Hipérbole com resoluções

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F2 F1
P
1 CURSOS DE ENGENHARIA 
 DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA 
 PROFESSORA: Rosely Bervian DATA: _____ / _____ / _____ 
 ALUNO(A):__________________________________________________________ 
 
 
ESTUDO DIRIGIDO - HIPÉRBOLE 
 
1) DEFINIÇÃO 
A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cujo valor absoluto da diferença das 
distâncias a dois pontos fixos desse plano é igual a uma constante e menor do que a distância entre 
os dois fixos. 
Os pontos fixos são chamados focos. Considere d(F1,F2) = 2c, c > 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P pertence à elipse se, e somente se, | d(P,F1) – d(P,F2) | = 2a (constante), a < c. 
 
2) ELEMENTOS DA HIPÉRBOLE 
• A reta que passa pelos focos é chamada ___________________________. 
• Os pontos de interseção do eixo focal com a hipérbole são chamados_________________. 
• O ponto médio do segmento 
1 2F F
 é chamado_________________________________. 
• A reta que passa pelo centro e é perpendicular ao eixo focal é 
chamada___________________. 
 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
• O segmento 
1 2A A
 é chamado ________________________ e seu comprimento é igual a 
_____. 
• O segmento 
1 2B B
 é chamado _________________________ e seu comprimento é igual a 
_____. 
• Um segmento que liga dois pontos distintos da hipérbole é chamado de ____________. 
• Uma corda que passa pelo foco é chamada _____________________. 
• As cordas focais que são perpendiculares ao eixo focal são chamadas 
_____________________. 
• Uma corda que passa pelo centro da hipérbole é chamada ___________________. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F2 F1l
C
l'
A1A2
B2
B1
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
3) EQUAÇÕES REDUZIDAS DA HIPÉRBOLE 
1º TIPO: Hipérbole de centro na origem e eixo focal coincidindo com o eixo Ox. 
 
 
FOCOS: F1(c,0) e F2(–c , 0) 
EIXO FOCAL: y = 0 
EIXO NORMAL: x = 0 
 
 
Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole. Então, pela definição de hipérbole, o ponto P deve 
satisfazer à seguinte condição: 
 
 
 
 
Desenvolvendo a última equação de modo semelhante ao que fizemos para elipse, obtemos 
 
 
 
 
 
Anotações: 
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________ 
2 2
2 2
x y
1
a b
 
C 
x
y
F1 F2 A1 
B1 
A2 
B2 
P 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
2º TIPO: Hipérbole de centro na origem e eixo focal coincidindo com o eixo Oy. 
 
 
FOCOS: F1(0,c) e F2(0,–c) 
EIXO FOCAL: x = 0 
EIXO NORMAL: y = 0 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, a equação da hipérbole é: 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________ 
2 2
2 2
y x
1
a b
 
C 
F1 
F2 
A1 
B1 B2 
A2 
x
y
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
3º TIPO1: Hipérbole de centro no ponto (h,k) e eixo focal paralelo ao eixo Ox. 
 
 
 
FOCOS: F1(h+c,k) e F2(h–c,k) 
EIXO FOCAL: y = k 
EIXO NORMAL: x = h 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos considerar um sistema auxiliar xOy, obtido por uma translação do sistema xOy, de modo 
que a nova origem O coincida com o centro da elipse C(h,k). Observe que, agora, o eixo focal da 
hipérbole coincide com o eixo Ox. Com relação a esse novo sistema, a equação da hipérbole é 
 
 
 
 
 
 
 
As equações de translação são: '
'
x x h
y y k
 

 
. Substituindo na equação anterior, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 O 1º. tipo é um caso particular do 3º. tipo, quando h = 0 e k = 0. 
x
y
C 
F1 F2 A1 A2 
B1 
B2 
x’ 
y’ 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
4º TIPO2: Hipérbole de centro no ponto (h,k) e eixo focal paralelo ao eixo Oy. 
 
 
 
 
FOCOS: F1(h,k+c) e F2(h,k–c) 
EIXO FOCAL: x = h 
EIXO NORMAL: y = k 
 
 
 
 
 
 
 
De modo semelhante ao que foi feito anteriormente, obtemos a seguinte equação: 
 
 
 
 
4) EQUAÇÕES DAS ASSÍNTOTAS DE UMA HIPÉRBOLE 
 
 
 
 
Dizemos que uma reta é uma assíntota de uma 
curva C, se ao nos afastarmos da origem do sistema, 
as distâncias entre os pontos da reta e da curva C 
tornam-se infinitamente pequenas. 
 
 
 
 
 
 
 
2 O 2º. tipo é um caso particular do 4º.tipo, quando h = 0 e k = 0. 
x
y
C 
F1 
F2 
B1 B2 
A1 
A2 
x’ 
y’ 
C A1 A2 
B1 
B2 
x
y
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
Se uma hipérbole tem equação 2 2
2 2
x y
1
a b
 
, então as retas: 
 
h1: b
y x
a

 e h2: b
y x
a
 
 
 
são as assíntotas dessa hipérbole. 
 
 
 
Por outro lado, se a equação de uma hipérbole é 
2 2
2 2
y x
1
a b
 
, então as retas: 
 
h1: a
y x
b

 e h2: a
y x
b
 
 
 
são as assíntotas dessa hipérbole. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a equação de uma hipérbole é 
   
2 2
2 2
x h y k
1
a b
 
 
, então as retas: 
 
h1:
 
b
y k x h
a
  
 e h2: 
 
b
y k x h
a
   
 
 
são as assíntotas dessa hipérbole. 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
C 
A1 
A2 
B1 B2 
C A1 A2 
B2 
B1 
l’ 
l 
x
y
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
 
 
Se a equação de uma hipérbole é 
   
2 2
2 2
y k x h
1
a b
 
 
, então as retas: 
 
h1:
 
a
y k x h
b
  
 e h2: 
 
a
y k x h
b
   
 
 
sãoas assíntotas dessa hipérbole. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
i) Comprimento do latus rectum 
Considere uma hipérbole de equação 2 2
2 2
1
x y
a b
 
. Fazendo x = c ou x = –c , obtemos y =  2b
a
. 
Então, os extremos de um latus rectum são os pontos 2
1 ,
b
L c
a
 
 
 
 e 2
1 ,
b
R c
a
 
 
 
 e do outro são 
2
2 ,
b
L c
a
 
 
 
 e 2
2 ,
b
R c
a
 
  
 
. 
 
 
 
 
Assim, o comprimento de cada latus rectum de 
uma hipérbole é 22b
a
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
A1 
A2 
B2 B1 l’ 
l 
x
y
x
y
C 
L1 L2 
R2 R1 
F2 F1 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
ii) Excentricidade 
 
Uma importante característica de uma hipérbole é a sua excentricidade, que é definida pelo 
número c
a
. Uma vez que a < c, temos que a excentricidade da hipérbole é maior do que 1. 
 
 
 
 
 
iii) Hipérbole equilátera 
 
Uma hipérbole é equilátera quando o comprimento do seu eixo transverso é igual ao comprimento 
do seu eixo conjugado. Deste modo, a = b. 
 
 
iv) Hipérboles conjugadas 
 
 
 
 
Dizemos que duas hipérboles são conjugadas se o eixo 
transverso de cada uma delas coincide com o eixo 
conjugado da outra. 
 
 
 
 
 
 
Anotações: 
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________ 
 
, 1
c
e e
a
 
2 2A B
1 1B A
2 2B A
1 1A B
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Questão 1. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação reduzida da hipérbole a partir 
dos elementos dados: 
 
a) Focos F1(–1,3) e F2(–7,3) e comprimento do eixo transverso igual a 4. 
b) Focos F1(–1,2) e F2(–11,2) e comprimento do eixo não transverso é igual a 8. 
c) Vértices A1(5,4) e A2(1,4) e comprimento do latus rectum igual a 5. 
d) Eixo normal l’: y = –3, um dos focos é F(–3,0) e excentricidade e = 1,5. 
e) Centro (2,1), um dos focos é F(2,–4) e um dos vértices A(2,4). 
f) Assíntotas r: 4x + y – 11 = 0 e s: 4x – y – 13 = 0 e um dos vértices A(3,1). 
 
 
Questão 2. Determine as coordenadas dos vértices, dos focos, das extremidades do eixo 
conjugado, as equações do eixo focal e do eixo normal, a excentricidade e o comprimento do latus 
rectum de cada uma das seguintes hipérboles: 
 
a) 16x2 – 9y2 – 64x – 80 = 0 
b) 4y2 – 9x2 + 8y – 32= 0 
 
 
Questão 3. O eixo focal de uma hipérbole é paralelo ao eixo Ox e suas assíntotas são as retas 
032  yx
 e 
012  yx
. Determinar a equação da hipérbole, sabendo que ela passa 
pelo ponto (4,6). 
 
 
Questão 4. Dizemos que duas hipérboles são conjugadas se o eixo transverso de cada uma delas 
coincide com o eixo conjugado da outra. Dada a hipérbole H:    2 21 3
1
9 16
y x 
 
, determine as 
coordenadas dos focos da hipérbole conjugada de H, bem como sua equação geral. 
 
 
Questão 5. Uma hipérbole é equilátera quando o comprimento do seu eixo transverso é igual ao 
comprimento do seu eixo conjugado. Sabendo que os focos de uma hipérbole equilátera coincidem 
com as extremidades do eixo menor da elipse    2 21 2
1
36 16
x y 
 
, determine a equação reduzida 
da hipérbole. 
 
 
 
 
 
 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
RESPOSTAS 
 
Q1. a)    2 24 3
1
4 5
x y 
 
 b)    2 26 2
1
25 16
x y 
 
 c)    2 23 4
1
4 5
x y 
 
 
 d)    2 23 3
1
4 5
y x 
 
 e)    2 22 4
1
36 36
x y 
 
 f)    2 21 3
1
14
4
y x 
 
 
Q2. a) Centro: V(2,0), Vértices: A1(–1,0) e A2(5,0), Focos: F1(5,0) e F2(7,0), eixo focal: y = 0, 
eixo normal: x = 2, latus rectum = 
32
3
, excentricidade: 
5
3
e 
, assíntotas: h1: 4x + 3y – 8 = 0 e 
h2: 4x – 3y – 8 = 0. 
 
 b) Centro: V(0,-1), Vértices: A1(0,-4) e A2(0,2), Focos: F1
 0, 1 13 
 e F2
 0, 1 13 
, 
eixo focal: x = 0, eixo normal: y = –1, latus rectum = 
8
3
, excentricidade: 13
3
e 
, assíntotas: h1: 3x 
+ 2y + 2 = 0 e h2: 3x – 2y – 2 = 0. 
 
Q3.    2 21 1
1
11 11
4
x y 
 
 
 
Q4. F1(–8,1), F2(2,1), 9x
2 – 16y2 + 54x + 32y – 79 = 0 
 
Q5.    2 22 1
1
8 8
y x 
 