aula 1

Prévia do material em texto

Transformações Lineares
Definição e Exemplos
Estudaremos um tipo especial de função (ou aplicação)
onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais.
Assim, tanto a variável independente quanto a variável
dependente são vetores, razão pela qual essas funções são
chamadas funções vetoriais ou transformações vetoriais.
Introdução
Introdução
Denotamos
uma transformação linear do espaço vetorial V no
espaço vetorial W, que a cada vetor associa um
único vetor
v V
  .w f v W 
:f V W
Exemplo 1:
   2 3Seja : tal que , 3 , 2 , .f f x y x y x y   
     No caso de ser 2,1 , tem-se 2,1 6, 2,1 .v w f   
Transformações Lineares     
   
Sejam e espaços vetoriais. Uma aplicação : é 
chamada transformação linear de em , se
I) 
II) 
para quaisquer , e para todo .
V W f V W
V W
f u v f u f v
f u f u
u v V
 


  

 
Nas condições I e II, temos que
Observações
     
   
a) 
)
c) 
d) .
u v V
b f u v f u f v W
u V
f u f u W

 
 
   

 
Observações
Observações
Uma transformação linear de V em V (é o
caso em que V = W) é chamada operador linear
sobre V.
Exemplo 2:
   2 3Mostre que : tal que , 3 , 2 , é uma 
transformação linear.
f f x y x y x y   
Exemplo 3:
 Mostre que : definida por 3 é uma
transformação linear.
f f x x 
Exemplo 4:
 
     
   
 transformação identidade : definida por 
é uma transformação linear de pois
I) 
II) 
para quaisquer , e para todo .
A I V V I v v
V
I u v u v I u I v
I u u I u
u v V
  

 
    
 
 
Exemplo 5:
 A transformação : tal que 0, para todo 
é uma transformação linear de em , pois...
f V W f v v V
V W
  
Exemplo 6:
 
2 3
Seja uma matriz de ordem 3 2. Essa matriz determina 
a tranformação
:
ou que é linear. De fato:
A
A
A x
f
v Av
f v Av


   
2 1
Observamos que, se 3 4 e então,
5 0
e, portanto, , 2 ,3 4 ,5 .A
x
A v
y
Av
f x y x y x y x
 
      
   

  
Exemplo 6:
Ou seja, a matriz A determinou uma transformação linear
do vetor v=(x,y) no vetor (2x-y, 3x+4y, 5x).
Exemplo 6:
  1
1
De forma genérica, toda matriz determina uma transformação
linear, denominada multiplicação por , : onde a 
imagem é o produto da matriz pelo vetor coluna ,
ou seja, 
mxn
n m
A
A mxn nx
mxn nx
A
A f
f v A v
A xv

    
1
= . AmxAv f v
Exemplo 7:
   2 2 2A transformação : definida por , ,3
não é uma transformação linear.
f f x y x y 
Interpretação Geométrica    
       
   
2 2Consideremos o operador linear :
definido por , 3 , 2 3 . Se
1,1 e 0,1 , tem-se 4,1 e 
1,3 .
f
f x y x y x y
u v f u
f v

   
   

Interpretação Geométrica
f preserva a adição de vetores...
Interpretação Geométrica
f preserva a multiplicação de um vetor por um escalar...
Propriedades:
 ) Se : é uma transformação linear, então 0 0 .
De fato, ...
V WI f V W f 
Voltando ao exemplo 7:
   
   
2 2 2A transformação : definida por , ,3
não é uma transformação linear embora 0,0 = 0,0 .
f f x y x y
f
 
Se f é uma transformação linear, então f(0) = 0, mas
pode existir uma transformação com f(0) = 0 que não
seja linear, como mostra o exemplo anterior. Se f(0) ≠
0 então a transformação não é linear.
Exemplo 8:
   
     
3 2A transformação : definida por , , 2 3,3 4
não é uma transformação linear porque 0,0,0 = 3,0 0,0 .
f f x y z x x z
f
   

Propriedades:
     1 1 1 1
1 1
) Se : é uma transformação linear, então 
... ... ,
para quaisquer ,... e ,..., .
n n n n
n n
II f V W
f a v a v a f v a f v
v v V a a

    
 
Propriedades:
 
     
1
1 1 1
1 1 1 1
Seja ,..., uma base para . Então, para todo , existem
 
,..., tal que ... e, pela linearidade da , temos 
... ...
n
n n n
n n n n
B v v V v V
a a v a v a v f
f a v a v a f v a f v
 
   
    
     1 1Sempre que forem dados os vetores ,..., onde ,...,
 
é uma base para o domínio a transformação linear está bem definida.
n nf v f v v v
V
Exercício 1:
      
           
 
 
3 2
1 2 3
3
1 2 3
Seja : uma transformação linear e 0,1,0 , 1,0,1 , 1,1,0
uma base do . Sabendo que 1,2 , 3,1 e 0,2 , determinar:
a) 5,3, 2
b) , ,
f B v v v
f v f v f v
f
f x y z
    
   

Exercício 2:
   
     
2 2Seja : um operador linear definido por 1,0 2, 3 
e 0,1 4,1 . Determinar , .
f f
f f x y
  
 
Exercício 3:
   
   
 
3 3
3
3
Seja : um operador linear definido por 
, , 2 2 , 2 , 4 .
) Determinar o vetor tal que 1,8, 11 .
) Determinar o vetor tal que .
f
f x y z x y z x y z x y z
a u f u
b v f v v

       
   
 