exercícios de aplicações de derivadas parciais e regra da cadeia

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Faculdade de Engenharia de Resende 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Professora Marilia Rios 
Lista de exercícios – 28/05 
 
Resolver os exercícios de aplicações de derivadas parciais e regra da cadeia. 
1- A temperatura em um ponto (x,y) de uma chapa de metal é dada por 
𝑇(𝑥, 𝑦) =
60
1 + 𝑥2 + 𝑦²
 
Onde T é medido em ºC e x,y em metros. Determine a taxa de variação da 
temperatura no ponto (2,1): 
a) na direção x; 
b) na direção y. 
 
2- Verifique que a função 𝑧 = 𝑙𝑛(𝑒𝑥 + 𝑒𝑦) é solução da equação diferencial: 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 1 
 
3- A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideia à temperatura absoluta T, 
pressão P e volume V é PV=mRT, onde R é a constante do gás. Mostre que 
 
𝜕𝑃
𝜕𝑉
.
𝜕𝑉
𝜕𝑇
.
𝜕𝑇
𝜕𝑃
= −1 
E também que 
𝑇
𝜕𝑃
𝜕𝑉
.
𝜕𝑉
𝜕𝑇
= 𝑚𝑅 
 
4- A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é 𝑘 =
1
2
𝑚𝑣². Mostre 
que 
 
𝜕𝐾
𝜕𝑚
.
𝜕²𝐾
𝜕𝑣²
= 𝐾 
 
 
5- A produção de trigo W em um determinado ano depende da temperatura média T 
e do volume anual das chuvas R. Cientistas estimam que a temperatura média 
anual está crescendo à taxa de 0.15 ºC/ano e a quantidade anual de chuva está 
decrescendo à taxa de 0,1 cm/ano. Eles também estimam que, no atual nível de 
produção, 
𝜕𝑊
𝜕𝑇
= −2 e 
𝜕𝑊
𝜕𝑅
= 8. 
a) Qual é o significado do sinal dessas derivadas parciais? 
b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo 
𝑑𝑊
𝑑𝑡
.