RESISTENCIA DOS MATERIAIS

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16/02/2010
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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
CAPITULO
Notas de Aula: 
Prof. Gilfran Milfont
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e
gráficos contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros:
-RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-
Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw
Hill-4ª edição-2006
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.
C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição-
2004
-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James
M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel
C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,
Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003
6 Análise e Projeto de 
Vigas em Flexão
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Introdução
1 - 2
• Vigas – membro estrutural suportando cargas ao
longo do seu comprimento.
• Objetivo – Análise e projeto de vigas.
• Cargas transversal em vigas são classificadas em
cargas concentradas ou cargas distribuídas.
• As cargas aplicadas resultam em forças internas,
consistindo de esforço cortante e momento
fletor, gerando tensões de cisalhamento e
tensões normais, respectivamente.
• A tensão normal é, comumente, o critério crítico
usado para o projeto:
WII
McMMy
mx ==-= ss
Requer a determinação da localização e da
magnitude do momento máximo.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tipos de Vigas
1 - 3
Classificação das vigas quanto aos apoios:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Esforço Cortante e Momento Fletor
1 - 4
• A determinação da tensão normal e de
cisalhamento máximas, requer a
identificação do esforço cortante e do
momento fletor máximos atuantes na viga.
• O esforço cortante e o momento fletor em um
determinado ponto de uma viga é encontrado,
passando-se uma seção através do ponto
desejado e aplicando-se as equações de
equilíbrio da estática para o trecho cortado.
• Convenção de sinais para os esforços V e V’
e para os momentos M e M’
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 6.1
1 - 5
Para a viga e o carregamento mostrado na figura, construa o diagrama de
esforço cortante e de momento fletor e determine a tensão normal máxima
devido à flexão.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 6.1
1 - 6
SOLUÇÃO:
• Aplique as equações de equilíbrio da estática e 
determine as reações de apoio para a viga:
  ==== kN14kN40:0 DBBy RRMF
• Seccione a viga e aplique as condições de 
equilíbrio para cada parte:
   00m0kN200
kN200kN200
111
11
== =
-==-- =
MMM
VVFy
   mkN500m5.2kN200
kN200kN200
222
22
-== =
-==-- =
MMM
VVFy
0kN14
mkN28kN14
mkN28kN26
mkN50kN26
66
55
44
33
=-=
=-=
==
-==
MV
MV
MV
MV
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 6.1
1 - 7
• Construa o diagrama de esforço cortante e
de momento fletor, identificando os valores
máximos (em módulo).
mkN50kN26 === Bmm MMV
• Aplique a equação para tensão normal
máxima, encontrando o valor desejado
da tensão máxima.
  
36
3
36
2
6
12
6
1
m1033.833
mN1050
m1033.833
m250.0m080.0
-
-


==
=
==
S
M
hbW
B
m
s
60MPaPa100.60 6 ==ms
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Relações: Carga, Esforço Cortante e Momento Fletor
1 - 8
 
xwV
xwVVVFy
-=
=--= 0:0
-=-
-=
D
C
x
x
CD dxwVV
w
dx
dV
• Relação entre carga e esforço cortante:
 
 2
2
1
0
2
:0
xwxVM
x
xwxVMMMMC
-=
=

--= 
=-
=
D
C
x
x
CD dxVMM
dx
dM
0
• Relação entre esforço cortante e
momento fletor:
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Exemplo 6.2
1 - 9
SOLUÇÃO:
• Determine as reações de apoio:






--=





-==
=-==
33
0
0
02
1
02
1
02
1
02
1
a
LawMM
a
LawM
awRRawF
CCC
CCy
awV
a
x
xwdx
a
x
wVV
B
a
a
AB
02
1
0
2
0
0
0
2
1
-=












--=





--=- 
Construa o diagrama de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga da figura.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 6.2
1 - 10
• Momento Fletor:
2
03
1
0
32
0
0
2
0
622
awM
a
xx
wdx
a
x
xwMM
B
a
a
AB
-=
















--= 















--=-
   
  





-=--=
--= -=-
32
3 006
1
02
1
02
1
a
L
wa
aLawM
aLawdxawMM
C
L
a
CB
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Projeto de Vigas Prismáticas
1 - 11
• Entre as seções de viga que satisfazem esta condição, será
escolhida aquela mais econômica, ou seja, aquela que
apresenta o menor peso por unidade de comprimento ou
menor área da seção transversal.
• A tensão normal máxima ocorre no ponto onde o momento
fletor é máximo.
W
M
I
cM
m
maxmax ==s
• O projeto de vigas requer que a tensão normal máxima não
ultrapasse o valor da tensão admissível do material da qual ela
será construída. Este critério nos leva a determinar o módulo
de resistência minimo aceitavel para a seção da viga.
adm
admm
M
W
s
ss
max
min =

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PROJETO DE VIGAS PARA FLEXÃO
1 - 12
COEFICIENTE DE SEGURANÇA (CS)
Fator de correção com a finalidade de aumentar as dimensões da estrutura
garantindo, desse modo, maior segurança ao projeto.
TENSÃO ADMISSÍVEL
A tensão admissível é obtida dividindo-se a tensão de escoamento do material
utilizado no projeto pelo coeficiente de segurança empregado, pode ser calculada
do seguinte modo:
EQUAÇÃO GERAL DA FLEXÃO
A equação matemática que dimensiona uma estrutura sujeita a esforço de flexão
é dada por:
MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (W)
Representa em termos numéricos como determinado tipo de seção reage ao
esforço, ou seja, representa a resistência da seção em relação ao esforço de flexão.
Para cada tipo de seção transversal estudada tem-se uma equação diferente para se
calcular o valor de W.
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MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (W)
1 - 13
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
1 - 14
O objetivo desta seção é apresentar a formulação matemática utilizada para o
dimensionamento da seção transversal de alguns tipos de vigas mais utilizadas na
construção de estruturas mecânicas.
TIPOS DE SEÇÃO TRANSVERSAL
Os principais tipos de seção transversal estudadas na presente seção são: quadrada,
circular, retangular, tubular e caixão, também são estudados os perfis industriais
tipo WF, I, U, L (abas iguais) e L (abas desiguais).
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA
Pode-se chegar a uma equação geral que fornece como resultado o valor numérico
do comprimento l que representa a dimensão do lado da seção transversal
quadrada.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
1 - 15
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR
A partir das Equações (1.4), chega-se a uma equação geral que fornece como
resultado numérico os valores de b e h, que representam as dimensões de base e
altura da viga de seção retangular.
Note-se que existem duasincógnitas, b e h, portanto, é interessante assumir uma
relação entre b e h. Assim, define-se a variável x como a relação entre h e b, ou
seja, h = xb.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
1 - 16
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR
A partir da Equação (1.5), pode-se chegar a uma equação geral que fornece como
resultado o valor numérico do diâmetro d.
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TUBULAR
A partir da Equação(1.6), chega-se a uma equação geral que fornece como
resultado numérico os valores de D e d, que representam as dimensões de
diâmetro externo e diâmetro interno de uma viga de seção transversal tubular.
Novamente percebe-se que se tem
duas incógnitas D e d. Fazendo: d=yD
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
1 - 17
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CAIXÃO
A partir da Equação (1.7), chegamos a uma equação geral que fornece como
resultado numérico os valores de a e b, que representam as dimensões dos lados,
externo e interno, de uma viga de seção transversal caixão.
Percebe-se, novamente que se
tem duas incógnitas a e b.
Fazendo: b= za
VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL DE PERFIS INDUSTRIAIS
Ao contrário do se possa parecer, a solução de problemas de dimensionamento de
vigas com seção transversal formada por perfis industriais é mais simples que a
solução apresentada para os casos anteriores. Determina-se o valor do módulo de
resistência em relação ao eixo x (Wx), resultando em:
Com o valor encontrado, recorre-se a tabelas de perfis
industriais, selecionando aquele que oferece Wd≥Wx e que
apresenta o menor peso por unidade de comprimento.
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Propriedades dos Materiais
1 - 18
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 6.3
1 - 19
• Determine as reações de apoio:        
kN0.52
kN50kN60kN0.580
kN0.58
m4kN50m5.1kN60m50
=
--==
=
--==
y
yy
A
A
AF
D
DM
A viga simplesmente apoiada da
figura deve suportar o carregamento
indicado. Sabendo-se que atensão
admissível do material usado é de
160MPa, selecione o perfil de abas
largas a ser utilizado.
SOLUÇÃO:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 6.3
1 - 20
• Determine o módulo de resistência minimo
aceitável.
3336
max
min
mm105.422m105.422
MPa160
mkN6.67
==

==
-
adm
M
W
s
• Escolha na tabela o perfil mais economico e que
atenda a este critério.
4481.46W200
5358.44W250
5497.38W310
4749.32W360
63738.8W410
mm,
3





WPerfil
9.32360W
• Construa o diagrama de esforço cortante e
determine o momento fletor máximo:
==
kN8
kN0.52
-=
kN60-=-=-
B
AB
yA
V
VV
AV
área sob a curva, carregamento
kN6.67
max
=
=M área sob a curva, no trecho AE