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Variaveis Aleatorias(1)

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ESTATÍSTICA 
 
 
1 
 
 
 
 
Exercícios de Variáveis Aleatórias 
 
 
1. Considere a seguinte função de probabilidade 




=
=
xdevaloresoutros
xx
xf
,0
3,2,1,14/)(
2
. 
a) Mostre que esta função de probabilidade satisfaz as propriedades de qualquer função de 
probabilidade e represente-a graficamente; 
b) Deduza a função de distribuição e represente-a graficamente. 
c) Calcule [ ]2|1 ≤= XXP . 
R: b) 0 para � < �, 1/14 para � ≤ � < �, 5/14 para � ≤ � < �, 1 para � ≥ �; c) 1/5. 
2. Seja a variável aleatória Y com função de probabilidade: 




−−=
+
=
..0
2,1,0,1,2,1)(
2
vo
y
k
y
yf
 
a) Determine k de modo a que f (y) seja uma função de probabilidade. 
b) Determine a função de distribuição. 
R: a) 15; b) 0 para � < −�; 5/15 para 	−� ≤ � < −�; 7/15 para −� ≤ � < �; 8/15 para 
� ≤ � < �; 10/15 para � ≤ � < �; 1 para � ≥ �. 
3. A v.a. X, discreta, apresenta a função de distribuição a seguir tabelada: 
X 1 2 3 4 
F(x) 0.1 0.4 0.9 1 
a) Calcule [ ]2≤XP e [ ]1>XP . 
b) Deduza f(x). 
R: a) 0,9. 
4. A procura diária de determinado jornal da tarde numa tabacaria é uma v.a. discreta com função: 
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
f(x) 0.05 0.06 0.06 0.08 0.125 0.25 0.125 0.05 0.06 0.06 0.08 
Sabendo que: 
1) a tabacaria recebe diariamente 6 jornais; 
2) os jornais chegam à tabacaria às 17 horas e esta encerra às 19:30. 
a) Qual a probabilidade de em determinado dia a tabacaria ter uma procura superior a 8 jornais; 
ESTATÍSTICA 
 
 
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b) Qual a probabilidade de, em determinado dia, se venderem todos os jornais, considerando 
uma margem de erro (para mais ou para menos) de um jornal; 
c) Qual é a probabilidade de, em determinado dia, a procura ser totalmente satisfeita; 
d) Em determinado dia às 19:00 a tabacaria tinha vendido 4 jornais. Qual a probabilidade de 
nesse dia haver jornais não vendidos? 
R: a) 0,14; b) 0,425; c) 0,75; d) 0,5. 
5. O número diário de produtos vendidos por um vendedor ao domicílio é aleatório, apresentando 
a seguinte função de probabilidade: 
X 0 1 2 3 4 5 6 7 
f(x) 0.1 0.15 0.2 0.2 0.2 0.1 0.025 0.025 
a) Se o preço de venda do produto for de 1800 u.m. e se o referido vendedor auferir uma 
comissão de 20% sobre as vendas que efectuar, quanto espera ele ganhar por dia? 
b) E se além da comissão também receber um prémio de 1000 u.m. nos dias em que vender 
mais de 5 artigos? 
R: a) 999 um; b) 1049 um. 
6. Considere o par aleatório (X,Y) com função de probabilidade conjunta dada pelo seguinte 
quadro: 
 Y 
X 1 2 3 4 
2 k 0.24 0.18 0.06 
4 0.08 0.16 0.12 0.04 
 
a) Qual o valor de k? 
b) Deduza a função de probabilidade de Y; 
c) Verifique se as variáveis são independentes; 
d) Calcule [ ]YXE + . 
R: a) 0,12; b) 0,2 para � = �; 0,4 para � = �; 0,3 para � = �; 0,1 para � = 
; c) São; d) 
5,1. 
7. Dois vendedores de automóveis, A e B, vendem, no máximo dois automóveis por dia (cada 
um). Considere X a variável aleatória que representa o número de automóveis vendidos por dia 
pelo vendedor A e Y a que representa o número de automóveis vendidos por dia pelo vendedor 
B. A função de probabilidade conjunta é dada por: 
 
ESTATÍSTICA 
 
 
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Y 
X 
0 1 2 
0 0 0.05 0.30 
1 0.05 0.08 0.20 
2 0.05 0.17 0.10 
 
 
a) Determine a probabilidade do vendedor A vender mais do que um automóvel por dia. 
b) Determine a probabilidade do vendedor A vender o mesmo número de automóveis que o 
vendedor B. 
c) Qual o número médio de automóveis vendidos por dia pelo vendedor A. 
d) Verifique se X e Y são independentes. Justifique. 
R: a) 0,32; b) 0,18; c) 0,97; d) Não são independentes. 
8. Seja X uma v.a. com média 50 e variância 10 e Y outra v.a.. Sabendo que 
140),35( =+ XYXCOV , calcule ),( YXCOV . 
R: 30. 
9. Sejam 1X e 2X duas vs.as. tais que: [ ] 41 =XE , [ ] 41 =XVAR , [ ] 1002 =XE , [ ] 1002 =XVAR e 
[ ] 10, 21 =XXCOV . Seja ainda a v.a. T definida como 214 XXT += . Calcule [ ]TE e [ ]TVAR . 
R: 116; 244. 
10. Sejam as variáveis aleatórias X e Y tais que: [ ] 235])3[(,04 2 −==−=− XYeXEXE . 
a) Calcule [ ]YE e [ ]YVar . 
b) Determine o coeficiente de correlação linear e interprete-o. 
R: 10; 36; b) 1. 
11. Admita que X e Y são variáveis aleatórias independentes tais que 
[ ] [ ] [ ] 2e9,1,2 2 ==



== YVarXEYEXE . Calcule: 
a) [ ]YXE 23 + 
b) [ ]YXVar 42 − 
c) [ ]4+XYE 
R: a) 8; b) 52; c) 6.