Geometria Analítica e Álgebra Linear UNIVESP Semana 02

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Geometria analítica 
e álGebra linear
atividade para avaliação
exercício 1 (1,0 ponto)
Para qual valor de x o ponto A = (2x, -x, x + 1) está mais 
próximo do ponto B = (-1, 0, 2)? Qual é o valor desta 
distância?
exercício 2 (1,0 ponto)
Calcule o ângulo entre os vetores u
→
 = (1, 2, -2) e 
v
→
 = (-1, 0, 1). 
exercício 3 (1,0 ponto)
Dados os vetores u
→
 = (3, 1, -2) e v→ = (2, -2, 1) decompo-
nha o vetor v
→
 com soma de dois vetores, v
→
1 e v
→
2 sendo o 
1º paralelo a u
→
 e o 2º ortogonal a u
→
.
exercício 4 (1,0 ponto)
Calcule a área do triângulo de vértices A = (1, 0, -1), 
B = (2, 1,1) e C = (3, -2, 1).
exercício 5 (1,0 ponto)
Determine uma equação da reta perpendicular à reta 3x 
- y + 5 = 0 e que passe pelo ponto A = (2, -1).
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 5–8 Atividade para Avaliação 2
exercício 6 (1,0 ponto)
Encontre a equação vetorial da reta r determinada pelos pontos: 
A = (1, 1, 2) e B = (2, -1, 4)
exercício 7 (1,0 ponto)
Determine as equações vetorial e paramétricas do plano π que contém os 
pontos não alinhados A = (2, 1, 2), B = (2, 3, 3) e C = (1, 0, 1).
exercício 8 (1,5 ponto)
Determine a equação da reta r perpendicular ao plano π de equação geral 
π: -2x + y + 2z - 7 = 0 e que contém o ponto P = (1, 2, -1). Se Q é o ponto 
de intersecção da reta r a e o plano π, determine as suas coordenadas.
exercício 9 (1,5 ponto)
Determine a equação vetorial da reta r que passa por P = (2,1,3) e é per-
pendicular à reta s: X = (2, 1, -3) + a(1, 2, -1), a ∈ R. 
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 5–8 Atividade para Avaliação 3
Gabarito
exercício 1
d(A, B) = (2x + 1)2 + (- x)2 + (x + 1 - 2)2 = 
4x2 + 4x + 1 + x2 + x2 - 2x + 1 = 6x2 + 2x + 2
O mínimo de 6x2 + 2x + 2 ocorre no ponto de mínimo da função:
f(x) = 6x2 + 2x + 2
f'(x) = 12x + 2 = 0 ⇔ x = - 1
6
Logo:
A = - 1
3
, 1
6
, 5
6
A distância mínima é:
d(A, B) = 6 - 1
6
2
 + 2 - 1
6
 + 2 = 11
6
exercício 2
u
→
.v
→
 = ||u
→
||.||v
→
||cosθ ⇔ cosθ = u
→
.v
→
||u
→
||.||v
→
||
u
→
.v
→
 = 1.(-1) + 2.0 + (-2.1) = - 3, ||u
→
|| = 3 e ||v
→
|| = 2
cosθ = - 3
3 2
 = - 1
2
 = - 2
2
Logo:
θ = 3π
4
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 5–8 Atividade para Avaliação 4
exercício 3
v
→
1 = proju→ v
→
 = u
→
.v
→
||u
→
||2
 u
→
 = 2
14
 (3, 1, -2) = 1
7
 (3, 1, -2) = 3
7
, 1
7
, - 2
7
v
→
2 = v
→
 - v
→
1 = (2, -2, 1) - 
3
7
, 1
7
, - 2
7
 = 11
7
, - 15
7
, 9
7
exercício 4
S = 1
2
 || AB
→
 ^ AC
→
 ||, onde AB
→
 = (1, 1, 2), AC
→
 = (2, -2, 2)
AB
→
 ^ AC
→
 = det 
 i
→
 j
→
 k
→
 1 1 2
 2 -2 2
 = 6i
→
 + 2j
→
 - 4k
→
S = 1
2
 || AB
→
 ^ AC
→
 || = 1
2
 36 + 4 + 16 = 56
2
 = 2 14
2
 = 14
exercício 5
A reta procurada tem equação do tipo ax + by + c = 0, onde 3a - b = 0, ou 
seja, b = 3a, escolhendo a = 1 a reta procurada terá uma equação da for-
ma x + 3y + c = 0. Como ela passa por A = (2, -1) então 2 + 3.(-1) + c = 0 ⇒ 
c = 1, assim uma equação para a reta é: x + 3y + 1 = 0.
exercício 6
A equação vetorial da reta é:
r: X = A + a AB
→
, a∈R
AB
→
 = (1, -2, 2), r: X = (1, 1, 2) + a(1, -2, 2), a ∈ R
exercício 7
Temos: 
AB
→ 
= (0, 2, 1) e AC
→ 
= (-1, -1, -1)
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Assim, equação vetorial de π:
π: X = (2, 1, 2) + a(0, 2, 1) + β(-1, -1, -1), a, β ∈ R
Equação paramétrica de π, seja X = (x, y, z) então:
π: 
x = 2 - β
y = 1 + 2a - β
z = 2 + a - β
, a ∈ R
exercício 8
A equação vetorial da reta r é:
r: X = (1, 2, -1) + γn
→
, γ ∈ R
onde n
→
 é um vetor normal ao plano π, assim:
r: X = (1, 2, -1) + γ(-2, 1, 2), γ ∈ R
Seja Q = π ∩ r
Como Q ∈ r ⇒ Q = (1 - 2γ, 2 + γ, -1 + 2γ) para algum γ ∈ R
Como Q ∈ π ⇒ -2(1 - 2γ) + 2 + γ + 2(-1 + 2γ) -7 = 0 ⇔
⇔ 9γ - 9 = 0 ⇒ γ = 1
Logo:
Q = (1 - 2.1, 2 + 1, -1 + 2.1) = (-1, 3, 1)
exercício 9
Seja:
Q ∈ s ⇒ Q = (2 + a, 1 + 2a, -3 - a) para algum γ ∈ R
Para que o ponto Q também pertença a reta r, devemos ter PQ
→
 ⊥ s
→
, onde 
s
→ 
é um vetor com a direção da reta s, podemos tomar s
→
 = (1, 2, -1), desse 
modo queremos que PQ
→
 . s→ = 0. Temos PQ
→
 = (a, 2a, -6 -a).
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 5–8 Atividade para Avaliação 6
PQ
→
 . s→ = (a, 2a, -6 -a).(1, 2, -1) = 0 ⇔
⇔ a + 4a + a + 6 = 0 ⇔ 6a = -6 ⇔ a = -1
Logo PQ
→
 = (-1, -2, -5). A equação da reta é:
r: X = (2, 1, 3) + a(-1, -2, -5), a ∈ R