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Unidade II ÁLGEBRA Profa. Isabel Espinosa O ã l i d i ã i t Operações Operação ou lei de composição interna A: conjunto não vazio * : A x A A f(x,y) = x * y (x,y) x * y Operações Exemplo 1: Operação aditiva em IN + : IN x IN IN (x,y) x + y Exemplo 2: Operação multiplicativa em IN • : IN x IN IN : IN x IN IN (x,y) x • y Operações Exemplo 3: Operação potenciação em Z f : Z x Z Z (x,y) f(x,y) = xy Exemplo 4: Operação divisão em IR f : IR x IR* IR (x y) f(x y) = x(x,y) f(x,y) = y Propriedade associativa *“*” lei de composição interna em A Exemplo 1: * associativa a * (b * c) = (a * b) * c a, b, c A Exemplo 1: IN com a operação aditiva, é associativa x + (y + z) = (x + y) + z x y z IN + : IN x IN IN (x,y) x + y x + (y + z) = (x + y) + z , x, y, z IN Propriedade associativa E l 2Exemplo 2: A multiplicação em IN é associativa • : IN x IN IN (x,y) x • y ( ) ( ) IN Exemplo 3: x • (y • z) = (x • y) • z , x, y, z IN Z, IR, C, Mmxn (IR) com a operação aditiva usual associativa. Propriedade associativa E l 4Exemplo 4: Operação divisão em IR f : IR x IR* IR (x,y) f(x,y) = xy Não é associativa, pois, por exemplo f(50,f(10,5)) = f(50, 2) = 25 ≠ 10 5 f(f(50,10),5) = f(5, 5) = 1 Propriedade associativa Exemplo 5: Operação * em IR, dada por é associativa devemos mostrar que: * : IR x IR IR (x,y) x * y = x + y + x y é associativa, devemos mostrar que: (x * y) * z = x * ( y * z) Propriedade associativa * IR IR IR (x * y) * z = = (x + y + x y) * z = = (x + y + x y) + z + (x + y + x y) z = * : IR x IR IR (x,y) x * y = x + y + x y = (x + y + x y) + z + (x + y + x y) z = = x + y + x y + z + x z + y z + x y z x *( y * z) = = x * (y + z + y z) = = x + (y + z + y z ) + x (y + z + y z) = x (y z y z ) x (y z y z) = x + y + z + y z + x y + x z + x y z Propriedade comutativa *“*” lei de composição interna em A * comutativa a * b = b * a, a, b A Propriedade comutativa E l 1Exemplo 1: Operação divisão em IR f : IR x IR* IR (x,y) f(x,y) = xy Não é comutativa, pois, por exemplo f(10,5) = = 2 ≠ f(5 10) 0 5 10 5 5f(5,10) = = 0,55 10 Propriedade comutativa Exemplo 2: Operação * em IR, dada por é comutativa devemos mostrar que: * : IR x IR IR (x,y) x * y = x + y + x y é comutativa, devemos mostrar que: (x * y) = ( y * x) Propriedade comutativa * : IR x IR IR (x,y) x * y = x + y + x y (x * y) = x + y + x y = ( y * x) = y + x + y x Propriedade comutativa Exemplo 3: Multiplicação de matrizes não é comutativa pois por exemplo: * : Mmxn (IR) x M mxn(IR) M mxn (IR) (A, B) A * B não é comutativa, pois, por exemplo: (A * B) = = ( B * A) = = 1 2 -1 0 1 0 2 1 5 2 -1 0 1 0 1 2 1 2 1 4( B A) 2 1 -1 0 1 4 Interatividade Sabendo que uma operação é associativa se vale: a * (b * c) = (a * b) * c, a informação correta sobre as operações a seguir é: a) Adição usual em Z não é associativa. b) Divisão em IR é associativa.) c) Potenciação em IN é associativa. d) Adição em IR é associativa. e) Subtração em Z é associativa. Elemento neutro “*” lei de composição interna em A elemento neutro à direita, a*e = a, a A elemento neutro à esquerda, e*a = a,aA elemento neutro, e * a = a * e = a,aA Elemento neutro Se a operação * sobre A tem um elemento neutro e, então ele é único. Demonstração: S *Sejam e,k elementos neutros da operação *, provemos que e = k, isto é, o elemento neutro é único. é t tã * k ke é o neutro, então, e * k = k k é neutro, então, e * k = e Logo, e = k. Elemento neutro Exemplo 1: O elemento neutro da adição em N, Z, Q, IR e C é o número 0, 0 + a = a = a + 0, a. Exemplo 2: O l t t d lti li õO elemento neutro das multiplicações em IN, Z, Q, IR ou C é o número 1, 1 . a = a = a . 1, a. Elemento neutro Exemplo 3: O elemento neutro da adição em Mmxn(IR) é 0mxn (matriz nula do tipo mxn) 0mxn + Amxn = Amxn = Amxn + 0mxn , Amxn(IR) Elemento neutro Exemplo 4: Operação subtração em Z a 0 = a a Za – 0 = a, a Z Não existe e, tal que e – a = a, a Z Só admite elemento neutro à direita. Elementos simetrizáveis “*” lei de composição interna em A a é simetrizável a’ A, a’ * a = e = a * a’ a’ é simétrico de a Elementos simetrizáveis Observações: deve existir elemento neutro em A. adição usual é ésimétrico de a é - a Multiplicação usual simétrico de a = inverso de a ’ 1a’ = a-1 Elementos simetrizáveis Exemplo 1: O número 7 é um elemento simetrizável para a adição usual em Z, e seu simétrico é o - 7, pois: (- 7) + 7 = 7 + (- 7) = 0 Elementos simetrizáveis Exemplo 2: O número 10 é um elemento simetrizável para a multiplicação em Q, e seu simétrico ( ) é 1(inverso) é , pois 110 1 10 . 10 = 1 = 10 . 110 não existe a’, tal que a’. 0 = 1 = 0 . a’ “0” não é simetrizável Elementos simetrizáveis Exemplo 3: A matriz é simetrizável com a 21 40 adição em M2(R), e seu simétrico é 21 40 Elementos simetrizáveis Exemplo 4: Z com a multiplicação usual só tem inverso para a = 1 e a = -1 Se a ≠ 1 e a ≠ -1, não existe b, tal que b 1a . b = 1 Unicidade do simétrico Seja “*” uma operação sobre A, associativa e com elemento neutro. Se a A é simetrizável, então, o simétrico de a é único. Sejam a’ e b simétricos de a, provemos que são iguais. Unicidade do simétrico Se a’ e b simétricos de a, temos: a * a’ = e = a’ * a a * b = e = b * a Como e é elemento neutro, temos: a * e = a b * bb * e = b Unicidade do simétrico Assim: a’ = a’ * e = a’ * (a * b), como a operação é associativa, temos a’ = a’ * e = a’ * (a * b) = (a’ * a) * b = = e * b = b Logo: a’ = b, isto é, o simétrico de a é único. Interatividade Dizemos que a operação * goza da propriedade comutativa quando a * b = b * a, a, b A. Das operações a seguir, a única que não é comutativa é:comutativa é: a) Operação de adição em IR. b) Operação de multiplicação em Z. c) Operação de adição em Z. d) Operação de adição em M (IR)d) Operação de adição em M mxn(IR). e) Operação de multiplicação em M mxn(IR). Elementos regulares *“*” lei de composição interna em A a é regular à esquerda(a * c = a * d c = d) a é regular à direita (c * a = d * a c = d) a é regular se for à esquerda e à direita. a é regular à direita (c a = d a c = d) (Lei do cancelamento) Elementos regulares Exemplo 1: O número 6 é regular para a adição em N, pois: 6 + c = 6 + d c = d c d N6 + c = 6 + d c = d, c, d N c + 6 = d + 6 c = d Elementos regulares Exemplo 2: Em Z, com a multiplicação, temos, por exemplo, o número 2 é regular, pois: 2 c = 2 d c = d c d Z2 . c = 2 . d c = d, c, d Z O número 0 não é regular para a multiplicação em Z, pois: p ç , p 0 . 5 = 0 . 4, mas 5 4 Distributiva S *Sejam * e duas operações sobre A. distributiva à esquerda a (b * c) = (a b) * (a c), a,b,cA di t ib ti à di it Distributiva = direita e esquerda distributiva à direita (b * c) a = (b a) * (c a), a,b,cA Distributiva Exemplo 1: a multiplicação é distributiva em relação à adição em Z, pois: a . (b + c) = a . b + a . c, a, b, c Z (b + c) . a = b . a + c . a, a, b, c Z “ . ” é comutativa em Z, logo:a . (b + c) = (b + c) . a Distributiva Exemplo 2: A união e a intersecção são operações sobre conjuntos. Verificar se essas operações têm elemento neutro, simétrico e se são distributivas. Sejam A, B, C U, com as operações “ ” e “” Distributiva Elemento neutro (E) para união é o conjunto vazio, pois para E = temos: A E = A = A E A = A = A Logo, A = A , A U Distributiva Elemento neutro (F) para intersecção é o conjunto U, pois para F = U temos: A F = A U = A F A = U A = A Logo A U = A A ULogo, A U = A , A U Distributiva A é simetrizável em relação a e a se existir B, tal que: A B = U (neutro da intersecção) e se existir C, tal que: A C = (neutro da união) Os únicos elementos simetrizáveis de U são A = U em relação à intersecção e A = em relação à união. Distributiva Valem as distributivas: Intersecção em relação à união A ( B C) = (A B) (A C) União em relação à intersecção A ( B C) (A B) (A C)A ( B C) = (A B) (A C) Interatividade Das afirmações a seguir, a única correta é: a) Todo elemento de Q com a multiplicação é simetrizável. b) Todo elemento de IN com a adição é simetrizável. c) Todo elemento de IR* com a multiplicação tem inverso. d) A distributiva não vale em Z com a adição. ) A di ã IN ã é t tie) A adição em IN não é comutativa. Números naturais Conjunto dos números naturais (IN) Axiomas de Peano Conceitos primitivos: O zero O zero. Número natural. Relação de sucessor. A i d P Números naturais Axiomas de Peano 1. Zero é um número natural, 0 IN 2. Todo número natural tem sucessor, a IN a+ IN 3. Zero não é sucessor de nenhum outro número natural, a, a IN a+ ≠ 0 Números naturais 4. Dois números naturais possuem os mesmos sucessores, então eles são iguais, a+ = b+ a = b 5 (axioma de indução finita)5. (axioma de indução finita) Se uma coleção de R números naturais contém o zero e também contém o sucessor de todos os elementos naturais de R, então R é o conjunto dos naturais, R IN, 0R e aR a+R , então R=IN Números naturais Além dos axiomas de Peano, temos as definições: a) a + 0 = a, a IN b) a + b+ = (a + b)+b) a + b = (a + b) Por convenção, temos: 0+ = 1 0 + 0 = 0 a + 1 = a+a + 1 = a Números naturais Utilizando os axiomas de Peano e as definições, podemos demonstrar as propriedades dos naturais. Geralmente, utilizando o axioma de indução. P i d d A Números naturais Propriedade A1:a, b, c IN, (a + b) + c = a + (b + c) Demonstração: Para todo par de naturais a, b; tomemos o conjunto S dos naturais m tais que:o conjunto S dos naturais m, tais que: (a + b) + m = a + (b + m). Devemos mostrar que S = IN, utilizando o axioma de indução. Números naturais 0 S ? a + (b + 0) = a + b = (a + b) + 0 definição logo, 0 S Números naturais n S n+ S ? queremos provar que: (a+b)+n = a+(b+n) (a+b)+n+ = a+(b+n+) def = def a + (b + n+) a + (b + n)+ = = hip(a + (b + n))+ ((a + b) + n)+ == def = def (a + b) + n+ Logo, n+ S = (a + b) + n Números naturais Temos então que: i) 0 S ii) n S n+ S Logo pelo axioma de indução temosLogo, pelo axioma de indução, temos que S = IN. Números complexos Números complexos (C) z C z = a + b i Parte real P t i i á i Re(z) = a Im(z) = b Parte real Parte imaginária Números complexos Números complexos Números complexos Interatividade Sabendo que uma operação é comutativa se vale: (a * b) = (b * a), a alternativa que indica a afirmação correta é: a) Adição usual em IN não é comutativa. b) Multiplicação em IN não é comutativa.) p ç c) Multiplicação em Z é comutativa. d) Adição em C é comutativa. e) Adição em C não é comutativa. ATÉ A PRÓXIMA!
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