Transformações Lineares Planas

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Transformações Lineares Planas
Reflexão
Dilatação ou Contração
Cisalhamento
Rotação
Conceito
Uma transformação linear plana é uma função
linear cujos domínio e contradomínio constituem o
2 .
Reflexão
Uma reflexão em relação ao eixo dos x leva cada
vetor (x, y) para a sua imagem (x, -y), simétrica
em relação ao eixo dos x.
Reflexão
   2 2: ; , ,f f x y x y  
Reflexão
Amatriz canônica desta transformação é:
logo:
1 0
.
0 1
x x
y y
     
           
1 0
0 1
A
 
   
Reflexão
Uma reflexão em relação ao eixo dos y leva cada
vetor (x, y) para a sua imagem (-x, y), simétrica
em relação ao eixo dos y.
Reflexão
   2 2: ; , ,f f x y x y  
Reflexão
Amatriz canônica desta transformação é:
logo:
1 0
.
0 1
x x
y y
      
     
     
1 0
0 1
A
 
  
 
Reflexão
Uma reflexão em relação à origem leva cada vetor
(x, y) para a sua imagem (-x, -y).
Reflexão
   2 2: ; , ,f f x y x y   
Reflexão
Amatriz canônica desta transformação é:
logo:
1 0
.
0 1
x x
y y
      
           
1 0
0 1
A
 
   
Reflexão
Uma reflexão em relação à reta y = x leva cada
vetor (x, y) para a sua imagem (y, x).
Reflexão
   2 2: ; , ,f f x y y x 
Reflexão
Amatriz canônica desta transformação é:
logo:
0 1
.
1 0
y x
x y
     
     
     
0 1
1 0
A
 
  
 
Reflexão
Uma reflexão em relação à reta y = -x leva cada
vetor (x, y) para a sua imagem (-y, -x).
Reflexão
   2 2: ; , ,f f x y y x   
Reflexão
Amatriz canônica desta transformação é:
logo:
0 1
.
1 0
y x
x y
      
           
0 1
1 0
A
 
   
Dilatação ou contração
Uma dilatação ou contração na direção do vetor
leva cada vetor (x, y) para a sua imagem (x, y),
para  número real.
Dilatação ou contração
   2 2: ; , , ,f f x y x y    
Dilatação ou contração
Amatriz canônica desta transformação é:
logo:
0
.
0
x x
y y
 
 
     
     
     
0
0
A


 
  
 
Dilatação ou Contração
Observe que:
Se || > 1, f dilata o vetor;
Se || < 1, f contrai o vetor;
Se  = 1, f é a identidade;
Se  < 0, f muda o sentido do vetor.
Dilatação ou contração
Uma dilatação ou contração na direção do eixo
dos x leva cada vetor (x, y) para a sua imagem
(x, y), para  número real maior ou igual a 0.
Dilatação ou contração
   2 2: ; , , , 0f f x y x y   
Dilatação ou contração
Amatriz canônica desta transformação é:
logo:
0
.
0 1
x x
y y
      
     
     
0
0 1
A
 
  
 
Dilatação ou Contração
Observe que:
Se  > 1, f dilata o vetor;
Se 0   < 1, f contrai o vetor.
Dilatação ou contração
Uma dilatação ou contração na direção do eixo dos
y leva cada vetor (x, y) para a sua imagem (x, y),
para  número real maior ou igual a 0.
Dilatação ou contração
   2 2: ; , , , 0f f x y x y   
Dilatação ou contração
Amatriz canônica desta transformação é:
logo:
1 0
.
0
x x
y y 
     
     
     
1 0
0
A

 
  
 
Dilatação ou Contração
Observe que:
Se  > 1, f dilata o vetor;
Se 0   < 1, f contrai o vetor.
Dilatação ou contração
Na dilatação ou contração na direção do eixo dos
x, se  = 0, obteríamos f(x, y) = (0, y) e f seria a
projeção do plano sobre o eixo dos y:
Dilatação ou contração
Na dilatação ou contração na direção do eixo dos
y, se  = 0, obteríamos f(x, y) = (x, 0) e f seria a
projeção do plano sobre o eixo dos x:
Cisalhamento
Um cisalhamento na direção do eixo dos y leva cada
vetor (x, y) para a sua imagem (x, x + y).
Cisalhamento
   2 2: ; , ,f f x y x x y  
Cada ponto (x, y) se desloca paralelamente ao eixo dos x até chegar
em (x, x + y), com exceção dos pontos do próprio eixo x, que
permanecem na sua posição, pois para eles, y = 0.
Cisalhamento
Amatriz canônica desta transformação é:
logo:
1
.
0 1
x y x
y y
      
     
     
1
0 1
A
 
  
 
Cisalhamento
Um cisalhamento na direção do eixo dos x leva cada
vetor (x, y) para a sua imagem (x,  x + y).
Cisalhamento
   2 2: ; , ,f f x y x x y  
Cada ponto (x, y) se desloca
paralelamente ao eixo dos y até
chegar em (x, x + y), com
exceção dos pontos do próprio
eixo y, que permanecem na sua
posição, pois para eles, x = 0.
Cisalhamento
Amatriz canônica desta transformação é:
logo:
1 0
.
1
x x
x y y 
     
          
1 0
1
A

 
  
 
Rotação
Uma rotação de um ângulo 
em torno da origem do sistema
de coordenadas determinado
pela base canônica, é uma
transformação linear leva cada
vetor (x, y) para a sua imagem
f(x, y) = (x’, y’).
Rotação
Seja
tal que
1 2v xe ye 
     1 2f v xf e yf e   
Rotação
   
   
1
2
cos ,
,cos
f e sen
f e sen


 
 

 
Rotação
Substituindo essas informações na primeira equação...
       
   
 
', ' cos , ,cos
cos , , cos
cos , cos
f v x y x sen y sen
x xsen ysen y
x ysen xsen y
    
   
   
   
  
  
Rotação
A matriz canônica desta transformação é
logo:
cos
cos
sen
T
sen

 
 
 
  
 
' cos
' cos
x sen x
y sen y
 
 
     
     
     
Exercício 1
Determinar a matriz da transformação linear f que
representa um cisalhamento de fator 2 na direção
horizontal seguida de uma reflexão em relação ao eixo
dos y.
Exercício 2
Sabendo que e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1), calcular as imagens
f(e1) e f(e2) pela rotação do plano de um ângulo  = 30°.
Exercício 3
Dado o vetor v = (4, 2), calcular a imagem f(v) pela
rotação do plano de um ângulo  = 90°.