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brendacastro – PRINCÍPIOS DE MATEMATICA 1º PERÍODO ENG.Q.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
O surgimento do conjunto dos números naturais deveu-se a necessidade de se contarem os objetos; os outros conjuntos, foram surgindo, por necessidade.
naturais
 = {0, 1, 2, 3, 4, ..., n, ...}
Em que n representa o elemento genérico do conjunto.
O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito.
Subconjuntos dos Números Naturais
N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero.
Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos.
inteiros
O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z):
Subconjuntos dos Números Inteiros
Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero.
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N.
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero.
Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos.
Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.
racionais
O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem ser escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0.
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}
Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q.
Subconjuntos dos Números Racionais
Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero.
Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero.
Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero.
irracionais
O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040...
Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas são números decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,3333333...
reais
O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R.
Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da mesma maneira, se ele é irracional, não é racional.
Subconjuntos dos Números Reais
R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
R*– = {x ∈ R│x
intervalos
Há ainda um subconjunto relacionado com os números reais que são chamados de intervalos. Sejam a e b números reais e a intervalos reais:
Intervalo aberto de extremos: ]a,b[ = {x ∈ R│a
Intervalo fechado de extremos: [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}
Intervalo aberto à direta (ou fechado à esquerda) de extremos: [a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x
Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de extremos: ]a,b] = {x ∈ R│a
limite superior
Seja S um conjunto de número reais, se houver em S um número real A ∈ R tal que qualquer elemento desse subconjunto é menor ou igual a A, dizemos que esse conjunto está limitado superiormente. Matematicamente, podemos expressar isso da seguinte maneira: ∀x ∈S ⇒x ≤ A. Se o conjunto S não possui um limite superior (majorante), dizemos que ele é não limitado superiormente.
O menor elemento entre os majorantes do conjunto S (se existir) é chamado de supremo e é representado por supS.
Se um conjunto S possui pelo menos um majorante, então existirão outros infinitos elementos maiores que esse número que também serão classificados como majorantes.
Seja S um conjunto de número reais onde ∃ A ∈ R tal que ∀ x ∈S ⇒x ≤ A, dizemos que A é um majorante do conjunto S. Em outras palavras, se existir um número real A tal que qualquer número escolhido do conjunto S é menor ou igual a ele, então podemos afirmar esse conjunto está limitado superiormente.
Por exemplo, suponha que você possui o seguinte conjunto de números reais, S: {1, -1/4, 1/9, 1/16 . . .}. Podemos observar que existe um número real A igual a 1 nesse conjunto e que qualquer outro elemento de S é menor ou igual a ele. Portanto, podemos dizer que esse conjunto está limitado superiormente.
limite inferior
Seja S um conjunto de número reais, se houver em S um número real B ∈ R tal que qualquer elemento desse subconjunto é maior ou igual a B, dizemos que esse conjunto está limitado inferiormente. Matematicamente, podemos expressar isso da seguinte maneira: ∀x ∈S ⇒x ≥B. Se o conjunto S não possui um limite inferior (minorante), dizemos que ele é não limitado inferiormente.
O maior elemento entre os minorantes do conjunto S (se existir) é chamado de ínfimo e é representado por infS.
Se um conjunto S possui pelo menos um minorante, então existirão outros infinitos elementos menores que esse número que também serão classificados como minorantes.
Seja S um conjunto de número reais onde ∃ B ∈ R tal que ∀ x ∈ S ⇒x ≥ B, dizemos que B é um minorante do conjunto S. Em outras palavras, se existir um número real B tal que qualquer número escolhido do conjunto S seja maior ou igual a ele, então podemos afirmar que esse conjunto está limitado inferiormente.
No exemplo acima, podemos observar que existe um número real B igual a -1/4 nesse conjunto e que qualquer outro elemento de S é maior ou igual a ele. Portanto, podemos dizer que esse conjunto está limitado inferiormente.
supremo
Se existir um menor elemento entre os majorantes do conjunto, então esse será chamado de supremo e será representado por supS.
No exemplo acima, podemos observar que qualquer número acima de 1 pode ser um majorante; no entanto, 1 é o menor entre eles. Portanto, 1 é o supremo desse conjunto: supS = 1.
ínfimo
Se existir um maior elemento entre os minorantes do conjunto, então esse será chamado de ínfimo e será representado por infS.
No exemplo acima, podemos observar que qualquer número menor que -1/4 pode ser um minorante; no entanto -1/4, é o maior entre eles. Portanto, -1/4 é o ínfimo desse conjunto: infS = -1/4.
máximo
Um número a é considerado o maior elemento de um conjunto S se a ∈S ⋀x ∈S ⇒x ≤ a. Em outras palavras, se escolhermos um determinado número a de um conjunto e o compararmos com os outros elementos, caso qualquer outro elemento do conjunto seja menor ou igual a a, então podemos afirmar que esse número é o maior elemento do conjunto (também chamado de máximo).
No exemplo acima, podemos observar que existe um elemento do conjunto que obedece essas condições: é o número 1. Portanto, 1 é o máximo do conjunto.
mínimo
Um número b é considerado o menor elemento de um conjunto S se b ∈S ⋀x ∈S ⇒x ≥ b. Em outras palavras, se escolhermos um determinado número b de um conjunto e o compararmos com os outros elementos, caso qualquer outro valor do conjunto seja maior ou igual a b, então podemos afirmar que esse número é o menor elemento do conjunto (também chamado de mínimo).
No exemplo acima, podemos observar que existe um elemento do conjunto que obedece a essas condições: é o número -1/4. Portanto, -1/4 é o mínimo do conjunto.
Os elementos máximo e mínimosão também conhecidos como extremos do conjunto.
Se o supremo e o ínfimo de conjunto existirem, eles serão sempre únicos. A existência do supremo e do ínfimo de um conjunto não-vazio limitado superiormente e inferiormente é garantida pelo axioma da completude em R: esse axioma afirma que todo conjunto não-vazio limitado superiormente possui um supremo e que todo conjunto não-vazio limitado inferiormente possui um ínfimo.
O supremo e o ínfimo de um determinado conjunto não fazem necessariamente parte dele; essa é uma das razões para que você precise também determinar o máximo e o mínimo do conjunto.