Apostila 2018 Numérico A

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
FACULDADE DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
Notas de Aula , Aplicações e Exercícios com Sistema Maple 
 
 
 
Eliete Biasotto Hauser 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 –Teoria dos Erros - Sistema de Ponto Flutuante 
 
Um número y na base 2≥β , y = LL 2b1b,0a1a2a3a1nana − pode ser descrito 
na forma 
 y = LL +−+−++++++−
−
+ 22b
1
1b0a1a
2
2a
3
3a
1n
1na
n
na βββββββ . 
Por exemplo, 2106110271012105310326,3517 −×+−×++×+×+×= 
Em aritmética de ponto flutuante normalizado de t dígitos, y tem a forma: 
y = etd2d1d,0 ββ
×





L 
i) td2d1d,0 L é a mantissa (uma fração na base β), 
ii) 01d,1jd0 ≠−≤≤ β , j=1,2,...,t 
iii) “e” é um expoente inteiro que varia no intervalo [m,M]. 
M e m dependem da máquina utilizada. Em geral, m = -M∈Z. 
iv) t define a precisão da máquina, é o número de dígitos da mantissa. 
Obs: precisão ≠ exatidão(depende da precisão da máquina e do algorítmo utilizado) 
 
A união de todos os números de ponto flutuante normalizados com o zero: 
m
vezest
0000.00 β×= 43421 L 
é chamado Sistema de Ponto Flutuante Normalizado e representado por F(β, t, m, M). 
 Alguns exemplos de máquinas com precisão simples: 
a) HP 48 : F(10, 12, -498, 500) 
b) IBM 3090 : F(16, 6, -64, 63) 
c) Cray1 : F(2, 48, -8192, 8191) 
d) Burroughs B6700: F(8, 13, -63, 64) 
Em F valem as propriedades: 
1) p=0,1 x mβ é o menor número em módulo, não nulo, de F. 
2) G=0,
444 3444 21
vezest
)1)...(1)(1( −−− βββ x Mβ é o maior número, em módulo, não nulo, de F. 
3) # F = 1)1(1)1(2 +


 +−−− mMtββ é o cardinal de F 
4) Para qualquer mantissa, vale 1mantissa1 <≤−β . 
5) Se Fy ∈ , então Fy ∈− . 
6) F1eF0 ∈∈ . 
 Se o expoente da base não pertencer a [m,M], y não pode ser representado em F. 
São os casos de erro de: 
- underflow, se e < m (ultrapassa a capacidade mínima) 
 - overflow, se e > M (ultrapassa a capacidade máxima) 
 
 
 
 
 
1
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
 
 
Exemplo: O sistema de ponto flutuante normalizado F(2, 2, -2, 1) é um conjunto discreto 
com 17 elementos ( #F=17), β=2, t=2, m=-2, M=1 . 
 
 Para obter a representação real dos elementos de F é necessário utilizar desnormalização 
seguida do processo de mudança de base 2=β para base decimal. 
( ) ( ) 125,03212201200202001,022210,0 =−×+−×+−×+×===−×= ββ 
( ) ( ) 25,0221120020201,012210,0 =−×+−×+×===−×= ββ 
( ) ( ) 5,012102021,002210,0 =−×+×===×= ββ 
( ) ( ) 10212112210,0 =×===×= ββ 
( ) ( ) 1875,042132122012002020011,022211,0 =−×+−×+−×+−×+×===−×= ββ 
( ) ( ) 375,03212211200202011,012211,0 =−×+−×+−×+×===−×= ββ 
( ) ( ) 75,0221122020211,002211,0 =−×+−×+×===×= ββ 
( ) ( ) 5,112102121,112211,0 =−×+×===×= ββ 
 
 Como p=0,125 e G= 1,5, temos: 
 
underflow: (-0,125 ; 0,125)-{0} 
 
overflow: (-∞ ; -1,5) U (1,5 ; +∞) 
 
 
Observamos que: 
 
a) 0,75∈F e 1,5∈F mas 0,75+1,5=2,25∉F, isto é, 2,25 está na região de overflow de F; 
 
b) 0,125∈F e 0,25∈F e 0,125+0,25=0,375∈F; 
 
 
c) 0,25∈F e 1∈F e 0,25+1=1,25∉F mas não está na regiões de overflow e underflow 
de F. Neste caso, 1,25 será arredondado para 1 ou 1,5 dependendo to tipo de arredon-
damento definido para F. 
 
 
 
 
 
 
 
2
1 - Teoria dos Erros 
 
 
 
 
Arredondamentos 
 
Se a representação do real y em F não é exata, é necessário utilizar um arredonda-
mento. Os tipos de arredondamento mais conhecidos são: 
- Arredondamento para número mais próximo de máquina (Oy). 
- Arredondamento por falta, ou truncamento (∇ y). 
- Arredondamento por excesso ( ∆ y) 
 
Exemplo: Arredondar y em F(10, 4, -5, 6), se possível. β=10, t=4, m=-5, M=6. 
 
Y Oy ∇ y ∆ y 
Π 3,142 3,141 3,142 
2000/3 666,7 666,6 666,7 
1/3 0,3333 0,3333 0,3334 
215=4084101=0, 4084101 x 107∈overflow pois 7>6=M 
21-5=1/4084101=0, 2448519270 x 10-6∈underflow pois -6<-5=m
 
 
 
Em F, geralmente, as operações de adição e multiplicação não são comutativas, as-
sociativas e nem distributivas, pois numa série de operações aritméticas, o arredondamento é 
feito após cada operação. Ou seja, nem sempre as operações aritméticas válidas para os nú-
meros reais são válidas em F. Isto influi na solução obtida através de um método numérico. 
Assim, métodos numéricos matematicamente equivalentes, podem fornecer resultados dife-
rentes. 
Exemplo: 7,52x52,142x)x(p ++= tem raízes -7,3471 e -7,1728. 
Arredondando 14,52 para 14,5, 7,52x5,142x)x(p ++= tem raízes complexas: i3708,025,7 ±− 
 
Medidas de Exatidão 
 
Quando se aproxima um número real x por x*, o erro que resulta é x-x*. Define-se: 
 erro absoluto: EA = *xx − e o erro relativo: ER = 
x
xx *−
 para 0x ≠ . 
Exemplo: 
 
Comprimento 
real (cm) 
Comprimento 
medido (cm) 
EA ER 
Ponte 
 
10000 9999 1 0,0001=0,01% 
Rebite 
 
10 9 1 0,1=10% 
 
Na resolução de um problema o valor exato da solução x pode ser desconhecido. 
Podemos usar duas aproximações sucessivas de x, definindo: 
















+
−+++−=+
1
1log3,0)1,(
kx
kxkx
kxkxDIGSE µ 
3
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
 
o qual expressa o número de dígitos significativos exatos de kx em relação a 1kx + . Aqui 
µ representa a unidade de arredondamento da máquina ( µ = t1
2
1
−β se o arredondamen-
to for Ox ). 
 
No caso de duas aproximações de π, 587,3)1415926535,3;142,3(DIGSE ≅ 
 
 
 
Algoritmos Numéricos 
 
 O Cálculo Numérico tem por objetivo estudar e aplicar algoritmos numéricos para a 
solução de problemas, visando o menor "custo" e confiabilidade do resultado (observar 
tempo de execução, número de operações aritméticas, quantidade de memória, propagação 
do erro, etc). 
 Um bom algoritmo numérico deve se caracterizado por: 
a) Independência da máquina :a execução do programa pode ser realizada em diferentes 
máquinas. 
b) Inexistência de Erro Aritmético: problemas de overflow e underflow devem ser detecta-
dos a priori 
c) Inexistência de Erro Lógico: previsão de tudo o que poderá ocorrer durante o processo 
(divisão por zero, por exemplo) 
d) Quantidade finita de cálculos. 
e) Existência de um critério de exatidão. 
f) O erro deve convergir para zero com precisão infinita. 
g) Eficiência: produz a resposta correta com economia 
 
 
Passos para a resolução de um problema: tipos de erros 
 
 A resolução de problemas reais envolve diversas etapas: 
 
 
 
 
 
 
 Estudaremos algoritmos numéricos a fim de obter uma solução numérica do proble-
ma, a qual, geralmente, difere da solução exata. Possíveis fontes de erro que geram essa 
diferença são: 
a) Simplificação do modelo matemático ( algumas variáveis envolvidas são desprezadas); 
b) Erro nos dados de entrada ( com frequência provindos de dados experimentais); 
c) Truncamento (por exemplo, substituição de um processo infinito por um finito e lineari-
zações); 
d) Erro de arredondamento em aritmética de ponto flutuante. 
 
Curiosidades: Some disasters caused by numerical errors. 
http://ta.twi.tudelft.nl/users/vuik/wi211/disasters.html 
 
 
Problema 
Real 
Modelagem 
Matemática Solução 
4
1 - Teoria dos Erros 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) No sistema Maple estimar 3.8e− utilizando 
∑
∞
=
−
=
−
0i !i
i)x(xe e 
∑
∞
=
==
−
0i !i
ix
1
xe
1xe 
com 26 termos cada e comparar com 3.8e− ≈ 0.2485168271x10-3. 
 
2) Em F(10 , 3 , -98 , 98) e arredondamento por truncamento estimar p(2.73) se: 
a) 55.0x62x53x)x(p ++−= 
b) 55.0x)6x)5x(()x(p ++−= 
Em ambos os casos estimaro erro absoluto ao comparar com p(2.73) ≈ 0.11917x10-1. 
Obs: Estimar p(x) pelo algoritmo usual 
01
2
2
3
3...
1
1)( axaxaxa
nx
n
anxnaxp +++++
−
−
+= 
exige n adições e (n2+n)/2 multiplicações enquanto que o algoritmo de Horner 
{ 0)1)2...)2)1
1
(((...()( axaxaxnaxnaxna
n
xp +++
−
+
−
+
−
= 
requer n adições e n multiplicações. 
 
3) Sejam A, B, C e D matrizes genéricas de ordem 10x20, 20x50, 50x1 e 1x100 respecti-
vamente. Utilizando a propriedade associativa, pode-se determinar o produto matricial 
AxBxCxD de diversas formas. Qual das duas abaixo é mais eficiente? Porque? 
a) Ax(Bx(CxD)) b) (Ax(BxC))xD 
 
4) Representar o número real x na base 2 usando 8 algarismos significativos? Essa represen-
tação é exata? a) x=0.6 b) x=13.25 c) x= 2.47 
 
5) Determinar o cardinal , regiões de underflow e overflow e todos elementos reais de: 
 a) F(2,3,-1,2) b) F(3,2,-1,2) c) F(2,2,-2,2) 
 
6) Representar, se possível, os números abaixo em utilizando arredondamento por trunca-
mento( x∇ )e arredondamento para número mais próximo de máquina (Ox) em F(10,5,-2,2). 
 a) 3 b) 
3
200
 c) 
3
2000
 d) e e)
3000
1
 f) 2 
 
7) Considerando: ∑
=
=
10
12
1
i
i
A 
a) Calcular o valor de A utilizando precisão infinita.. 
b) Utilizando arredondamento por truncamento ( x∇ ) em F(10,3,-98,98), estimar o valor de 
A somando da direita para esquerda e após somando da esquerda para a direita. Comparar 
os resultados. 
 
 
5
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
 
Respostas: 
1) exp(-8.3); 
 .0002485168271 
> f1:=sum(((-x)^i)/i!, i=0..25): 
> f1a:=unapply(f1,x): 
> f1a(8.3); 
 -.001241405905 
Obs: Causas desse erro: subtração de grandezas muito próximas e adição de grandezas de 
diferentes ordens. 
> 
> f2:=1/(sum(((x)^i)/i!, i=0..25)): 
> f2a:=unapply(f2,x): 
> f2a(8.3); 
 .0002485170000 
 
2) a)p(2.73)= -0.05 ,erro absoluto = 0.061917 
 b)p(2.73)=0.032 ,erro absoluto = 0.020083 
 
3) (Ax(BxC))xD é mais eficiente pois exige 2200 multiplicações enquanto que para calcular 
o produto Ax(Bx(CxD)) são necessárias 125000 multiplicações . 
OBS: Se M é de ordem pxq e N de ordem qxr, então MxN, de ordem pxr, é obtida efetuando 
pqr operações de multiplicações de elementos de M e N. 
 
4-a) 2)10011001,0(10)6,0( ≈ b) 2)01,1101(10)25,13( ≈ c) 2)011110,10(10)47.2( ≈ 
 
5)-a) 0, 1/4, 1/2, 1, 2, 5/16, 5/8, 5/4, 5/2, 3/8, 3/4, 3/2, 3, 7/16, 7/8, 7/4, 7/2 e simétricos. 
 # F = 33 Região de oferflow: ),2/7()2/7,( +∞∪−−∞ 
 Região de underflow: (-1/4,1/4) - {0} 
 
b) 0, 1/9, 1/3, 1,3, 4/27, 4/9,4/3, 4, 5/27, 5/9, 5/3, 5, 2/9, 2/3, 2, 6, 7/27, 7/9, 7/3, 7, 8/27, 
8/9, 8/3, 8 e seus simétricos. # F = 49 Região de oferflow: ),8()8,( +∞∪−−∞ 
 Região de underflow: (-1/9,1/9) - {0} 
 c) 0, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 3/16, 3/8, 3/4, 3/2, 3, e seus simétricos. # F = 21 
 Região de oferflow: ),3()3,( +∞∪−∞ 
 Região de underflow: (-1/8,1/8) - {0} 
 
 
 6-a) 0,17320*101 e 0,17321 *101 b) 0,66666*102 e 0,66667*102 
 c) overflow (0,66666*103 ∉ F e 0,66667*103 ∉ F) d) 0.27182*101 e 0.27183*101 
 e) underflow (0.33333*10 –3 ∉ F) f) 0,14142*101 e 0,14142 *101 
 
 
7-a) 0,9990234375 b) 0,999 e 0,998 
 
 
6
 
2. Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes 
 
Objetivo: Resolver equações de forma ( ) 0=xf , isto é, determinar os valores de x para os quais a 
igualdade ( ) 0=xf é satisfeita. 
 Se a função ( )xf só contém operações algébricas repetidas um número finito de vezes, a 
equação é dita algébrica. 
 
Exemplos de Equações Algébricas: a) 01x43,43x =−− b) 01xx2 =−− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de Equações Transcendentes: 
 
a) 0)x3(senex 5
x
=
−
 b) 0)x9,0(sen)x1,0(sen2 = 
 
 
 
 
 
 
 
7
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
2.1- Equações Polinomiais 
 
Revisão sobre polinômio: 
 
 Seja ( ) 012211 axaxaxaxaxp nnnn +++++= −− K um polinômio de grau n, onde os coefici-
entes , são números reais e 0≠na . 
 Temos que: 
1) ( )xp possui n raízes, contadas as multiplicidades. 
 
2) Se nααα ,,, 21 K forem raízes reais de ( )xp , então ( )xp pode ser fatorado na forma:
 ( ) ( )( ) ( )nn xxxaxp ααα −−−= K21 . 
 
 
 Ex.: ( ) 2xx2xxp 23 −−+= , tem raízes:
 2 ,1 ,1 321 −=−== ααα . Logo, 
 ( ) ( )( )( )2x1x1xxp ++−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Se z= bia + é raiz de ( )xp , então biaz −= também o é. 
 
Ex.: ( ) 10x6xxp 2 +−= tem raízes i±3 . 
 
 
 
 
 
4) Se bia + é raiz de ( )xp de grau 2≥n , então ( )xp pode ser fatorado: 
( ) ( ) ( )xqbaax2xxp 222 ⋅++−= ,onde o grau de ( )xq é 2−n . 
 Ex.: a) ( ) 2x2xx2xxp 234 −++−= tem raízes i±± 1 ,1 . 
 ( ) ( ) )1x(1x2x22xxp +−⋅



 +−= 
Ex.: b) ( ) 10167 23 −+−= xxxxp tem raízes i±3 ,1 . 
( ) ( ) ( )1x10x6xxp 2 −⋅+−= 
 
 
 
 
 
 
8
2 - Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5)Se ( )xp é de grau ímpar, então ( )xp possui ao menos uma raiz real. 
 
 
 
6) Uma raiz α de ( )xp tem multiplicidade m se ( ) ( ) ( ) ( ) 01"' ===== − αααα mpppp K
 e ( ) 0≠αmp 
 
Ex.:1) 2=α é raiz de multiplicidade 2 de ( ) 8x6x2xp 23 +−= 
 2) 2=α é raiz de multiplicidade 3 de ( ) 8465 234 −++−= xxxxxp 
 
 
 
 
9
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
 
7) Valor numérico de um polinômio: para calcular, de forma usual, ( )ixp são necessárias n 
adições e ( )
2
1+nn
 multiplicações. 
O Método de Horner faz esse cálculo com n adições e n multiplicações: 
( ) 0121
parênteses 1
)))(((( axaxaxaxaxp nn
n
+++++=
−
−
K
321
KK 
Ex.: ( ) 4x)3x)1x)2x)4x3((((4x3xx2x4x3xp 2345 +−−+=−+−−+= 
 
8) Se ( )xp é de grau n , então existe único polinômio de grau ( )xqn ,1− , tal que 
( ) ( ) ( ) ( )αα pxqxxp +⋅−= . 
Se α é raiz de ( )xp então ( ) 0=αp . 
É o algoritmo de Briot-Ruffini utilizado para Deflacionar Raízes. 
 Ex. 
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) 1483pe14846x10x3x3
22pe26x5x2x2
01pe10x6x1x1
10x16x7xxp
2
3
2
2
2
1
23
−=−−+−+⇒−=
=++−−⇒=
=+−−⇒=
−+−=
α
α
α
 
 
 
 
2.1.1-Enumeração das Raízes 
 
 Enumerar as raízes de ( )xp é dizer quantas são as raízes e se positivas, negativas ou com-
plexas. 
 
Regra de Descartes ou Regras de Sinais 
 
 “O número de raízes reais positivas de ( )xp é igual ao número de variações de sinais na 
seqüência dos coeficientes ou menor do que este por um número inteiro par, sendo uma raiz de mul-
tiplicidade “m” contada como “m” raízes e não sendo considerados os coeficientes nulos”. 
 O número de raízes reais negativas é obtido aplicando a regra de Descartes a ( )xp − 
 
Regra de Huat 
 
 Se ( ) 00p ≠ e para algum k, 112 +− ×≤ kkk aaa então ( )xp possui raízes complexas. 
 
Regra da Lacuna 
 Se ( ) 00 ≠p e para algum K, 0 e 0 11 >×= +− kkk aaa , então ( )xp tem raízes complexas. 
 
 
 
 
10
2 - Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes 
 
 
 
 
Ex.: ( ) 153 345 −−−+= xxxxxp 
Por Descartes, ocorrem as possibilidades.• 1 raiz real positiva, 2 raízes negativas e 2 comple-
xas; 
 ou 
• 1 raiz real positiva, nenhuma negativa, e 4 comple-
xas. 
p(x) tem raizes complexas, pois, por Huat: 3a1a
2
2a ×≤ , 
istoé, )5()1(20 −×−< . A Regra da Lacuna também aplica: 
03a1a e 02a >×= . 
 
 
 
 
2.1.2-Localização das raízes de p(x) 
 
 O objetivo é determinar a região do plano que contém todas as raízes de ( )xp . 
 
Cota de Cauchy: Toda raiz α (real ou complexa) de ( )xp satisfaz βα ≤ , onde 
0x,xlim 0k
k
==
∞→
β e n
n
0
k
n
12n
k
n
2n1n
k
n
1n
1k
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x ++++= −−−−+ K . 
 
Ex.: ( ) 1x3136,068,1x37,3x3xxp 234 −+−+−= 
 
4
k
2
k
3
k1k 3136,0x68,1x37,3x3x +++=+ 
 0x0 = 
 
M
M
9575796715,3x
9552764745,3x
59519059204,3x
09469665820,3x
69397307712,3x
40048339019,3x
36165556530,2x
61069395791,2x
64735839615,1x
557483314773,0x
19
18
17
16
15
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
 
11
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
Então, a cota de Cauchy para p(x) é 4≅β e então todas as raízes α tem 4≤α . 
 
 
 
 
 
a) Métodos Gráficos 
a1) esboçar gráfico da função ( )xf e localizar as abcissas dos pontos onde a curva intercepta o 
eixo dos x. 
a2) de ( ) 0=xf obter uma equação equivalente ( ) ( )xfxf 21 = . Localizar no mesmo eixo cartesiano 
os pontos r onde as duas curvas se interceptem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 002121 =⇒=−⇒= rfrfrfrfrf 
 
b) Método Analítico(Teorema de Bolzano) 
Seja ( )xf continua no intervalo [ ]ba, . Se ( ) ( ) 0<⋅ bfaf , então existe pelo menos uma raiz de f 
em ( )b,a . (Se o sinal de 'f é constante em ( )b,a a raiz é única nesse intervalo). 
 
Ex.: ( ) 393 +−= xxxp 
 
a) Análise gráfica: 
2.2- Separação de Raízes Reais de f(x)=0 
 
 
 Logo, existem três raízes reais: ( ) ( ) ( )3,23r,1,02r3,41r ∈∈−−∈ 
 
b) analiticamente: 
 
 
 
 
( ) 373923,753113923,13325
323101334
−−−−
−−−−
xp
x
 
 
 
12
2 - Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes 
 
 
 
Obs: Devemos dar uma atenção especial para os casos de: 
� Raízes muito próximas. 
� para raízes de multiplicidade par não ocorre troca 
de sinal. 
 
Ex: ( ) 3136,068,137,33 234 +−+−= xxxxxp 
 
8,0 e 7,0 21 ≅= rr são raízes de multiplicidade 2. 
 
 
 
 
2.3- Métodos para Resolução de equações algébricas e transcendentes 
 
 Qualquer método deve observar um critério de parada, ao qual está associado um estimador 
de exatidão. Por exemplo, para onde LC ,,, 21 εε são dados: 
 
• C)x,x(DIGSE 1kk ≥+ 
• ( ) 1kxf ε≤ 
• 2
1
1 ε≤
−
+
+
k
kk
x
xx
 
• Lk > (número máximo de iterações) 
 
 
2.3.1-Método da Bisseção ou Dicotomia (Algoritmo de quebra) 
 
 Seja [ ] ℜ→baf ,: continua e tal que ( ) ( ) 0<⋅ bfaf . 
 
1) Calcula-se o ponto médio 
2
ba
xm
+
= , dividindo-se [ ]ba, em dois novos intervalos : 
[ ]mxa, , [ ]bxm , 
2) Se ( ) 0≠mxf e: 
i) ( ) ( ) 0<⋅ mxfaf então a raiz está em ( )mx,a . Volta-se para (1) 
ii) ( ) ( ) 0<⋅ bfxf m então a raiz está em ( )b,mx . Volta-se para (1) 
3) Repete-se o processo até obter uma aproximação “razoável” da raiz, isto é, até que 
um critério de parada seja satisfeito. 
 
Características: É simples a convergência lenta mas garantida. A velocidade de convergência 
é DIGSE⋅3,0 /passo, isto é, a cada 3 ou 4 passos ganha-se um DIGSE . 
 
Ex: ( ) 11205,72 234 −−−+= xxxxxp 
a) Enumeração das raízes de ( )xp 
Regras de Huat e Lacuna 
não aplicam 
13
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
 1r 2r 3r 4r 
4211
4031
total⊂ℜℜ
−+
 
b) Cota de Cauchy: 
0,11205,72 04 231 =+++=+ xxxx kkkk
 
 
46483007996,4
46481382609,481469532045,4
96478405782,467425618494,3
16472953921,460308011161,3
48211602868,1
17
164
153
142
1
=
==
==
==
=
x
xx
xx
xx
x
M
M
 
 
c) Separação de raízes 
 
( ) 5,57617335495,3511515,8775,276
54321012345
−−−−−
−−−−−
xp
x
 
 
 
 
d) Cálculo da raiz ( )4,34r ∈ utilizando o método da bissecção. 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
M002874148,00352783203,313
20354003906,3;03515625,320152911151,020354003906,312
50356445312,3;03515625,30401045242,050356445312,311
0361328125,3;03515625,30897548754,00361328125,310
037109375,3;03515625,31891500395,0037109375,39
0390625,3;03515625,30095143543,003515625,38
039625,3;03125,33883184832,00390625,37
046875,3;03125,31900454168,1046875,36
0625,3;03125,3405335188,003125,35
0625,3;3871886353,20625,34
125,3;3660400391,9125,33
25,3;300390625,2525,32
35;39375,625,31
kIkxfkxk
−
−
 
 Obtemos 0354039062,312x4r =≈ com ( ) 096,413x,12xDIGSE ≅ 
 
2.3.2-Método da Iteração Linear 
 Consiste em escrever a equação ( ) 0=xf na forma ( )xGx = . Os pontos x* que satis-
fazem a condição ( )** xGx = são ditos pontos fixos de ( )xG e geometricamente repre-
sentam os pontos de intersecção da reta xy = com a curva ( )xGy = . 
14
2 - Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes 
 
 
( )xG é dita função de iteração do método. Inicia-se a iteração com um valor 0x 
próximo da raiz, e as outras aproximações são dadas 
por: 
 ( ) K,2,1,0,1 ==+ ixGx ii 
 A seqüência de aproximação ix , converge para a 
solução x* da equação ( ) 0=xf sob certas condições 
. 
 A construção de G não é única. A escolha de 
uma G apropriada é dita “problema do ponto fixo. 
Ex. 062 =−+ xx . 
( ) 16,
1
6
,6),6)6) 543221 −=+=−−=−=−= xGxGxGcxGbxxGa
 
 Embora não seja preciso usar métodos numéricos para encontrar as duas raízes reais 
2,3 21 =−= αα e da presente equação, nota-se que: 
 
i) Tomando 1G e 5,10 =x , a seqüência }{ ix não converge para 2. 
( )ii xGx 11 =+ 
 
( )
( )
( )
( )
( )
M
8342,12078822
46095276,3475
00390625,59)0625,8(6
0625,8)75,3(6
75,3)5,1(6
415
314
2
213
2
112
2
011
−==
−==
−=−−==
−=−==
=−==
xGx
xGx
xGx
xGx
xGx
 
 
 
ii) Tomando 2G e 5,10 =x , a seqüência }{ ix converge para 2. 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
M
10000298018,26x2G7x
69998807918,15x2G6x
50004768183,24x2G5x
39980924992,13x2G4x
40076263645,22x2G3x
9694363804,11x2G2x
61213203435,25,160x2G1x
==
==
==
==
==
==
=−==
 
 
 
 
Teorema da Convergência: 
 Seja α uma raiz isolada de f em [ ]ba, . Se 
i) G e G’são contínuas em [ ]ba, ; 
 
 
15
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
ii) ( )b,ax,1)x('G ∈∀〈 ; 
iii) ( ) ,...2,1,0k,b,a)kx(G1kxe0x =∈=+∈ Ι , então a seqüência { kx }, gerada por 
)(1 kxGkx =+ ,converge para α . 
 
 
Ex: Utilizando o método da iteração linear calcule a 
raiz de ( ) 3xexf x += , com ( ) 5, 1 ≥+kk xxDIGSE 
 
 
 
 
 
 
( )
33
33 00
x
x
xx
eex
exxexf
−=−=⇒
−=⇒=+⇒=
 
 Seja 
( )
( ) ( )
( ) 33,00'
24,01';
3
1
'
3
3
≅
≅−−=
−=
G
GexG
exG
x
x
* 
 
G e G’ são continuas em [-1,0] e 
( ) ]0,1[1' −∈∀< xxG . 
Logo , a seqüência gerada por 31
ix
i ex −=+ converge para α ]0,1[−∈∀x . 
Seja 5,00 −=x 
 
M
772882595,0773204044,0
772884374,0771636903,0
772877469,0777723518,0
772904269,0754152577,0
772800243,0846481725,0
105
94
83
72
61
−=−=
−=−=
−=−=
−=−=
−=−=
xx
xx
xx
xx
xx
 
( )
34,5),(
000003188,0
109
9
≅
=
xxDIGSE
exf
 
*G não tem Maximo nem mínimo local em [0,1], testa-se entãosó os extremos. 
 
 
Características do Método da Iteração Linear: 
 
� Não garante a convergência para toda função continua. 
� Necessita do calculo de G’(x). 
� Pode ocorrer dificuldade para encontrar G(x). 
16
2 - Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes 
 
 
� A convergência é linear para raízes simples (a cada passo do método o erro é reduzido por 
um fato constante). 
� A velocidade de convergência depende de ( )xG' , quanto menor este valor, maior será a 
convergência. 
 
Obs.: Dada a equação ( ) 0=xf , existem infinitas funções G(x) que são funções de iteração. A 
forma geral destas funções é: 
 ( ) )()( xfxAxxG ⋅+= , 
com a condição que em x*, ponto fixo de G(x), se tenha 0)( * ≠xA . Temos que: 
 
*** )(0)( xxGxf =⇔= Com efeito: 
(⇒ ) Seja *x tal que 0)( * =xf . 
******* 0)()()()( xxAxxfxAxxG =⋅+=⋅+= 
 
0)(0)(0)()(
)()()()(
****
******
≠=⇒=⋅⇒
=⋅+⇒=⇐
xApoisxfxfxA
xxfxAxxxGSe
 
 
 
2.3.3-Método de Newton-Raphson 
 
 Procura garantir e acelerar a convergência do método da Iteração Linear, escolhendo para a 
função de iteração a função G(x) tal que G’(x)=0 
 Dada a função 0)( =xf , tomamos a forma geral para G(x): 
 
),(')(1)(')(')()()('1)('
)(')()()('1)(')()()(
******** xfxAxGxfxAxfxAxG
xfxAxfxAxGxfxAxxG
⋅+=⇒⋅+⋅+=
⇒⋅+⋅+=⇒⋅+=
 
pois x * é ponto fixo de G )0)()(( *** =⇒= xfxGx . 
 Agora , )('
1)(0)(')(10)(
*
****
xfxAxfxAxG
−
=⇒=⋅+⇒= . 
 Tomemos )('
)()()('
1)(
xf
xf
xxGe
xfxA −=−= . 
 Então dada ( )xf , ( )xG é tal que ( ) 0' * =xG , pois 
( ) 22
2
)]('[
)(")('
)]('[
)(")()]('[1'
xf
xfxf
xf
xfxfxf
xG ⋅=⋅−−= e 
.0)('0)('0)( *** ≠=⇒= xfsexGxf 
 
Portanto, iniciando-se a iteração com um valor 0x escolhido, a seqüência )( kx é determi-
nada por: 
 0)(',...2,1,0,)('
)(
1 ≠=−=+ kxfk
kxf
kxfkxkx 
Geometricamente , conforme podemos observar na próxima figura, dado kx , 1+kx é abs-
cissa do ponto de intersecção da reta tangente à curva ( )xf em ))(,( kk xfx e o eixo dos “x”. As-
sim, 
17
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
 )('
)()(')( 1
1 k
k
kkk
kk
k
xf
xf
xxxf
xx
xf
tg −=⇒=
−
= +
+
θ 
Convergência: (é trabalhoso mostrar que 1)x('G < ). 
O método de Newton-Raphson converge se: 
2
2 ))('()(")(1))('(
)(")()(' xfxfxf
xf
xfxf
xG <⇒<= . 
Para raízes simples a convergência é quadrática e para raízes duplas ou triplas é linear. 
 
Escolha do ponto inicial: Seja )b,a(∈α raiz de f . 
Se 
bxbfbf
axafaf
=⇒>⋅
=⇒>⋅
0
0
0)(")(
0)(")(
 
Caso contrário, pode-se considerar 
2
)(
0
ba
x
+
= . 
 
Ex.: 1) Estimar o valor da única raiz real de xlnx2)x(f += , utilizando Newton-Raphson. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1kx + 
 
θ 
kx 1kx + 
)x(f 1k + 
)x(f k 
 
 
xlnx2)x(f += 
x
12
xlnx2
x,x
−
+
− 
18
2 - Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes 
 
 
 
 
k
kk
k1k
x
12
xlnx2
xx
+
+
−=+ 
 
34
3
2
1
0
xx
4263027510,0x
4262969599,0x
4232867952,0x
5,0x
=
=
=
=
=
 
Logo a aproximação para a raiz é 426302751,0=α com 9 dígitos significativos corretos. 
 
 
2) Calcular a raiz ]4,3[4 ∈r do polinômio dado anteriormente: 11205,72)( 234 +−+= xxxxxp . 
 
40)4(")4(0)3(")3( 0 =⇒>⋅<⋅ xppepp 
 
201564
11205,72
23
234
1
−−+
−−−+
−=+
kkk
kkkk
kk
xxx
xxxx
xx 
 
 
56
5
4
3
2
1
0
03524990,3
03525211,3
03709653,3
08982331,3
36397059,3
4
xx
x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
=
=
 
 
Obs: O Método de Newton pode divergir devido ao uso da tangente, oscilando indefinidamente. 
 
 
 
 
 
Isto acontece quando: 
Uma aproximação para a raiz é 03524990,34 =r 
com 9 dígitos significativos e 5 iterações. 
 
 
19
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
i) Não há raiz real 
ii) Ocorre simetria de ( )xf em torno de α 
iii) O valor inicial 0x está longe da raiz exata, fazendo que outra parte da função pren-
da a iteração. 
 
 
2.3.4-Método da Secante 
 
 Uma desvantagem do Método de Newton-Raphson é o calculo do valor numérico de 
( )xf ' a cada iteração. 
 O método da secante contorna este problema, substituindo a derivada pelo quociente das 
diferenças: 
 
1
1)()()('
−
−
−
−
≅
kk
kk
k
xx
xfxf
xf 
onde kx e 1−kx são duas aproximações para a raiz de ( )xf . A formula iterativa é: 
 )()(
)()(
1
1
1
−
−
+
−
⋅−
=
kk
kkk
k
xfxf
xfxx
x 
Geometricamente, a partir das aproximações para a raiz de kx e 1+kx , o ponto 1+kx é dado pela 
abscissa do ponto de intersecção do eixo Ox e da reta secante que passa por 
))(,())(,( 11 kkkk xfxexfx −− . 
 
Características do método da secante: 
� Garante a convergência para toda função continua 
� Pode divergir se )()( 1−≅ kk xfxf 
� Convergência mais lenta que o Método de Newton e mais rápida que Bissecção e Itera-
ção Linear. 
� São necessárias duas aproximações da raiz a cada iteração. 
 
Ex: )0,1(e21x172x53x)x(p −∈++−= α 
 
 
)211kx17
2
1kx5
3
1kx()21kx17
2
kx5
3
kx(
)21kx172kx5
3
kx()1kxkx(kx1kx
+
−
+
−
−
−
−++−
++−⋅
−
−
−=+
 
 
7x8x
629321148566,07x
89321148568,06x
069321123947,05x
869317876515,04x
599601423487,03x
898888888888,02x
11x,10x
=
−=
−=
−=
−=
−=
−=
=−=
 
20
2 - Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
1) Uma partícula é arremessada verticalmente, a partir do solo, com uma velocidade inicial ov 
.Desprezando a resistência do ar, supomos que a posição p partícula é dada por: 
2
2
t
g
tov)t(d −= , 
onde g é aceleração da gravidade. Determinar a altura máxima atingida pela partícula e o instan-
te em que ocorreu. 
 
 
2) Uma corrente oscilante num circuito elétrico é descrita por I = )t2sen(te9 pi− , t em segun-
dos. Determinar todos os valores positivos de t para os quais I = 4. 
 
 
3) A concentração de uma bactéria poluente num lago é descrita por 
C = t075.0e5.2t5.1e70 −+− 
 Encontrar o tempo para que a concentração seja reduzida para nove. 
 
 
4) O deslocamento de uma estrutura está definido pela seguinte equação 
D = wtcoskte8 − 
 onde k = 0.5 e w = 3. 
a) Determinar graficamente uma estimativa inicial do tempo necessário para o deslocamento 
decrescer para 4. 
b) Usar o método de Newton-raphson para determinar essa raiz 
 
 
5) Enumerar, localizar, separar e calcular (via Newton-Raphson e/ou Bissecção ), se possível, todas 
as raízes dos polinomios tendo como critério de parada DIGSE (xk , xk+1) ≥ 5. No caso de raízes 
múltiplas, determinar a multiplicidade da raiz e calcular as demais utilizando deflação. 
a) p(x) = x x x3 22 3 5− + − 
b) p(x) = x5 - 15,5x4 +77,5x3 - 155x2 +124x -31 
c) p(x) = x x x x4 3 2121 2247 15043 34300− + − + 
d) p(x) = x x x x4 3 2115 1575 7625 12500− + − + 
 
 
e) p(x) = x x x x4 3 23 3 37 168 0 3136− + − +. . . 
f) p(x) = x4-11,101x3+11,1111x2-1,011x+0,001 
g) p(x) = x9- 4x8 + 3,9x7 +3,02x6 - 5,5295x5 - 0,84732x4 + 2,83536x3 + 0,37152x2 -0,59616x - 
0,15552 
h) p(x) = x3 - 2081,93x2 +1424,64x- 3,19728 
i) p(x) = x4 + 1,98x3 +1,1424x2 +0,162602x - 0,00174225 
 
 
21
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
6) Localizar graficamente e calcular ( via Newton-Raphson e/ou Método da Iteração Linear) todas 
as raízes, com DIGSE(xk , xk+1)≥ 5: 
a) f(x) = x2 + ln x 
b) f(x) = x + 2 cos x 
c) f(x) = 2x + ln x 
d) f(x) = cos x + ln x + x 
e) f(x)= x + e Bx− 2 para B = 1,5,10,25,50 
 
 
 
 7) Responder resumidamente: 
a) Em que consiste o princípio da bissecção para determinar a primeira aproximação de uma raiz 
de uma equação f(x)=0? 
b) Explicar o método da iteração linear para calcular uma raiz de uma equação f(x)=0, partindo de 
uma primeira aproximação x0. 
c) Quando não converge a iteração linear? 
d) Quando não converge o Método de Newton Raphson? 
e) Interpretar geometricamente o Método de Newton-Raphson. 
f) Qual a vantagem de se utilizar o Algoritmo de Horner para se avaliar o valor do polinomio num 
ponto? Exemplificar. 
 
 
Respostas: 
 
1) O deslocamento máximo é vo2/2g e ocorreu em t = vo/g. 
 
2) t = 0.06835432097 e t = 0.4013436927 
 
 
3) t = 1.556787935 
 
 
 
 
 
 
 
 
22
2 - Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) t = 0 .3151660803 
 
 5-a) 
r+ r- ¢ T 
3 0 0 3 
1 0 2 3 
 
p tem raízes complexas. 
 
Existe uma raiz real em (1,2) 
 
Raízes: 
 x=1,84373427779 
 x= 0.07813286110 ± 1.644926378i 
. 
b) Raízes: .4555300547, 1.092601944, 1.940878206, 4.011783883, 7.999205912 
c) Raízes: R1=100 e R2= 7(multiplicidade 3), não tem raízes complexas. 
d) Raízes: R1=10 e R2=5(multiplicidade 3), não tem raízes complexas. 
 
e) Raízes: R1=0.7(multiplicidade 2), R2=0.8(multiplicidade 2) 
f) Raízes: R1=0,001 R2=0,1 R3=1 R4=10 
g) Raízes: R1=-0,5(multiplicidade 4), R2=1,2(multiplicidade 5) 
h) Raízes: R1= 0.002251681490, R2 = 0.6822607762 , R3= 2081.245488 
i) Raízes: R1=-1,01 R2=-0,75 R3=-0,23 R4=0,01 
6-a) R ≅ .6529186400 b) R ≅ -1.029866529 c) R ≅ 0 .42630275100 d) R ≅ .2875182754 
e) Existe única raiz de f em (-1,0) 
 
23
3. Sistemas de Equações Lineares 
 
 
O sistema com n equações lineares e n variáveis 
 
 
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
nnnn33n22n11n
2nn2323222221
1nn1313212111
=++++
=++++
=++++
L
MMMMM
L
L
 
 
pode ser representado matricialmente por BAX = , onde 
 












=
aaa
aaa
aaa
A
nn2n1n
n22221
n11211
K
MMM
K
K
 , 












=
x
x
x
X
n
2
1
M
 , 












=
b
b
b
B
n
2
1
M
 e 
 
A é a matriz dos coeficientes, X é o vetor das incógnitas e B o vetor dos termos independentes. 
 
 
Classificação quanto à existência de Solução: Regra de Cramer 
 
A solução do sistema linear AX=B é dada pela fórmula: )det(
)det(
A
A
x ii = , onde, i=1,2,..,.n, )det( iA é o 
determinante da matriz obtida de A substituindo a i-ésima coluna de A por B. 
 
O sistema linear : 
• tem única solução se 0)det( ≠A ; 
• não tem solução se )det(A = 0 e, para pelo menos um i , 0)det( ≠iA . 
• tem infinitas soluções se 0)det( =A e para todos i , 0)det( =iA . 
 
Exemplos: 
 
(a) 



−=−
=+
7y2x
8yx
 tem única solução. 
 
(b) 



=+
=+
0y6x10
8y3x5
 não tem solução. 
 
 
(c) 



=−
−=+−
3y2x
9y6x3
 tem infinitas soluções. 
 
 
 
 
 
24
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
3.1- Introdução à problemática de sistemas 
 
 Um SEL pode ser mal condicionado, bem condicionado ou sem solução. 
 Um sistema é “mal condicionado” se uma pequena alteração nos dados pode provocar uma 
grande alteração na solução. Por exemplo: 
 
(a) 



=+
=+
5yx
95,4y98,0x
 tem solução exata 





=
5,2
5,2
x 
 
(b) 



=+
=+
5yx
95,4y99,0x
 tem solução exata 





=
0,5
0,0
x 
 
Uma alteração de 1% (0,01 no coeficiente 0,98) ocasionou uma alteração de 100% na solução. 
 No caso de um sistema linear de ordem 2, cada equação representa uma reta. Resol-
ver o sistema significa determinar a intersecção das duas retas. Três casos são possíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
Bem condicionado Não tem solução. Mal condicionado 
 0det ≠ 0det = 0det ≅ 
retas concorrentes retas paralelas (perturbação em 2ℜ ) 
 
 
 
 
Exemplo2: 
 (a) 



=+
=+
503,25y501,7x5,1
17y5x
 tem solução exata: 





=
3
2
X 
 
(b) 



=+
=+
501,25y501,7x5,1
17y5x
 tem solução: 





=
1
12
X 
 
 
3.2-Medidas de Condicionamento 
 
 O determinante normalizado da matriz dos coeficientes A é dado por 
2
kn
2
2k
2
1kk
n21
aaaondeAdetANORM L
L
++== α
ααα
, para k = 1, 2, ..., n ( )1,1ANorm −∈ 
e quanto mais afastado de 1± (isto é, quanto mais próximo de zero) mais mal condicionado é a ma-
triz A. 
 Retomando o Ex2: 
 
R1 R2 R2 
R1 
R2 
R1 
25
Sistemas de Equaçõe Lineares 
 
 
2) 





=
501,75,1
51
A 
( )
( ) 586495509853,7501,75,1
90990195135,5251
2
1
22
2
2
1
1
=+=
=+=
α
α
 
38740000256377,0
0050000128,39
001,0001,0Anorm
001,05,15501,7Adet
21
==
⋅
=
=⋅−=
αα
 
 
 
 
Agora, como pode ser medido o condicionamento de um sistema linear? 
 
Dado um SEL BAX = , o seu número de condicionamento é dado por: 
 
1AA)A(Cond −= . 
 Quanto maior for )A(Cond , mais sensível será o sistema linear. 
 Utilizamos ∑==
=≤≤
∞
n
1i
ij
ni1
amaxAA , a norma do máximo das linhas. 
Ex: 
 





=
501,75,1
51
A , 





−
−
=
−
10001500
50007501
A 1 
 
51
1
101501,112521AA)A(Cond
12501A,001,9A
⋅≅==
==
−
−
 
 
 
3.3-Método de Resolução de Sistemas 
 
 
Métodos Diretos: A solução exata é obtida realizando-se um número finito de operações a-
ritméticas em ℜ (com precisão infinita): Eliminação de Gauss e Gauss Jordan. 
 
Métodos Iterativos: A solução x é obtida como limite de uma seqüência de aproximações 
sucessivas x1, x2, ... . 
 
 
Método de Gauss-Jordan (Matriz Inversa) 
 
 A solução do SEL BAX = é calculado utilizando BAX 1−= se 0Adet ≠ . 
Obs.: Ver exercício 9. 
 
 
 
 
26
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
Método de Eliminação de Gauss 
 
Algoritmo básico de Gauss: A solução de BAX = é calculada em duas etapas: 
 
 
1º- Triangularização : Mediante operações elementares nas linhas, a matriz A é transforma-
da numa matriz triangular superior. 
 
 
Algoritmo: para 1n,,1k −= K (indica a linha do pivô) 
 para n,,1ki K+= (indica a linha a transformar de A) 
 
kk
ik
a
a
m
−
= 
 0aik = 
 para nkj ,,1K+= (indica a coluna a transformar da linha i) 
 amaa kjijij ⋅+= 
 bmbb kii ⋅−= 
 
 
Obs.: Se 0aii = é necessário trocar de linha, se possível. 
 
 
 2º- Retro-substituição: A triangularização transforma o sistema BAX = , no sistema equi-
valente: 
 
 
dxc
dxcxc
dxcxcxc
dxcxcxcxc
nnnn
3nn3333
2nn2323322
1nn1313212111
=
=++
=+++
=++++
LLLLLLL
L
L
L
 
cuja solução é dada por: ( )
( )
11
nn13132121
1
1n,1n
nn,1n1n
1n
nn
n
n
a
xcxcxcd
x
,
a
xcd
x,
c
d
x
+++−
=
−
==
−−
−−
−
L
 
 
 
 
Teorema: O método de Gauss produz sempre a solução exata do sistema BAX = (utilizando preci-
são infinita) se 0det ≠A e as linhas de Aforem permutadas quando 0aii = . 
 
 
 
 
27
Sistemas de Equaçõe Lineares 
 
 
 
 
 
Exemplo: Estimar a solução do sistema linear utilizando o método da eliminação de Gauss. 







=−++−
=+++
−=−++−
=+−−
174x3x5,152x221x12
164x5,53x25,62x5,71x
5,64x63x5,62x71x6
124x63x32x21x4
 
 














−
−−
−−
−−
17
16
5,6
12
15,152212
5,525,65,71
65,676
6324
 L2=L2+(6/4)L1; L3=L3-(1/4)L1; L4=L4+3L1 













−−
53
13
5,11
12
175,6160
4780
3240
6324
 L3=L3-2L2; L4=L4-4L2 














−
−
−
−−
7
10
5,11
12
55,100
2300
3240
6324
 L4=L4+(1,5/3)L3 














−−
−−
2
10
5,11
12
4000
2300
3240
6324
 
 
| Obtemos o sistema triangular, equivalente ao sistema dado. 
 
 
 
 
 
 
A solução é obtida por substituição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 







=
−=−
=++
=+−−
24x4
104x23x3
5,114x33x22x4
124x63x32x21x4
5,04x,33x,42x,21x =−===
28
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
Quando é utilizada aritmética do ponto flutuante, erros de arredondamento podem compro-
meter a solução obtida. 
 
 
Exemplo: Em ( )98,98,3,10F − , com arredondamento para número mais próximo de máquina 
“Ox”, a elminação de Gauss aplicada ao sistema 



=+
=+
6y2x2
5y2x0002,0
 produz 0x = e 5,2y = o que 
não satisfaz a segunda equação do sistema. 
 
 
 (Obs.: multiplicador 000.10m −= por ( )mLLL 122 += ) 
 
 
 
Gauss com Pivotamento Parcial 
 
 O método consiste em trocar linhas (ou colunas) de maneira a minimizar a propagação de 
erros nas operações. 
 Escolhas dos pivôs: 
 
1º pivô é o elemento de maior valor absoluto da coluna 1. 
2º pivô é o elemento de maior valor absoluto da coluna 2 e da diagonal para baixo. 
Procede-se da mesma forma para os demais pivôs: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando a técnica ao último exemplo 



=+
=+
5y2x0002,0
6y2x2
, em ( )98,98,3,10F − , com 
 arredondamento para número mais próximo de máquina “Ox”, obtemo 5,0x = e 5,2y = . 
 
 
 (Obs.: Neste caso o multiplicador é menor m= - 0,0001) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º pivô 
2º pivô 3º pivô 
29
Sistemas de Equaçõe Lineares 
 
 
 
Métodos Iterativos 
 
 Os sistemas lineares de grande parte são, em geral, esparsos (muito elementos 0aij = ). Os 
métodos diretos não preservam a esparsidade, enquanto que os métodos iterativos sim, além de a-
presentarem relativa insensibilidade ao crescimento dos erros de arredondamento. 
 
No sistema original BAX = , supondo n,,1i,0aii K=≠ , o vetor X é isolado mediante a se-
paração de diagonal principal: 
( )
( )
( )1n1n,n22n11nn
nn
n
nn23231212
22
2
nn13132121
11
1
xaxaxab
a
1
x
xaxaxab
a
1
x
xaxaxab
a
1
x
−−
−−−−=
−−−−=
−−−−=
K
MM
K
K
 
 
Metodo de Gauss-Jacobi 
 
 Dada a aproximação inicial X0, o processo iterativo produz aproximações sucessivas 
KK ,,,,
21 kXXX , obtidas de: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )





−−−−=
−−−−=





−−−−=
−
−
+
+
+
k
1n1n,n
k
22n
k
11nn
nn
1k
n
k
nn2
k
323
k
1212
22
1k
2
k
nn1
k
313
k
2121
11
1k
1
xaxaxab
a
1
x
xaxaxab
a
1
x
xaxaxab
a
1
x
K
MM
K
K
 
 
 
Método de Gauss-Seidel 
 Para X0 dado: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )1k 1n1n,n1k22n1k11nn
nn
1k
n
k
nn3
)k(
434
1k
232
1k
1313
33
1k
3
k
nn2
k
323
1k
1212
22
1k
2
k
nn1
k
313
k
2121
11
1k
1
xaxaxab
a
1
x
xaxaxaxab
a
1
x
xaxaxab
a
1
x
xaxaxab
a
1
x
+
−
−
+++
+++
++
+
−−−−=
−−−−−=
−−−−=
−−−−=
K
MM
K
K
K
 
 
30
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
Critério de Convergência 
 
O teorema abaixo estabelece uma condição suficiente para a convergência dos métodos 
de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel. 
 
 
Teorema 
Dado o sistema linear YAX = , se a matriz A é Diagonalmente Dominante, isto é, 
se iaa
ij ijii
∀∑>
≠
, então tanto o método de Jacobi como o de Gauss-Seidel gera uma 
seqüência ( )( )kX convergente para a solução do sistema dado, independente da escolha da 
aproximação inicial ( )0X . 
 
 
 
Exemplo: 
 
Resolver o sistema abaixo por Gauss- Jacobi e Gauss-Seidel. 
Critério de Parada: erro absoluto da solução calculada for menor que 10-3. 
 







−
−
=+
=+
=+−
=−+
5,1
1
3
2
xx5,0
xx2
x2x
xx4x
31
41
43
421
 
 
 
Reordenamos a fim de satisfazer ao critério de convergência. 
 
 







−
−
=+−
=+
=−+
=+
3
5,1
2
1
x2x
xx5,0
xx4x
xx2
43
31
421
41
 
12
5,01
114
12
−>
>
−+>
>
 
 
 
Como a matriz dos coeficientes , após a reordenação, é diagonalmente dominante, então a 
aplicação dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel produzirá uma seqüência ( )( )kX convergen-
te para a solução exata. 
 
 
31
Sistemas de Equaçõe Lineares 
 
 
 
 
 
 
 
Gauss-Jacobi 
 
Fórmulas iterativas: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )k
3
)k(
31k
4
k
1
1k
3
k
4
k
1
)k(
4
)k(
11k
2
k
4
)k(
41k
1
x5,05,1
2
)x3(
x
x5,05,1x
x25,0x25,05,0
4
)xx2(
x
x5,05,0
2
x1
x
+−=
+−
=
−=
+−−=
+−−
=
−=






−
=
+
+
+
+
 
 
 
Aproximação inicial: ( ) 0X 0 = . 
 
k x1k x2k x3k x4k 
0 0 0 0 0 
1 0,5 0,5 1,5 -1,5 
2 1,25 -1,0 1,25 -0,75 
3 0,875 -1,0 0,875 -0,875 
4 0,9375 -0,9375 1,0625 -10625 
5 1,03125 -1,0000 1,03125 -0,96875 
6 0,984375 -1,0000 0,984375 -0,984375 
7 0,9921875 -0,9921875 1,0078125 -1,0078125 
8 1,00390625 -1,0000 1,00390625 0,9960375 
9 0,998046875 -1,0000 0,998046875 -0,998046875 
10 0,9990234375 -0,999023437 1,000976563 -1,000976563 
11 1.000488282 -1.0000000 1.000488281 -0,999511718 
: : : : : 
40 1 -1 1 -1 
 
na 12a. iteração consegue-se ( ) 51112 10xx −<− 
 
32
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
Gauss-Seidel 
 
Fórmulas iterativas: 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1k
3x5,05,1
1k
4x
1k
1x5,05,1
1k
3x
k
4x25,0
1k
1x25,05,0
1k
2x
k
4x5,05,0
1k
1x
++−=+
+
−=
+
++−−=+
−=
+
 
 
k x1k x2k x3k x4k 
0 0 0 0 0 
1 0,5 -0,625 1,25 -0,875 
2 0,9375 0,953125 1,03125 -0,984375 
3 0,9921875 -0,994140625 1,00390625 0,99806875 
4 0,9990234375 -0,9992675781 1,000488281 -0,999755895 
5 0,999877929 -0,999908447 1,000061035 -0,999969482 
: : : : : 
12 1 -1 1 -1 
 
 
( ) ( ) 545 10xx −<− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33
Sistemas de Equaçõe Lineares 
 
 
Aplicação 
A distribuição de temperatura numa placa, quando a temperatura nas bordas é conhecida, é uma 
consideração importante no estudo da transferência de calor . Supomos que a placa da figura repre-
sente um seção transversal de uma barra de metal, com fluxo de calor desprezível na direção per-
pendicular à placa. Sejam T1, T2 , T3 e T4 as temperaturasnos quatro vértices interiores do reticu-
lado da figura. A temperatura num vértice é aproximadamente igual à média aritmética dos quatro 
vértices vizinhos mais próximos (à esquerda, acima, à direita e abaixo). 
Estimar T1, T2 , T3 e T4, utilizando o método de Gauss Seidel. 
 
 
 10 0 10 0 
 
 
 
0 0 
 
 
 
T1 
 
 
 
T2 
 
 
 
0 0 
 
 
 
0 0 
 
 
 
T3 
 
 
 
T4 
 
 
 
0 0 
 
 
 
 
 
 10 0 10 0 
 
 
)1k(3T25,0)1k(2T25,05,2)1k(4T
)k(4T25,0)1k(1T25,05,2)1k(3T
)k(4T25,0)1k(1T25,05,2)1k(2T
)k(2T25,0)k(3T25,05,2)1k(1T
++++=+
+++=+
+++=+
++=+
 
 
 
k T1k T2k T3k T2k 
0 0 0 0 0 
1 2,5 3,125 3,125 4,0625 
2 4,0625 4,53125 4,53125 4,765625 
3 4,765625 4,8828125 4,8828125 4,94140625 
4 4,94140625 4,970703125 4,970703125 4,9853515625 
5 4,9853515625 4,99267578125 4,99267578125 4,996337890625 
6 4,996337890625 4,9981689453125 4,9981689453125 4,99908447265625 
7 4,99908447265625 4,999542236328125 4,999542236328125 4,9997711181640625 
8 4,9997711181640625 4,99988555908203125 4,99988555908203125 4,99994277954101562 
: : : : : 
 5 5 5 5 
34
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
EXERCÍCIOS 
1) Uma consideração importante no estudo da transferência de calor é a de se determinar a 
distribuição de temperatura numa placa, quando a temperatura nas bordas é conhecida. 
Supomos que a placa da figura represente um seção transversal de uma barra de metal, com 
fluxo de calor desprezível na direção perpendicular à placa. Sejam T1, T2 , ..., T6 as tem-
peraturas nos seis vértices interiores do reticulado da figura. A temperatura num vértice é aproxi-
madamente igual à média aritmética dos quatro vértices vizinhos mais próximos (à esquerda, aci-
ma, à direita e abaixo). Por exemplo: 
T1 = ( 10 + 20 + T2 + T4 )/4 ou 4T1 = 10 + 20 + T2 + T4 
a) Escrever o sistema de seis equações, cuja solução fornece estimativas para as temperatu-
ras T1, T2 , ..., T6. 
b) Resolver o sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Num experimento num túnel de vento, a força sobre um projétil devido à resis-
tência do ar foi medida para velocidades diferentes. 
119
10
3.74
8
6.39
6
8.14
4
90.2
2
0
0
força
velocidade
 
Expressar a força como função da velocidade aproximando-a a um polinômio de quinto 
grau: 
5
5
4
4
3
3
2
21o vavavavavaa)v(f +++++= 
Verificar a validade de )(vf encontrada e obter uma estimativa para a força sobre o projétil 
quando ele estiver se deslocando a uma velocidade de 1, 3, 5, 7 e 9 unidades de velocidade. 
 
 
3) Considere o sistema (#) 





=++
=++
=++
78,0x2,0x25,0x33,0
08,1x25,0x33,0x5,0
83,1x33,0x5,0x
321
321
321
. 
 a) (#) é bem ou mal condicionado? Porque? O que isso significa? 
 b) Resolver (#) pelo método de Gauss sem pivotamento. 
 
 
1
 20o 20o 20o 
 20o 20o 20o 
40o 
 
 
 
40o 
 
10o 
 
 
 
10o 
1 2 3 
4 5 6 
35
Sistemas de Equaçõe Lineares 
 
 
4) Idem ao 3 para 








=++++
=++++
=++++
=++++
=++++
2520/1879x9/1x8/1x7/1x6/1x5/1
840/743x8/1x7/1x6/1x5/1x4/1
420/459x7/1x6/1x5/1x4/1x3/1
60/87x6/1x5/1x4/1x3/1x2/1
60/137x5/1x4/1x3/1x2/1x
54321
54321
54321
54321
54321
 
 
5) Resolver por Eliminação de Gauss com pivotamento parcial. 
 
a)











=+−++−+
−=−−−+−+
=+++−++
=−−++++−
=++−++−
=+−++++
=+−−++−
34x9xx7x2xx2x7
10xx4xx11x8x9x2
13xxx2x7xx3x4
8x2xx7x2x3xx
24x11x6xx5x7xx2
17x2x9xx15x9xx
47x8x3x2x4x6x5x3
7654321
7654321
7654321
7654321
7654321
7654321
7654321
 
 b)





=−−+
=−−
=++−
255x10x35x
4414x41x72x
8342x2xx
321
321
321
 c) 







=−++
−=++−
=−++
=+−+
9.9xx5.2x2.0x
9.3x2.5xxx3.0
9.21x5.8x4x5.0x4.0
7.2xx1.0xx2
4321
4321
4321
4321
 
 
6) Referente ao sistema linear AX=B, verificar se a afirmação é Verdadeira ou falsa . 
i) Se det A = 0 então o sistema não tem solução .Justificar verificando o que acontece em : 
 a) 





=+−
=+
=+−
2xx2
4xx
5xxx
32
21
321
 e b) 





=+
=−
=+
0xx
0xx
0xx
32
31
21
 
ii) Se A não é uma matriz Diagonal Dominante então os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel 
não geram uma sequência convergente para a solução . Justificar verificando o que acontece com 
 a) 



−=−
=+
3y3x
3yx
 b)



=+
−=−
3yx
3y3x
 
 
7) Resolver pelo Método de Gauss-Seidel. Apresentar as fórmulas iterativas e uma garantia de con-
vergência (se possível). 
 a) 







=+−+
=−++
=+++
=++−
82x7x12x66x17
34x18x11x22x56
26x10x17x16x11
18x20x47x5x3
4321
4321
4321
4321
 b) 





=++
=+−
=++
31x6x3x2
1x2x9x
30x3x2x8
321
321
321
 
 
8) Resolver o sistema de equações algébricas não lineares: 







=++
=++
=++
15z4yx
18zy4x
11zyx4
2
2
2
 
36
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
9) Resolver 





=++
=++
=++
3321
2321
1321
bx4x3x5
bx2x3x
bx7xx2
 
 para: 
 
a) b1 =16 b2 = -5 b3=11 b) b1 =25 b2 = -11 b3 = -5 c) b1 =3 b2 = 5 b3 = -5 
 
 
10) Utilizando Eliminação Gaussiana calcular detA. 
a) A = 












−−−
−−−
−−
−−−−
1322
1413
2101
2132
 b) A = 
















−
01301
25.09110
30350
00023
05.0807
 
 
11) Qual o Resíduo produzido pela solução aproximada X’= [ -3 4 0]T de 
 





=++
=++
=++
64.0x25.0x21.0x15.0
52.0x24.0x16.0x12.0
84.0x12.0x36.0x24.0
321
321
321
 
 
 
Respostas: 
1) Solução obtida utilizando Maple: 
>solve({4*T1=10+20+T2+T4,4*T2=T1+20+T3+T5,4*T3=T2+20+40+T6, 
4*T4=10+T1+T5+20,4*T5=T4+T2+T6+20, 4*T6=T5+T3+40+20}, {T1,T2,T3,T4,T5,T6}); 
 {T6 = 190/7, T5 = 150/7, T4 = 120/7, T3 = 190/7, T1 = 120/7, T2 = 150/7} 
> evalf(%); 
 {T6 = 27.14285714, T5 = 21.42857143, T4 = 17.14285714, 
 T3 = 27.14285714, T1 = 17.14285714, T2 = 21.42857143} 
 
2) Solução utilizando o sistema Maple: 
>solve({a0=0,2.90=a0+a1*2+a2*4+a3*8+a4*16+a5*32, 
14.8=a0+a1*4+a2*(4^2)+a3*(4^3)+a4*(4^4)+a5*(4^5), 
39.6=a0+a1*6+a2*(6^2)+a3*(6^3)+a4*(6^4)+a5*(6^5), 
74.3=a0+a1*8+a2*(8^2)+a3*(8^3)+a4*(8^4)+a5*(8^5), 
119=a0+a1*10+a2*(10^2)+a3*(10^3)+a4*(10^4)+a5*(10^5)}, {a0,a1,a2,a3,a4,a5}); 
 {a0 = 0, a2 = -1.194791667, a5 = .002604166667, a4 = -.07005208333, 
 a3 = .6614583333, a1 = 1.712500000} 
 
>f:=x->1.712500000*x-1.194791667*x^2+.6614583333*x^3-.7005208333e-
1*x^4+.2604166667e-2*x^5; 
 
> validade:=[f(0),f(2),f(4),f(6),f(8),f(10)]; 
 validade := [0, 2.899999998, 14.80000000, 39.60000000, 74.29999994, 119.0000000] 
 
> estimativas:=[f(1),f(3),f(5),f(7),f(9)]; 
 estimativas := [1.111718750, 7.202343750, 25.73046873, 55.89609367, 94.9992188] 
37
Sistemas de Equaçõe Lineares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3-a) Mal condicionado. NORM A ≅ 0,000181. Uma pequena perturbação nos dados de entrada po-
de causar uma grande alteração na solução. 
 b) A solução exata é X=[1 1 1]T 
 
4 - NORMA ≅ 0,00257, a solução exata é X=[1 1 1 1 1 1 1]T 
 
5- a)X=[-21,86188 11,46568 2,376447 -8,514801 0,7475478 -15,50981 18,08498]T 
 b) solução exata X=[1 0 2]T 
 c) solução exata X=[1 2 3 -1]T 
 
6-i) a) detA=0 e o sistema e incompatível 
 b) detA = 0 e o sistema tem infinitas soluções dadas por x=z e y=-z 
 ii) A não é matriz Diagonal Dominante e Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel 
 a) converge (oscilando) para a solução exata [1.5 1.5]T 
 b) diverge 
 
7 - a) X(10) = [-0.930569 1.901519 1.359500 -1.906078]T 
 X(35) = [-1.076888 1.990028 1.474477 -1.906078]T 
 b) solução exata X = [2 1 4]T 
 
8 - A solução exata é x =1 y= 2 z = 3. 
 
9 - soluções exatas: a) X = [3 -4 2]T b) X = [2 -7 4]T c) X = [-3 2 1]T 
 
10 - a) detA = -55 b) det A = 706.875 
 
11 - R = [0.12 0.24 0.25]T 
38
 
4.Interpolação Polinomial 
 
 
4.1 Objetivo: 
 Dado um conjunto de n+1 pontos distintos ))x(f,x( ii , n,...,1,0i = , queremos determinar o 
polinômio p(x) talque ),x(f)x(p ii = e para os demais pontos do intervalo 
)x(f)x(p ≅ , [ ]no x;xx ∈∀ . O polinômio p(x) é dito polinômio aproximante ou interpolador de 
f(x) no intervalo [ ]nxox , . 
 
 
4.2 Aplicações 
• Obter uma expressão analítica aproximada de uma função que é conhecida em apenas um 
número finito de pontos; 
• Avaliar a função num ponto não tabelado [ ]nxoxx ;*∈ ; 
• Determinar aproximações para ∫ n
x
ox
dxxf )( , substituindo a f(x) pelo polinômio interpola-
dor; 
• Calcular uma aproximação para )(' xf para [ ]nxoxx ;∈ , substituindo f(x) por p(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Existência e Unicidade da Solução 
 
 Dados ℜ∈ix e ,)x(f i ℜ∈ n,...,1,0i = , procuramos nP)x(p ∈ tal que 
iii x),x(f)x(p ∀= . 
 Seja ∑
=
=++++=
n
k
kxka
nxnaxaxaoaxp
0
...
2
21)( . 
 
39
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 Então de =)x(p i ∑
=
=
n
0k
i
k
ik ),x(fxa obtemos: 









=++++
=++++
=++++
n
n
nn
2
n2n10
1
n
1n
2
12110
0
n
0n
2
02010
fxa...xaxaa
..............................................
fxa...xaxaa
fxa...xaxaa
, 
 
o qual representa um sistema linear de ordem n+1 onde as n+1 incógnitas são os ,ka n,0k = e a 
matriz dos coeficientes é dada por: 
A =






















n
n
2
nn
n
2
2
22
n
1
2
11
n
0
2
00
x..xx1
......
......
......
x..xx1
x..xx1
x..xx1
 
 
 De acordo com Vandermonde, det A =








−∏∏
+=
−
=
n
1ij
ij
1n
0i
)xx( . Como os pontos são 
distintos, a diferença ixjx − será sempre diferente de zero, e então detA ≠ 0. Portanto o polinômio 
interpolador existe e também é único. 
 
 
 
4.3Polinômio Interpolador de Newton Para Diferenças Finitas Ascendentes 
 
 Dados ( )ii y,x , )x(fy ii = i=0,1,2,...,n satisfazendo 
hxx....xxxx 1nn1201 =−==−=− − , 
isto é , hxx i1i =−+ . 
Para k = 1, 2, ...n, e i= 0, 1, 2, ..., n-k , a diferença finita de ordem k é dada por 
 
i
1k
1i
1k
i
k yyy −+
−
−= ∆∆∆ . 
 
 
 E, o polinômio interpolador de Newton para diferenças finitas ascendentes é dado por : 
o
n
n
1n1o
o
2
2
1o
0
o
o y
h!n
)xx()xx)(xx(
y
h!2
)xx)(xx(
y
h
)xx(
y)x(p ∆∆∆ −−−−++−−+−+= LL 
 
 
 
40
4-Interpolação Polinomial 
 
 
Exemplo1: 
O alongamento de uma mola foi medido em função da carga aplicada. Obteve-se: 
 
3,6
8
0,5
6
5,2
4
0,1
2
)cm(oalongament
)kg(aargc
 
Estimar o alongamento para o caso de ser aplicada uma carga de 7kg , utilizando o polinômio in-
terpolador de Newton para diferenças finitas. 
 
Solução: 
 
1) Tabela das diferenças finitas: 
i ix iy iy∆ i2 y∆ i3 y∆ 
0 2 1 1.5 1 -2.2 
1 4 2.5 2.5 -1.2 -------------------- 
2 6 5 1.3 -------------------- -------------------- 
3 8 6.3 -------------------- -------------------- -------------------- 
 
2) Polinômio interpolador: 
( ) ( )( ) ( )( )( ) )2,2.(
)2(!3
6x4x2x1.
)2(!2
4x2x5,1.
2
2x1)x(p 32 −
−−−
+
−−
+
−
+= 
 
7,2x016666667,2x675,0x30458333333,0)x(p 23 +−+−= 
 
3) Verificação de validade de p(x) : 9999999994,0)2(p = ( 1≅ ) 
 4999999999,2)4(p = ( 5,2≅ ) 
5)6(p = e p(8)=6.3 
4) Estimativa do alongamento ao se aplicar uma carga de 7kg: 
 O alongamento da mola neste caso é aproximadamente 9375,5)7(p = cm. 
5) Análise gráfica do problema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
4.4 Polinômio Interpolador de Newton Para Diferenças Finitas Divididas 
 
 Dados ( )iyix , , ),( ixfiy = i= 0, 1, 2, ..., n os pontos ix podem ter um espaçamento 
qualquer, não necessariamente eqüidistantes. 
 
O polinômio de Newton para diferenças divididas é dado por: 
oy
n
n
xxxxoxxoyxxoxxyoxxoyxp ∆
−
−−−++∆−−+∆−+= )1)...(1)((...
2)1)((0)()( , 
 
onde, para k = 1, 2, ..., n, e i= 0, 1, 2, ..., n-k a diferença dividida de ordem k é dada por 
iki
i
1k
1i
1k
i
k
xx
yy
y
−
−
=
+
−
+
− ∆∆
∆ 
 
Por exemplo, para o caso de n = 4: 
 
i ix iy iy∆ i
2 y∆ i
3 y∆ i
4 y∆ 
0 0x
 
0y
 
01
01
xx
yy
−
−
 
02
01
xx
yy
−
− ∆∆
 
03
0
2
1
2
xx
yy
−
− ∆∆
 
04
0
3
1
3
xx
yy
−
− ∆∆
 
1 1x 1y
 12
12
xx
yy
−
−
 
13
12
xx
yy
−
− ∆∆
 
14
1
2
2
2
xx
yy
−
− ∆∆
 
-----------------------
-----------------------
-------------------- 
2 2x
 
2y
 23
23
xx
yy
−
−
 
24
23
xx
yy
−
− ∆∆
 
---------------------
---------------------
------------------ 
-----------------------
-----------------------
-------------------- 
3 3x
 
3y
 34
34
xx
yy
−
−
 
---------------------
---------------------
------------------ 
---------------------
---------------------
------------------ 
-----------------------
-----------------------
-------------------- 
4 4x
 
4y
 
--------------- -------------------- -------------------- ---------------------- 
 
Observação: Para h constante , a relação entre diferenças divididas e finitas é dada por : 
i
k
ki
k y
h!.k
1y ∆∆ = . 
Exemplo: 
 
x f(x) iy∆ i
2 y∆ i
3 y∆ i
4 y∆ 
0 0 4 5 1 0 
2 8 19 10 1 ----- 
3 27 49 14 ----- ----- 
5 125 91 ----- ----- ----- 
6 216 ----- ----- ----- ----- 
 
 
 
 
42
4-Interpolação Polinomial 
 
 
Exemplo2: 
 
A velocidade do som na água varia com a temperatura conforme tabela: 
532,1
110
538,1
4,104
544,1
9,98
548,1
3,93
552,1
86
 )s/m(velocidade
) C(atemperatur o
 
 Solução: 
 
1) Cálculo das diferenças divididas 
 
x y 0y∆ 0
2y∆ 0
3y∆ 0
4y∆ 
86 1.552 -0.00054794 -0.00001289 -0.114 x 10-5 0.136 x 10-6 
93.3 1.548 -0.00071428 -0.00003393 0.213 x 10-5 --------------- 
98.9 1.544 -0.00109090 0.175 x 10-5 ------------------------------ 
104.4 1.538 -0.00107142 --------------- --------------- --------------- 
110 1.532 --------------- --------------- --------------- --------------- 
 
 2) Construção do polinômio: 
)9.98x)(3.93x)(86x()00001289.0)(3.93x)(86x()00054794.0)(86x(552.1)x(p −−−+−−−+−−+=
(-0.114 x 10 5− )+ )4.104x)(9.98x)(3.93x)(86x( −−−− (0.136 x 10 6− ) 
 Simplificando a expressão , encontramos 
5036369194.0x830077947032.0x99260000534327.0x10840.13666902p(x) 234-6 −+−×=
 
3) Verificação da validade de p(x) calculado no item 2: 
1.55199999)86(p = ; 548.1)3.93(p = ; 544.1)9.98(p = ; 
 537999999.1)4.104(p = ; 532.1)110(p = 
 4) Estimativa da velocidade do som quando a temperatura da água atinge 100 C0 , é 
1.54293925)100(p ≅ m/s 
 
6) Análise gráfica do problema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
 
4.5 Erro de Truncamento 
 
 [ ]nxxnf
n
x
xE ,0),()1()!1(
)()( ∈+
+
= ξξϕ com 
i
1n
n101n
0
1n
n10 y)*xx)...(xx)(xx(
h)!1n(
f)xx)...(xx)(xx()x( +
+
+
−−−=
+
−−−= ∆∆ϕ , 
pois i
k
ki
k f
h!.k
1y ∆∆ = , para h constante. 
 
 
4.6 Aplicações utilizando o sistema Maple 
 
APLICAÇAO 1 
Cinquenta animais de uma espécie ameaçada de extinção foram colocados numa re-
serva e um controle populacional mostrou os dados: 
 
69
13
73
10
76
7
77
5
73
3
60
1
50
0
animaisdequantidade
)anos(t
 
a) Determinar a matriz de Vandermonde para o problema e determinar o valor do respectivo 
Número de Condicionamento (Cond e Determinante Normalizado). O que podemos conclu-
ir? 
b) Determinar o polinômio interpolador utilizando todos os dados tabelados. 
c) Verificar a validade do modelo encontrado. 
d) Estimar a a população no quarto ano. É possível estimar a população no décimo quinto ano utili-
zando o polinômio determinado no ítem b. 
e) Em que ano essa população animal atingiu seu máximo? Qual a população máxima atingida? 
f) Plotar num mesmo sistemas de eixos os pontos tabelados e a e o polinômio interpolador determi-
nado no ítem b. 
Resposta: 






















=
65432
65432
65432
65432
65432
1313131313131
1010101010101
7777771
5555551
3333331
1111111
0000001
V 
Determinante Normalizado= 0.9072675023 x 10 -11 
 
Cond (V)= 39124291.11 
 
p(t) = .5095984263e-4*t^6-.2488977072e-2*t^5+.4187474562e-1*t^4-.2409954552*t^3-
.6536635972*t^2+10.85522232*t+50. 
 
p(4) ≅ 75.91851648 
população máxima ≅ p(5.312779138)= 77.05456458 
44
4-Interpolação Polinomial 
 
 
 
 
APLICAÇÃO 2 
Para determinar a resistência elétrica de um solo num sistema 
de aterramento, enterra-se duas hastes de cobre e aplica-se 
uma determinada voltagem, resultando numa corrente elétri-
ca. Numa experiência deste tipo, foram obtidos os seguintes 
dados: 
5,4
50
3,4
47
5,3
40
8,2
35
2
30
))A(amperecorrente(y
))V(voltsvoltagem(x
−
−
 
Estimar a corrente se a voltagem aplicada for de 43V usando o Po-
linômio Interpolador de Newton. 
Resposta: p(43) ≅ 3,88 
 
 
 
 
APLICAÇÃO 3 
“Ao considerar que no Japão a vida média já é superior a 81 anos, a esperança de vida no Brasil de 
pouco mais que 71 anos ainda é relativamente baixa. E, de acordo com a projeção mais recente da 
mortalidade, somente por volta de 2040 o Brasil estaria alcançando o patamar de 80 anos de espe-
rança de vida ao nascer. (Ver www.ibge.gov.br em População / Tábuas Completas de Mortalidade). 
A esperança de vida ao nascer de 71,3 anos coloca o Brasil na 86ª posição no ranking da ONU, 
considerando as estimativas para 192 países ou áreas no período 2000-2005 (World Population 
Prospects: The 2002 Revision; 2003). Entre 1980 e 2003 a esperança de vida ao nascer, no Brasil, 
elevou-se em 8,8 anos: mais 7,9 anos para os homens e mais 9,5 anos para as mulheres. Em 1980, 
uma pessoa que completasse 60 anos de idade teria, em média, mais 16,4 anos de vida, perfazendo 
76,4 anos. Vinte e três anos mais tarde, um indivíduo na mesma situação alcançaria, em média, os 
80,6 anos. Aos 60 anos de idade os diferenciais por sexo já não são tão elevados comparativamente 
ao momento do nascimento: em 2003, ao completar tal idade, um homem ainda viveria mais 19,1 
anos, enquanto uma mulher teria pela frente mais 22,1 anos de vida”.Na tabela acima obtemos 
45
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
informações sobre a esperança de vida às idades exatas, especialmente, a esperança de vida ao 
nascer que expressa o número médio de anos que se espera viver um recém-nascido (que, ao 
longo da vida, estivesse exposto aos riscos de morte da tábua de mortalidade em questão 
http://www.ibge.gov.br/home/presidencia/noticias/noticia_visualiza.php?id_noticia=266&id_pagina=1). 
Além dos múltiplos usos, não somente pela Demografia e Previdência Provada, mas também pelas 
demais Ciências Sociais, a tabela é utilizada para determinar, juntamente com outros parâmetros, o 
chamado fator previdenciário para o cálculo das aposentadorias das pessoas regidas pelo Regime 
Geral de Previdência Social. 
TAREFA: Considerar os resultados de 2003. 
0.15
70
4.18
65
1.22
60
0.26
55
1.30
50
3.48
30
0.53
25
8.57
20
6.62
15
5.67
10
2.75
0
Mulheres)2003em,anos(vidadeectativaexp
2003emidade
−
 
 
1.13
70
9.15
65
1.19
60
5.22
55
2.26
50
5.42
30
8.46
25
0.51
20
5.55
15
4.60
10
6.67
0
Homens)2003em,anos(vidadeectativaexp
2003emidade
−
 
A) Determinar o polinômio interpolador utilizando todos os dados tabelados. Sugestão: ?interp 
B) Verificar a validade do modelo encontrado. 
C) Plotar num mesmo sistema de eixos os pontos tabelados e a e o polinômio interpolador determinado 
no item b. 
D)Estimar a expectativa de vida para pessoas com idade em 2003, variando de 14 a 30 anos. 
 
> Estimativas_mulheres:= array( [ seq( [i, pexpvidam(i)], i = 
14..30)]); 
> Estimativas_homens:= array( [ seq( [i, pexpvidah(i)], i = 
14..30)]); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 := Estimativas_mulheres
























































































14 63.56097596
15 62.6000001
16 61.6414611
17 60.6831095
18 59.7236187
19 58.7625088
20 57.8000000
21 56.8368317
22 55.8740682
23 54.9129142
24 53.954550
25 53.000000
26 52.050032
27 51.105097
28 50.165308
29 49.230445
30 48.300001
 := Estimativas_homens
























































































14 56.46550812
15 55.5000000
16 54.5559710
17 53.6353083
18 52.7375232
19 51.8602890
20 51.0000001
21 50.1523108
22 49.3126236
23 48.476507
24 47.640028
25 46.800001
26 45.954138
27 45.101122
28 44.240601
29 43.373125
30 42.500001
46
4-Interpolação Polinomial 
 
 
 
 
4.7 Exercícios 
(Fonte: Cálculo Numérico Computacional. Claudio, Dalcídio Moraes e Marins, Jussara M. São 
Paulo: Ed.Atlas,1994.) 
 
 1. A tabela abaixo dá o volume de água num tanque elástico (usado para transpor-te de 
óleo, leite, etc. em caminhões)para várias cotas de água. Determinar y(0,12). 
x(m) 0,1 0,6 1,1 1,6 2,1 
y )3(m 1,1052 1,8221 3,0042 4,9530 8,1662 
 
 
 2. Uma hidroelétrica tem capacidade máxima de 60Mw, a qual é determinada por três geradores de 
respectivamente 30Mw, 15Mw e 15Mw. 
 A demanda de energia varia num ciclo de 24h e é uma função dela que o engenheiro ope-
racional distribui as tarefas dos geradores. 
 Sabe-se que a demanda mínima ocorre entre 1 e 5h e a demanda máxima entre 13 e 17h . 
Pede-se para achar a partir dos dados abaixo essas demandas máximas e mínimas . 
H 2 3 4 5 13 14 15 16 17 
Demanda 
(Mw) 
16,4 15,2 14,9 16 28 36,5 43 34 31,2 
 
 3. Um paraquedista realizou seis salto; saltando de alturas distintas em cada salto, foi 
testada a precisão de seus salto em relação a um alvo de raio de 5m, de acordo com a altura. A dis-
tância apresentada na tabela abaixo é relativa à circunferência. 
ALTURA (m) DISTÂNCIA DO ALVO 
1O SALTO (1500) 
2O SALTO (1250) 
3O SALTO (1000) 
4O SALTO (750) 
5O SALTO (500) 
35 
25 
15 
10 
7 
 
Levando em consideração os dados acima, a que provável distância do alvo cairia o paraquedista se 
ele saltasse de uma altura de 850m ? 
 
 
 4. Um veículo de fabricação nacional, após vários testes, apresentou os resultados abaixo, quando 
se analisou o consumo de combustível de acordo com a velocidade média imposta ao veículo. Os 
testes foram realizados em rodovia em operação normal de tráfego, numa distância de 72 km. Veri-
ficar o consumo aproximado para o caso de ser desenvolvida a velocidade de 80km/h. 
 VELOCIDADE (km/h) CONSUMO (km/l) 
55 14,08 
70 13,56 
85 13,28 
100 12,27 
120 11,3 
140 10,4 
47
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
 
 5. Numa esfera de superfície conhecida, o coeficiente de absorção 0,7 foi mantido à temperatura 
de 6000 Ko . Foi calculada a energia irradiada de acordo com o tempo de irradiação, obedecendo à 
tabela . Pede-se para obter a possível energia irradiada quando a irradiação atingir o tempo de 25 
minutos. 
ENERGIA IRRADIADA (Joules) TEMPO DE IRRADIAÇÃO (s) 
71,72 . 310 600 
94,72 . 310 800 
118,4 . 310 1000 
142,08 . 310 1200 
165,76 . 310 1400 
189,44 . 310 1600 
 
 
 6. Uma corda foi tensionada sob a ação de pesos distintos, quando para os respectivos 
pesos foram calculadas as devidas velocidades de propagação que estão indicadas abaixo. Pede-se 
para calcular a velocidade de propagação quando a corda está tensionada sob a ação de um peso de 
7250 gf. 
PESO (gf) VELOCIDADE (cm/s) 
6000 13728,13 
6500 14288,69 
7000 14828,07 
7500 15348,51 
8000 15851,87 
 
 
Respostas 
 
1) 126904937,1)12,0(p ≅ 
 
2) A demanda mínima é 8632,14 Mw. e ocorre entre 3h e 4h da manhã. 
 A demanda máxima é 101,43 Mw. e ocorre entre 14h e 15h. 
 
3) 4128,11)850(p = 
 
4) 
4512685,13)80(p
46701783,13)80(p
=
=
 
 
5) 
5937,177618)1500(p = 
 
6) p(7250) = 15090,53234 
 
48
5. Ajuste de Funções 
 
Aplicação1: Os dados tabelados descrevem a intensidade da luz como uma função da 
distância da fonte, I(d), medida num experimento. 
 Determinar I (d) ≅ Y (d) = 
CBdAd
1
2 ++
. 
 
15.0
75
18.0
70
21.0
65
24.0
60
28.0
55
34.0
50
42.0
45
52.0
40
67.0
35
85.0
30
I
d
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação 2:Segundo a lei de Boyle, o volume de um gás é inversamente proporcional à 
pressão exercida, mantendo-se constante a temperatura. Para um certo gás, foram observados 
os seguintes valores: 
04,1
5,3
15.1
0,3
28,1
5,2
43,1
0,2
60,1
5,1
91,1
0,1
27,2
5,0
85,2
0,0
Volume
essãoPr
 
Ajustar os dados tabelados a uma hipérbole do tipo: Vol(p) ≅
pB
A)p(Y
+
= 
 
 
49
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 Aplicação 3 : Crescimento Populacional Mundial 
 
 
908,6
60
2010
089,6
50
2000
276,5
40
1990
454,4
30
1980
708,3
20
1970
04,3
10
1960
555,2
0
1950
)bilhões(MundialPopulação
x
Ano
 
 Ajustar os dados modelo logístico 
BxAe1
12)x(Y
+
= . 
Obs: 12 bilhões é a capacidade suporte sugerida em : 
CHAPRA, Steven C., CANALE, Raymond P. Métodos Numéricos Para Engenhari,. São Paulo: : McGraw-Hill, 2008. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação 4 : Radiação Solar – Modelo Sinusoidal 
 
A radiação solar, numa determinada cidade, foi medida durante um ano e tabulada como 
131
D
159
N
211
0
260
S
287
A
308
J
359
J
351
M
311
A
245
M
188
F
144
J
)2^m/W(solarRadiação
)2015(mes
 
Supondo que cada mês dure 30 dias, utilizar a técnica dos mínimos quadrados para ajustar os 
dados ao modelo sinusoidal e estimar a radiação no mês de agosto do ano subsequente. 
)x0(sen.1B)x0cos(.1A0A)x(Y ωω ++= , T
pi
ω
2
0 = , T=360 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50
5 - Ajuste de Funções 
 
 
 
 5.1 Introdução 
 
 O ajustamento é uma técnica de aproximação. Conhecendo-se dados experimen-
tais , )y,x( ii , n,...,1,0i = , deseja-se obter a lei )x(fy = relacionando x com y. 
 Devido aos erros experimentais nos n+1 pares, ))x(f,x( ii , teremos em ge-
ral 11 )x(f ε+ ; 22 )x(f ε+ ; ... ; nn )x(f ε+ , isto é , é impossível calcular exatamente a 
função f(x). Por isso , em vez de procurarmos a função f tal que passa por cada um dos pontos 
experimentais, determinaremos a função que melhor se ajusta aos pontos dados. O ajusta-
mento traduz um comportamento médio. 
 
 Para ajustar uma tabela de dados a uma função devemos: 
 
• Conhecer a natureza física do problema ; 
 
• Determinar o tipo de curva a que se ajustam os valores tabulados (graficamente e/ou 
cálculo das diferenças finitas ou divididas) ; 
 
• Calcular os parâmetros da curva. 
 
 
5.2. Escolha da Função de Ajuste 
 
 Plotando os pontos dados ou usando diferenças(finitas ou divididas): 
 
a) Função Linear (regressão linear) : xaa)x(Y 10 += , se iy∆ ≅ cte ou iy∆ ≅ cte . 
 
b) Parábola (ajuste quadrático): 2210 xaxaa)x(Y ++= , se iy2∆ ≅ cte ou .2 cteiy ≅∆ 
 
c) Polinômio de grau p: se ip y∆ ≅ cte ou .cteyi
p
≅∆ 
 
d) Função Exponencial: xab)x(Y = , se .cte
x
ylog
i
i ≅
∆
∆
 
 
d) FunçãoPotência: pax)x(Y = , cte
xlog
ylog
i
i ≅
∆
∆
 
 
Outros tipos de Funções Ajuste: 
 
• xaa
y
1
xaa
1)x(Y 10
10
+=⇒
+
= ; ( ) ( ) .cte
x
y/1
y/1
i
i
i ≅= ∆
∆∆ 
 
 
• ;xaa
y
x
xaa
x)x(Y 10
10
+=⇒
+
= ( ) ( )( ) .ctex
y/x
y/x
i
ii
ii ≅= ∆
∆∆ 
 
51
E.B.Hauser – Cálculo Numérico 
 
 
 
• 
2
2102
210
xaxaa
Y
1
xaxaa
1)x(Y ++=⇒
++
= ; ( ) ( ) ( ) .cte
xx
y/1y/1
y/1
i2i
i1i
i
2
≅
−
−
=
+
+ ∆∆∆ 
 
 
 
• 
2cxbxae)x(Y += ; 2cxbxalnyln ++= , .cte
xx
ylnyln
i2i
i1i ≅
−
−
+
+ ∆∆
 
 
 
Exemplo: Considerando a tabela abaixo, como i,1yi
3 ∀=∆ , é adequado o ajuste dos dados 
abaixo tabelados a um polinômio de grau 3. 
 
 
i xi f(xi)=yi iy∆ iy2∆ iy3∆ iy4∆ 
0 0 0 4 5 1 0 
1 2 8 19 10 1 ----- 
2 3 27 49 14 ----- ----- 
3 5 125 91 ----- ----- ----- 
4 6 216