Revisão Álgebra Linear 1

Prévia do material em texto

Revisão para a Segunda Avaliação de Álgebra Linear 
 
 
1. Sejam 
      1,0,1 , 1,1,0 , 0,1,1A 
e 
      0,0,1 , 1, 1,1 , 0,1, 1B   
 bases do 3 . 
Determine: 
 
a) A matriz mudança de base de 
 para A B
; 
b) 
 
B
v
 sabendo que  
2
1
2
A
v
 
  
 
  
 
c) 
 
A
v
 sabendo que  
5
1
2
B
v
 
 
 
  
. 
 
2. Sejam 3V  e 
   1 1 1 2 2 2, , ,v x y v x y V  
. Definimos 
 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2, 2v v x x x y x y y y    
 um produto interno em 
V
. 
 
a) Mostre que 

é um produto interno em 
V
; 
b) Determine 
m
a fim de que os vetores 
   1 ,2 e 3, 1m m 
 sejam 
ortogonais; 
c) Determine todos os vetores de 
V
ortogonais a 
 2,1
; 
d) Determine todos os vetores 
 , 1m m
de norma igual a 
1.
 
 
3. Seja 
      1 2 31,0,1 , 1,0, 1 , 0,3,4A v v v    
 uma base do 3 . 
 
a) Mostre que 
  1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2, , , , 2 4x y z x y z x x y y z z  
 é um produto 
interno no 3 . 
b) Utilize o processo de ortogonalização de Gram- Schmidt para obter uma 
base ortogonal 
B
 a partir da base 
A
, com relação ao produto interno 
definido em (a). 
c) Determine o ângulo entre 
1 2 e v v
com relação ao produto interno definido 
em (a). Em seguida, determinar o ângulo entre estes mesmos vetores com 
relação ao produto interno usual. 
 
4. Seja 
    3,4 , 1,2A 
 uma base do 2 . Determine: 
 
a) Uma base ortogonal 
B
 utilizando processo de ortogonalização de Gram- 
Schmidt. 
b) Uma base ortonormal 
 de C B
. 
 
5. Uma transformação linear 
2 3:f 
é tal que 
   1,1 3,2,1f  
 e 
   0,1 1,1,0f 
. Com base nestas informações determine: 
 a) 
 ,f x y
; 
b) Por definição, uma função 
:g A B
 é dita injetora se, para quaisquer 
,x y A
 distintos, temos que 
   g x g y
. Ou, equivalentemente, 
g
 é 
injetora se 
   g x g y
 implica que 
x y
. Mostre que uma aplicação linear 
:f V W
 é injetora se, e somente se, 
  0VN f 
. 
c) A aplicação 
f
determinada no item (a) é injetora? Justifique sua resposta. 
 d) Por definição, uma função 
:g A B
 é dita sobrejetora se, para todo 
y B
existe um elemento 
x A
 tal que 
 g x y
. Com isso, responda: a 
aplicação 
f
determinada no item (a) é sobrejetora? Justifique sua resposta. 
 
 
6. Seja a transformação linear 
2 3:T 
dada por 
   , 2 , 3 , 2T x y x y x y y   
 e 
as bases 
    1,1 , 2,1A  
e 
      0,0,1 , 0,1, 1 , 1,1,0B  
. Determine 
 
A
B
T
. 
 
7. Verifique se o operador 
2 2:f 
 definido por 
   , 4 3 , 2 2f x y x y x y   
é 
inversível. Em caso afirmativo, determine sua inversa.