Buscar

Primeira Prova Algebra Vetorial.

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 4 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

1
DISCIPLINA: Álgebra Vetorial e GeometriaAnalítica PERÍODO: 2013.1CURSO: Ciências exatas e engenharias TURNO: diurnoPROFESSOR: Diogo de Santana Germano
Respostas da Avaliação 1
1. Note que ~u · ~v = |~u||~v | cos 60o = 2.4.12 = 4.
Daí, proj~u ~v = ~v · ~u|u|2 ~u = 422 ~u = ~u. Logo, sabendo que ~w é ortogonala ~u e ~v , ou seja, ~w · ~v = ~w · ~u = 0, obtemos|proj~u~v − 3~v + 4~w|2 = |~u− 3~v + 4~w|2= |~u− 3~v |2 + 2(~u− 3~v ) · (4~w) + |4~w|2= |~u|2 + 9|~v |2 + 16|~w|2 − 6~u · ~v + 8~u · ~w − 24~v · ~w= |~u|2 + 9|~v |2 + 16|~w|2 − 6~u · ~v= 4 + 6.16 + 16.1− 6.4= 140
Portanto, | proj~u ~v − 3~v + 4~w| = √140.2. (a) O quadrilátero é um paralelogramo pois−→AB = (0, 1, 0) = −→DC e −→AC = (0, 0, 1) = −→BD
isto é, os lados opostos são iguais.(b) Como −→AB ×−→AC =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k0 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣ = (1, 0, 0)a área do paralelogramo é
A = |−→AB ×−→AC | =√12 + 02 + 02 = 1.
2
3. Temos
(~u, ~v, ~w) =
∣∣∣∣∣∣
2 1 00 1 02 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2.
Logo, o volume do paralelepípedo determinado por ~u, ~v e ~w é
V = |(~u, ~v, ~w)| = 2.
Além disso,
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k2 1 00 1 0
∣∣∣∣∣∣ = (0, 0, 2),
ou seja, a área do paralelogramo determinado por ~u e ~v é
A = |~u× ~v | =√02 + 02 + 22 = 2.
Como A é a área da base do paralelepípedo de volume V , e A = V =2 concluímos que o paralelepípedo tem altura medindo 1.4. (a) Temos |~w|2 = |~u+ λ~v |2 = |~u|2 + 2λ~u · ~v + λ2|~v |2.Como |~w| = 9, |~u| = √5, ~v = 2 e ~u · ~v = 0, obtemos
92 = 5 + 22λ2 ⇒ λ = ±√19.
Daí, os vetores são ~w = ~u±√19~v .Para descobrir as coordenadas dos vetores, se estivermosno plano R2, note que os vetores ~w têm extremidade nacircunferência de raio 9, conforme a figura:
3
Logo, as coordenadas de ~w satisfazem a seguinte equação dacircunferência: x2 + y2 = 92donde, x = ±√81− y2. Portanto, os vetores são ~w =(±√81− y2, y), y ∈ R. Analogamente, se estivermos no espaço
R3, os vetores ~w terão extremidades na esfera centrada naorigem de raio 9: x2 + y2 + z2 = 92ou seja, x = ±√81− y2 − z2. Portanto, os vetores seriam~w = (±√81− y2 − z2, y, z), y, z ∈ R.(b) Suponha que para qualquer λ ∈ R tenhamos ~w = ~u+ λ~v . Então,~w = ~u+ λ~v~w · ~u = ~u · ~u+ λ~v · ~u~w · ~u = 5.Logo, não pode existir λ ∈ R que torne ~w perpendicular a ~u e~v , pois para qualquer número λ sempre teremos ~w · ~u = √5 6= 0.5. Sendo ~u = (1, 1, 1) e ~v = (2, 1− 3) temos
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k1 1 12 1 −3
∣∣∣∣∣∣ = (−4, 5,−1).
que é ortogonal a ~u e ~v . Como |~u × ~v | = √16 + 25 + 1 = √42, oversor de ~u× ~v é o vetor unitário ~u× ~v|~u× ~v | . Logo, um vetor de módulo2 simultaneamente ortogonal a ~u e ~v é o seguinte:
~w = 2 ~u× ~v|~u× ~v | = 2√42(−4, 5,−1).
Agora, observe que o ângulo entre ~w e ~b = (1, 0, 1) é igual ao ânguloentre ~u× ~v e ~b (~w e ~u× ~v são paralelos). Daí, sendo θ este ângulo,temos
cosθ = (~u× ~v ) · ~b|~u× ~v ||~b| = (−4, 5,−1) · (1, 0, 1)|(−4, 5,−1)||(1, 0, 1)| = −4 + 0− 1√42√2 = − 5√84.Mas, isto significa que θ é um ângulo obtuso. Portanto, para queθ seja um ângulo agudo, basta considerar o vetor −~u × ~v e o vetorprocurado é ~w1 = − 2√42(−4, 5,−1).
4

Outros materiais