gabarito-EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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utoatividades
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia , nº .BR 470 Km 71, 1 040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
I daialn - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
2018
Prof. Ruy Piehowiak
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia , nº .BR 470 Km 71, 1 040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
I daialn - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
2018
UNIDADE 1
TÓPICO 1
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre 
funções de diversas variáveis.
1 Nos problemas a seguir, calcule o valor da função nos pontos 
específicos:
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2 Nos problemas a seguir, descreva o domínio das funções e 
represente-o graficamente:
A função f não estará definida para valores de x e y que “zerem” o denominador. 
Logo, x e y precisam ser números reais tais que 0y3x4 ≠+ .
Utilizando o software livre Winplot para traçar o gráfico de f, encontramos:
Logo,
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A função g não estará definida para valores de x e y que tornem o radicando 
negativo. Logo, x e y precisam ser números reais tais que 
Logo, 
Utilizando o Winplot, encontramos o gráfico de g:
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A função f não estará definida para valores de x e y que tornem o radicando 
negativo. Logo, x e y precisam ser números reais tais que 02yx ≥−+ .
Logo, 
Utilizando o Winplot, encontramos o gráfico de f:
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d)
e)
A função f não estará definida para valores de x e y que “zerem” o denominador. 
Logo, x e y precisam ser números reais tais que 04y2x 22 ≠−+ .
Utilizando o Winplot para traçar o gráfico de f, encontramos:
Sabermos que a função conhecida como logaritmo neperiano (ou logaritmo 
natural), por ser um logaritmo, só é definido para números positivos. Logo, 
para a função f estar definida adequadamente, x e y precisam ser números 
reais tais que 04yx >−+ .
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Utilizando o Winplot para traçar o gráfico de f, encontramos:
f)
A função f não estará definida para valores de x e y que “zerem” o denominador. 
Logo, x e y precisam ser números reais tais que 0y2x ≠− , ou seja, 0y2x ≠−
Entretanto, mais um cuidado deve ser tomado: não existe raiz quadrada de 
números negativos. Assim, 0y2x ≥− . Portanto 
Utilizando o Winplot para traçar o gráfico de f, encontramos:
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TÓPICO 2
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre 
funções de diversas variáveis.
1 Associe as superfícies de 1 a 4 aos mapas de contorno de A a D.
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R.: Gráfico 1 – Superfície B.
Gráfico 2 – Superfície C.
Gráfico 3 – Superfície D.
Gráfico 4 – Superfície A.
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2 Nas questões a seguir, identifique algebricamente as curvas de nível 
para valores de c dados.
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3 Nas questões a seguir, represente graficamente as curvas de nível das 
funções. Agora, você escolherá alguns valores para c. É importante 
que você faça os gráficos manualmente e, se for possível, utilize o 
software Winplot para conferir ou como apoio nos estudos.
Valores aleatórios: 
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Valores aleatórios: 
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TÓPICO 3
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre 
limite e continuidade de funções de diversas variáveis.
1 Use a definição de limite para mostrar que 
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Como queremos encontrar δ , precisamos exibi-lo em termos do que temos, 
ou seja, em termos de ε . Então, vamos trabalhar com a segunda igualdade.
Tomemos então 
8
ε
=δ .
Então, sempre que δ<− )1,3()y,x( , teremos
como queríamos demonstrar.
2 Nos exercícios a seguir, calcule os limites.
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Observe que, para calcular o limite acima, não basta substituirmos os valores 
na função 
indeterminação.
Precisamos então trabalhar um pouco com a função de forma que, 
preferencialmente, o numerador possa ser escrito como um produto 
envolvendo o denominador. 
: neste caso, encontraremos uma 
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Novamente, se calcularmos a função
 
diretamente no ponto (0, 0), chegaremos a uma indeterminação. Vamos então 
manipular a função acima de forma que consigamos contornar este problema.
3 Mostre que não existe.
O primeiro passo é percebermos que a função 
24
2
yx
y·x)y,x(f
+
= não está 
definida no ponto (0, 0). Por outro lado, se este limite existisse, significaria 
que, independentemente do caminho que (x, y) percorresse até chegar no 
ponto (0,0), o resultado deveria ser o mesmo. Mostraremos a seguir que o 
limite acima contradirá esta afirmação, ou seja, dependendo do caminho 
que percorrermos, o resultado deste limite será outro.
Para isso, consideremos o conjunto de todas as parábolas que passam pela 
origem
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OBS: Esta escolha de caminhos foi feita depois de uma rápida análise 
da função. A ideia é que f, quando aplicada sobre estas curvas, dependa 
do k, preferencialmente, apenas de k.
Calculando f nos pontos da forma (x, k·x2), temos
Então, 
( ) ( ) ( ) ( ) 20 ,0 y,x
2
0 ,0 y,x k1
k
lim)xk,x(flim
+
=⋅
→→
, ou seja, o valor do limite de 
f quando (x, y) tendem a (0,0) depende do percurso que estes pontos 
estão percorrendo ao tender a origem, ou seja, dependem de k. De fato, 
consideremos dois valores diferentes para k, por exemplo, k=1 e k=2. Então
Visto que se esse limite depende do caminho que (x, y) percorre até chegar no 
ponto (0,0) conforme visto acima, segue que ele não existe, como queríamos 
demonstrar.
4 Determine o conjunto dos pontos de continuidade de ( ) 53 , 22 ++= yxyxf
 Como ( ) 53 , 22++= yxyxf é uma função polinomial, então é contínua 
em todo R2.
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Note que, se este limite existir, independentemente do caminho que (x, 
y) percorresse até chegar no ponto (0,0), o resultado deve ser o mesmo. 
Mostraremos a seguir que o limite acima contradiz esta afirmação, ou seja, 
dependendo do caminho que percorrermos, o resultado deste limite é outro.
Para isso, consideremos o conjunto de todas as retas que passam pela 
origem . 
5 Verifique se a função 
Precisamos verificar se a função satisfaz as três condições da Definição 3.4.1.
é contínua no ponto ( )3 ,1 .
6 Verifique se a função 
 é contínua no ponto ( )0 ,0
Para a função 
ser contínua no ponto (0, 0), ela precisa satisfazer as três condições:
(i) f está definida no ponto (0, 0);
A condição (i) está satisfeita pela própria definição de f: f(0, 0) = 0.
Vamos agora verificar se existe o limite para este ponto.
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OBS: Esta escolha de caminhos foi feita depois de uma rápida análise 
da função. A ideia é que f, quando aplicada sobre estas curvas, dependa 
do k, preferencialmente, apenas de k.
Calculando f nos pontos da forma (x, k·x), temos
Então, 
( ) ( ) ( ) ( ) 20 ,0 y,x0 ,0 y,x k5
k
lim)xk,x(flim
+
=⋅
→→
, ou seja, o valor do limite de 
f quando (x, y) tendem a (0,0) depende do percurso que estes pontos 
estão percorrendo ao tender a origem, ou seja, dependem de k. De fato, 
consideremos dois valores diferentes para k, por exemplo, k = 1 e k = 2. Então
Visto que se esse limite depende do caminho que (x, y) percorre até chegar 
no ponto (0,0) conforme visto acima, segue que ele não existe.
Portanto, a condição (ii) não foi satisfeita, implicando a função não ser contínua 
no ponto (0,0).
TÓPICO 4
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre 
derivadas parciais.
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1 A função 
 representa a temperatura em qualquer ponto de uma chapa. Foram 
calculadas as derivadas parciais no ponto ( )3 ,2 e chegou-se aos 
 
 resultados 
 Dê os significados para os dois valores obtidos com as derivadas 
parciais no ponto 
A temperatura diminui 4 graus centígrados na medida em que x aumenta 
em uma unidade. Então, quando x = 2, a temperatura diminuirá 8 graus 
centígrados.
A temperatura diminui 6 graus centígrados na medida em que y aumenta 
em uma unidade. Então, quando y = 3, a temperatura diminuirá 18 graus 
centígrados.
2 Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas parciais 
y
f
∂
∂ e 
y
f
∂
∂ das 
funções:
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3 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem
das funções a seguir:
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2 Use a regra da cadeia para determinar 
x
z
∂
∂ e 
y
z
∂
∂ , sabendo que 
3 Determine a derivada da função implícita f tal que ( )xfy = está 
definida pela equação 
Seja F a função de duas variáveis reais 
Note que F é diferençável, com 
Logo, estamos em condições de aplicarmos o Teorema da Função Implícita.
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Substituindo as derivadas de F na equação acima, temos
OBS.: Ao resolver este exercício, incluímos a demonstração da fórmula 
final, uma vez que estamos focando no seu aprendizado. Entretanto, na 
hora de resolver um exercício via Teorema da Função Implícita, basta 
verificar se as hipóteses são satisfeitas e, uma vez que isso aconteça, 
aplicar diretamente a fórmula.
calcular 
y
z
∂
∂ e 
y
z
∂
∂ usando a regra de 
derivação de função implícita.
Seja F a função de três variáveis reais 
Note que F é diferençável, com 
Logo, estamos em condições de aplicarmos o Teorema da Função Implícita.
Queremos encontrar 
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Por outro lado, 
Como x e y são variáveis e não funções, 
Logo podemos reescrever a equação acima como
De modo análogo, mostra-se que 
Substituindo as equações: 
OBS.: Ao resolver este exercício, incluímos a demonstração das fórmulas 
finais, uma vez que estamos focando no seu aprendizado. Entretanto, 
na hora de resolver um exercício via Teorema da Função Implícita, basta 
verificar se as hipóteses são satisfeitas e, uma vez que isso aconteça, 
aplicar diretamente as fórmulas.
5 Mostre que a equação 
define implicitamente uma função derivável 
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Precisamos verificar se a função y=f(x) é derivável. Note que F definida acima 
é diferençável, pois é composta pela soma de funções diferenciáveis. Mais 
precisamente, 
Visto que supomos y = f(x), pelo Teorema da Função Implícita,
Portanto, a função y é diferençável para todo número real x, tal que 
0ycosx2 ≠+ .
6 O raio de um cone circular reto está aumentando a uma taxa de 3 
cm/s e a altura está diminuindo a uma taxa de 2 cm/s. A que taxa está 
variando o volume do cone no instante em que a altura é igual a 20 
cm e o raio é igual a 14 cm?
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7 Um carro A está viajando para o norte na rodovia 16, e um carro B está 
viajando para o oeste na rodovia 83. Os dois carros se aproximam da 
interseção dessas rodovias. Em certo momento, o carro A está a 0,3 
km da interseção viajando a 90 km/h, ao passo que o carro B está a 
0,4 km da interseção viajando a 80 km/h. Qual a taxa de variação da 
distância entre os carros nesse instante?
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Se chamarmos de D a distância entre os carros A e B em um dado instante 
t, Bx a posição do carro A e Bx a posição do carro B neste mesmo instante 
t, segue que D depende de Bx e Bx . Mais ainda: D pode ser determinada 
através do Teorema de Pitágoras:
Por outro lado, a posição ocupada por cada carro depende da velocidade do 
mesmo e do instante considerado, ou seja, ( ) tvtx AA ⋅= e ( ) tvtx BB ⋅= . 
(Estamos supondo que o movimento seja retilíneo uniforme, ou seja, a 
velocidade constante) Assim, para determinarmos a variação da distância 
entre os carros no instante t, temos que aplicar a regra da cadeia:
Determinemos então as derivadas acima:
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TÓPICO 2
Mostre que as funções a seguir são diferençáveis em 2R .
Dado que as derivadas são contínuas quaisquer que sejam x, y reais, segue 
que f é diferençável.
Dado que as derivadas são contínuas quaisquer que sejam x, y reais, segue 
que f é diferençável.
Dado que as derivadas são contínuas quaisquer que sejam x, y reais, segue 
que f é diferençável.
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5 O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 
cm e 24 cm, respectivamente, com um erro de medida de, no máximo 
0,1 cm. Utilize a diferencial para estimar o erro máximo cometido no 
cálculo da área do retângulo.
R.: a área de um retângulo é dada por A = x.y
Como cada erro é de, no máximo, 0,1 cm, temos 
Então o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo é de
6 O período T de um pêndulo simples com uma pequena oscilação é 
calculado da fórmula 
g
LT π2= , onde L é o comprimento do pêndulo 
 e g é a aceleração da gravidade. Suponha que os valores de L e 
g tenham erros de, no máximo, 0,05% e 0,01%, respectivamente. 
Use diferenciais para aproximar o erro percentual máximo no valor 
calculado de T.
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Estimamos o erro percentual máximo cometido no cálculo do período T é 
de 0,03%.
7 O raio de um cilindro circular reto é medido com um erro de, no 
máximo, 2% e altura é medida com um erro de, no máximo, 4%. Qual 
o erro percentual máximo possível no volume calculado?
 Nas questões de 8 a 10, determine o vetor gradiente das seguintes 
funções nos pontos indicados:
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11 Se 
 é a temperatura em graus Celsius, sobre uma lâmina metálica, x e y 
medidos em cm, determine a direção de crescimento máximo de T 
a partir do ponto ( )1 ,1 e a taxa máxima de crescimento de T, nesse 
ponto.
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TÓPICO 3
Nos exercícios 1 e 2, encontre os pontos críticos das funções dadas.
As derivadas parciais são 
62 −+=
∂
∂ yx
x
f
 e 
xy
y
f
+=
∂
∂ 2
. Então,
Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo o par de equações temos,
Calculando as derivadas parciais, temos 
Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo as equações obtemos,
Isola-se y na segunda equação xy 2−= e substitui na segunda equação
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Substituímos os valores de x na primeira equação
Nos exercícios 3 a 7, encontre os pontos críticos e os extremos locais 
das funções dadas
–256x3 – 12x2 + 13x = 0
x(–256x2 – 12x + 13) = 0
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8 A temperatura T (°C) em cada ponto de um painel plano é dada pela 
equação 
 Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da 
região.
é um ponto mínimo local de f.
9 Um supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com 
duas marcas de suco de laranja, uma marca local que custa no 
atacado R$ 0,30 a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que 
custa no atacado R$ 0,40 a garrafa. O dono do supermercado estima 
que se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos 
pela garrafa da marca nacional, venderá 
garrafas da marca local e 
 garrafas da marca nacional por dia. Por quanto o dono do 
supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para 
maximizar o lucro?
Como lucro = lucro com a venda da marca local + lucro com a venda da 
marca nacional
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Temos logo 
é um ponto mínimo local de f.
Ele deve vender o suco de laranja marca local por R$ 0,53 e marca nacional 
por R$ 0,55.
TÓPICO 4
Calcule a integral, onde 
46 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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Calcule a integral, onde 
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5 Encontre a área da região no primeiro quadrante limitada por xy = 2, 
y = 1 e y = x + 1.
Calcule, por integração dupla, a área da região limitada determinada 
pelo par de curvas dado.
48 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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UNIDADE 3
TÓPICO 1
Nos problemas 1 e 2, resolva, por separação de variáveis, as equações 
diferenciais dadas.
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Nos problemas 3 e 4, resolva as equações diferenciais lineares de 
primeira ordem dadas.
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Nos problemas 5 e 6, resolva as equações diferenciais exatas a seguir.
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Nas EDO a seguir, identifique o tipo de EDO e encontre a função 
desconhecida.
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TÓPICO 2
Nos problemas 1 e 2, resolva as equações diferenciais lineares de 
Bernoulli.
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Nas EDO a seguir, identifique o tipo de EDO e encontre a função 
desconhecida.
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66 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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TÓPICO 3
Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
68 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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70 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVINEAD
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72 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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