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1 Geometria analítica e álGebra linear atividade para avaliação exercício 1 (1,0 ponto) Determine, pelo método da substituição, as soluções dos sistemas lineares abaixo: a. S: x1 + 2x2 - x3 = 1 3x1 - x2 + x3 = 2 b. S: 2x - y + z = 0 x + y - 2z = 1 x - y - z = 2 exercício 2 (1,0 ponto) Classifique os sistemas abaixo conforme o número de soluções: a. S: x - 2y = 4 2x + y = 13 x - y = 2 b. S: x + 2y - z = 2 x - y = 3 2x + y - z = 5 Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 1–4 Atividade para Avaliação 2 exercício 3 (1,0 ponto) Escreva na forma matricial e resolva os sistemas abaixo por escalonamen- to da matriz aumentada: a. S: x + 3y - 2z = -4 2x + 3y + 3z = 1 -x + 2z = 6 b. S: x + 4y - z = 0 2x - y - z = 1 exercício 4 (1,0 ponto) Considere um triangulo ABC e seja X o ponto médio do lado BC escreva o vetor AX → em função dos vetores de AB → e AC → . Nos exercícios abaixo, todas as coordenadas são em relação a um sistema de coordenadas fixado de E3 (ou E2). exercício 5 Verifique se os seguintes vetores são LI ou LD. a. u → = (2,1,-1), v → = (1,3,0) e w → = (5,5,-2) (1,5 pontos) b. u → = (-1,4) e v → = (2,-1) (1,5 pontos) c. u → = (2,1,4) e v → = (4,2,7) (1,5 pontos) exercício 6 (1,5 pontos) Determine, caso existam, os valores de x para que os vetores u → = (2,1,x), v → = (x,3,0) e w → = (5,5,-x) sejam LD. Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 1–4 Atividade para Avaliação 3 Gabarito exercício 1 a. Da 1ª equação temos que x3 = x1 + 2x2 – 1, substituindo na 2ª equação obtemos: 3x1 - x2 + x1 + 2x2 - 1 = 2 ⇔ 4x1 + x2 = 3 ⇔ x2 = 3 - 4x1 Assim x3 = x1 + 2x2 - 1 = x1 + 6 - 8x1 - 1= 5 - 7x1 Logo as soluções do sistema são da forma: (x1,3 - 4x1,5 - 7x1), para x1 ∈ � Outras respostas são possíveis: Em função de x2: 3 - x2 4 , x2, 7x2 - 1 4 Em função de x2: 5 - x3 7 , 1 + 4x3 7 , x3 b. Da 1ª equação temos que y = 2x + z, substituindo na 2ª equação ob- temos: x + 2x + z - 2z = 1 ⇔ 3x - z = 1 ⇔ z = 3x - 1 Assim y = 2x + z = 2x + 3x - 1 = 5x - 1 Substituindo na 3ª equação temos: x - y - z = 2 ⇔ x - (5x - 1) - (3x - 1) = 2 ⇔ -7x = 0 ⇔ x = 0 Logo y = -1 e z = -1, assim temos a solução (0,-1,-1). exercício 2 a. Da 1ª equação temos x = 2y + 4 Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 1–4 Atividade para Avaliação 4 substituindo na 2ª equação 2(2y + 4) + y = 13 ⇔ 5y = 5 ⇔ y = 1 logo x = 6. Vamos verificar se o par (6,1) verifica a 3ª equação, 6 - 1 = 5 ≠ 2 logo o sistema S é impossível (SI). b. Da 2ª equação temos x = y + 3 substituindo na 1ª equação, y + 3 + 2y - z = 2 ⇔ 3y - z = -1 ⇔ z = 3y + 1 substituindo na 3ª equação, 2(y + 3) + y - (3y + 1) = 5 ⇔ 3y - 3y + 5 = 5 ⇔ 0 = 0 logo o sistema possui infinitas soluções da forma (y + 3,y,3y + 1), y ∈ �. (SPI) Outras respostas são possíveis: Em função de x: (x, x- 3, 3x - 8) Em função de z: 8 + z 3 , z - 1 3 , z exercício 3 a. S: x + 3y - 2z = -4 2x + 3y + 3z = 1 -x + 2z = 6 A = 1 3 -2 2 3 3 -1 0 2 , X = x y z e B = -4 1 6 , temos S: AX = B Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 1–4 Atividade para Avaliação 5 Vamos resolver o sistema acima escalonando a matriz aumentada do sistema: 1 3 -2 2 3 3 -1 0 2 -4 1 6 ∼ 1 3 -2 0 -3 7 0 3 0 -4 9 2 ∼ 1 3 -2 0 -3 7 0 0 7 -4 9 11 1 3 -2 0 -3 7 0 0 7 × x y z = -4 9 11 ou seja, x + 3y - 2z = -4 - 3y + 7z = 9 7z = 11 logo: z = 11 7 ⇒ -3y + 11 = 9 ⇔ -3y = -2 ⇒ y = 2 3 x + 3 × 2 3 - 2 × 11 7 = -4 ⇔ x + 2 - 22 7 = -4 ⇒ x = - 20 7 Temos a solução (- 20 7 , 2 3 ,11 7 ) b. S: x + 4y - z = 0 2x - y - z = 1 A = 1 4 -1 2 -1 -1 , X = x y z e B = 0 1 , temos S: AX = B Vamos resolver o sistema acima escalonando a matriz aumentada do sistema 1 4 -1 2 -1 -1 0 1 ∼ 1 4 -1 0 -9 1 0 1 1 4 -1 0 -9 1 × x y z = 0 1 Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 1–4 Atividade para Avaliação 6 x + 4y - z = 0 - 9y + z = 1 Da 2ª linha temos z = 9y + 1 substituindo na 1ª linha: x + 4y - (9y + 1) = 0 ⇔ x = 5y + 1 Logo as soluções são da forma (5y + 1,y,9y + 1). Outras respostas são possíveis: Em função de x: x, x - 1 5 , 9x - 4 5 Em função de z: 5z + 4 9 , z - 1 9 , z exercício 4 C A X B AX → = AB → + BX → mas BX → = 1 2 BC → e BC → = BA → + AC → , lembrando que BA → = - AB → AX → = AB → + 1 2 (BA → + AC → ) = AB → - 1 2 AB → + 1 2 AC → = 1 2 AB → + 1 2 AC → exercício 5 a. det 2 1 -1 1 3 0 5 5 -2 = -12 + 2 + 10 = 0, Logo {u → ,v → ,w → } é LD. Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 1–4 Atividade para Avaliação 7 b. det -1 4 2 -1 = 1 - 8 = -7, Logo {u → ,v → } é LI. c. u → = (2,1,4) e v → = (4,2,7) serão LD se, só se, forem paralelos, ou seja, se existir k ∈ �, tal que u → = kv → ⇔ (2,1,4) = k(4,2,7) ⇔ ⇔ 4k = 2 ⇒ k = 1 2 2k = 1 ⇒ k = 1 2 7k = 4 ⇒ k = 4 7 Como o valor de k deve ser o mesmo para as 3 equações, os vetores u → e v → não são LD, logo são LI. exercício 6 det 2 1 x x 3 0 5 5 -x = - 6x + x2 + (5x - 15)x = 6x2 - 21x = 0, 6x2 - 21x = 0 ⇒ x = 0 ou x = 21 6 = 7 2
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