L1 e lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) = L2.
Enta˜o,
lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y) + g(x, y)] = L1 + L2 (2.1)
lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y) · g(x, y)] = L1 · L2 (2.2)
lim
(x,y)→(x0,y0)
[
f(x, y)
g(x, y)
]
=
L1
L2
, com L2 6= 0 (2.3)
Definic¸a˜o 2.2 Seja f uma func¸a˜o de treˆs varia´veis reais, definida em um domı´nio D.
Dizemos que f possui limite L quando (x, y, z) ∈ D aproxima-se (x0, y0, z0), se, dado
qualquer nu´mero positivo ², existe um nu´mero positivo δ tal que, para todo (x, y, z) no
domı´nio de f ,
|f(x, y, z)− L| < ² sempre que 0 <
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 < δ
e escrevemos
lim
(x,y,z)→(x0,y0,z0)
f(x, y, z) = L.
2-2. continuidade 21
2-2 Continuidade
Definic¸a˜o 2.3 Uma func¸a˜o f de duas varia´veis e´ dita contı´nua em (x0, y0) se
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0).
Dizemos que f e´ contı´nua se f for contı´nua em todo ponto (x0, y0) de seu domı´nio.
Teorema 2.2 (a) Se g e h forem func¸o˜es contı´nuas de uma varia´vel real, enta˜o
f(x, y) = g(x) · h(y) e´ uma func¸a˜o contı´nua de x e y.
(b) Se g for uma func¸a˜o contı´nua de uma varia´vel e h for uma func¸a˜o de duas varia´veis
contı´nua, enta˜o sua composic¸a˜o f(x, y) = g(h(x, y)) e´ uma func¸a˜o contı´nua de x e y.
Observac¸a˜o 2.2 (a) A composic¸a˜o de func¸o˜es contı´nuas e´ contı´nua.
(b) A soma, diferenc¸a ou produto de func¸o˜es contı´nuas e´ contı´nuo.
(c) O quociente de func¸o˜es contı´nuas e´ contı´nuo, exceto onde o denominador e´ zero.
Exemplo 2.3 Determine onde a func¸a˜o f , definida por f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
e´ contı´nua.
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o f , na˜o esta´ definida em (0, 0), logo e´ descontı´nua neste ponto. Como
trata-se de uma func¸a˜o racional, ela e´ contı´nua em seu domı´nio, o que corresponde a
D = {(x, y) ∈ R2/(x, y) 6= (0, 0)}.
Exemplo 2.4 Determine onde a func¸a˜o h, definida por h(x, y) = arctan
(y
x
)
e´ contı´nua.
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o f(x, y) =
y
x
e´ racional, assim contı´nua em todo R2, exceto sobre a
reta x = 0. A func¸a˜o g(t) = arctan(t) e´ contı´nua. Logo, a func¸a˜o composta
g(f(x, y)) = arctan
(y
x
)
= h(x, y)
e´ contı´nua, exceto em x = 0.
Definic¸a˜o 2.4 Dizemos que uma func¸a˜o f de treˆs varia´veis reais e´ contı´nua num dado
ponto (x0, y0, z0) se o limite da func¸a˜o e o valor da func¸a˜o forem o mesmo neste ponto,
isto e´, se
lim
(x,y,z)→(x0,y0,z0)
f(x, y, z) = f(x0, y0, z0).
22 2. limite e continuidade
2-3 Exercı´cios
1. Determine o conjunto dos pontos de continuidade das func¸o˜es definidas a seguir.
Justifique sua resposta.
(a) f(x, y) = 3x2y2 − 5xy + 6
(b) f(x, y) =
√
6− 2x2 − 3y2
(c) f(x, y) = ln
(
x− y
x2 + y2
)
(d) f(x, y) =
(
x− y√
1− x2 − y2
)
(e) f(x, y) =
y + 1
x2 + z2 − 1
(f) f(x, y) = sin−1(x2 + y2)
(g) f(x, y, z) = sin
√
x2 + y2 + 3z2
(h) f(x, y, z) =
√
x
x2 − y2 + z2
2. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite na˜o existe.
(a) lim
(x,y)→(5,−2)
(x5 + 4x3y − 5xy2)
(b) lim
(x,y)→(6,3)
(xy cos(x− 2y))
(c) lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
(d) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2
Capı´tulo 3
Derivadas Parciais
O volume V de um cilindro circular reto e´ dado pela fo´rmula V = pir2h, onde r e´ o raio
da base do cilindro e h e´ a sua altura. Assim, podemos dizer que o volume e´ uma func¸a˜o
do raio e da altura. Poderı´amos nos perguntar: qual e´ a taxa de variac¸a˜o do volume se o
raio da base for mantido fixo e a altura for permitido variar ou se a altura for mantida fixa
e ao raio da base for permitido variar?
Estudaremos nesta sec¸a˜o as taxas de variac¸a˜o que envolvam duas ou mais varia´veis.
3-1 Derivadas Parciais de Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Definic¸a˜o 3.1 Seja f : Ω ⊂ R2 → R, uma func¸a˜o de duas varia´veis x e y, e Ω um aberto
do R2. Definimos a derivada parcial de f em relac¸a˜o a x e escrevemos
∂f
∂x
(ou fx(x, y))
como o limite
∂f
∂x
(x, y) = lim
∆x→0
f(x+∆x, y)− f(x, y)
∆x
,
se este limite existir.
Esta derivada, em outras palavras, e´ obtida mantendo-se y fixo e fazendo-se x variar.
Definic¸a˜o 3.2 Seja f : Ω ⊂ R2 → R, uma func¸a˜o de duas varia´veis x e y, e Ω um aberto
do R2. Definimos a derivada parcial de f em relac¸a˜o a y e escrevemos
∂f
∂y
(ou fy(x, y))
como o limite
∂f
∂y
(x, y) = lim
∆y→0
f(x, y +∆y)− f(x, y)
∆y
,
se este limite existir.
Esta derivada, em outras palavras, e´ obtida mantendo-se x fixo e fazendo-se y variar.
24 3. derivadas parciais
A seguir apresentamos um exemplo do ca´lculo da derivada parcial utilizando-se a
definic¸a˜o.
Exemplo 3.1 Sendo f uma func¸a˜o definida por z = f(x, y) = 3x2y + y2, determine
∂z
∂x
e
∂z
∂y
, utilizando a definic¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
(a)
∂z
∂x
= lim
∆x→0
[3(x+∆x)2y + y2]− (3x2y + y2)
∆x
∂z
∂x
= lim
∆x→0
3x2y + 6xy∆x+ 3y∆x2 + y2 − 3x2y − y2
∆x
∂z
∂x
= lim
∆x→0
∆x(6xy + 3y∆x)
∆x
∂z
∂x
= lim
∆x→0
(6xy + 3y∆x)
∂z
∂x
= 6xy
∂z
∂y
= lim
∆y→0
[3x2(y +∆y) + (y +∆y)2]− (3x2y + y2)
∆y
∂z
∂y
= lim
∆y→0
3x2y + 3x2∆y + y2 + 2y∆y +∆y2 − 3x2y − y2
∆y
∂z
∂y
= lim
∆y→0
∆y(3x2 + 2y +∆y)
∆y
∂z
∂y
= lim
∆y→0
(3x2 + 2y +∆y)
∂z
∂y
= 3x2 + 2y
3-1.a Regra Pra´tica para Determinar Derivadas Parciais
1. Para determinar
∂f
∂x
, considere y como uma constante e diferencie f com relac¸a˜o a
x.
2. Para determinar
∂f
∂y
, considere x como uma constante e diferencie f com relac¸a˜o a
y.
3-1. derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis 25
Exemplo 3.2 Determine
∂f
∂x
e
∂f
∂y
, sendo z = f(x, y) = e2x sin y.
Soluc¸a˜o:
∂f
∂x
=
∂
∂x
(e2x sin y) = e2x
∂
∂x
(sin y)+sin y
∂
∂x
(e2x) = e2x ·0+2e2x sin y = 2e2x sin y
∂f
∂y
=
∂
∂y
(e2x sin y) = e2x
∂
∂y
(sin y)+sin y
∂
∂y
(e2x) = e2x cos y+sin y ·0 = e2x cos y
Exemplo 3.3 Mostre que a func¸a˜o f , definida por
f(x, y) =
{ xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
,
admite derivadas parciais em (0, 0), mas na˜o e´ contı´nua neste ponto.
Soluc¸a˜o: De acordo com a definic¸a˜o de derivada parcial,temos:
∂f
∂x
(0, 0) = lim
∆x→0
f(0 + ∆x, 0)− f(0, 0)
∆x
∂f
∂x
(0, 0) = lim
∆x→0
f(∆x, 0)− f(0, 0)
∆x
= 0
e
∂f
∂y
(0, 0) = lim
∆y→0
f(0, 0 + ∆y)− f(0, 0)
∆y
∂f
∂x
(0, 0) = lim
∆y→0
f(0,∆y)− f(0, 0)
∆x
= 0
Assim, f admite derivadas parciais em (0, 0) e valem
∂f
∂x
(0, 0) =
∂f
∂y
(0, 0) = 0.
Para mostrar que f na˜o e´ contı´nua em (0, 0), verificaremos se lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)
existe. Inicialmente determinaremos este limite ao longo da reta de equac¸a˜o y = x.
f(x, y) = f(x, x) =
x · x
x2 + x2
=
x2
2x2
=
1
2
.
Portanto, f(x, y)→ 1
2
quando (x, y)→ (0, 0) ao longo de y = x.
No entanto, se considerarmos este limite ao longo do eixo x, temos:
f(x, y) = f(x, 0) =
x · 0
x2 + 02
=
0
x2
= 0.
Assim, f(x, y)→ 0, quando (x, y)→ (0, 0) ao longo do eixo y.
26 3. derivadas parciais
Como f tem dois limites diferentes ao longo de duas retas distintas, concluı´mos que o
limite na˜o existe. Assim, a func¸a˜o na˜o e´ contı´nua em (0, 0).
A figura a seguir mostra o esboc¸o gra´fico da func¸a˜o f .
Figura: Gra´fico da func¸a˜o definida por f(x, y) =
xy
x2 + y2
Exemplo 3.4 Seja f(x, y) =

x3 − y2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
. Determine:
(a)
∂f
∂x
(b)
∂f
∂y
Soluc¸a˜o: (a) Nos pontos (x, y) 6= (0, 0) podemos aplicar a regra do quociente. Veja a
seguir.
∂f
∂x
(x, y) =
(x2 + y2)
∂
∂x
(x3 − y2)− (x3 − y2) ∂
∂x
(x2 + y2)
(x2 + y2)2
=
(x2 + y2) · 3x2 − (x3 − y2) · 2x
(x2 + y2)2
=
3x4 + 3x2y2 − 2x4 + 2xy2
(x2 + y2)2
=
x4 + 3x2y2 + 2xy2
(x2 + y2)2
Em (0, 0), temos:
∂f
∂x
(0, 0) = lim
∆x→0
f(0 + ∆x, 0)− f(0, 0)
∆x
= lim
∆x→0
∆x3
∆x2
− 0
∆x
= lim
∆x→0
∆x− 0
∆x
= 1
3-1. derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis 27
Assim,
∂f
∂x
e´ func¸a˜o de R2 em R dada por
∂f
∂x
(x, y) =

x4 + 3x2y2 + 2xy2
(x2 + y2)2
, se (x, y) 6= (0, 0)
1, se (x, y) = (0, 0)
(b) Nos pontos (x, y) 6= (0, 0) podemos aplicar a regra do quociente. Veja a seguir.
∂f
∂y
(x, y) =
(x2 + y2)
∂
∂y
(x3 − y2)− (x3 − y2) ∂
∂y
(x2 + y2)
(x2 + y2)2
=
(x2 + y2) · (−2y)− (x3 − y2) · 2y
(x2 + y2)2
=
−2x2y − 2y3 + 2x3y + 2y3
(x2 + y2)2
=
−2x2y(1 + x)
(x2 + y2)2
Em (0, 0), temos:
∂f
∂y
(0, 0) = lim
∆y→0
f(0, 0 + ∆y)− f(0, 0)
∆y
= lim
∆y→0
−1− 0
∆y
Note que, lim
∆y→0
−1
∆y
na˜o existe, ou seja,
∂f
∂y
(0, 0) na˜o existe. Assim,
∂f
∂y
esta´ definida em
todo (x, y) 6= (0, 0) e e´ dada por:
∂f
∂y
(x, y) =
−2x2y(1 + x)
(x2 + y2)2
Figura: Gra´fico da func¸a˜o definida por f(x, y) =
x3 − y2
x2 + y2
28 3. derivadas parciais
3-2 Interpretac¸a˜o Geome´trica
Suponha que C1 e´ a intersecc¸a˜o da superfı´cie z = f(x, y) com o plano y = y0 e que
C2 e´ a sua intersecc¸a˜o com o plano x = x0. Assim, fx(x, y0) pode ser interpretada
como a taxa de variac¸a˜o de z em relac¸a˜o a x ao longo da curva C1, e fy(x, y) pode ser
interpretada como a taxa de variac¸a˜o de z em relac¸a˜o a y ao longo da curva C2. Em
particular,
∂f
∂x
(x0, y0) e´ a taxa de variac¸a˜o de z em relac¸a˜o a x ao longo da curva C1 no
ponto (x0, y0) e
∂f
∂y
(x0, y0) e´ a taxa de variac¸a˜o de z em relac¸a˜o a y ao longo da curva C2
no ponto (x0, y0).
Geometricamente, fx(x0, y0) pode ser vista como o coeficiente angular da reta tan-
gente a` curva C1 no ponto (x0, y0); e fy(x0, y0) pode ser vista como o coeficiente angular
da reta tangente a` curva C2 no ponto (x0, y0).
Exemplo 3.5 De acordo com a lei dos gases ideiais para um ga´s confinado, em P newtons
por metros quadrados for a pressa˜o, V metros cu´bicos for o volume e T graus for a
temperatura, teremos a fo´rmula
PV = kT (3.1)
onde k e´ uma constante de proporcionalidade. Suponha que o volume de um ga´s em certo
recipiente seja 100m3 e que a temperatura seja 90◦C e k = 8.
(a) Determine a taxa de variac¸a˜o de P por unidade de variac¸a˜o de T se V permanece
fixo em 100m3.
(b) Use o resultado do item (a) para aproximar a taxa de variac¸a˜o da pressa˜o, se a tem-
peratura for aumentada para 92◦C.
(c) Determine a taxa de variac¸a˜o de V por unidade de variac¸a˜o em P se T permanece
fixa em 90◦C.
3-2. interpretac¸a˜o geome´trica 29
Soluc¸a˜o:
(a) Considerando a equac¸a˜o 3.1 e k = 8, temos:
P =
8T
V
Assim, a taxa de variac¸a˜o de P por unidade de variac¸a˜o de T se V permanece fixo em
100m3 e´ obtida derivando esta equac¸a˜o com relac¸a˜o a T e considerando V constante e
igual a 100m3. Logo
∂P
∂T
=
8
V
=
8
100
= 0, 08
(b)
∂P
∂T
= 0, 08, significa que para cada unidade de temperatura aumentada a pressa˜o
aumenta de 0,08. Assim, se a temperatura passar de 90◦ para 92◦, ou seja, sofrer um
aumento de 2◦, o aumento aproximado em P sera´ de 2 · 0, 08 = 0, 16N/m2.
(c) Sendo V =
8T
P
, temos:
∂V
∂P
= −8T
P 2
Note que, para V = 100m3, T = 90◦ e k = 8, obtemos P =
8 · 90
100
= 7, 2N/m2. Logo,
a taxa de variac¸a˜o de V por unidade de variac¸a˜o em P quando T = 90◦ e P = 7, 2, se T
permanecer fixa em 90◦ e´ dada por
∂V
∂P
= −8 · 90
7, 22
= −125
9
Exercı´cios
1. Determine ∂f
∂x
(x, y) e ∂f
∂y
(x, y), sendo f definida por:
(a) f(x, y) =
x+ y
xy − 1
(b) f(x, y) = sin2(x− 3y)
(c) f(x, y) = ln(x+ y)
(d) f(x, y) = exy sin 4y2
(e) f(x, y) = y−
3
2 arctan
(
x
y
)
2. Determine fx, fy e fz, sendo f definida por:
(a) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−
1
2
(b) f(x, y, z) = yz ln(xy)
(c) f(x, y, z) = tan(x+ 2y + 3z)
(d) f(x, y, z) = y3e2x+3z
30 3. derivadas parciais
(e) f(x, y, z) =
x2 − y2
y2 + z2
3. Se f(x, y) = 16−4x2−y2, determine fx(1, 2) e fy(1, 2) e interprete esses nu´meros
como inclinac¸o˜es. Ilustre graficamente.
4. Seja f(x, y) = xe−y + 5y.
(a) Determine a inclinac¸a˜o da superfı´cie z = f(x, y) na direc¸a˜o x no ponto (3, 0).
(b) Determine a inclinac¸a˜o da superfı´cie z = f(x, y) na direc¸a˜o y no ponto (3, 0).
5. A lei dos gases para um nu´mero de moles n de um ga´s ideal a` temperatura T ,
pressa˜o P e volume V e´ dada por PV = nRT , onde R e´ a constante do ga´s.
Mostre que:
(a)
∂P
∂V
∂V
∂T
∂T
∂P
= −1.
(b) T
∂P
∂T
∂V
∂T
= nR
6. A temperatura de um ponto (x, y) de uma placa de metal e´ dada por T (x, y) =
60
1 + x2 + y2
, onde T e´ medido em ◦C e x e y em metros. Determine:
(a) a taxa de variac¸a˜o da temperatura na direc¸a˜o do eixo x no ponto (2, 1).
(b) a taxa de variac¸a˜o da temperatura na direc¸a˜o do eixo y no ponto (2, 1).
7. Em cada caso, mostre que u(x, y) e v(x, y) satisfazem as equac¸o˜es de Cauchy-
Riemann.
∂u
∂x
=
∂v
∂y
e
∂u
∂y
= −∂v
∂x
(a) u = ex cos y; v = ex sin y
(b) u = ln(x2 + y2); v = 2arctan
(y
x
)
3-3. diferenciac¸a˜o parcial implı´cita 31
3-3 Diferenciac¸a˜o Parcial Implı´cita
Definic¸a˜o 3.3 Uma func¸a˜o z = f(x, y) se diz definida implicitamente pela equac¸a˜o
g(x, y, z) = 0 se, para todo (x, y) pertencente ao domı´nio de f tivermos g(x, y, f(x, y)) =
0.
Considere por exemplo, a func¸a˜o f , definida por z = f(x, y) =
√
9− x2 − y2, com
x2 + y2 < 9, e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o x2 + y2 + z2 = 9 pois, para todo (x, y)
no seu domı´nio, x2 + y2 + (
√
9− x2 − y2)2 = 9.
Para efetuar a diferenciac¸a˜o implı´cita, consideramos z como uma func¸a˜o de x e y
e diferenciamos ambos os lados em relac¸a˜o a x, mantendo y fixo, ou em relac¸a˜o a y,
mantendo x fixo.
Exemplo 3.6 Sendo z = f(x, y) dada implicitamente por x2 + y2 + z2 = 9, com z > 0,
calcule
∂f
∂x
e
∂f
∂y
.
Soluc¸a˜o:
∂
∂x
(x2 + y2 + z2) =
∂
∂x
(9)
∂
∂y
(x2 + y2 + z2) =
∂
∂y
(9)
2x+ 0 + 2z
∂z
∂x
= 0 0 + 2y + 2z
∂z
∂y
= 0
∂z
∂x
= −x
z
∂z
∂y= −y
z
Exemplo 3.7 Calcule
∂z
∂x
e
∂z
∂y
usando a diferenciac¸a˜o implı´cita, sendo x2+ z sinxyz =
0.
Soluc¸a˜o:
∂
∂x
(x2 + z sinxyz) =
∂
∂x
(0)
2x+ z · cosxyz ·
(
xy
∂z
∂x
+ zy
)
+ sin xyz · ∂z
∂x
= 0
∂z
∂x
(xyz cosxyz + sin xyz) = −2x− yz2 cos xyz
∂z
∂x
=
−2x− yz2 cosxyz
xyz cosxyz + sin xyz
∂
∂y
(x2 + z sinxyz) =
∂
∂y
(0)
0 + z · cosxyz ·
(
xy
∂z
∂x
+ zx
)
+ sin xyz · ∂z
∂y
= 0
∂z
∂y
(xyz cosxyz + sin xyz) = −xz2 cosxyz
∂z
∂y
=
−xz2 cosxyz
xyz cosxyz + sin xyz
32 3. derivadas parciais
Exemplo 3.8 Se resistores ele´tricos de R1, R2 e R3 ohms sa˜o conectados em paralelo
para formar um resistor de R ohms, o valor de R pode ser encontrado a partir da equac¸a˜o
1
R
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
.
Encontre o valor de
∂R
∂R2
quando R1 = 30, R2 = 45 e R3 = 90 ohms.
Soluc¸a˜o: Para determinarmos
∂R
∂R2
, tratamos R1 e R3 como constantes e diferenciamos
ambos os lados da equac¸a˜o em relac¸a˜o a R2. Veja abaixo.
∂
∂R2
(
1
R
)
=
∂
∂R2
(
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
)
− 1
R2
∂R
∂R2
= 0− 1
R2
2 + 0
∂R
∂R2
=
R2
R2
2 =
(
R
R2
)2
Quando R1 = 30, R2 = 45 e R3 = 90,
1
R
=
1
30
+
1
45
+
1
90
=
3 + 2 + 1
90
=
6
90
=
1
15
.
Logo, R = 15 e
∂R
∂R2
=
(
15
45
)2
=
1
9
Exemplo 3.9 Ache a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva de intersecc¸a˜o da superfı´cie
36x2 − 9y2 + 4z2 + 36 = 0 com o plano x = 1, no ponto (1,√12,−3). Fac¸a um esboc¸o
do gra´fico. Interprete essa inclinac¸a˜o como a derivada parcial.
Soluc¸a˜o: Sabemos que a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva de intersecc¸a˜o da superfı´cie
de equac¸a˜o z = f(x, y) com um plano x = x0, no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) e´ dada pela
derivada parcial de f com relac¸a˜o a y, aplicada no ponto (x0, y0, f(x0, y0)). Como z esta´
definido implicitamente pela equac¸a˜o 36x2 − 9y2 + 4z2 + 36 = 0, devemos realizar a
derivac¸a˜o implı´cita para determinar
∂z
∂y
. Considerando z func¸a˜o de x e de y, temos:
∂
∂y
(36x2 − 9y2 + 4z2 + 36) = ∂
∂y
(0)
−18y + 8z ∂z
∂y
= 0
∂z
∂y
=
9y
4z
Assim, a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva de intersecc¸a˜o da superfı´cie de equac¸a˜o
36x2 − 9y2 + 4z2 + 36 = 0 com um plano x = 1, no ponto (1,√12,−3) e´ dada por
∂z
∂y
(1,
√
12) =
9
√
12
4(−3) = −
3
√
12
4
3-4. derivadas parciais de segunda ordem 33
Exercı´cios
1. Calcule
∂z
∂x
e
∂z
∂y
, usando a diferenciac¸a˜o implı´cita.
(a) (x2 + y2 + z2)
3
2 = 1
(b) ln(2x2 + y − z3) = x
(c) x2 + z sinxyz = 0
(d) x2 + y2 + z2 = 3xyz
(e) exy sinh z − z2x+ 1 = 0
2. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de y = f(x) no ponto
(x, y) dado.
(a) sin(x− y) + cos(x+ y) = 0;
(pi
4
,
pi
4
)
(b) (x2 − y2)2 − x2y2 − 55 = 0; (1, 1)
3. Determine a inclinac¸a˜o do hiperbolo´ide de equac¸a˜o x2 + y2 − z2 = 1 na direc¸a˜o x
nos pontos (3, 4, 2
√
6) e (3, 4,−2√6).
3-4 Derivadas Parciais de Segunda Ordem
Se f e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis, suas derivadas parciais fx e fy sa˜o func¸o˜es de
duas varia´veis, de modo que podemos considerar novamente suas derivadas parciais. Isto
origina quatro possı´veis derivadas parciais de segunda ordem de f , as quais sa˜o definidas
por:
∂2
∂x2
f(x, y) =
∂
∂x
(
∂
∂x
f(x, y)
)
= lim
∆x→0
fx(x+∆x, y)− fx(x, y)
∆x
,
∂2
∂y∂x
f(x, y) =
∂
∂y
(
∂
∂x
f(x, y)
)
= lim
∆y→0
fx(x, y +∆y)− fx(x, y)
∆y
,
∂2
∂x∂y
f(x, y) =
∂
∂x
(
∂
∂y
f(x, y)
)
= lim
∆x→0
fy(x+∆x, y)− fy(x, y)
∆x
,
∂2
∂y2
f(x, y) =
∂
∂y
(
∂
∂y
f(x, y)
)
= lim
∆y→0
fy(x, y +∆y)− fy(x, y)
∆y
.
34 3. derivadas parciais
Resumindo, dizemos que a derivada segunda de f e´ a derivada da func¸a˜o derivada.
Tambe´m utilizamos a seguinte notac¸a˜o para as derivadas de segunda ordem:
∂2
∂x2
f(x, y) = fxx(x, y)
∂2f
∂y∂x
(x, y) = fxy(x, y)
∂2f
∂y2
(x, y) = fyy(x, y)
∂2f
∂x∂y
(x, y) = fyx(x, y)
Exemplo 3.10 Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f , definida por
f(x, y) = (x2 + y2) arctan
y
x
.
Soluc¸a˜o:
fxx =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
=
∂
∂x
(x2 + y2) · 1
1 +
y2
x2
·
(y
x
)′
+
(
arctan
y
x
)
· 2x

=
∂
∂x
(
(x2 + y2) · x
2
x2 + y2
·
(
x · 0− y · 1
x2
)
+ 2x arctan
y
x
)
=
∂
∂x
(
−y + 2x arctan y
x
)
= 0 + 2x · 1
1 +
y2
x2
·
(y
x
)′
+
(
arctan
y
x
)
· 2
= 2x · x
2
x2 + y2
·
(−y
x2
)
+ 2arctan
y
x
=
−2xy
x2 + y2
+ 2arctan
y
x
fyy =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
=
∂
∂y
(x2 + y2) · 1
1 +
y2
x2
·
(y
x
)′
+
(
arctan
y
x
)
· 2y

=
∂
∂y
(
(x2 + y2) · x
2
x2 + y2
·
(
1
x
)
+ 2y arctan
y
x
)
=
∂
∂y
(
x+ 2y arctan
y
x
)
= 0 + 2y · 1
1 +
y2
x2
· 1
x
+
(
arctan
y
x
)
· 2
= 2y · x
2
x2 + y2
· 1
x
+ 2arctan
y
x
3-4. derivadas parciais de segunda ordem 35
=
2xy
x2 + y2
+ 2arctan
y
x
fxy =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=
∂
∂y
(
−y + 2x arctan y
x
)
= −1 + 2x · 1
1 +
y2
x2
· 1
x
+
(
arctan
y
x
)
· 0
= −1 + 2x · x
2
x2 + y2
· 1
x
=
−x2 − y2 + 2x2
x2 + y2
=
x2 − y2
x2 + y2
fyx =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=
∂
∂x
(
x+ 2y arctan
y
x
)
= 1 + 2y · 1
1 +
y2
x2
· −y
x2
+
(
arctan
y
x
)
· 0
= 1 + 2y · x
2
x2 + y2
· −y
x2
=
x2 + y2 − 2y2
x2 + y2
=
x2 − y2
x2 + y2
Note que no exemplo anterior fxy = fyx. O pro´ximo teorema, do matema´tico fraceˆs
Alexis Clairant, fornece condic¸o˜es sob as quais podemos afirmar que fxy = fyx.
Teorema 3.1 Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contenha o ponto
(x0, y0). Se as func¸o˜es fxy e fyx forem ambas contı´nuas em D, enta˜o
fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0)
Em outras palavras, se as derivadas mistas de f forem contı´nuas no aberto D, enta˜o elas
sa˜o iguais, ou seja, na˜o vai importar a ordem de derivac¸a˜o.
36 3. derivadas parciais
3-4.a Aplicac¸o˜es
3-4.a.1 Equac¸a˜o de Laplace
A equac¸a˜o de Laplace tridimensional
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
= 0
e´ satisfeita pelas distribuic¸o˜es de temperatura no estado estaciona´rio T = f(x, y, z) no
espac¸o, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrosta´ticos. A equac¸a˜o de
Laplace bidimensional
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0
obtida eliminando-se o termo
∂2f
∂z2
da equac¸a˜o anterior, descreve potenciais e distribuic¸o˜es
de temperatura no estado etaciona´rio no plano.
3-4.a.2 Equac¸a˜o da Onda
Se ficarmos em uma praia e tirarmos uma fotografia das ondas, esta mostrara´ um padra˜o
regular de picos e depresso˜es em dado instante. Veremos movimento vertical perio´dico no
espac¸o em relac¸a˜o a` distaˆncia. Se ficarmos na a´gua, poderemos sentir a subida e descida
da a´gua com o passar das ondas. Veremos movimento perio´dico vertical no tempo. Em
fı´sica, essa bela simetria e´ expressa pela equac¸a˜o de onda unidimensional
∂2w
∂t2
= c2
∂2w
∂x2
onde w e´ a altura da onda, x e´ a varia´vel distaˆncia, t e´ a varia´vel tempo e c e´ a velocidade
com a qual as ondas se propagam.
Em nosso exemplo, x e´ a distaˆncia ao longo da superfı´cie do mar, mas em outras
aplicac¸o˜es x pode ser a distaˆncia ao longo de uma corda vibrando, a distaˆncia no ar
(ondas sonoras) ou a distaˆncia no espac¸o (ondas luminosas). O nu´mero c varia de acordo
com o meio e o tipo de onda.
3-4. derivadas parciais de segunda ordem 37
Exercı´cios
1. Calcule todasas derivadas parciais de segunda ordem das func¸o˜es definidas a seguir.
(a) f(x, y) = sin xy
(b) g(x, y) = x2y + cos y + y sinx
(c) h(x, y) = xey + y + 1
(d) r(x, y) = ln(x+ y)
(e) s(x, y) = arctan
(y
x
)
2. Considerando a func¸a˜o f , definida a seguir, verifique se fxy = fyx.
(a) f(x, y) = ln
√
x2 + y2
(b) f(x, y) = xy2 + x2y3 + x3y4
(c) f(x, y) = ex + x ln y + y ln x
(d) f(x, y) = x sin y + y sinx+ xy
(e) f(x, y) = x sin(x+ 2y)
3. Mostre que as func¸o˜es definidas a seguir sa˜o harmoˆnicas.
(a) f(x, y) = e−2y cos 2x
(b) f(x, y) = ln
√
x2 + y2
(c) f(x, y, z) = 2z3 − 3(x2 + y2)z
(d) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−
1
2
4. Mostre que cada func¸a˜o definida a seguir satisfaz a equac¸a˜o do calor
∂z
∂t
= c2
∂2z
∂x2
, onde c > 0, contante
(a) z = e−t sin
(x
c
)
(b) z = e−t cos
(x
c
)
5. Quando dois resistores de resisteˆncia R1 em ohms e R2 em ohms sa˜o conectados
em paralelo, sua resisteˆncia R em ohms e´ R =
R1 ·R2
R1 +R2
. Mostre que
∂2R
∂R21
· ∂
2R
∂R22
=
4R2
(R1 +R2)4
6. A energia cine´tica de um corpo com massa m e velocidade v e´ K = 1
2
mv2. Mostre
que
∂K
∂m
∂2K
∂v2
= K.
38 3. derivadas parciais
3-5 Derivadas Parciais de Ordem Superior
Apesar de lidarmos na maioria das vezes com derivadas parciais de primeira e segunda or-
dens, porque elas aparecem com mais frequ¨eˆncia em aplicac¸o˜es, na˜o existe limite teo´rico
para o nu´mero de vezes que podemos diferenciar uma func¸a˜o desde que as derivadas en-
volvidas existam. Assim, obtemos derivadas parciais de terceira ordem que denotamos
por
∂3f
∂x∂y2
= fyyx
∂4f
∂x2∂y2
= fyyxx
e assim, por diante. Como acontece com derivadas de segunda ordem, a ordem de
diferenciac¸a˜o e´ irrelevante desde que as derivadas na ordem em questa˜o sejam contı´nuas.
Exercı´cios
1. Determine as derivadas parciais indicadas:
(a) f(x, y) = 3xy4 + x3y2; fxxy, fyyy
(b) f(x, y, z) = cos(4x+ 3y + 2z); fxyz, fyzz
(c) f(x, y, z) = (4x− 3y + 2z)5; fzyx, fzyy, fxxyz
3-6. diferenciabilidade 39
3-6 Diferenciabilidade
Voceˆ deve lembrar do trabalho com func¸o˜es de uma varia´vel real que se f , definida por
y = f(x), for uma func¸a˜o deriva´vel, enta˜o:
f ′(x) = lim
∆x→0
∆y
∆x
onde ∆y e ∆x sa˜o incrementos de x e y e
∆y = f(x+∆x)− f(x).
Quando |∆x| for pequeno e ∆x 6= 0, ∆y
∆x
difere de f ′(x) por um nu´mero pequeno que
depende de |∆x| e sera´ denotado por ². Enta˜o,
² =
∆y
∆x
− f ′(x) se ∆x 6= 0
onde ² e´ uma func¸a˜o de ∆x. Dessa forma, podemos reescrever a equac¸a˜o acima com:
∆y = f ′(x)∆x+ ²∆x.
Note que, ²→ 0 quando ∆x→ 0.
Quando isto ocorre para func¸o˜es de uma varia´vel real dizemos que a mesma e´ difer-
encia´vel em x.
Para func¸o˜es de duas ou mais varia´veis, uma equac¸a˜o correspondente a esta e´ us-
ada para definir a diferenciabilidade da func¸a˜o.
Definic¸a˜o 3.4 Se f for uma func¸a˜o de duas varia´veis x e y, enta˜o o incremento de f no
ponto (x0, y0), denotado por ∆f(x0, y0), e´ dado por
∆f(x0, y0) = f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0)
Definic¸a˜o 3.5 Se f for uma func¸a˜o de duas varia´veis x e y e o incremento de f em (x0, y0)
puder ser escrito como
∆f(x0, y0) = fx(x0, y0)∆x+ fy(x0, y0)∆y + ²1∆x+ ²2∆y,
onde ²1 e ²2 sa˜o func¸o˜es de ∆x e ∆y, tais que ²1 → 0 e ²2 → 0 quando (∆x,∆y) →
(0, 0), enta˜o dizemos que f e´ diferencia´vel em (x0, y0).
40 3. derivadas parciais
Teorema 3.2 Se uma func¸a˜o f de duas varia´veis for diferencia´vel em um ponto, ela sera´
contı´nua neste ponto.
Prova: Se f for diferencia´vel em (x0, y0), temos:
f(x0 +∆x, y0 +∆y)− f(x0, y0) = fx(x0, y0)∆x+ fy(x0, y0)∆y + ²1∆x+ ²2∆y
f(x0 +∆x, y0 +∆y) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)∆x+ fy(x0, y0)∆y + ²1∆x+ ²2∆y
Tomando o limite de ambos os membros da equac¸a˜o quando (∆x,∆y)→ (0, 0), obtemos
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f(x0 +∆x, y0 +∆y) = f(x0, y0).
Note que, considerando x = x0 + ∆x e y = y0 + ∆y, enta˜o (∆x,∆y) → (0, 0) e´
equivalente a (x, y)→ (x0, y0). Logo,
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0)
o que prova a continuidade da func¸a˜o.
Observac¸a˜o 3.1 O Teorema 3.2 estabelece que para uma func¸a˜o de duas varia´veis,
diferenciabilidade implica continuidade. No entanto, a existeˆncia de derivadas parciais
num ponto na˜o implica diferenciabilidade naquele ponto. Verifiquemos isto no exemplo
abaixo.
Exemplo 3.11 No exemplo 3.3, mostramos que a func¸a˜o f , definida por
f(x, y) =
{ xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
,
admite derivadas parciais em (0, 0), no entanto, na˜o e´ contı´nua neste ponto. Logo, con-
cluı´mos que f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0).
3-7 Regra da Cadeia
Considerando-se o Ca´lculo de func¸o˜es de uma varia´vel real, quando y = f(x) era uma
func¸a˜o diferencia´vel de x e x = g(t) era uma func¸a˜o diferencia´vel de t, y tornava-se uma
func¸a˜o diferencia´vel de t e a regra da cadeia dizia que
dy
dt
=
dy
dx
· dx
dt
Para func¸o˜es de duas ou mais varia´veis, a regra da cadeia possui diversas formas que
dependem da quantidade de varia´veis envolvidas. A seguir, sa˜o apresentadas algumas
delas.
3-7. regra da cadeia 41
Teorema 3.3 (Derivada Total)
Se z = f(x, y) possui derivadas parciais contı´nuas fx e fy e se x = x(t) e y = y(t)
forem func¸o˜es diferencia´veis de t, enta˜o a composta z = f(x(t), y(t)) sera´ uma func¸a˜o
diferencia´vel de t e
df
dt
= fx(x(t), y(t))
dx
dt
+ fy(x(t), y(t))
dy
dt
ou
df
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
,
onde
df
dt
chama-se Derivada Total de f .
Prova: Devemos mostrar que, se x e y forem diferencia´veis em t = t0, enta˜o f sera´
diferencia´vel em t0.
Consideremos ∆x, ∆y e ∆f os incrementos que resultam da variac¸a˜o de t0 a
t0 +∆t. Como f e´ diferencia´vel, podemos escrever
∆f(x(t0), y(t0)) =
∂f
∂x
(x(t0), y(t0))∆x+
∂f
∂y
(x(t0), y(t0))∆y + ²1∆x+ ²2∆y (3.2)
onde ²1 → 0 e ²2 → 0 quando (∆x,∆y)→ (0, 0).
Para encontrarmos
df
dt
, dividimos ambos os membros da equac¸a˜o por ∆t e tomamos o
limite quando ∆t → 0. Assim, dividindo 3.2 por ∆t e, em seguida, tomando o limite
quando ∆t→ 0, no ponto P0(x(t0), y(t0)), obtemos:
lim
∆t→0
(
∆f
∆t
)
P0
=
(
∂f
∂x
)
P0
(
lim
∆t→0
∆x
∆t
)
+
(
∂f
∂y
)
P0
(
lim
∆t→0
∆y
∆t
)
+
+
(
lim
∆t→0
²1
)
lim
∆t→0
∆x
∆t
+
(
lim
∆t→0
²2
)
lim
∆t→0
∆y
∆t
Logo, (
df
dt
)
P0
=
(
∂f
∂x
)
P0
(
dx
dt
)
t0
+
(
∂f
∂y
)
P0
(
dy
dt
)
t0
+ 0 · dx
dt
+ 0 · dy
dt(
df
dt
)
P0
=
(
∂f
∂x
)
P0
(
dx
dt
)
t0
+
(
∂f
∂y
)
P0
(
dy
dt
)
t0
.
Isto prova o teorema.
42 3. derivadas parciais
O diagrama a seguir mostra um esquema pra´tico para montar a derivada total. Bem acima,
indicamos f , a func¸a˜o dada. De f , partem duas ramificac¸o˜es, chegando em x e y, varia´veis
principais. Como x e y sa˜o, ainda, func¸o˜es de t, o esquema termina com as ramificac¸o˜es
de x e de y “migrando” para t.
Assim, cada malha sera´ um produto e a soma das duas malhas resulta na igualdade estab-
elecida pelo teorema.
Exemplo 3.12 Determine a derivada total de f , utilizando a regra da cadeia, sendo
f(x, y) =
x+ t
y + t
, x = ln t e y = ln
1
t
.
Soluc¸a˜o:
df
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
df
dt
=
1
y + t
· 1
t
+
(
(y + t) · 0− (x+ t) · 1
(y + t)2
)
·
− 1t21
t

df
dt
=
1
t(y + t)
− (x+ t)
t(y + t)2
·
(
−1
t
)
df
dt
=
y + t+ x+ t
t(y + t)2
df
dt
=
x+ y + 2t
t(y + t)2
Teorema 3.4 Se w = f(x, y, z) for diferencia´vel e x, y e z forem func¸o˜es diferencia´veis
de t, enta˜o w sera´ uma func¸a˜o deriva´vel de t e
dw
dt
=
∂w
∂x
dx
dt+
∂w
∂y
dy
dt
+
∂w
∂z
dz
dt
3-7. regra da cadeia 43
O diagrama a seguir mostra um esquema pra´tico para determinar a derivada total de w.
Exemplo 3.13 Determine a derivada total
dw
dt
, utilizando a Regra da Cadeia, sendo w =√
x2 + y2 + z2, x = tan t, y = cos t e z = sin t, com 0 < t <
pi
2
.
Soluc¸a˜o:
dw
dt
=
∂w
∂x
dx
dt
+
∂w
∂y
dy
dt
+
∂w
∂z
dz
dt
dw
dt
=
x√
x2 + y2 + z2
(sec2 t) +
y√
x2 + y2 + z2
(− sin t) + z√
x2 + y2 + z2
(cos t)
Exemplo 3.14 Num dado instante, o comprimento de um cateto de um triaˆngulo
retaˆngulo e´ 10 cm e ele esta´ crescendo a uma taxa de 1 cm/min e o comprimento do
outro cateto e´ 12 cm o qual esta´ descrescendo a uma taxa de 2 cm/min. Determine a taxa
de variac¸a˜o da medida do aˆngulo agudo oposto ao lado de 12 cm de comprimento, num
dado instante.
Soluc¸a˜o: Considere o triaˆngulo retaˆngulo ABC, de catetos x e y que medem respectiva-
mente, 10 cm e 12 cm; e α o aˆngulo oposto ao cateto y. Podemos escrever α em func¸a˜o
de x e y, como
tanα =
y
x
(3.3)
44 3. derivadas parciais
A taxa de variac¸a˜o da medida do aˆngulo agudo oposto ao lado de 12 cm num dado in-
stante e´ dada pela derivada parcial de α com relac¸a˜o ao tempo t. Logo, derivaremos
implicitamente a expressa˜o 3.3 em relac¸a˜o a t.
∂
∂t
(tanα) =
∂
∂t
(y
x
)
sec2 α
dα
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂t
dy
dt(
2
√
61
10
)2
dα
dt
= − y
x2
· 1 + 1
x
· (−2)
dα
dt
=
(
− y
x2
− 2
x
)
·
(
100
4 · 61
)
dα
dt
=
(
−y + 2x
x2
)
·
(
100
4 · 61
)
dα
dt
=
(−12− 20
102
)
·
(
100
4 · 61
)
dα
dt
= − 8
61
Assim, a taxa de variac¸a˜o da medida do aˆngulo agudo oposto ao lado de 12 cm num dado
instante e´ − 8
61
rad/min.
Exemplo 3.15 A altura de um cilindro circular reto esta´ decrescendo a uma taxa de
10 cm/min e o raio crescendo a uma taxa de 4 cm/min. Determine a taxa de variac¸a˜o do
volume no instante em que a altura e´ 50 cm e o raio e´ 16 cm.
Soluc¸a˜o: Sabemos que V (r, h) = pir2h, logo a taxa de variac¸a˜o do volume no instante
em que a altura e´ 50 cm e o raio e´ 16 cm e´ dada por
∂V
∂t
(16, 50). Assim, temos:
dV
dt
(r, h) =
∂V
∂r
(r, h)
dr
dt
+
∂V
∂h
(r, h)
dh
dt
dV
dt
(r, h) = 2rpih · 4 + pir2 · (−10)
dV
dt
(16, 50) = 8pi · 16 · 50 + pi(16)2(−10)
dV
dt
(16, 50) = 3840picm3/min
3-7. regra da cadeia 45
Exemplo 3.16 A voltagem V em um circuito que satisfaz a lei V = IR vai caindo lenta-
mente a uma taxa de 0, 01 volts/s a medida que a bateria descarrega. Ao mesmo tempo,
a resisteˆncia R vai aumentando a uma taxa de 0, 5 ohm/s, conforme o resistor esquenta.
Determine como a corrente esta´ variando no instante em que R = 600 ohm e I = 0, 04A.
Soluc¸a˜o: A voltagem V e´ func¸a˜o de I e R, logo, podemos escrever:
dV
dt
=
∂V
∂I
dI
dt
+
∂V
∂R
dR
dt
dV
dt
= R
dI
dt
+ I
dR
dt
Como,
dV
dt
= −0, 01 volts/s, dR
dt
= 0, 5 ohm/s, R = 600 ohm e I = 0, 04A,
obtemos:
−0, 01 = 600 · dI
dt
+ 0, 04 · 0, 5 ⇒ dI
dt
= −0, 00005A/s
Teorema 3.5 (Regra da Cadeia)
Se f for uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y definida por w = f(x, y), onde x = g(r, s) e
y = h(r, s) e
∂x
∂r
,
∂x
∂s
,
∂y
∂r
,
∂y
∂s
todas existirem, enta˜o w sera´ uma func¸a˜o de r e s e
∂w
∂r
=
∂w
∂x
∂x
∂r
+
∂w
∂y
∂y
∂r
∂w
∂s
=
∂w
∂x
∂x
∂s
+
∂w
∂y
∂y
∂s
46 3. derivadas parciais
Exemplo 3.17 Determine
∂w
∂s
e
∂w
∂r
, sendo w = arcsin(3x+ y); x = r2es e y = sin rs
Soluc¸a˜o: A equac¸a˜o w = arcsin(3x + y) pode ser reescrita como sinw = 3x + y. Para
determinarmos
∂w
∂s
e
∂w
∂r
, precisamos inicialmente calcular
∂w
∂x
e
∂w
∂y
. Note que,w e´ dado
implicitamente pela equac¸a˜o sinw = 3x + y, logo para calcular
∂w
∂x
e
∂w
∂y
, utilizaremos
a derivac¸a˜o implı´cita.
∂
∂x
(sinw) =
∂
∂x
(3x+ y)
∂
∂y
(sinw) =
∂
∂y
(3x+ y)
cosw · ∂w
∂x
= 3 cosw · ∂w
∂y
= 1
∂w
∂x
=
3
cosw
∂w
∂y
=
1
cosw
∂w
∂r
=
∂w
∂x
∂x
∂r
+
∂w
∂y
∂y
∂r
∂w
∂r
=
3
cosw
· (2res) + 1
cosw
· (s cos rs)
∂w
∂r
=
6res + s cos(rs)
cosw
∂w
∂s
=
∂w
∂x
∂x
∂s
+
∂w
∂y
∂y
∂s
∂w
∂s
=
3
cosw
· (r2es) + 1
cosw
· (r cos rs)
∂w
∂s
=
3r2es + r cos(rs)
cosw
Considerando w a medida do arco cujo seno e´ 3x+ y, obtemos cosw =
√
1− (3x+ y)2.
Veja a figura a seguir.
Logo,
∂w
∂r
=
6res + s cos(rs)√
1− (3x+ y)2
∂w
∂s
=
3r2es + r cos(rs)√
1− (3x+ y)2
3-7. regra da cadeia 47
Teorema 3.6 (Regra da Cadeia Generalizada)
Suponha que f seja uma func¸a˜o diferencia´vel de n varia´veis x1, x2, x3, ..., xn e cada uma
dessas varia´veis por sua vez seja uma func¸a˜o de m varia´veis y1, y2, y3, ..., ym. Suponha
ainda qua cada uma das derivadas parciais
∂xi
∂yj
(i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ...,m) exista.
Enta˜o, f e´ uma func¸a˜o de y1, y2, y3, ..., ym, e
∂f
∂y1
=
∂f
∂x1
∂x1
∂y1
+
∂f
∂x2
∂x2
∂y1
+ ...+
∂f
∂xn
∂xn
∂y1
∂f
∂y2
=
∂f
∂x1
∂x1
∂y2
+
∂f
∂x2
∂x2
∂y2
+ ...+
∂f
∂xn
∂xn
∂y2
...
∂f
∂ym
=
∂f
∂x1
∂x1
∂ym
+
∂f
∂x2
∂x2
∂ym
+ ...+
∂f
∂xn
∂xn
∂ym
Exemplo 3.18 Determine
∂w
∂r
,
∂w
∂θ
e
∂w
∂φ
, sendo w = x2 + y2 + z2, x = r sinφ cos θ,
y = r sinφ sin θ e z = r cosφ.
Soluc¸a˜o:
∂w
∂r
=
∂w
∂x
∂x
∂r
+
∂w
∂y
∂y
∂r
+
∂w
∂z
∂z
∂r
∂w
∂r
= 2x(sinφ cos θ) + 2y(sinφ sin θ) + 2z cosφ
∂w
∂θ
=
∂w
∂x
∂x
∂θ
+
∂w
∂y
∂y
∂θ
+
∂w
∂z
∂z
∂θ
∂w
∂θ
= −2xr sinφ sin θ + 2yr sinφ cos θ + 2z · 0
∂w
∂θ
= −2xr sinφ sin θ + 2yr sinφ cos θ
Exercı´cios
1. Utilize a forma apropriada da regra da cadeia para determinar as derivadas indi-
cadas.
(a) z = 3 cos x− sin xy; x = 1
t
, y = 3t,
dz
dt
(b) z = e1−xy, x = t
1
3 , y = t3,
dz
dt
(c) z = ln(2x2 + y); x =
√
t, y = t
2
3 ,
dz
dt
48 3. derivadas parciais
(d) z =
x
y
, x = 2 cos u, y = 3 sin v;
∂z
∂u
,
∂z
∂v
(e) z = ex2y; x =
√
uv, y =
1
v
;
∂z
∂u
,
∂z
∂v
(f) w =
rs
r2 + s2
; r = uv, s = u− 2v; ∂w
∂u
,
∂w
∂v
(g) w = r2 − r tan θ; r = √s, θ = pis; dw
ds
∣∣∣s= 1
4
(h) z = xye
x
y ; x = r cos θ, y = r sin θ;
∂z
∂r
∣∣
r=2, θ=pi
6
,
∂z
∂θ
∣∣
r=2, θ=pi
6
2. Dois lados de um triaˆngulo tem comprimentos a = 5 cm e b = 10 cm, e o aˆngulo
entre eles e´ θ = pi
3
rad. Se a estiver crescendo a uma taxa de 2 cm/s, b estiver
crescendo a uma taxa de 1 cm/s, e θ mantendo-se constante, a que taxa esta´
crescendo ou decrescendo o terceiro lado?
3. Uma quantidade de ga´s obedece a lei dos gases ideiais PV = kT , com k = 1, 2;
e o ga´s encontra-se em um recipiente que esta´ sendo aquecido a uma taxa de 3◦C
por segundo. Se em um dado instante quando a temperatura e´ 300◦C, a pressa˜o e´
6N/m2 e aumenta a uma taxa de 0, 1N/m2 por segundo, ache a taxa de variac¸a˜o
do volume naquele instante.
4. A voltagem V em um circuito ele´trico simples esta´ decrescente lentamente a` me-
dida que a bateria se descarrega. A resisteˆncia R esta´ aumentando como o aumento
de calor do resistor. Use a Lei de Ohm, V = IR, para achar como a corrente I
esta´ variando no momento em que R = 400Ω, I = 0, 08A,
dV
dt
= −0, 01V/s e
dR
dt
= 0, 03Ω/s
5. Suponha que a equac¸a˜o z = f(x, y) e´ expressa na forma polar z = g(r, θ) fazendo-
se a substituic¸a˜o
x = r cos θ e y = r sin θ.
(a) Considere r e θ como func¸o˜es de x e y e use a diferenciac¸a˜o implı´citapara
mostrar que
∂r
∂x
= cos θ e
∂θ
∂x
= −sin θ
r
.
(b) Considere r e θ como func¸o˜es de x e y e use a diferenciac¸a˜o implı´cita para
mostrar que
∂r
∂y
= sin θ e
∂θ
∂y
=
cos θ
r
.
3-7. regra da cadeia 49
(c) Use os resultados dos itens (a) e (b) para mostrar que
∂z
∂x
=
∂z
∂r
cos θ ± 1
r
∂z
∂θ
sin θ
e
∂z
∂y
=
∂z
∂r
sin θ +
1
r
∂z
∂θ
cos θ.
(d) Use o resultado do item (c) para mostrar que(
∂z
∂x
)2
+
(
∂z
∂y
)2
=
(
∂z
∂r
)2
+
1
r2
(
∂z
∂θ
)2
.
(e) Use o resultado do item (c) para mostrar que se z = f(x, y) satisfaz a equac¸a˜o
de Laplace
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y2
= 0,
enta˜o, z = g(r, θ) satisfaz a equac¸a˜o
∂2z
∂r2
+
1
r2
∂2z
∂θ2
+
1
r
∂z
∂r
= 0.
A equac¸a˜o acima e´ chamada de equac¸a˜o de Laplace na forma polar.
6. Mostre que se u(x, y) e v(x, y) satisfazem as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann, e se
x = r cos θ e y = r sin θ, enta˜o
∂u
∂r
=
1
r
∂v
∂θ
e
∂v
∂r
= −1
r
∂u
∂θ
.
As equac¸o˜es acima sa˜o as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann na forma polar.
50 3. derivadas parciais
3-8 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente
O mapa a seguir mostra os contornos da func¸a˜o temperatura T (x, y) a`s 19h do dia 5
de agosto de 2009. As curvas de nı´vel ou isote´rmas ligam localidades que apresentam
a mesma temperatura. A derivada parcial Tx em um ponto, como Bage´, da´ a taxa de
variac¸a˜o da temperatura em relac¸a˜o a distaˆncia se viajarmos para leste; Ty e´ a taxa de
variac¸a˜o da temperatura se viajarmos para o norte. Mas o que acontece se desejarmos
conhecer a taxa de variac¸a˜o da temperatura em outra direc¸a˜o qualquer, por exemplo, para
nordeste, ou seja, se viajarmos de Bage´ para Porto Alegre? Nesta sec¸a˜o introduziremos
um tipo de derivada, chamada derivada direcional, que nos permite determinar a taxa de
variac¸a˜o de uma func¸a˜o de duas ou mais varia´veis em qualquer direc¸a˜o.
3-8.a Derivadas Direcionais
Suponha que a func¸a˜o f seja definida em uma regia˜o R no plano xy e que −→u = u1−→i +
u2
−→
j seja um vetor unita´rio arbitra´rio. Para determinar a taxa de variac¸a˜o de z no ponto
(x0, y0) na direc¸a˜o e sentido de −→u , devemos considerar a superfı´cie S com equac¸a˜o z =
f(x, y) e tomar z0 = f(x0, y0). O ponto (x0, y0, z0) pertence a S. O plano vertical que
passa por P na direc¸a˜o de −→u intercepta S em uma curva C. A inclinac¸a˜o da reta tangente
T a C em P e´ a taxa de variac¸a˜o de z na direc¸a˜o e sentido de −→u .
3-8. derivadas direcionais e o vetor gradiente 51
Se Q(x, y, z) e´ outro ponto sobre C e P ′, Q′ sa˜o as projec¸o˜es de P , Q sobre o plano xy,
enta˜o o vetor
−−→
P ′Q′ e´ paralelo a −→u , e portanto
−−→
P ′Q′ = h−→u = (hu1, hu2)
para algum valor do escalar h. Dessa forma, x − x0 = hu1 e y − y0 = hu2, logo
x = x0 + hu1, y = y0 + hu2, e
∆z
h
=
z − z0
h
=
f(x0 + hu1, y0 + hu2)− f(x0, y0)
h
Se tomarmos o limite quando h → 0, obteremos a taxa de variac¸a˜o de z em relac¸a˜o a
distaˆncia, na direc¸a˜o e sentido de −→u , que e´ chamada derivada direcional de f na direc¸a˜o
e sentido de −→u .
Isto nos motiva a definic¸a˜o que segue.
Definic¸a˜o 3.6 A derivada direcional de f em (x0, y0) na direc¸a˜o e sentido do vetor
unita´rio −→u = u1−→i + u2−→j e´
D−→u f(x0, y0) = lim
h→0
f(x0 + hu1, y0 + hu2)− f(x0, y0)
h
se esse limite existir.
Observac¸a˜o 3.2 Comparando a definic¸a˜o 3.2 com 3.6, vemos que, se −→u = −→i = (1, 0),
enta˜o Dif = fx e se −→u = −→i = (0, 1), enta˜o Djf = fy. Em outras palavras,
as derivadas parciais de f com relac¸a˜o a x e y sa˜o casos particulares da derivada
direcional.
Outra notac¸a˜o para derivada direcional e´ a seguinte:
D−→u f(x0, y0) =
∂f
∂−→u (x0, y0).
52 3. derivadas parciais
Exemplo 3.19 Encontre a derivada de f(x, y) = x2 + xy em P (1, 2) na direc¸a˜o do vetor
−→u =
(
1√
2
−→
i +
1√
2
−→
j
)
.
Soluc¸a˜o: Observe que −→u e´ unita´rio. Assim, pela definic¸a˜o de derivada direcional, temos:
Duf(x, y) = lim
h→0
f
(
x+ h
1√
2
, y + h
1√
2
)
− f(x, y)
h
= lim
h→0
(
x+
h√
2
)2
+
(
x+
h√
2
)
·
(
y +
h√
2
)
− (x2 + xy)
h
= lim
h→0
x2 +
2xh√
2
+
h2
2
+ xy +
xh√
2
+
yh√
2
+
h2
2
− x2 − xy
h
= lim
h→0
3x√
2
+ h+
y√
2
=
3x√
2
+
y√
2
Duf(1, 2) =
3 · 1√
2
+
2√
2
=
5√
2
=
5
√
2
2
Teorema 3.7 Se f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em x e y, enta˜o f tem derivada direcional
na direc¸a˜o e sentido de qualquer vetor unita´rio −→u = u1−→i + u2−→j e
Duf(x, y) = fx(x, y)u1 + fy(x, y)u2
Prova: Se definirmos uma func¸a˜o g de uma u´nica varia´vel real h por
g(h) = f(x0 + hu1, y0 + hu2)
enta˜o, pela definic¸a˜o de derivada ordina´ria (de uma varia´vel), temos:
g′(0) = lim
h→0
g(h)− g(0)
h
= lim
h→0
f(x0 + hu1, y0 + hu2)− f(x0, y0)
h
,
ou seja,
g′(0) = Duf(x0, y0). (3.4)
Por outro lado, podemos escrever g(h) = f(x, y), onde x = x0 + hu1, y = y0 + hu2, e
assim, pela regra da cadeia, obtemos
g′(h) =
∂f
∂x
dx
dh
+
∂f
∂y
dy
dh
= fx(x, y)u1 + fy(x, y)u2
3-8. derivadas direcionais e o vetor gradiente 53
Se tomarmos h = 0, enta˜o x = x0, y = y0 e
g′(0) = fx(x0, y0)u1 + fy(x0, y0)u2. (3.5)
Comparando 3.4 e 3.5, temos que
Duf(x0, y0) = fx(x0, y0)u1 + fy(x0, y0)u2 (3.6)
Se o vetor unita´rio −→u faz um aˆngulo θ com o eixo positivo, enta˜o podemos escrever
−→u = cos θ−→i + sin θ−→j e a fo´rmula 3.6 pode ser reescrita como
Duf(x, y) = fx(x, y) cos θ + fy(x, y) sin θ (3.7)
Isto prova o teorema.
Exemplo 3.20 Determine a derivada direcional da func¸a˜o f , definida por f(x, y) =
1
x− y ; na direc¸a˜o e sentido do vetor
−→u = −12
13
−→
i +
5
13
−→
j no ponto (−1, 2).
Soluc¸a˜o: Note que, o vetor−→u e´ unita´rio, assim inicialmente devemos determinar fx(x, y)
e fy(x, y).
fx(x, y) =
∂
∂x
(
1
x− y
)
=
(x− y) · 0− 1 · 1
(x− y)2 = −
1
(x− y)2
fy(x, y) =
∂
∂y
(
1
x− y
)
=
(x− y) · 0− 1 · (−1)
(x− y)2 =
1
(x− y)2
Duf(x, y) = fx(x, y)u1 + fy(x, y)u2
Duf(x, y) = − 1
(x− y)2
(
−12
13
)
+
1
(x− y)2
(
5
13
)
Duf(x, y) =
17
13(x− y)2
Duf(−1, 2) = 17
13(−1− 2)2 =
17
13 · 9 =
17
117
54 3. derivadas parciais
3-9 Vetor Gradiente
Note que a derivada direcional pode ser escrita como o produto escalar de dois vetores.
Duf(x, y) = fx(x, y)u1 + fy(x, y)u2
= (fx(x, y)
−→
i + fy(x, y)
−→
j ) · (u1−→i + u2−→j )
= (fx(x, y)
−→
i + fy(x, y)
−→
j ) · −→u
O primeiro vetor e´ muito importante e e´ chamado de gradiente da func¸a˜o f , deno-
tado por grad f ou ∇f (leˆ-se “nabla” de f , ou “del” de f ). ∇ e´ um operador diferencial
vetorial. Sozinho, o∇ na˜o tem nenhum significado nume´rico; o significado surge quando
ele e´ aplicado a uma func¸a˜o.
Definic¸a˜o 3.7 Se f e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis x e y, o gradiente de f e´ a func¸a˜o
vetorial ∇f definida por
∇f(x, y) = ∂f
∂x
−→
i +
∂f
∂y
−→
j
Assim, podemos reescrever a expressa˜o para derivada direcional como
Duf(x, y) = ∇f(x, y) · −→u
Para func¸o˜es de treˆs varia´veis podemos definir derivadas direcionais de modo semelhante.
Definic¸a˜o 3.8 A derivada direcional de uma func¸a˜o f em (x0, y0, z0) na direc¸a˜o e sentido
do vetor unita´rio −→u = u1−→i + u2−→j + u3−→k e´
Duf(x0, y0, z0) = lim
h→0
f(x0 + hu1, y0 + hu2, z0 + hu3)− f(x0, y0, z0)
h
se o limite existir.
Teorema 3.8 Se f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em x, y e z, enta˜o f tem derivada dire-
cional na direc¸a˜o e sentido de qualquer vetor unita´rio −→u = u1−→i + u2−→j + u3−→k e
Duf(x, y, z) = fx(x, y, z)u1 + fy(x, y, z)u2 + fz(x, y, z)u3 (3.8)
A prova deste teorema e´feita de forma ana´loga a do teorema 3.8.
3-9. vetor gradiente 55
Para uma func¸a˜o f de treˆs varia´veis, o vetor gradiente, denotado por ∇f ou grad f , e´
∇f(x, y, z) = ∂f
∂x
−→
i +
∂f
∂y
−→y + ∂f
∂z
−→
k
Logo, a equac¸a˜o 3.8 pode ser reescrita como
Duf(x, y, z) = ∇f(x, y, z) · −→u
Considere uma func¸a˜o f de duas ou treˆs varia´veis e todas as possı´veis derivadas
direcionais de f em um ponto dado. Isso nos da´ a taxa de variac¸a˜o da func¸a˜o em todas
as direc¸o˜es possı´veis. Assim, podemos perguntar: Em qual dessas direc¸o˜es f varia mais
rapidamente e qual a ma´xima taxa de variac¸a˜o?
Se α for a medida em radianos do aˆngulo entre os dois vetores −→u e ∇f , enta˜o
−→u · ∇f(x, y) = |−→u ||∇f(x, y)| cosα
Assim, temos
Duf(x, y) = |−→u ||∇f(x, y)| cosα
Observe que, Duf e´ ma´xima quando cosα = 1, e isso ocorre quando θ = 0. Portanto, o
valor ma´ximo de Duf e´ |∇f | e ocorre quando −→u tem a mesma direc¸a˜o e mesmo sentido
que o vetor gradiente. Assim, o gradiente de uma func¸a˜o esta´ na direc¸a˜o e sentido em
que a func¸a˜o tem a taxa ma´xima de variac¸a˜o. Geometricamente, isso significa que a
superfı´cie z = f(x, y) tem sua inclinac¸a˜o ma´xima em um ponto (x, y) na direc¸a˜o do
gradiente e a inclinac¸a˜o ma´xima e´ |∇f |. Analogamente, podemos dizer que o valor
mı´nimo de Duf e´ −|∇f |, e este valor ocorre quando θ = pi, isto e´, quando −→u esta´
no sentido oposto a ∇f . Geoemtricamente, isso significa que a superfı´cie z = f(x, y)
tem sua inclinac¸a˜o mı´nima em um ponto (x, y) no sentido oposto ao do gradiente, e a
inclinac¸a˜o mı´nima e´ −|∇f |.
3-9.a Propriedades Alge´bricas dos Gradientes
Considere k uma constante e os gradientes
∇f = ∂f
∂x
−→
i +
∂f
∂y
−→
j +
∂f
∂z
−→
k e ∇g = ∂g
∂x
−→
i +
∂g
∂y
−→
j +
∂g
∂z
−→
k ,
o gradiente obedece as seguintes leis:
∇(kf) = k∇f (3.9)
∇(f + g) = ∇f +∇f (3.10)
∇(f − g) = ∇f −∇f (3.11)
∇(fg) = f∇g − g∇f (3.12)
∇
(
f
g
)
=
g∇f − f∇g
g2
(3.13)
56 3. derivadas parciais
Observac¸a˜o 3.3 Repare que pensando em func¸o˜es de uma varia´vel real t, temos que
∇ = d
dt
. Logo, na˜o e´ por acaso a semelhanc¸a das propriedades do gradiente com as
regras usuais de derivac¸a˜o estudadas no Ca´lculo Diferencial.
Exemplo 3.21 Seja f , uma func¸a˜o definida por f(x, y) = x2 − 4y, determine:
(a) o gradiente de f em P (−2, 2);
(b) a taxa de variac¸a˜o dos valores funcionais na direc¸a˜o de −→u = cos pi
3
−→
i + sin
pi
3
−→
j no
ponto (−2, 2).
Soluc¸a˜o:
(a) ∇f(x, y) = ∂f
∂x
−→
i +
∂f
∂y
−→
j
=
∂
∂x
(x2 − 4y)−→i + ∂
∂y
(x2 − 4y)−→j
= 2x
−→
i − 4−→j
∇f(−2, 2) = 2 · (−2)−→i − 4−→j = −4−→i − 4−→j
(b) Duf(x, y) = ∇f(x, y) · −→u
= (2x
−→
i − 4−→j ) ·
(
1
2
−→
i +
√
3
2
)
= x− 2√3
Duf(−2, 2) = −2− 2
√
3
Exemplo 3.22 Esboce o mapa de contorno da func¸a˜o f , definida no exemplo 3.21,
mostrando as curvas de nı´vel em −8, −4, 0, 4, 8. Mostre tambe´m a representac¸a˜o de
∇f(−2, 2), tendo seu ponto inicial em (−2, 2)
Soluc¸a˜o: As curvas de nı´vel desta func¸a˜o tem a forma x2 − 4y = k. Assim, temos:
k = −8 ⇒ x2 − 4y = −8 ⇒ y = x
2
4
+ 2
k = −4 ⇒ x2 − 4y = −4 ⇒ y = x
2
4
+ 1
k = 0 ⇒ x2 − 4y = 0 ⇒ y = x
2
4
k = 4 ⇒ x2 − 4y = 4 ⇒ y = x
2
4
− 1
k = 8 ⇒ x2 − 4y = 8 ⇒ y = x
2
4
− 2
3-9. vetor gradiente 57
Exemplo 3.23 O potencial ele´trico V (x, y) volts em qualquer ponto do plano xy e´
V (x, y) = e−2x cos 2y. A distaˆncia e´ medida em metros.
(a) Determine a taxa de variac¸a˜o do pontencial no ponto
(
0,
pi
4
)
, na direc¸a˜o do vetor
unita´rio cos
pi
6
−→
i + sin
pi
6
−→
j .
(b) Determine a direc¸a˜o, o sentido e o valor da taxa de variac¸a˜o ma´xima de V em
(
0,
pi
4
)
.
Soluc¸a˜o:
(a) DuV (x, y) =
[
∂
∂x
(e−2x cos 2y)
−→
i +
∂
∂y
(e−2x cos 2y)
−→
j
]
·
[√
3
2
−→
i +
1
2
−→
j
]
= −√3e−2x cos 2y − e−2x sin 2y
DuV
(
0,
pi
4
)
= −√3e−2·0 cos 2 · pi
4
− e−2·0 sin 2 · pi
4
= −1
(b) A direc¸a˜o e o sentido da variac¸a˜o ma´xima de V em
(
0,
pi
4
)
sa˜o dados pelo
vetor gradiente. Calculando-se ∇f
(
0,
pi
4
)
, temos:
∇f
(
0,
pi
4
)
= −2e−2·0 cos 2 · pi
4
−→
i − 2e−2·0 sin 2 · pi
4
−→
j
= −2−→j
Logo, a variac¸a˜o ma´xima de V se da´ na direc¸a˜o e sentido do vetor ∇f
(
0,
pi
4
)
= −2−→j e
o valor da taxa de variac¸a˜o ma´xima de V e´
∣∣∣∇f (0, pi
4
)∣∣∣ = 2 volts/m
58 3. derivadas parciais
Exercı´cios
1. Determine a derivada direcional de f em P na direc¸a˜o de −→u .
(a) f(x, y) = x2 − 3xy + 4y3; P (−2, 0); −→u = −→i + 2−→j
(b) f(x, y) = y2 lnx; P (1, 4); −→u = −3−→i + 3−→j
(c) f(x, y) = ex cos y; P
(
0,
pi
4
)
; −→u = 5−→i − 2−→j
2. Determine a derivada direcional de f em P na direc¸a˜o de um vetor que faz no
sentido anti-hora´rio um aˆngulo θ com o eixo x positivo.
(a) f(x, y) =
x− y
x+ y
; P (−1,−2); θ = pi
2
(b) f(x, y) =
√
5x− 4y; P (4, 1); θ = −pi
6
(c) f(x, y) = tan(2x+ y); P
(pi
6
,
pi
3
)
; θ =
7pi
4
3. Determine o vetor unita´rio na direc¸a˜o do qual f cresce mais rapidamente em P e
determine a taxa de variac¸a˜o de f em P nesta direc¸a˜o.
(a) f(x, y) = x2y + exy sin y; P (1, 0)
(b) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 − 1) + y + 6z; P (1, 1, 0)
4. Determine o vetor unita´rio na direc¸a˜o do qual f decresce mais rapidamente em P e
determine a taxa de variac¸a˜o de f em P nesta direc¸a˜o.
(a) f(x, y) =
x
y
− yz; P (4, 1, 1)
(b) f(x, y, z) = xey + z2; P
(
1, ln 2,
1
2
)
5. Se um potencial ele´trico em um ponto (x, y) do plano xy e´ V (x, y) enta˜o o vetor de
intensidade ele´trica em um ponto (x, y) e´E = −∇V (x, y). Suponha que V (x, y) =
e−2x cos 2y.
(a) Determine o vetor de intensidade ele´trica em
(pi
4
, 0
)
.
(b) Mostre que, em cada ponto do plano, o potencial ele´trico decresce mais rapi-
damente na direc¸a˜o e sentido do vetor E.
6. Sobre uma certa montanha, a elevac¸a˜o z em km acima de um ponto (x, y) em
um plano xy ao nı´vel do mar e´ z = 200 − 2x2 − 4y2. O eixo x positivo aponta
para o leste, e o eixo y positivo aponta para norte. Um escalador esta´ no ponto
(−20, 5, 1100).
(a) Se o escalador usar uma bu´ssula para caminhar em direc¸a˜o ao oeste, ele vai
comec¸ar a subir ou descer? A que taxa?
(b) Em qual direc¸a˜o da bu´ssula o escalador deve comec¸ar a andar para trilhar um
caminho plano (duas respostas)?
3-10. planos tangentes 59
3-10 Planos Tangentes
Seja S a superfı´cie de equac¸a˜o F (x, y, z) = 0 e suponha que P (x0, y0, z0) seja um ponto
sobre S. Suponha ainda que C seja uma curva em S que passa pelo ponto P e que um
conjunto de equac¸o˜es parame´tricas de C seja
x = x(t), y = y(t) e z = z(t),
onde o valor do paraˆmetro t no ponto P e´ t0. A curva C e´ descrita pela func¸a˜o −→r (t) =
x(t)
−→
i + y(t)
−→
j + z(t)
−→
k .
Como C pertence a S, qualquer ponto (x(t), y(t), z(t)) precisa satisfazer a equac¸a˜o de S,
ou seja,
F (x(t), y(t), z(t)) = 0 (3.14)
Se x, y e z sa˜o diferencia´veis como func¸o˜es de t e F tambe´m e´ diferencia´vel, podemos
usar a regra da cadeia para diferenciar ambos os lados da equac¸a˜o 3.14. Assim, temos:
∂F
∂x
dx
dt
+
∂F
∂y
dy
dt
+
∂F
∂z
dz
dt
= 0 (3.15)
Note que,∇F (x, y) = ∂F
∂x
−→
i +
∂F
∂y
−→
j +
∂F
∂z
−→
k e
−→
r′ (t) =
dx
dt
−→
i +
dy
dt
−→
j +
dz
dt
−→
k . Assim,
a equac¸a˜o 3.15 pode ser escrita como
∇F · −→r′ (t) = 0
Quando t = t0, temos −→r (t0) = x0−→i + y0−→j + z0−→k , e assim, temos
∇F (x0, y0, z0) ·
−→
r′ (t0) = 0
Sabemos que
−→
r′ (t0) tem a mesma direc¸a˜o que um vetor tangente a` curva C em P . Logo,
pela equac¸a˜o