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Slides de Aula Unidade II (1)

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Unidade II
ÁLGEBRA
Profa. Isabel Espinosa
O ã l i d i ã i t
Operações
Operação ou lei de composição interna
A: conjunto não vazio
* : A x A  A
f(x,y) = x * y
(x,y)  x * y
Operações
Exemplo 1:
Operação aditiva em IN
+ : IN x IN  IN
(x,y)  x + y
Exemplo 2:
Operação multiplicativa em IN
• : IN x IN  IN : IN x IN  IN
(x,y)  x • y
Operações
Exemplo 3:
Operação potenciação em Z
f : Z x Z  Z
(x,y)  f(x,y) = xy
Exemplo 4:
Operação divisão em IR
f : IR x IR* IR
(x y)  f(x y) = x(x,y)  f(x,y) = y
Propriedade associativa
*“*” lei de composição interna em A
Exemplo 1:
* associativa  a * (b * c) = (a * b) * c
 a, b, c  A
Exemplo 1:
IN com a operação aditiva, é associativa
x + (y + z) = (x + y) + z  x y z  IN
+ : IN x IN  IN
(x,y)  x + y
x + (y + z) = (x + y) + z ,  x, y, z  IN 
Propriedade associativa
E l 2Exemplo 2:
A multiplicação em IN é associativa
• : IN x IN  IN
(x,y)  x • y
( ) ( ) IN
Exemplo 3:
x • (y • z) = (x • y) • z ,  x, y, z  IN 
Z, IR, C, Mmxn (IR) com a operação 
aditiva usual associativa.
Propriedade associativa
E l 4Exemplo 4:
Operação divisão em IR
f : IR x IR* IR
(x,y)  f(x,y) = xy
Não é associativa, pois, por exemplo
f(50,f(10,5)) = f(50, 2) = 25
≠
10
5
f(f(50,10),5) = f(5, 5) = 1
Propriedade associativa
Exemplo 5:
Operação * em IR, dada por
é associativa devemos mostrar que:
* : IR x IR  IR
(x,y)  x * y = x + y + x y 
é associativa, devemos mostrar que:
(x * y) * z = x * ( y * z) 
Propriedade associativa
* IR IR IR
(x * y) * z = 
= (x + y + x y) * z = 
= (x + y + x y) + z + (x + y + x y) z =
* : IR x IR  IR
(x,y)  x * y = x + y + x y 
= (x + y + x y) + z + (x + y + x y) z =
= x + y + x y + z + x z + y z + x y z
x *( y * z) = 
= x * (y + z + y z) = 
= x + (y + z + y z ) + x (y + z + y z) = x (y z y z ) x (y z y z) 
= x + y + z + y z + x y + x z + x y z
Propriedade comutativa
*“*” lei de composição interna em A
* comutativa  a * b = b * a,  a, b  A 
Propriedade comutativa
E l 1Exemplo 1:
Operação divisão em IR
f : IR x IR* IR
(x,y)  f(x,y) = xy
Não é comutativa, pois, por exemplo
f(10,5) = = 2
≠
f(5 10) 0 5
10
5
5f(5,10) = = 0,55
10
Propriedade comutativa
Exemplo 2:
Operação * em IR, dada por
é comutativa devemos mostrar que:
* : IR x IR  IR
(x,y)  x * y = x + y + x y 
é comutativa, devemos mostrar que:
(x * y) = ( y * x) 
Propriedade comutativa
* : IR x IR  IR
(x,y)  x * y = x + y + x y 
(x * y) = x + y + x y 
=
( y * x) = y + x + y x
Propriedade comutativa
Exemplo 3:
Multiplicação de matrizes
não é comutativa pois por exemplo:
* : Mmxn (IR) x M mxn(IR)  M mxn (IR)
(A, B)  A * B
não é comutativa, pois, por exemplo:
(A * B) = = 
( B * A) = =
1 2
-1 0 
1 0
2 1 
5 2
-1 0
1 0 1 2 1 2
1 4( B A) 2 1 -1 0 1 4 
Interatividade
Sabendo que uma operação é associativa se 
vale: a * (b * c) = (a * b) * c, a informação 
correta sobre as operações a seguir é: 
a) Adição usual em Z não é associativa.
b) Divisão em IR é associativa.)
c) Potenciação em IN é associativa.
d) Adição em IR é associativa.
e) Subtração em Z é associativa.
Elemento neutro
“*” lei de composição interna em A
elemento neutro à direita, a*e = a,  a  A
elemento neutro à esquerda, e*a = a,aA
elemento neutro, e * a = a * e = a,aA
Elemento neutro
Se a operação * sobre A tem um elemento
neutro e, então ele é único.
Demonstração:
S *Sejam e,k elementos neutros da operação *, 
provemos que e = k, isto é, o elemento
neutro é único.
é t tã * k ke é o neutro, então, e * k = k
k é neutro, então, e * k = e 
Logo, e = k.
Elemento neutro
Exemplo 1: 
O elemento neutro da adição em N, Z, Q,
IR e C é o número 0, 
0 + a = a = a + 0,  a.
Exemplo 2: 
O l t t d lti li õO elemento neutro das multiplicações em
IN, Z, Q, IR ou C é o número 1, 
1 . a = a = a . 1,  a.
Elemento neutro
Exemplo 3: 
O elemento neutro da adição em Mmxn(IR) é 
0mxn (matriz nula do tipo mxn)
0mxn + Amxn = Amxn = Amxn + 0mxn ,  Amxn(IR) 
Elemento neutro
Exemplo 4: 
Operação subtração em Z 
a 0 = a  a  Za – 0 = a,  a  Z
Não existe e, tal que e – a = a,  a  Z
Só admite elemento neutro à direita. 
Elementos simetrizáveis
“*” lei de composição interna em A
a é simetrizável   a’ A, a’ * a = e = a * a’ 
a’ é simétrico de a
Elementos simetrizáveis
Observações:
 deve existir elemento neutro em A.
 adição usual 
é ésimétrico de a é - a
 Multiplicação usual
simétrico de a = inverso de a
’ 1a’ = a-1
Elementos simetrizáveis
Exemplo 1: 
O número 7 é um elemento simetrizável
para a adição usual em Z, e seu simétrico é
o - 7, pois: 
(- 7) + 7 = 7 + (- 7) = 0 
Elementos simetrizáveis
Exemplo 2: 
O número 10 é um elemento simetrizável
para a multiplicação em Q, e seu simétrico 
( ) é 1(inverso) é , pois 110
1
10
. 10 = 1 = 10 . 110
não existe a’, tal que a’. 0 = 1 = 0 . a’
“0” não é simetrizável
Elementos simetrizáveis
Exemplo 3:
A matriz é simetrizável com a 


21
40
adição em M2(R), 
e seu simétrico é 




21
40
Elementos simetrizáveis
Exemplo 4:
Z com a multiplicação usual só tem inverso 
para a = 1 e a = -1
Se a ≠ 1 e a ≠ -1, não existe b, tal que
b 1a . b = 1 
Unicidade do simétrico
Seja “*” uma operação sobre A, associativa 
e com elemento neutro. Se a  A é 
simetrizável, então, o simétrico de a é único.
Sejam a’ e b simétricos de a, provemos que 
são iguais.
Unicidade do simétrico
Se a’ e b simétricos de a, temos:
a * a’ = e = a’ * a
a * b = e = b * a
Como e é elemento neutro, temos:
a * e = a
b * bb * e = b
Unicidade do simétrico
Assim:
a’ = a’ * e = a’ * (a * b), como a operação é 
associativa, temos
a’ = a’ * e = a’ * (a * b) = (a’ * a) * b = 
= e * b = b
Logo: 
a’ = b, isto é, o simétrico de a é único. 
Interatividade
Dizemos que a operação * goza da 
propriedade comutativa quando 
a * b = b * a,  a, b  A.
Das operações a seguir, a única que não é 
comutativa é:comutativa é:
a) Operação de adição em IR.
b) Operação de multiplicação em Z.
c) Operação de adição em Z.
d) Operação de adição em M (IR)d) Operação de adição em M mxn(IR).
e) Operação de multiplicação em M mxn(IR).
Elementos regulares
*“*” lei de composição interna em A
a é regular à esquerda(a * c = a * d c = d)
a é regular à direita (c * a = d * a c = d)
a é regular se for à esquerda e à direita.
a é regular à direita (c a = d a c = d)
(Lei do cancelamento)
Elementos regulares
Exemplo 1:
O número 6 é regular para a adição em N, 
pois:
6 + c = 6 + d  c = d c d N6 + c = 6 + d  c = d, c, d N
c + 6 = d + 6  c = d
Elementos regulares
Exemplo 2:
Em Z, com a multiplicação, temos, por 
exemplo, o número 2 é regular, pois: 
2 c = 2 d  c = d  c d  Z2 . c = 2 . d  c = d,  c, d  Z
O número 0 não é regular para a
multiplicação em Z, pois: p ç , p
0 . 5 = 0 . 4, mas 5  4
Distributiva
S *Sejam * e  duas operações sobre A.
distributiva à esquerda 
a  (b * c) = (a  b) * (a  c), a,b,cA
di t ib ti à di it
Distributiva = direita e esquerda 
distributiva à direita 
(b * c)  a = (b  a) * (c  a), a,b,cA
Distributiva
Exemplo 1: a multiplicação é distributiva
em relação à adição em Z, pois:
a . (b + c) = a . b + a . c, a, b, c Z
(b + c) . a = b . a + c . a, a, b, c Z
“ . ” é comutativa em Z, logo:a . (b + c) = (b + c) . a 
Distributiva 
Exemplo 2: 
A união e a intersecção são operações 
sobre conjuntos. Verificar se essas 
operações têm elemento neutro, simétrico e 
se são distributivas.
Sejam A, B, C  U, com as operações “ ” e 
“”
Distributiva 
Elemento neutro (E) para união é o conjunto 
vazio, pois para E =  temos:
A  E = A   = A
E  A =   A = A
Logo, A   = A , A  U
Distributiva 
Elemento neutro (F) para intersecção é o 
conjunto U, pois para F = U temos:
A  F = A  U = A
F  A = U  A = A
Logo A  U = A A  ULogo, A  U = A , A  U
Distributiva 
A é simetrizável em relação a  e a  se 
existir B, tal que: 
A  B = U (neutro da intersecção) 
e se existir C, tal que:
A  C =  (neutro da união)
Os únicos elementos simetrizáveis de U
são A = U em relação à intersecção e 
A =  em relação à união.
Distributiva 
Valem as distributivas:
 Intersecção em relação à união
A  ( B  C) = (A  B)  (A  C) 
 União em relação à intersecção
A ( B C) (A B) (A C)A  ( B  C) = (A  B)  (A  C)
Interatividade
Das afirmações a seguir, a única correta é:
a) Todo elemento de Q com a multiplicação 
é simetrizável.
b) Todo elemento de IN com a adição é 
simetrizável.
c) Todo elemento de IR* com a 
multiplicação tem inverso.
d) A distributiva não vale em Z com a 
adição.
) A di ã IN ã é t tie) A adição em IN não é comutativa.
Números naturais
Conjunto dos números naturais (IN)
Axiomas de Peano
Conceitos primitivos:
 O zero O zero.
 Número natural.
 Relação de sucessor.
A i d P
Números naturais
Axiomas de Peano
1. Zero é um número natural, 
0  IN
2. Todo número natural tem sucessor,
a  IN  a+  IN 
3. Zero não é sucessor de nenhum outro 
número natural,
a, a  IN  a+ ≠ 0
Números naturais
4. Dois números naturais possuem os
mesmos sucessores, então eles são
iguais,
a+ = b+  a = b
5 (axioma de indução finita)5. (axioma de indução finita)
Se uma coleção de R números naturais 
contém o zero e também contém o 
sucessor de todos os elementos naturais 
de R, então R é o conjunto dos naturais,
R  IN, 0R e aR  a+R , então R=IN
Números naturais
Além dos axiomas de Peano, temos as 
definições:
a) a + 0 = a,  a  IN
b) a + b+ = (a + b)+b) a + b = (a + b)
Por convenção, temos:
0+ = 1
0 + 0 = 0
a + 1 = a+a + 1 = a
Números naturais
 Utilizando os axiomas de Peano e as 
definições, podemos demonstrar as 
propriedades dos naturais.
 Geralmente, utilizando o axioma de 
indução.
P i d d A
Números naturais
Propriedade A1:a, b, c  IN, (a + b) + c = a + (b + c)
Demonstração:
Para todo par de naturais a, b; tomemos
o conjunto S dos naturais m tais que:o conjunto S dos naturais m, tais que:
(a + b) + m = a + (b + m).
Devemos mostrar que S = IN, utilizando o 
axioma de indução.
Números naturais
0  S ?
a + (b + 0) = a + b = (a + b) + 0
definição
logo, 0  S 
Números naturais
n  S  n+ S ?
queremos provar que:
(a+b)+n = a+(b+n)  (a+b)+n+ = a+(b+n+)
def
=
def
a + (b + n+) a + (b + n)+ =
=
hip(a + (b + n))+ ((a + b) + n)+ ==
def
=
def
(a + b) + n+
Logo, n+  S
= (a + b) + n
Números naturais
Temos então que: 
i) 0  S 
ii) n  S  n+ S 
Logo pelo axioma de indução temosLogo, pelo axioma de indução, temos 
que S = IN. 
Números complexos
Números complexos (C)
z  C  z = a + b i 
Parte real P t i i á i
Re(z) = a
Im(z) = b
Parte real Parte imaginária
Números complexos
Números complexos
Números complexos
Interatividade
Sabendo que uma operação é comutativa se 
vale: (a * b) = (b * a), a alternativa que indica 
a afirmação correta é: 
a) Adição usual em IN não é comutativa.
b) Multiplicação em IN não é comutativa.) p ç
c) Multiplicação em Z é comutativa.
d) Adição em C é comutativa.
e) Adição em C não é comutativa.
ATÉ A PRÓXIMA!

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