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Autovalores e Autovetores 
Lista de Exercícios 1 
 
1. Verifique, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores 
próprios das correspondentes matrizes, 
a) 
 
2 2
2,1 e 
1 3
v A
 
    
 
 
b)  
1 1 1
1,1,2 e 0 2 1
0 2 3
v A
 
  
 
  
 
c)  
1 1 0
2,1,3 e 2 3 2
1 2 1
v A
 
   
 
  
 
 
2. Determine os autovalores e os autovetores das transformações lineares a 
seguir: 
a) 
   2 2: , , 2 , 4f f x y x y x y    
; 
b) 
   2 2: , , 2 2 , 3f f x y x y x y   
; 
c) 
   2 2: , , 5 , 3f f x y x y x y   
; 
d) 
   2 2: , , ,f f x y y x  
; 
e) 
   3 3: , , , ,2 ,2 3f f x y z x y z y z y z     
; 
f) 
   3 3: , , , , 2 ,2 2f f x y z x x y x y z     
; 
g) 
   3 3: , , , , ,f f x y z x y y z  
. 
 
3. Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores das matrizes 
dadas a seguir: 
a) 
1 3
1 5
A
 
   
 
b) 2 1
3 4
A
 
  
 
 
c) 
3 3 2
0 1 0
8 6 5
A
 
  
 
  
 
d) 
0 0 2
0 1 0
2 0 0
A
 
  
 
  
 
 
4. Verificar se a matriz 
A
 é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz 
P
 que diagonaliza 
A
 e calcular 1P AP . 
a) 2 4
3 1
A
 
  
 
 
b) 9 1
4 6
A
 
  
 
 
c) 5 1
1 3
A
 
  
 
 
d) 
1 2 1
1 3 1
0 2 2
A
 
  
 
  
 
e) 
1 0 0
2 3 1
0 4 3
A
 
   
 
  
 
 
5. Seja o operador 
   2 2: definido por , 7 4 , 4f f x y x y x y    
: 
a) Determine uma base do 2 em relação a qual a matriz de 
f
 é diagonal; 
b) Calcule a matriz de 
f
 nessa base. 
 
6. Para cada uma das matrizes simétricas 
A
, determine uma matriz ortogonal 
P
 para a qual 1P AP seja diagonal. 
a) 3 1
1 3
A
 
   
 
b) 
1 0 1
0 1 0
1 0 1
A
 
  
 
  
 
 
7. Determinar uma matriz 
P
que diagonaliza 
A
 ortogonalmente e calcular 
1P AP
. 
a) 5 3
3 5
A
 
  
 
 
b) 
0 0 2
0 1 0
2 0 0
A
 
  
 
  
 
Respostas: 
1) a) sim; b) sim; c) não. 
2) a) 
   1 1 2 23, 1,1 ; 2, 2,1v y v y    
 
b) 
   1 1 2 21, 2,1 ; 4, 1,1v y v x     
 
c) 
 1 2 4, 1,1v x   
 
d) não exitem; 
e) 
   1 2 3 31, , , ; 4, 1,1,2v x y y v x       ; 
f) 
     1 1 2 2 3 31, 3, 3,1 ; 1, 0, 3,1 ; 2, 0,0,1v z v z v z          ; 
g) 
 1 2 3 1, ,0, , e não simultaneamente nulosv x z x y     . 
3) a) 
   1 1 2 24, 1,1 ; 2, 3,1 ; v x v y    
 
b) 
   1 1 2 25, 1,3 ; 1, 1,1v x v y     
; 
d) 
     1 1 2 2 3 31, 0, ,0 ; 2, 1,0,1 ; 2, 1,0,1v y v z v z           
4) a) 
1
4
5 01
 e 3
0 2
1 1
P P AP
 
         
 
; 
b) 
1
1 1 10 0
 e 
1 4 0 5
P P AP
   
       
; 
c) 
A
 não é diagonalizável; 
d) 1
0 2 1 1 0 0
1 1 0 e 0 3 0
2 2 1 0 0 2
P P AP
   
    
   
      
 
5) a) 
    2,1 , 1,2  
; 
b) 9 0
0 1
 
  
 
6) a) 
1 1
2 2
1 1
2 2
P
 
 
 
 
 
 
; 
b) 
1 1
0
2 2
0 1 0 
1 1
0
2 2
P
 
 
 
  
 
 
  
.