Reta e Plano

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61 
3.10. ESTUDO DA RETA 
Seja a reta r que contém o ponto ( )111 z,y,xA e é paralela ao vetor 
( )c,b,av =r . Um ponto P(x, y, z) pertence à reta r se, e somente se, vtPA rr = , onde t é 
um número real. 
vtAP r=
→
 vtAP
r
=− onde vtAP r+= 
 
Em termos de coordenadas, temos: 
 
( ) ( ) ( )c,b,atzyxz,y,x 111 += 
Denominada Equação Vetorial da Reta. 
 
Denominamos vr de vetor diretor da reta e t de parâmetro. 
 
 y 
 
 
 P r 
 
 v
r
 
 A 
 x 
 
 
 z 
 
Exemplo: 
Determine a equação vetorial da reta r que passa por A( 2, 1, -3 ) e tem 
a direção de ( )2,2,3u −=r . 
 
 Solução: 
( ) ( ) ( )2,2,3t3,1,2z,y,x −+−= para algum real t. 
Obs: Para se obter um ponto desta reta basta atribuir a t um valor particular. Por e-
xemplo, para t = 3. 
 
( x, y, z ) = ( 2, 1, -3 ) + 3( 3, -2, 2 ) 
( x, y, z ) = ( 2, 1, -3 ) + ( 9, -6, 6 ) 
( x, y, z ) = ( 11, -5, 3 ) que é um ponto da reta 
 62 
 
Equações Paramétricas da reta 
Dada a equação vetorial da reta: 
vtAP
r
+= 
( ) ( ) ( )c,b,atz,y,xz,y,x 111 += 
( ) ( )ctz,bty,atxz,y,x 111 +++= 
Obtém-se 





+=
+=
+=
ctzz
btyy
abxx
1
1
1
 
que são as equações paramétricas da reta 
 
Exemplo: 
Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A 
(0, -7, -1) e é paralela ao vetor ( )6,2,4v −=r 
 Solução: 
Equação vetorial ( ) ( ) ( )6,2,4t1,7,0z,y,x −+−−= 
Equações paramétricas 





−−=
+−=
=
t61z
t27y
t4x
 
 
Exemplo: 
Dado o ponto A( 2, 1, 3 ) e o vetor ( )3,2,1v =r , determinar: 
a) As equações paramétricas da reta que passa por A e tem direção de vr 
b) Três pontos de r, B, C e D de parâmetros t = 1, t = 2, t = 3, respectivamente. 
c) O ponto de r cuja abscissa é 6. 
d) Verificar se os pontos E( 7, 11, 18 ) e F( 5, 3, 12 ) pertencem a r. 
 
 Solução: 
a) 





+=
+=
+=
t33z
t21y
t2x
 
 
 63 
b) t = 1 ( )
( )



=+=
=+=
=+=
6133z
3121y
312x
 B( 3, 3, 6 ) 
t = 2 ( )
( )



=+=
=+=
=+=
9233z
5221y
422x
 C( 4, 5, 9 ) 
t = 3 ( )
( )



=+=
=+=
=+=
12333z
7321y
532x
 D( 5, 7, 12 ) 
 
c) então 6x = 4tt26 =∴+= 
como t = 2 
( )
( )



=+=
=+=
=
15z433z
9y421y
6x
 
Portanto o ponto é ( 6, 9, 15 ) 
d) Um ponto pertence a r se satisfaz as equações de r. 
E( 7, 11, 18 ) 





∉=+=
=+=
=+=
rtoEtanpor5tt3318
5tt2111
5tt27
 
F( 5, 3 12 ) 





∉=+=
=+=
=+=
rFtotanpor3tt3312
1tt213
3tt25
 
 
Reta definida por dois pontos: 
No caso da reta definida por dois pontos podemos escolher o ponto da 
reta como sendo A ou B, isto é a reta que passa por A(ou B) e tem a direção do vetor 
→
AB . 
 
Exemplo: 
Escrever as equações paramétricas da reta que passa por A (5, 1, 3) e 
B (2, -2, 1). 
 64 
 
 Solução 





+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
1
1
1
 
Escolhemos ( ) ( ) ( )2,3,3ABBAve3,1,5Az,y,xA 111 −−−=−=== rr 
Então r = 





−=
−=
−=
t23z
t31y
t35x
 
 
Equações Simétricas da reta 
De modo equivalente das equações paramétricas atxx 1 += , 
btyy 1 += , ctzz 1+= com 0abc ≠ , temos a
xxt 1−= , 
b
yyt 1−= , 
c
zzt 1−= , então por 
comparação temos 
t
zz
b
yy
a
xa 111 −
=
−
=
−
 que são as equações que passam pelos 
pontos ( )111 z,y,x e tem a direção do vetor (a, b, c). 
 
Exemplo: 
Seja a reta que passa pelo ponto ( )4,1,2A − e tem a direção do 
( )5,2,1v −=r . Sua equação simétrica será 
5
4z
2
1y
1
2x −
=
+
=
−
−
 
 
Equações reduzidas da reta. 
 
Obtêm-se as equações reduzidas a partir das equações simétricas, ex-
pressando duas variáveis y e z em função de x. Estas equações serão sempre na for-
ma reduzida. 



+=
+=
qxpz
nxmy
 
Exemplo: 
Expressar as equações reduzidas da reta r que passa pelo ponto A (2, 
3, 5) e paralela ao vetor ( )5,2,1v =r 
 
 65 
Solução: 
As equações paramétricas são: 
5
5z
2
3y
1
2x −
=
−
=
−
 
isolando y e z em função de x, obtemos: 
5x5z
1
2x
5
5z
1x2y
1
2x
2
3y
−=
−
=
−
−=
−
=
−
 
Onde: 



−=
−=
5x5z
1x2y
 são as equações reduzida de r, em função da variável x. 
 
 
Ângulos entre duas retas 
 
 z 2r 
 θ 
 2v
r
 r1 
 
 
 θ 
 1v
r
 
 y 
 
 x 
 
 
 
Denominamos ângulo entre duas retas 1r e 2r o menor ângulo entre os 
seus vetores diretores. 
Sendo θ este ângulo e o900 ≤θ≤ temos 
21
21
vv
v.v
cos rr
rr
=θ 
 
Exemplo: 
Determinar o ângulo entre as retas 





−=
=
−−=
t23z
ty
t2x
r1 e 1
1z
1
6y
2
x
r 2
−
=
+
= 
 66 
 
Solução: 
( )2,1,1v1 −−=r e ( )1,1,2v 2 =r 
 
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222 112211
121121
cos
++−++−
−++−
=θ 
 
2
1
6
3
66
212
cos ==
−+−
=θ 
 






=θ −
2
1
cos 1 
 
o60=θ 
 
 67 
3.11. EXERCÍCIOS SOBRE A RETA 
1. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A (3,2,-5) e tem dire-
ção do vetor ).2,4,3(v −= 
 
2. Verifique se os pontos P (9,-6,-1) e Q (3,-2,2) pertencem à reta do exercício ante-
rior. 
 
3. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(2,-3,4) e é 
paralela ao vetor ).1,3,4(v −= 
 
4. Determine o ponto da reta do exercício anterior quando t = 3. 
 
5. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A (2,3,-4) e 
B (1,5,2). 
 
6. Determine as equações simétricas da reta que passa por A (2,1,6) e B (-3,4,-1). 
 
7. Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A (-2,3,-2) e tem 
direção do vetor k2i3v += . 
 
8. Verifique se os pontos A (7,4,-7), B (5,2,-6) e C (-1,-4,-3) são colineares. 
 
9. Verifique se os pontos P1 (5,-5,6) e P2 (4,-1,12) pertencem à reta de equações 
.
2
2z
2
1y
1
3x
−
−
=
+
=
−
−
 
 
10. Calcule m e n para que o ponto P (3,m,n) pertença à reta de equações 





+−=
−−=
−=
t4z
t3y
t21x
 
 
11. Verifique se os pontos A (-1,4,-3), B (2,1,3) e C (4,-1,7) são colineares. 
 
 68 
12. Calcule o valor de m para que os pontos A (3,m,1), B (1,1,-1) e C (-2,10,-4) sejam 
colineares. 
 
13. Calcule o ângulo entre as retas: 
a) r: 





−=
=
−−=
t43z
t2y
t22x
 e s: 
2
1z
2
6y
4
x −
=
+



= 
b) t: 



+=
−−=
2xz
1x2y
 e u: 




−
+
=
=
3
1z
3
y
2x
 
c) v: 





−=
=
+=
t35z
ty
t21x
 e w: 



=
=
0y
0x
 
d) p: 
2
1z
1
y
2
4x
−
+
=
−
=


 −
 e q: 




−
=+
=
3
2z
4
1y
1x
 
 
14. Determinar o valor de n para que seja de 30º o ângulo entre as retas: 
r: 
3
z
5
4y
4
2x
=
+
=


 −
 e s: 



−=
+=
2x2z
5nxy
 
 
15. Calcular o valor de m para que as retas seguintes sejam paralelas: 
r: 





=
=
−=
mtz
3y
t32x
 e s: 



−
=
−
=
5
1z
6
4x
7y
 
 
16. Verifique se as retas abaixo são paralelas ou ortogonais: 
a) r1 definida por A1(-3,4,2) e B1(5,-2,4) e r2 definida por A2(-1,2,-3) e B2(-5,5,-4) 
b) r1: 




−
+
=
−
=
6
1z
8
3x
3y
 e r2: 


 −
=
+
=
4
3z
5
1y
3
x
 
 
17. Calcular m para que as retas abaixo sejam ortogonais: 
r: 



−=
−=
x2z
3mxy
 e s: 





=
−=
+−=
t5z
t3y
t21x
 
 69 
 
18. A reta que passa pelos pontos A(-2,5,1) e B(1,3,0) é paralela à reta determinada 
por C(3,-1,-1) e D(0,y,z). Determine o ponto D. 
 
19. A reta r: 



−=
+=
1xz
3mxy
 é ortogonal à reta determinada pelos pontos A (1,0,m) e 
B (-2,2m,2m). Calcule m. 
 
20. Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas: 
a) r: 



−=
+=
1x3z
3x2y
 e s: 



=
−
=
−
m
z
1
y
2
1x
 
b) u: 



=
−=
3y
1x
 e v: 



=
−=
xz
mx4y
 
c) t: 




=
−
−
=
−
6z
3
4y
m
mx
 e w: 



−=
+−=
x2z
4x3y
 
 
21. Calcular o ponto de intersecção entre as retas: 
a) p: 



+=
−=
1x2z
1x3y
 e q: 



=
−=
x3z
2x4y
 
b) r: 
4
5z
3
y
2
2x −
==


 −
 e s: 





−=
−=
+=
t27z
t2y
t5x
 
c) t: 



−=
−=
10x4z
3x2y
 e u: 
7
12z
3
7y
x
−
−
=



−
−
= 
d) v: 



+=
−=
1x4z
5y
 e w: 




−=
−
−
=
−
5y
3
5z
2
1x
 
 
22. Dadas as retas abaixo, determinar: 
a) o ponto de intersecção entre s e t; 
b) o ângulo entre r e s. 
r: 




=
−
+
=
−
2x
2
1z
2
3y
 s: 



−=
=
3xz
x2y
 t: 





=
−=
+=
tz
t31y
t3x
 
 70 
 
23. Dadas as retas abaixo, calcule: 
a) o valor de m para que as retas r e s sejam concorrentes; 
b) o ponto de intersecção entre estas retas para este valor de m. 
r: 





=
+=
+=
mtz
t54y
t32x
 s: 




−=
+=
2
3
2
x
z
1x2y
 
 
RESPOSTA 
 
1. (x,y,z) = (3,2,-5) + t.(3,-4,2) 
2. P�sim; Q�não 
3. 





−=
+−=
+=
t4z
t33y
t42x
 
4. P(14,6,1) 
5. 





+−=
+=
−=
t64z
t23y
t2x
 
6. 
7
6z
3
1y
5
2x
−
−
=
−
=
−
−
 
7. 



 +
=
+
=
2
2z
3
2x
3y
 
8. Sim 
9. Somente P1 
10. m= -2; n= -5 
11. Sim 
12. m = – 5 
13. a) 60º b) 30º c) 30º d) 48º11’ 
14. 7 ou 1 
15. 25− 
16. a) Paralelas; b) Ortogonais 
17. m = – 8 
18. D(0,1,0) 
19. m = 1 ou m = 23− 
20. a) 4 b) –7 c) 23 
21. a) (1,2,3) b) (4,3,9) c) (2,1,-2) d) (1,-5,5) 
22. a) (2,4,-1) b) 73º13’ 
23. a) m = 2 b) (-1,-1,-2) 
 71 
3.12. O PLANO 
 
Dado um ponto ( )111 z,y,xA pertencente a um plano pi e seja ( )c,b,av = 
um vetor ortogonal a um plano. 
Um ponto P( x, y, z ) pertence a pi, se o vetor PA r ortogonal a vr . 
 
( ) 0PA.v =rr 
( )( ) 0zz,yy,xx.c,b,a 111 =−−− 
( ) ( ) ( ) 0zzcyyb,xxa 111 =−+−− 
0czbyaxczbyax 111 =−−−++ e sendo dczbyax 111 =−−− , teremos: 
 
0dczbyax =+++
 
que é a equação geral do Plano 
 
Exemplo 
Obter a equação geral do plano, que passa pelo ponto ( )1,0,1P e tem 
( )2,1,1v =r como um vetor normal. 
 
Solução: 
0dczbyax =+++ 
como v
r é normal ao plano, 0dz2y1x1 =+++ e P é um ponto do plano 
( ) ( ) ( ) 0d120111 =+++ d = -3 
então a equação geral do plano é 
03z2yx =−++ 
 
Exemplo 
Determine a equação cartesiana do plano que contém o ponto P( 1, -1, 
2 ) e é perpendicular ao vetor kj3i2v rrrr +−= . 
 
Solução 
0dczbyax =+++ 
 72 
como v
r
 é normal ao plano, 0dzy3x2 =++− 
e pertence ao plano ( ) ( ) ( ) 0d211312 =++−− d = -7 
então a equação geral do plano é 
0zy3x2 =+− 
 
Equação vetorial e Equações Paramétricas do plano sendo ( )000 z,y,xA 
um ponto pertencente a um plano e ( ) ( )222111 c,b,avec,b,au rr = dois vetores paralelos 
a estes plano, porém veu rr não paralelos. 
Um ponto P( x, y, z ) pertence ao plano se, e somente se, existem nú-
meros reais h e t tais que vtu.hAP +=− r , ou em coordenadas 
( ) ( ) ( ) ( )222111000 c,b,atc,b,ahz,y,xz,y,x ++= com .t,h ℜ∈ 
que é a equação vetorial do plano. 
 Os vetores veu rr são os vetores diretores do plano. 
 
Obtém-se 
( ) ( )tchcz,tbhby,tahaxz,y,x 210210210 ++++++= ou ainda 





++=
++=
++=
tchczz
tbhbyy
tahaxx
210
210
210
 que 
são as equações paramétricas do plano. 
 
Exemplo 
Obter a equação vetorial do plano que passa pelo ponto A ( 2, 3, 1 ) e é 
paralela aos vetores ( ) ( )2,1,1ve1,1,2u −=−= rr 
 
Solução: 
Equação vetorial : ( x, y, z ) = ( 2, 3, 1 ) + h( 2, 1, -1 ) + t( 1, 1, -2 ) 
Equações paramétricas 





−−=
+++
++=
t2h1z
th3y
th22x
 
 
Como o vetor ( )1,3,1
211
112
kji
vu −=
−
−=×
rrr
rr
 
 73 
É simultaneamente ortogonal a veu rr , ele é um vetor normal ao plano. 
Então 0dczbyax =+++ 
0dz1y3x1 =+++− 
como A pertence ao plano ( ) ( ) ( ) 8d0d113321 −==+++− 
então a equação geral do plano é 
08zy3x =−++− 
 
 
Equação do plano que passa por três pontos 
 
Através do produto misto é possível obter a equação do plano que pas-
sa por três pontos. Uma condição necessária e suficiente para que um ponto P perten-
ça ao plano determinado pelos pontos 321 Pe,P,P é que ( ) 0PP,PP,PP 31211 =rrr sendo 
( ) ( ) ( ) ( )333322221111 z,y,xPez,y,xP,z,y,xP,z,y,xP , em termos de coordenadas pode-
mos escrever: 
0
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
131313
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
 ou ainda 0dzayaxa 321 =+++ 
onde : 
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )131211
121313123
121313122
121313121
zayaxadentão
yy.xxyy.xxa
yy.xxzz.xxa
zz.yyzz.yya
++−=
−−−−−=
−−+−−−=
−−−−−=
 
 
Exemplo 
Obter a equação cartesiana do plano que passa pelos pontos 
( ) ( ) ( ).2,2,2Pe0,1,1P,1,0,1P 321 
 
Solução: 
0
121
110
1y1x
120212
100111
1z0y1x
=−
−−
=
−−−
−−−
−−−
 onde 02zyx3 =−−− 
 
Exemplo: 
 74 
Obter a equação geral do plano que passa pelos pontos 
( ) ( ) ( )6,2,1Ce3,1,2P,2,1,1P 21 −−−− 
 
Solução: 
0
412
521
2z1y1x
261211
231112
2z1y1x
=
−−
−
−+−
=
−+−−−
−−+−
−+−
 
onde 0z3y6x3 =++ 
 75 
3.13. EXERCÍCIOS SOBRE O PLANO 
1. Determine a equação do plano que passa pelos pontos M(3,0,1), N(2,6,-1) e 
Q(4,1,0). 
2. Verifique se os pontos (3,0,1), (2,6,-1), (4,1,0) e (2,-1,3) pertencem ao mesmo pla-
no. 
3. Determine a equação do plano que passa pelo ponto A(3,-2,4) sendo o vetor 
normal ).2,3,4( −=n 
4. Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,-1,3), sendo 
)4,2,3( −=n um vetor normal a ele. 
5. Determine a equação do plano que passa pelo ponto A(3,1,-4) e é paralelo ao pla-
no 2x-3y+z-6=0. 
6. Estabelecer a equação geral do plano que passa pelos pontos A(2,1,-1), B(0,-1,1) 
e C(1,2,1). 
7. A equação de um plano é y = 3. Descreva como se apresentaeste plano em rela-
ção aos eixos x, y, z. 
8. Determine o ângulo entre os planos pi1: 2x-3y+5z-8=0 e pi2: 3x+2y+5z-4=0. 
9. Dado o plano pi: 2x+3y+z-6=0, determine: 
a) Os pontos onde intercepta os eixos x, y e z. 
b) O perímetro do triângulo formado por estes pontos. 
c) Represente geometricamente este triângulo. 
10. Determine a equação do plano, em cada caso: 
a) Que passa pelos pontos A(-1,2,0), B(2,-1,1) e C(1,1,-1). 
b) Que passa pelos pontos A(2,1,0), B(-4,-2,-1) e C(0,0,1). 
c) Que passa pelos pontos A(0,0,0), B(),3,0) e C(0,2,5). 
d) Que passa pelo ponto A(1,7,2) e tem vetor normal ).7,0,1(=n 
e) Que passa pelo ponto A(0,-1,2) e tem vetor normal ).6,1,2(−=n 
11. Calcular a equação do plano que passa pelo ponto P(2,-1,6), sendo paralelo ao 
plano x-2y-3z+4=0. 
12. Achar a equação do plano que passa pelos pontos A(0,3,0) e B(4,0,0), sendo per-
pendicular ao plano 4x-6y-z-12=0. 
13. Calcular a equação do plano que passa pelos pontos A(2,-1,6) e B(1,-2,4), sendo 
perpendicular ao plano x-2y-2z+9=0. 
 76 
14. Achar a equação do plano que passa pelo ponto A(3,2,-4), sendo perpendicular 
aos planos x-3y+2z+5=0 e 2x+y-z+7=0 
15. Um plano passa pelos pontos (1,1,1), (1,0,0) e pela origem. Determine a equação 
deste plano. 
16. Seja o paralelepípedo de dimensões 2, 3 e 4 representado abaixo: 
Determine: 
a. As equações da reta que passa por AF. 
b. As equações da reta que passa por AB. 
c. As equações da reta que passa por EF. 
d. As equações da reta que passa por AC. 
e. As equações da reta que passa por 0A. 
f. A equação do plano que contém os pontos ABCD. 
g. A equação do plano que contém os pontos ABGF. 
 
RESPOSTAS 
 
1. 4x+3y+7z-19=0 
2. Não 
3. 4x+3y-2z+2=0 
4. 3x+2y-4z+8=0 
5. 2x-3y+z+1=0 
6. 3x-y+2z-3=0 
7. Plano paralelo ao plano x0z, passando por y=3 
8. 48º51’ 
9. a) (3,0,0), (0,2,0), (0,0,6) b) 1353102 ++ 
10. a) 4x+5y+3z-6=0 b) x-2y=0 c) x=0 
d) x+7z-15=0 e) 2x-y-6z+11=0 
11. x-2y-3z+14=0 
12. 3x+4y-12z-12=0 
13. 2x+4y-3z+18=0 
14. x+5y+7z+15=0 
15. y-z=0 
16. a) 



=
=
4y
2x
 b) 



=
=
3z
4y
 b) 



=
=
0z
2x
 d)





=
=
=
3z
t4y
t2x
 e) 





=
=
=
t3z
t4y
t2x
 
f) z=3 g) y=4 
 
 
 77 
3. Bibliografia: 
BÁSICA: 
 
1. WINTERLE, P., STEINBRUCH, A. Algebra linear. São Paulo: 2ª ed. McGraw-
Hill, 1987.583p. 
2. STEINBRUCH, A. WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-
Hill, 1987. 583p. 
3. HOWARD, A., RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: 
Artmed Editora Ltda, 2001.572p. 
4. KOLMAN, B. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. Rio de Janeiro: 
Prentice-Hall do Brasil ltda, 1998.554p. 
 
 
 
COMPLEMENTAR: 
 
 
5. BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear. São Paulo: Harbra. 1980. 411p. 
6. BOULOS, P., CAMARGO, I. Geometria analítica - um tratamento vetorial. 
São Paulo: McGraw-Hill, 1987.385p. 
7. JÚNIOR, O. G. Matemática por assunto – Geometria Plana e Espacial (nº 6). 
São Paulo. Ed. Scipione, 1988. 
8. MACHADO, A. dos S. Matemática temas e Metas – Áreas e Volumes (nº 4). 
São Paulo. Atual Editora. 1988. 
9. MACHADO, A. dos S. Matemática temas e Metas – Sistemas Lineares e 
Combinatória (nº 3). São Paulo. Atual Editora. 1988. 
10. LIPSCHUTS, S. , LIPSOM M.L., Algebra Linear. São Paulo. 3°ed. 
BOOKMAN.2004, 400 p 
11. REIS, G. L. e Silva V. V., Geometria Analítica. São Paulo: 2° ed. LTC. 1996. 
242 p.