Aula 06 Raciocínio Lógico

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AULA 06: Problemas Aritméticos
SUMÁRIO PÁGINA
1. Resolução das questões da Aula 05 1
2. MDC, MMC e Fatoração 45
3. Equação do 1° grau 47
4. Equação do 2° grau 54
5. Progressões 55
6. Exercícios Comentados nesta aula 76
7. Exercícios Propostos 80
8. Gabarito 85
1 - Resolução das questões da Aula 05
(Texto para as questões 273 e 274) Considere que, em uma amostra 
composta por 210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do 
DETRAN, 105 foram ao DETRAN para resolver pendências relacionadas à 
documentação de veículos; 70, para resolver problemas relacionados a 
multas; e 70, para resolver problemas não relacionados à documentação de 
veículos ou a multas. A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens 
seguintes.
273 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Caso se selecionem, ao acaso, duas 
pessoas, entre as 210 da amostrai a probabilidade de que ambas tenham 
procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à 
documentação de veículos ou que a tenham procurado para resolver
1
problemas relacionados a multes sete superior a - .
Solução:
Nessa questão, vamos desenhar o diagrama para entender o que a questão está 
informando:
Total de pessoas (T): 210
Pessoas com problemas relacionados a documentação (D): 105 
Pessoas com problemas relacionados a multas (M): 70
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Pessoas com problemas não relacionados à documentação ou a multas (N): 70 
Pessoas com problemas relacionados à documentação e a multas (D n M): ???
Podemos desenhar o seguinte diagrama para esta situação:
Assim, podemos montar a seguinte equação:
n(T) = n(N) + n(D u M)
210 = 70 + n(D u M) 
n(D u M) = 210 - 70 
n(D u M) = 140
Lembrando aquela equação do número de elementos da união de dois conjuntos, 
temos:
n(D u M) = n(D) + n(M) - n(D n M)
140 = 105 + 70 - n(D n M) 
n(D n M) = 175 - 140 
n(D n M) = 35
Assim:
Queremos selecionar duas pessoas entre as 210 que tenham procurado a unidade 
do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de 
veículos ou que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a 
multas. Assim, até pouco tempo atrás, eu entendia que as duas pessoas deveriam 
estar na área amarela do diagrama ou as duas pessoas deveriam estar na área 
azul do diagrama, porém, após a divulgação das justificativas para as repostas das 
questões da prova de Agente Administrativo da Polícia Federal aplicada este ano, 
devemos acrescentar, também, a opção de as duas pessoas estarem na área 
cinza do diagrama:
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Com isso, o número de casos favoráveis para uma pessoa na área amarela é 70, 
o número de casos favoráveis para uma pessoa na área azul é 35, o número de 
casos favoráveis para uma pessoa na área cinza é 35, e o número de casos 
possíveis é 210.
casos favoráveis 70P(1a pessoa na área amarela) = =
casos possíveis 210
1
3
Como queremos a probabilidade para duas pessoas, o número de casos possíveis 
para a segunda pessoa é igual a 210 - 1 = 209 e o número de casos favoráveis é 
70 - 1 = 69. Assim:
casos favoráveisP(2a pessoa na área amarela) =
casos possíveis
Assim, a probabilidade total para duas pessoas na
= _69
209
área amarela é:
P(amarela) = 1
3
69
209
23
209
pessoas pertencerem à área
= 1 
6
Como queremos a probabilidade para duas pessoas, o número de casos possíveis 
para a segunda pessoa é igual a 210 - 1 = 209 e o número de casos favoráveis é 
35 - 1 = 34. Assim:
Agora, vamos calcular a probabilidade para as duas 
azul do diagrama:
P(1 a pessoa na área azul) = casos favoráveis 35
casos possíveis 210
P(2a pessoa na área azul) = casos favoráveis 
casos possíveis
Assim, a probabilidade total para duas pessoas
. 34 
" 209
na área azul é:
1
P(azul) = ^ x
34
209
17
627
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Agora, vamos calcular a probabilidade para as duas pessoas pertencerem à área 
cinza do diagrama:
P(1a pessoa na área cinza) casos favoráveis 
casos possíveis
35
210
1
6
Como queremos a probabilidade para duas pessoas, o número de casos possíveis 
para a segunda pessoa é igual a 210 - 1 = 209 e o número de casos favoráveis é 
35 - 1 = 34. Assim:
P(2a pessoa na área cinza) = casos favoráveis 34
casos possíveis 209
Assim, a probabilidade total para duas pessoas na área azul é:
1
P(cinza) = 6 x 34
209
17
627
Por fim, aplicando o princípio aditivo, a probabilidade total é:
23 17 17 69 +17 +17 103Pt - + + - -
209 627 627 627 627
Como 1
6
104,5
627
podemos concluir que 1 03
627
< 1—. Assim, como a probabilidade
total é inferior a 1
6
o item está errado.
274 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Entre as 210 pessoas da amostra, para se 
selecionar, ao acaso, ao menos duas que tenham procurado a unidade do 
DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de 
veículos ou ao menos duas que a tenham procurado para resolver 
problemas relacionados a multas, o menor número de pessoas que devem 
ser selecionadas será igual a 73.
Solução:
Sabemos que:
- 70 pessoas foram resolver problemas não relacionados à documentação ou a 
multas
- 140 pessoas foram resolver problemas relacionados à documentação ou a 
multas
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Para que duas pessoas tenham ido resolver o mesmo problema (de 
documentação ou de multa), devemos escolher pelo menos 3 pessoas entre as 
140, pois caso escolhamos apenas duas pessoas, é possível que uma tenha ido 
resolver um dos problemas e a outra tenha ido resolver o outro problema. Agora, 
para garantir que, entre as 210 pessoas, duas tenham ido resolver o mesmo 
problema (de documentação ou de multa), deveremos escolher pelo menos 
3 + 70 = 73 pessoas, pois 70 pessoas não foram resolver nenhum desses dois 
problemas e podemos dar o azar de os escolhidos pertencerem a esse grupo. É o 
chamado “princípio da casa dos pombos”.
Item correto.
(Texto para as questões 275 e 276) Em uma cidade, uma emissora de 
televisão inaugurou os programas A e B. Posteriormente, para avaliar a 
aceitação desses programas, a emissora encomendou uma pesquisa, cujo 
resultado mostrou que, das 1.200 pessoas entrevistadas, 770 pretendem 
assistir ao programa A; 370 pretendem assistir apenas ao programa B e 590 
não pretendem assistir ao programa B.
Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, julgue os próximos 
itens, com base no resultado da pesquisa.
275 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender
assistir aos dois programas é superior a —.
4
Solução:
Vamos desenhar o diagrama para entender melhor a questão:
Agora, vamos atribuir variáveis às regiões do diagrama:
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Sabemos que:
1.200 pessoas entrevistadas
x + y + z + w = 1200 (equação 1)
770pretendem assistir ao programa A
x + y = 770 (equação 2)
370 pretendem assistir apenas ao programa B
z = 370 (equação 3)
Substituindo os valores de “x + y” e de “z” das equações 2 e 3 na equação 1, 
temos:
x + y + z + w = 1200
770 + 370 + w = 1200
w = 1200 - 770 - 370 = 60
590 não pretendem assistir ao programa B
x + w = 590 
Como w = 60, temos: 
x + w = 590 
x + 60 = 590 
x = 590 - 60 = 530
Voltando com o valor de “x” na equação 2, temos: 
x + y = 770
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530 + y = 770 
y = 770 - 530 = 240
Preenchendo os valores de x, y, z e w no diagrama, temos:
Agora, escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, a probabilidade 
de essa pessoa pretender assistir aos dois programas é:
Casos favoráveis: 240 
Casos possíveis: 1200
P _ 240 _ 1 
1200 5
1 1Como é inferior a , item errado.
5 4
276 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender
assistir a apenas um dos programas é igual a 3 .
4
Solução:
Utilizando o diagrama da questão anterior, a pessoa que pretende assistir a 
apenas um dos programas está representada pela seguinte área cinza:
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Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, a probabilidade de essa 
pessoa pretender assistir a apenas um dos programas é:
Casos favoráveis: 530 + 370 = 900 
Casos possíveis: 1200
900 = 3
1200 4
Portanto, item correto.
(Texto para as questões 277 a 279) Célia e Melissa são candidatas ao cargo 
de presidente de uma empresa. A escolha será decidida na assembléia de 
acionistas e cada acionista poderá votar nas duas candidatas, em apenas 
uma ou em nenhuma delas. Uma pesquisa entre os 100 acionistas da 
empresa revelou a seguinte tendência:
•16 acionistas não votariam em nenhuma dessas 2 candidatas;
• 28 acionistas votariam apenas em Melissa;
• 65 acionistas votariam apenas em Célia ou apenas em Melissa.
Nesse caso, escolhendo-se um acionista ao acaso, a probabilidade de ele 
votar
277 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) apenas em Célia é inferior a 0,4.
Solução:
Vamos começar desenhando o diagrama:
Agora, vamos preencher o diagrama com as quantidades informadas pela 
questão:
• 16 acionistas não votariam em nenhuma dessas 2 candidatas;
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• 28 acionistas votariam apenas em Melissa;
• 65 acionistas votariam apenas em Célia ou apenas em Melissa.
Como 28 acionistas votariam apenas em Melissa, concluímos que 65 - 28 = 37 
acionistas votariam apenas em Célia. Assim:
Por fim, como o total de acionistas entrevistados é igual a 100, e já temos 28 + 37 
+ 16 = 81 acionistas que não votariam nas duas (Melissa e Célia), concluímos que 
100 - 81 = 19 acionistas votariam nas duas candidatas.
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Assim, escolhendo-se um acionista ao acaso, a probabilidade de ele votar apenas 
em Célia é:
Casos favoráveis: 37 
Casos possíveis: 100
P = 37
100
0,37
Portanto, item correto.
278 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) nas duas candidatas é igual a 0,2. 
Solução:
Utilizando o diagrama da questão anterior:
Escolhendo-se um acionista ao acaso, a probabilidade de ele votar nas duas 
candidatas é:
Casos favoráveis: 19 
Casos possíveis: 100
P = 19
100
0,19
Portanto, item errado.
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279 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) em Melissa é superior a 0,45. 
Solução:
Novamente, utilizando o diagrama construído anteriormente:
Escolhendo-se um acionista ao acaso, a probabilidade de ele votar em Melissa é:
Casos favoráveis: 28 + 19 = 47 
Casos possíveis: 100
P = 47
100
0,47
Portanto, item correto.
(Texto para as questões 280 a 282) Considerando que, em uma 
concessionária de veículos, tenha sido verificado que a probabilidade de um 
comprador adquirir um carro de cor metálica é 1,8 vez maior que a de 
adquirir um carro de cor sólida e sabendo que, em determinado período, dois 
carros foram comprados, nessa concessionária, de forma independente, 
julgue os itens a seguir.
280 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que ao menos um dos dois
460carros comprados seja de cor sólida é igual a 7^4 .
Solução:
Nessa questão, temos:
Probabilidade de aquisição de carro na cor sólida: x 
Probabilidade de aquisição de carro na cor metálica: 1,8.x
Devemos considerar que só temos essas duas possibilidades, ou a cor do carro é 
sólida ou a cor do carro é metálica. Assim:
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x + 1 ,8.x = 1
2 ,8.x = 1
= -1 = 5
X 2,8 14
5
P(sólida) = — 
14
5 9
P(metálica) = 1,8. — = —
14 14
Agora, podemos ter a cor dos dois carros da seguinte forma:
- 1° carro cor sólida e 2° carro cor metálica
- 1° carro cor metálica e 2° carro cor sólida
- os 2 carros cor sólida
- os 2 carros cor metálica
Dessas opções, a única que não nos interessa é os dois carros sendo cor 
metálica. Assim, a probabilidade de que ao menos um dos dois carros comprados 
seja de cor sólida é:
P(final) = 1 - P(2 carros na cor metálica)
9 9P(final) = 1 - .
14 14
460 
784
Item correto.
P(final) = 1 - 81
196
P(final) = 196 - 81 115
196 196
281 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que os dois carros 
comprados sejam de cor metálica é 3,24 vezes maior que a probabilidade de 
que eles sejam de cor sólida.
Solução:
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Vimos na questão anterior que a probabilidade de que um carro seja da cor 
9
metálica é . Assim, a probabilidade de que os dois carros sejam da cor metálica 
14
é:
P(2 carros na cor metálica) = _9_ _9_ 
14 14
81
196
Vimos também, que a probabilidade de que um carro seja da cor sólida é 
Assim, a probabilidade de que os dois carros sejam da cor sólida é:
5
14 .
P(2 carros na cor sólida) = 5 5
14 14
25
196
Portanto, a probabilidade de que os dois carros sejam da cor metálica é
vezes maior do que os dois carros na cor sólida:
81
196 81 196 - = 3,24
25 / 25
/196
81/
7196
25/
/196
Portanto, item correto.
282 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que somente um dos dois 
carros comprados seja de cor metálica é superior a 50%.
Solução:
Essa probabilidade é dada por
P(1 carro de cada cor) = 1 - P(2 carros na cor sólida) - P(2 carros na cor metálica)
P(1 carro de cada cor) = 1 - — ------ 8 1
196 196
196 - 25 - 81 90P(1 carro de cada cor) = = = 45,92%
196 196
Portanto, item errado.
(Texto para a questão 283) Estimou-se que, na região Norte do Brasil,em 
2009, havia 1.074.700 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma
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população total de, aproximadamente, 10.747.000 habitantes, e que na região 
Centro-Oeste, no mesmo ano, havia 840.433 analfabetos com 15 anos de 
idade ou mais, em uma população total de, aproximadamente, 10.505.415 
habitantes. A partir dessas informações, julgue o item subsequente.
283 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de uma pessoa com 15 anos 
de idade ou mais escolhida ao acaso em 2009, na região Norte ou na região 
Centro-Oeste, ser analfabeta é inferior a 20%.
Solução:
Nessa questão, temos:
Casos favoráveis: 1.074.700 + 840.433 = 1.915.133 
Casos possíveis: 10.747.000 + 10.505.415 = 21.252.415
Assim, a probabilidade é:
1.915.133P = = 0,0911 = 9,11%
21.252.415
Item correto.
(Texto para a questão 284) Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas 
Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social 
está entre as maiores causas da violência entre jovens.
Um dos fatores que evidenciam a desigualdade social e expõem a população 
jovem à violência é a condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 
milhões de jovens brasileiros, membros de famílias com renda per capita de 
até um quarto do salário mínimo, afirma a pesquisa.
Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio simplista 
de que a pobreza é a principal causadora da violência entre os jovens, mas 
isso não é verdade. O fato de sen pobre não significa que a pessoa será 
violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por 
jovens de classe média.
Internet: <http://amaivos.uol.com.br> (com adaptações).
Tendo como referência o texto acima, julgue o item seguinte.
284 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Selecionando-se ao acaso dois jovens 
brasileiros, a probabilidade de ambos serem atingidos pela condição de 
extrema pobreza será inferior a 1,5%.
Solução:
O texto informa que a condição de extrema pobreza atinge 12,2% dos 34 milhões 
de jovens brasileiros. Assim, para a escolha do 1° jovem temos:
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Casos Possíveis: 34.000.000
Casos Favoráveis: 12,2% de 34.000.000 = 4.148.000
P(1° jovem) Casos Favoráveis 
Casos Possíveis
4.148.000
34.000.000
12 ,2%
Para o segundo jovem, temos:
Casos Possíveis: 34.000.000 - 1 = 33.999.999 
Casos Favoráveis: 4.148.000 - 1 = 4.147.999
Casos Favoráveis 4.147.999P(2° jovem) = = = 12,1999974% = 12,2%
Casos Possíveis 33.999.999
Como o espaço amostrai é muito grande, retirando-se um jovem, a probabilidade 
de escolhermos o segundo jovem é praticamente a mesma da escolha do primeiro 
jovem. Assim, temos:
P(2 jovens) = P(1° jovem) x P(2° jovem) = 12,2% x 12,2% = 1,4884%
Item correto.
(Texto para as questões 285 e 286) Dos 420 detentos de um presídio, 
verificou-se que 210 foram condenados por roubo, 140, por homicídio e 140, 
por outros crimes. Verificou-se, também, que alguns estavam presos por 
roubo e homicídio. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes.
285 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de 
se selecionarem dois detentos entre os condenados por outros crimes, que 
não roubo ou homicídio, para participarem de um programa destinado à 
ressocialização de detentos é inferior a 10.000.
Solução:
Primeiramente, vamos representar a distribuição dos presos, sabendo que alguns 
estavam presos por roubo e homicídio:
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Sabemos ainda que:
O presídio continha 420 detentos 
A + B + C + D = 420 (equação 1)
140 foram condenados por outros crimes 
D = 140 (equação 2)
210 foram condenados por roubo 
A + B = 210 (equação 3)
140 foram condenados por homicídio 
B + C = 140 (equação 4)
Substituindo os valores de D e de A + B das equações 2 e 3 na equação 1, temos:
A + B + C + D = 420 
210 + C + 140 = 420 
C = 420 - 210 - 140 
C = 70
Substituindo o valor de C na equação 4, temos:
B + C = 140 
B + 70 = 140 
B = 140 - 70 
B = 70
Substituindo o valor de B na equação 3, temos:
A + B = 210 
A + 70 = 210 
A = 210 - 70 
A = 140
Assim, temos:
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Agora, para selecionar dois detentos entre os condenados por outros crimes, 
podemos entender que formaremos um grupo de 2 pessoas entre os 140 
disponíveis, onde a ordem da escolha não importa. Com isso, utilizaremos a 
combinação dos 140 detentos, dois a dois:
C(140, 2) = 140!
2!.(140 - 2)!
140.139.1381" = 140.139 
2.(138)! 2
= 70.139 = 9730
Item correto.
286 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Selecionando-se ao acaso dois 
detentos desse presídio, a probabilidade de que ambos tenham sido
1
condenados por roubo ou ambos por homicídio será superior a 6 .
Solução:
Utilizando o diagrama já construído anteriormente:
Mais uma questão onde devemos utilizar o entendimento demonstrado pelo Cespe 
na prova da Polícia Federal de 2014. Assim, os dois detentos devem ter sido 
condenados apenas por roubo, ou os dois detentos devem ter sido condenados 
apenas por homicídio, ou então os dois detentos devem ter sido condenados por 
roubo e por homicídio ao mesmo tempo.
Para os dois detentos condenados ap l nas por roubo:
P(1° apenas roubo) = Casos Favoráveis 
Casos Possíveis
140 = 2 
420 6
P(2° apenas roubo) = Casos Favoráveis 
Casos Possíveis
140 -1 = 139 
420 -1 419
2 139 1 278
Pt(apenas roubo) = P(1°) x P(2°) = x = - x
6 419 6 419
Para os dois detentos condenados apenas por homicídio:
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Casos Favoráveis 70P(1° apenas homicídio) =------------------------ = -------
Casos Possíveis 420
1
6
P(2° apenas homicídio) = Casos Favoráveis 
Casos Possíveis
70 -1 _ 69 
420 -1 419
1 69Pt(apenas homicídio) _ P(1°) x P(2°) _ — x
Para os dois detentos condenados por roubo e homicídio ao mesmo tempo:
Casos Favoráveis 70 1P(1° roubo e homicídio) _ _ _
Casos Possíveis 420 6
P(2° roubo e homicídio) _ Casos Favoráveis 
Casos Possíveis
70 -1 _
420 -1 419
1 69Pt(roubo e homicídio) _ P(1°) x P(2°) _ ^ x 499
Pfinal
Pfinal
Pfinal
Pt(apenas roubo) + Pt(apenas homicídio) + Pt(roubo e homicídio)
1 278 1 69 1 69— x + x + x
6 419 6 419 6 419
1 278 69 69
x ( + - + )6 419 419 419
Pfinal 1 / 416x ( )6 419
416Como-----
419
é menor do que 1, podemos concluir que Pfinal é menor do que
6
1
Item errado.
(Texto para a questão 287) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex 
o subconjunto de E formado pelas empresas que já participaram de pelo 
menos x procedimentos licitatórios, em que x = 0, 1, 2, ..., e por Nx a 
quantidade de elementos do conjunto Ex. Julgue o item seguinte, a respeito 
desses conjuntos.
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287 - (TCDF - 2012 / CESPE) A probabilidade de uma empresa selecionada ao 
acaso no conjunto E já ter participado de exatamente 10 procedimentos
licitatórios é igual a N 10 N 11 
N 0
Solução:
Esse tipo de questão costuma assustar logo na primeira leitura, mas com vocês 
isso não irá mais acontecer!
Vamos entender quem são N10, N11 e N0 :
N0: Número total de empresas, inclusive contando com as que nunca participaram 
de qualquer licitação.
N10: Número de empresas que participaram de pelo menos 10 licitações
N11: Número de empresas que participaram de pelo menos 11 licitações
Sabemos que a probabilidade de algo acontecer é igual à razão entre o número de 
casos favoráveis e o número de casos possíveis. Assim, o N0 representa 
corretamente o total de casos possíveis, pois equivale ao número total de 
empresas. Agora, percebam o seguinte:
Conjunto E10: Formado pelas empresas que participaram de 10, 1 1 , 12 , 13, ... 
licitações
Conjunto E11: Formado pelas empresas que participaram de 11, 12, 13, ... 
licitações
Assim, a diferença da quantidade de elementos de E10 e E11 é justamente o total 
de empresas que participaram de exatamente 10 licitações, pois esses elementos 
estarão presentes apenas em E10.
Com isso, podemos concluir que N10 - N11 representa corretamente o número total 
de empresas que participaram de exatamente 10 licitações, e pode ser 
considerado como o total de casos favoráveis. Item correto.
(Texto para a questão 288) Dez policiais federais — dois delegados, dois 
peritos, dois escrivães e quatro agentes — foram designados para cumprir 
mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à 
superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para 
tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um 
delegado, um perito, um escrivão e dois agentes.
Considerando essa situação hipotética, julgue o item que se segue.
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288 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Se cinco dos citados policiais forem 
escolhidos, aleatoriamente e independentemente dos cargos, então a 
probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a 
exigência inicial será superior a 20%.
Solução:
Nessa questão, para sabermos a probabilidade devemos saber o total de casos 
favoráveis e o total de casos possíveis. O total de casos favoráveis é o mesmo 
que a quantidade de maneiras diferentes de compor as equipes, que é dado por:
Delegado: 2 opções 
Perito: 2 opções 
Escrivão: 2 opções
4!Agente: C(4,2) = ------------
2!.(4 - 2)!
4.3.2 = 12 
2!.(2)! ~2
= 6 opções
Total de possibilidades = 2 x 2 x 2 x 6 = 48 possibilidades
Já o total de casos possíveis é dado pela combinação dos 10 policiais 5 a 5:
C10,5 = 10!
2 2
10.9.8.7.6.5! 10.9.8.7.6 = 9 x 2 x 7 x 2 = 252
5!.(10 - 5)! 5.4.3.2.1.(5)! 5.4.3.2
Assim, temos:
Casos Favoráveis = 48 
Casos Possíveis = 252
Casos Favoráveis 48Probabilidade = ------------------------ = ----- = 0,1905 = 19,05%
Casos Possíveis 252
Item errado.
(Texto para a questão 289) Em razão da limitação de recursos humanos, a 
direção de determinada unidade do MPU determinou ser prioridade analisar 
os processos em que se investiguem crimes contra a administração pública 
que envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores. A partir 
dessas informações, considerando P = conjunto dos processos em análise 
na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades influentes, B = 
processos de P que envolvem desvio de altos valores, Cp(X) = processos de
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P que não estão no conjunto X, e supondo que, dos processos de P, 2
3
de A e 3
5
são de B, julgue os itens a seguir.
são
289 - (MPU - 2013 / CESPE) Selecionando-se ao acaso um processo em 
trâmite na unidade em questão, a probabilidade de que ele não envolva 
autoridade influente será superior a 30%.
Solução:
Essa questão é bastante simples. O que pode nos atrapalhar é simplesmente o 
entendimento das informações. Queremos saber a probabilidade de, escolhendo- 
se ao acaso um processo em trâmite na unidade em questão, qual a chance de 
este processo não se referir a autoridade influente, ou seja, queremos encontrar o
valor de P(A) que já sabemos que é igual a 1 P(A). Sabemos que 2
3
de todos
os processos são de A, ou seja, a probabilidade P(A) é igual a 2 
3 .
Casos Possíveis = P
2 2 PCasos Favoráveis para A = — de P = —
3 3
2.P
P(A) = Casos Favoráveis = 3 = 2P (A) = = =
Casos Possíveis P 3
Assim, podemos encontrar a probabilidade de um processo não ser de A:
2 1P(A) = 1 - P(A) = 1 - = - = 0,333... = 33,3%
Portanto, item correto.
(Texto para as questões 290 a 293) Estudos revelam que 95% dos erros de 
digitação de uma sequência numérica — como, por exemplo, um código de 
barras ou uma senha — são a substituição de um algarismo por outro ou a 
troca entre dois algarismos da mesma sequência; esse último tipo de erro 
corresponde a 80% dos casos. Considerando esses fatos e que a senha de 
acesso de um usuário a seu provedor de email seja formada por 8 
algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9, julgue os itens de 41 a 
45.
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290 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Infere-se das informações que a 
probabilidade de ocorrer um erro de troca entre dois algarismos da própria 
sequência no momento da digitação de uma sequência numérica é de 80%.
Solução:
Nessa questão, o erro é afirmar que a probabilidade de ocorrer um erro de troca 
entre dois algarismos da própria sequencia é de 80% no momento da digitação. 
Veja que foi dito no texto que quando ocorre um erro, 80% são de troca entre 
dois algarismos, o que é diferente de dizer que a chance de ocorrer um erro de 
troca entre dois algarismos é de 80% no momento da digitação. Perceberam? Os 
80% se referem ao total de erros já detectados e não ao total de códigos digitados. 
Item errado.
291 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Infere-se das informações que a 
probabilidade de um erro ocorrido na digitação de uma sequência numérica 
ser do tipo substituição de um algarismo por outro é de 15%.
Solução:
Essa questão afirma que dos erros de digitação, 95% se referem a substituição de 
um algarismo por outro ou a troca entre dois algarismos. Como foi dito que a troca 
entre dois algarismos representa 80%, podemos inferir que 95% - 80% = 15% 
referem-se a substituição de um algarismo por outro. Item correto.
292 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Se, ao digitar a senha, o usuário cometer um 
erro, a probabilidade de o erro dever-se à troca entre dois algarismos 
adjacentes da sequência será igual a 20%.
Solução:
Nessa questão, eu demorei um pouco para entender e já estava imaginando que a 
questão estava errada, pensando que ela queria a probabilidade complementar. 
Porém, depois percebi a palavra "adfacente" que foi a pegadinha. Nesse caso, 
devemos calcular a quantidade de maneiras de se cometer esse erro, que é dado 
pela combinação de 8 dígitos 2 a 2 :
8! 8.7.6! 8.7C(8, 2) = = = = 28 possibilidades
2!.(8 - 2)! 2 .(6)! 2
Esses seriam os casos possíveis de erros de digitação em que se trocam dois 
algarismos. Porém, só queremos os algarismos adjacentes, o que reduz o número 
de possibilidadespara 7:
1° e 2° dígitos
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2° e 3° dígitos 
3° e 4° dígitos 
4° e 5° dígitos 
5° e 6° dígitos 
6° e 7° dígitos 
7° e 8° dígitos
Portanto, se 28 possiblidades correspondem a 80% de chance de ocorrer, 
podemos dizer que 7 possiblidades correspondem a 20% de chances de ocorrer:
28 ----- 80%
7 --------x
7 x 80% x =
28
= 20%
Essa foi, em minha humilde opinião, a questão mais bem bolada que vi o Cespe 
elaborar nos últimos anos. Item correto.
293 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Se, ao digitar a sua senha, o usuário cometer 
um erro do tipo substituição de um algarismo por outro, então a 
probabilidade de que tal substituição ocorra no primeiro algarismo da senha 
será igual a 0,1 .
Solução:
Nessa questão, já temos que ocorreu o erro de substituição de um algarismo por 
outro. O que devemos encontrar é a probabilidade de esse erro ter acontecido no 
primeiro algarismo. Assim, temos:
Casos Possíveis = 8 (cada um dos 8 algarismos da senha)
Casos Favoráveis = 1 (apenas o primeiro algarismo da senha)
Casos Favoráveis 
Casos Possíveis
1
- = 0,125 
8
Portanto, item errado.
(Texto para as questões 294 e 295) Os alunos de uma turma cursam 4 
disciplinas que são ministradas por 4 professores diferentes. As avaliações 
finais dessas disciplinas serão realizadas em uma mesma semana, de 
segunda a sexta-feira, podendo ou não ocorrerem em um mesmo dia.
A respeito dessas avaliações, julgue os itens seguintes.
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294 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se cada professor escolher o dia em que 
aplicará a avaliação final de sua disciplina de modo independente dos 
demais, a probabilidade de que todos escolham aplicar as avaliações em um 
mesmo dia será inferior a 1%.
Solução:
A primeira coisa que devemos saber nessa questão, é a probabilidade de que a 
avaliação de uma disciplina ocorra na segunda feira:
Casos favoráveis: segunda-feira (1 único caso favorável)
Casos possíveis: segunda, terça, quarta, quinta e sexta-feira (5 casos possíveis)
Assim, a probabilidade de que essa avaliação ocorra na segunda-feira será:
P = Casos Favoráveis = 1 
Casos Possíveis 5
Para qualquer uma das quatro disciplinas a probabilidade de sua avaliação ocorrer
1
na segunda-feira será de 5 . Essa também é a mesma probabilidade de a
avaliação ocorrer na terça-feira, ou na quarta-feira, ou então na quinta-feira, ou 
ainda na sexta-feira.
Bom, a questão pede que calculemos a probabilidade de as avaliações das 4 
disciplinas ocorrerem no mesmo dia da semana, ou seja, devemos entender que 
as 4 avaliações podem ocorrer na segunda-feira, ou na terça-feira, ou na quarta- 
feira, ou na quinta feira, ou na sexta-feira. Assim, temos:
Para as 4 avaliações ocorrendo na segunda-feira:
1 1 1 1Pseg = x x x
5 5 5 5
1
625
Essa é a mesma probabilidade de as 4 avaliações ocorrerem na terça, que é a 
mesma probabilidade de ocorrerem na quarta, que é a mesma da quinta e a 
mesma da sexta-feira. Assim, como queremos a probabilidade de as 4 avaliações 
ocorrerem no mesmo dia, podendo este dia ser qualquer um entre segunda e 
sexta-feira, temos:
Ptotal = P seg + Pter + P qua + Pqui + P sex
1
625
1+ + 
625
1
625
1+
625
1+
625
Ptotal = 5 X 1
625
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1
Ptotai = = 0,008 = 0,8%
125
Portanto, como esta probabilidade é inferior a 1% podemos concluir que o item 
está correto.
295 - (TRT 17 - 2013 / CESPE) Se cada professor escolher o dia em que 
aplicará a avaliação final de sua disciplina de modo independente dos 
demais, a probabilidade de que haja mais de uma avaliação em determinado 
dia será superior a 80%.
Solução:
Uma forma de resolver esta questão é calcular todas as possibilidades de escala 
das avaliações e subtrair das possibilidades em que as 4 disciplinas ocorrem em 
dias separados. Assim, temos:
Disciplina 1: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) 
Disciplina 2: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) 
Disciplina 3: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) 
Disciplina 4: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira)
Total de possibilidades para o calendário: 5 x 5 x 5 x 5 = 625 possibilidades
Agora, vamos calcular o total de possibilidades em que as 4 disciplinas ocorrem 
em dias separados:
Disciplina 1: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) 
Disciplina 2: 4 opções de data (pois não pode ser a mesma da disciplina 1) 
Disciplina 3: 3 opções de data (pois não pode ser a mesma das disciplina 1 e 2) 
Disciplina 4: 2 opções de data (pois não pode ser a mesma das disciplina 1, 2 e 3)
Total de possibilidades em que as 4 disciplinas ocorrem em datas diferentes: 
5 x 4 x 3 x 2 = 120 possibilidades
Assim, o total de possibilidades em que haverá mais de uma avaliação no mesmo 
dia será:
Total com mais de uma avaliação no mesmo dia = 625 - 120 = 505 possibilidades
Por fim, podemos calcular a probabilidade de mais de uma avaliação ocorrerem no 
mesmo dia:
Casos Favoráveis = 505 
Casos Possíveis = 625
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Casos Favoráveis 505 P = = = 0,808 = 80,8%
Casos Possíveis 625
Portanto, como esta probabilidade é superior a 80%, podemos concluir que o item 
está correto.
(Texto para as questões 296 e 297) Considerando que, em uma pesquisa de 
rua, cada entrevistado responda sim ou não a cada uma de dez perguntas 
feitas pelos entrevistadores, julgue o item seguinte.
296 - (TCE/RO - 2013 / CESPE) Se um entrevistado responder à pesquisa 
aleatoriamente, a probabilidade de ele responder sim a pelo menos uma 
pergunta será superior a 99%.
Solução:
Nessa questão, temos um total de 10 perguntas a serem respondidas, e cada 
pergunta possui duas possíveis respostas: "sim" ou "não". Com isso, o total de 
formas de se responder às 10 perguntas é dado por:
Casos Possíveis = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 210 = 1024 possibilidades
Deseja-se saber a probabilidade de o entrevistado responder "sim" em pelo menos 
um pergunta, ou seja, a única opção de resposta que não atende a esta 
especificação é se o entrevistado responder "não" a todas as perguntas. Com isso, 
o total de casos favoráveis é dado por:
Casos Favoráveis = 1024 - 1 = 1023 possibilidades
Assim, podemos encontrar a probabilidade de o entrevistado responder "sim" em 
pelo menos um pergunta:
Casos Favoráveis 1023 P = = = 0,999 = 99,9%
Casos Possíveis 1024
Portanto, item correto.
297 - (TCE/RO - 2013 / CESPE) Será necessário entrevistar mais de mil 
pessoas para se garantir que duas pessoas respondam igualmente a todas 
as perguntas.
Solução:
Vimos na questão anterior que existem 1024 possibilidades para se responder à 
pesquisa. Para que se tenha certeza de que duas pessoas responderam 
igualmente todas as perguntas, utilizamos o princípio da casa dos pombos, ou
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seja, é necessário que 1024 + 1 = 1025 pessoas respondam à pesquisa. Portanto, 
item correto.
(Texto para a questão 298) Considere que, em um conjunto S de 100 
servidores públicos admitidos por concurso público, para cada x = 1, 2, 3, ..., 
Sx, seja o subconjunto de S formado pelos servidores que prestaram 
exatamente x concursos até que no concurso de número x foram aprovados 
pela primeira vez; considere, ainda, que Nx seja a quantidade de elementos 
de Sx. A respeito desses conjuntos, julgue o item a seguir.
298 - (Polícia Federal - 2014 / CESPE) Considere que Sx para x = 1, 2, 3 e 4 
represente conjuntos não vazios. Nessa situação, a probabilidade de um 
servidor público selecionado ao acaso no conjunto S ter prestado no
Nmáximo 4 concursos até ser aprovado pela primeira vez é igual 100.
Solução:
Nessa questão, devemos primeiro entender quem são S1, S2 , S3, ...etc. e N1, N2 , 
N3, ... etc.. Temos que S1 é formado por todos os servidores que passaram no 
primeiro concurso que fizeram. S2 é formado por todos os servidores que 
passaram no segundo concurso que fizeram, após perderem o primeiro concurso. 
S3 é formado por todos os servidores que passaram no terceiro concurso que 
fizeram, após perderem o primeiro e o segundo concursos, e assim 
sucessivamente para S4 , S5, .... Dessa informação, devemos perceber que S1, S2 , 
S3, S4 , ..., não possuem nenhum elemento em comum, ou seja, são todos 
disjuntos.
Além disso, devemos entender que N1 representa a quantidade de elementos do 
conjunto S1, que N2 representa a quantidade de elementos do conjunto S2 , que N3 
representa a quantidade de elementos do conjunto S3, e assim sucessivamente.
Assim, para saber a probabilidade de um servidor público selecionado entre os 
100 integrantes do conjunto S ter sido aprovado até no máximo o quarto concurso 
prestado, este servidor deverá integra r com certeza o conjunto S1 (se tiver sido 
aprovado no primeiro concurso prestado), ou o conjunto S2 (se tiver sido aprovado 
no segundo concurso prestado), ou o conjunto S3 (se tiver sido aprovado no 
terceiro concurso prestado), ou o conjunto S4 (se tiver sido aprovado no quarto 
concurso prestado). Como esses quatro conjuntos são todos disjuntos, o total de 
casos favoráveis a esta escolha será N1 + N2 + N3 + N4 , pois esta soma representa 
o total de elementos dos conjuntos S1, S2 , S3 e S4 . Como casos possíveis, temos 
os 100 servidores que integram o conjunto S. Com isso, temos:
Casos Possíveis = 100
Casos Favoráveis = N1 + N2 + N3 + N4
Probabilidade = Casos Favoráveis 
Casos Possíveis
N-, + N2 + N3 + N4 
100
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Portanto, item errado.
(Texto para a questão 299) A partir de uma amostra de 1.200 candidatos a 
cargos em determinado concurso, verificou-se que 600 deles se inscreveram 
para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B e 400, para cargos 
distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A também se 
inscreveram para o cargo B. A respeito dessa situação hipotética, julgue o 
item subsecutivo.
299 - (Polícia Federal - 2014 / CESPE) Selecionando-se ao acaso dois 
candidatos entre os 1.200, a probabilidade de que ambos tenham-se inscrito 
no concurso para o cargo A ou para o cargo B é superior a 1/6.
Solução:
Vamos começar com o diagrama, e batizando suas regiões:
Temos as seguintes informações:
400, para cargos distintos de A e de B. 
w = 400
600 deles se inscreveram para o cargo A
x + y = 600 (equação 1)
400 se inscreveram para o cargo B
y + z = 400 (equação 2)
uma amostra de 1.200 candidatos
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x + y + z + w = 1200 (equação 3)
Substituindo os valores de x + y da equação 1 e de w, na equação 3, temos: 
x + y + z + w = 1200 
600 + z + 400 = 1200 
z + 1000 = 1200 
z = 1200 - 1000 = 200
Substituindo o valor de z na equação 2, temos: 
y + z = 400 
y + 200 = 400 
y = 400 - 200 = 200
Por fim, substituindo o valor de y na equação 1 , temos: 
x + y = 600 
x + 200 = 600 
x = 600 - 200 = 400
Agora, vamos preencher o diagrama com as quantidades encontradas:
Queremos a probabilidade de, selecionando-se ao acaso dois candidatos entre os 
1.200, que ambos tenham se inscrito no concurso para o cargo A ou para o cargo
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B. Aqui devemos entender que os dois candidatos serão apenas de A, ou apenas 
de B, ou então de A e de B simultaneamente:
Começando com a probabilidade para os dois candidatos sendo apenas para o 
cargo A:
Para o 1° Candidato apenas de A:
Casos Favoráveis = 400 
Casos Possíveis = 1200
P(1° apenas de A) Casos Favoráveis 
Casos Possíveis
400 _ 1 
1200 3
Para o 2° Candidato apenas de A:
Casos Favoráveis _ 400 - 1 _ 399 
Casos Possíveis _ 1200 - 1 _ 1199
P(2° apenas de A) Casos Favoráveis 
Casos Possíveis
399
1199
Probabilidade total para ambos apenas de A:
1
Pt(ambos apenas de A) _ — x 399
1199
Agora, vamos calcular a probabilidade para os dois candidatos sendo apenas para 
o cargo B:
Para o 1° Candidato apenas de B:
Casos Favoráveis _ 200 
Casos Possíveis _ 1200
1 
6
P(1° apenas de B) _ Casos Favoráveis 200
Casos Possíveis 1200
Para o 2° Candidato apenas de B:
Casos Favoráveis _ 200 - 1 _ 199 
Casos Possíveis _ 1200 - 1 _ 1199
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P(2° apenas de B) = Casos Favoráveis 
Casos Possíveis
199
1199
Probabilidade total para ambos apenas de B:
1
Pt(ambos apenas de B) = — x 199
1199
Agora, vamos calcular a probabilidade para os dois candidatos sendo para o cargo 
A e para o cargo B simultaneamente:
Para o 1° Candidato para os dois cargos A e B:
Casos Favoráveis = 200 
Casos Possíveis = 1200
P(1° para os dois cargos A e B) = Casos Favoráveis 
Casos Possíveis
200 _ 1 
1200 6
Para o 2° Candidato para os dois cargos A e B:
Casos Favoráveis _ 200 - 1 _ 199 
Casos Possíveis _ 1200 - 1 _ 1199
P(2° para os dois cargos A e B) _ Casos Favoráveis 
Casos Possíveis
199
1199
Probabilidade total para os dois cargos A e B:
1
Pt(ambos para os dois cargos A e B) _ — x
6
199
1199
Por fim, calculamos a probabilidade final:
1
Pfinal _
3
399x
1199
1 199+ x 
6 1199
1 199+ x 
6 1199
2
Pfinal _
6
399x
1199
1 199+ x 
6 1199
1 199+ x 
6 1199
1
Pfinal _
6
2 x 399x
1199
1 199+ x 
6 1199
1 199+ x 
6 1199
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1
Pfinal = x 
6
798
1199
1 199+ x 
6 1199
1 199+ x 
6 1199
1 ( 798 +199 +199 ^Pfinal = x
6 ^ 1199 )
1
Pfinal = x 
6
' 1196 ^
v1199,
Como 1196
1199
é menor que 1, concluímos que Pfinal é menor que 1 
6 .
Item errado.
300 - (MF - 2013 / ESAF) Beatriz é servidora do Ministério da Fazenda e 
costuma se deslocar de casa para o trabalho de carro próprio ou de ônibus.Sabe-se que Beatriz se desloca de carro próprio em 90% das vezes e de 
ônibus em 10% das vezes. Quando Beatriz se desloca de ônibus, chega 
atrasada em 30% das vezes e, quando se desloca de carro próprio, chega 
atrasada em 10% das vezes. Em um determinado, dia Beatriz chegou 
atrasada ao trabalho. Qual a probabilidade de ela ter ido de ônibus neste 
dia?
a) 30%
b) 15%
c) 20%
d) 10%
e) 25%
Solução:
Nessa questão, para facilitar os cálculos, vamos pensar num total de 100 
deslocamentos realizados por Beatriz. Assim, temos:
Beatriz se desloca de carro próprio em 90% das vezes e de ônibus em 10% 
das vezes
Ou seja,
Deslocamentos de carro: 90% de 100 = 90 vezes 
Deslocamentos de ônibus: 10% de 100 = 10 vezes
Quando Beatriz se desloca de ônibus, chega atrasada em 30% das vezes e, 
quando se desloca de carro próprio, chega atrasada em 10% das vezes
Ou seja.
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Atrasos indo de ônibus: 30% de 10 = 3 vezes 
Atrasos indo de carro: 10% de 90 = 9 vezes
Concluímos então que a cada 100 deslocamentos, em 12 oportunidades Beatriz 
chega atrasada, 3 vezes indo de ônibus e 9 vezes indo de carro.
Agora, sabendo que Beatriz chegou atrasada, devemos calcular a probabilidade 
de ela ter ido de ônibus. É importante verificarmos que os nossos casos possíveis 
passaram a ser 12, pois já sabemos que Beatriz chegou atrasada:
Casos Possíveis = 3 + 9 = 12 
Casos Favoráveis = 3
Casos Favoráveis 3 1P = OCOUO. CVU.C.VC.O = _o_ = _i_ = 0,25 = 25%
Casos Possíveis 12 4
Resposta letra E.
301 - (ATA-MF - 2014 / ESAF) Considere que há três formas de Ana ir para o 
trabalho: de carro, de ônibus e de bicicleta. Em 20% das vezes ela vai de 
carro, em 30% das vezes de ônibus e em 50% das vezes de bicicleta. Do total 
das idas de carro, Ana chega atrasada em 15% delas, das idas de ônibus, 
chega atrasada em 10% delas e, quando vai de bicicleta, chega atrasada em 
8% delas. Sabendo-se que um determinado dia Ana chegou atrasada ao 
trabalho, a probabilidade de ter ido de carro é igual a
a) 20%.
b) 40%.
c) 60%.
d) 50%.
e) 30%.
Solução:
Essa questão é bem parecida com a anterior. Novamente vamos considerar um 
universo de 100 deslocamentos:
Em 20% das vezes ela vai de carro, em 30% das vezes de ônibus e em 50% 
das vezes de bicicleta.
Ou seja,
Deslocamentos de carro: 20% de 100 = 20 vezes 
Deslocamentos de ônibus: 30% de 100 = 30 vezes 
Deslocamentos de bicicleta: 50% de 100 = 50 vezes
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Do total das idas de carro, Ana chega atrasada em 15% delas, das idas de 
ônibus, chega atrasada em 10% delas e, quando vai de bicicleta, chega 
atrasada em 8% delas.
Ou seja.
Atrasos indo de carro: 15% de 20 = 3 vezes 
Atrasos indo de ônibus: 10% de 30 = 3 vezes 
Atrasos indo de bicicleta: 8% de 50 = 4 vezes
Concluímos então que a cada 100 deslocamentos, em 10 oportunidades Ana 
chega atrasada, 3 vezes indo de carro, 3 vezes indo de ônibus e 4 vezes indo de 
bicicleta.
Agora, sabendo que Ana chegou atrasada, devemos calcular a probabilidade de 
ela ter ido de carro. Mais uma vez é importante percebermos que os nossos casos 
possíveis passaram a ser 10, pois já sabemos que Ana chegou atrasada:
Casos Possíveis = 3 + 3 + 4 = 10 
Casos Favoráveis = 3
Casos Favoráveis 3= — = 0,3 = 30% 
Casos Possíveis 10
Resposta letra E.
302 - (EPPGG - 2013 / ESAF) Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada 
cuja probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6. Se ocorrer cara, seleciona- 
se, ao acaso, um número z do conjunto Z dado pelo intervalo {z e N | 7 < z < 
11}. Se ocorrer coroa, seleciona-se, ao acaso, um número p do intervalo P = 
{p e N | 1 < p < 5}, em que N representa o conjunto dos números naturais. 
Maria lança uma moeda e observa o resultado. Após verificar o resultado, 
Maria retira, aleatoriamente, um número do conjunto que atende ao resultado 
obtido com o lançamento da moeda, ou seja: do conjunto Z se ocorreu cara 
ou do conjunto P se ocorreu coroa. Sabendo-se que o número selecionado 
por Maria é ímpar, então a probabilidade de ter ocorrido coroa no 
lançamento da moeda é igual a:
a) 6/31
b) 1/2
c) 1/12
d) 1/7
e) 5/6
Solução:
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Essa questão é um pouco parecida com as últimas duas que acabamos de 
resolver. Vamos pensar num universo de 60 lançamentos da moeda. Assim, 
temos:
Jogar uma moeda viciada cuja probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6
Ou seja,
Resultado ser coroa: 1/6 de 60 = 10 vezes 
Resultado ser cara: 5/6 de 60 = 50 vezes
Agora, temos a seguinte informação:
Se ocorrer cara, seleciona-se, ao acaso, um número z do conjunto Z dado 
pelo intervalo {z e N | 7 < z < 11}.
Concluímos que z pode ser os seguintes números: 7, 8, 9, 10 ou 11 
Assim, temos:
Número sorteado ser 7: 1/5 de 50 = 10 vezes
Número sorteado ser 8: 1/5 de 50 = 10 vezes 
Número sorteado ser 9: 1/5 de 50 = 10 vezes 
Número sorteado ser 10: 1/5 de 50 = 10 vezes 
Número sorteado ser 11: 1/5 de 50 = 10 vezes
Se ocorrer coroa, seleciona-se, ao acaso, um número p do intervalo P = {p e 
N | 1 < p < 5}
Concluímos que p pode ser os seguintes números: 1,2, 3 ou 4 
Assim, temos:
Número sorteado ser 1: 1/4 de 10 = r! ,5 vezes
Número sorteado ser 2: 1/4 de 10 = 2,5 vezes 
Número sorteado ser 3: 1/4 de 10 = 2,5 vezes
Número sorteado ser 4: 1/4 de 10 = 2,5 vezes
Eu destaquei de azul as situações em que o número sorteado é ímpar. Assim, 
queremos saber a probabilidade de ter saído coroa no lançamento da moeda, 
sabendo que o número sorteado é ímpar:
Casos Possíveis: 10 + 10 + 10 + 2,5 + 2,5 = 35 
Casos Favoráveis: 2,5 + 2,5 = 5
P = Casos Favoráveis = 5 = 1 
Casos Possíveis 35 7
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Resposta letra D.
303 - (Mtur - 2014 / ESAF) Uma caixa contém 3 moedas de um real e 2 
moedas de cinquenta centavos. 2 moedas serão retiradas dessa caixa ao 
acaso e obedecendo às condições: se a moeda retirada for de um real, então 
ela será devolvida à caixa e, se for de cinquenta centavos, não será 
devolvida à caixa. Logo, a probabilidade de pelo menos uma moeda ser de 
um real é igual a
a) 80%
b) 75%
c) 90%
d) 70%
e) 85%
Solução:
Nessa questão, devemos entender que para a primeira moeda a ser retirada 
temos 3/5 de chance de ser de 1 real e 2/5 de chance de ser de 50 centavos, ou 
seja, 60% de chance de ser de 1 real e 40% de chance de ser de 50 centavos. 
Vamos pensar agora num universo de 10 tentativas:
Chance de retirar uma moeda de 1 real na 1a retirada: 60% de 10 = 6 
Chance de retirar uma moeda de 50 centavos na 1a retirada: 40% de 10 = 4
Para a segunda retirada, só me interessa os casos em que na 1a retirada tenha 
saído uma moeda de 50 centavos, pois se já saiu uma moeda de 1 real, o objetivo 
já foi cumprido. Assim, como não há reposição nessa situação, haverá na caixa 3 
moedas de 1 real e 1 moeda de 50 centavos, ou seja, 75% de chance de se retirar 
uma moeda de 1 real e 25% de chance de se retirar uma moeda de 50 centavos:
Chance de retirar uma moeda de 1 real na 2a retirada: 75% de 4 = 3 
Chance de retirar uma moeda de 50 centavosna 1a retirada: 25% de 4 = 1
Assim, temos:
1a retirada 2a retirada
10 tentativas
1 real = 6 
50 centavos = 4
1 real = 3 
50 centavos = 1
Assim, a probabilidade de pelo menos uma moeda ser de um real é dada por: 
Casos Possíveis: 10
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Casos Favoráveis: 6 + 3 = 9
P = CaSOsFaVOráveiS = 9 = 0,9 = 90% 
Casos Possíveis 10
Resposta letra C.
304 - (Mtur - 2014 / ESAF) Com os dígitos 3, 4, 5, 7, 8 e 9 serão formadas 
centenas com dígitos distintos. Se uma centena for selecionada ao acaso, a 
probabilidade de ser menor do que 500 e par é
a) 15%
b) 10%
c) 25%
d) 30%
e) 20%
Solução:
Nessa questão, vamos primeiro calcular os casos favoráveis. Queremos centenas 
menores que 500 e que sejam pares. Para a centena ser menor que 500, deverá 
começar com 3 ou com 4, e para ser par deverá terminar com 4 ou com 8. Assim, 
temos:
Começando com 3:
3 _ _
Nesse caso, temos 2 opções para a unidade (4 ou 8) e 6 - 2 = 4 opções para a 
dezena, pois já usamos 1 número na centena e outro na unidade. Assim, temos:
1 x 4 x 2 = 8 opções
Começando com 4:
4 _ _
Nesse caso, temos apenas 1 opção para a unidade (8) e 6 - 2 = 4 opções para a 
dezena, pois já usamos 1 número na centena e outro na unidade. Assim, temos:
1 x 4 x 1 = 4 opções
Total de casos favoráveis = 8 + 4 = 12 opções
Agora, podemos calcular o total de casos possíveis. Como não temos restrição, 
faremos um arranjo simples dos 6 números em grupos de 3:
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Casos Possíveis: A(6, 3) = 6!
(6 - 3)!
6.5.4.3!
3!
= 6 x 5 x 4 = 120 opções
Por fim, calculamos a probabilidade:
Casos Favoráveis 12 P = = = 0,1
Casos Possíveis 120
Resposta letra B.
10%
305 - (MF - 2013 / ESAF) No quadro a seguir, tem-se a listagem dos 150 
funcionários de uma empresa:
Mulher Homem
Gerente 4 3
Serviços gerais 33 102
Departamento
financeiro
5 3
Uma bicicleta será sorteada entre os funcionários dessa empresa; a 
probabilidade de que uma mulher que desempenha a função de serviços 
gerais ganhe a bicicleta é igual a:
a) 22%
b) 23%
c) 20%
d) 24%
e) 21%
Solução:
Vamos lá!
Casos Possíveis: 4 + 33 + 5 + 3 + 102 + 3 = 150
Casos Favoráveis: 33
Casos Favoráveis 33 P = = = 0,22 = 22%
Casos Possíveis 150
Resposta letra A.
306 - (ATRFB - 2012 / ESAF) O Ministério da Fazenda pretende selecionar ao 
acaso 3 analistas para executar um trabalho na área de tributos. Esses 3 
analistas serão selecionados de um grupo composto por 6 homens e 4 
mulheres. A probabilidade de os 3 analistas serem do mesmo sexo é igual a
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A) 40%.
B) 50%.
C) 30%.
D) 20%.
E) 60%.
Solução:
Nessa questão, vamos calcular a probabilidade de serem escolhidos 3 homens e 
depois a probabilidade de serem escolhidas 3 mulheres:
6 5 4 1P(3 homens) = x x =
10 9 8 6
4 3 2 1P(3 mulheres) = x x =
10 9 8 30
Assim, a probabilidade total é:
P = P(3 homens) + P(3 mulheres)
1 1 5 +1 6P = + = = = 0,2 = 20%
6 30 30 30
Resposta letra D.
307 - (ANA - 2009 / ESAF) Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 
amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais 
próximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor?
A) 11,53%
B) 4,24%
C) 4,50%
D) 5,15%
E) 3,96%
Solução:
Nessa questão, temos um total de 5 + 4 + 4 + 2 = 15 bolas, que é o total de casos 
possíveis para a primeira retirada. Como só temos 2 bolas verdes, calcularemos a 
probabilidade de tirarmos 3 azuis, 3 vermelhas ou 3 amarelas:
5 4 3 P(3 azuis) = x x
15 14 13
10
455
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4 3 2P(3 vermelhas) = x x
15 14 13
4 3 2P(3 amarelas) = x x
15 14 13
4
455
4
455
Assim, podemos calcular a probabilidade total:
10 4 4 18P(total) = + + = = 0,0396 = 3,96%
455 455 455 455
Resposta letra E.
308 - (ATA-MF - 2009 / ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a 
probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de 
sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas 
vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair 
duas vezes?
A) 20%
B) 27%
C) 25%
D) 23%
E) 50%
Solução:
Nessa questão, temos:
Probabilidade de sair o número 6: 20%
Probabilidade de sair um número diferente de 6: 80%
5
16% (para cada número)
Probabilidade de sair um número par (2, 4 ou 6) = 16% + 16% + 20% = 52%
Agora, a probabilidade de se jogar este dado duas vezes e um número par sair 
duas vezes é:
52% x 52% = 27,04%
Resposta letra B.
309 - (APO - 2010 / ESAF) Em uma urna existem 200 bolas misturadas, 
diferindo apenas na cor e na numeração. As bolas azuis estão numeradas de 
1 a 50, as bolas amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhas
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estão numeradas de 151 a 200. Ao se retirar da urna três bolas escolhidas ao 
acaso, com reposição, qual a probabilidade de as três bolas serem da 
mesma cor e com os respectivos números pares?
A) 10/512.
B) 3/512.
C) 4/128.
D) 3/64.
E) 1/64.
Solução:
Nessa questão, vamos calcular a probabilidade para cada cor, lembrando que há 
reposição.
Cor Azul: 25 casos favoráveis, pois existem apenas 25 números pares entre 1 e 
50.
25 25 25 1 1 1 1P = X X = x x =
200 200 200 8 8 8 512
Cor Amarela: 50 casos favoráveis, pois existem apenas 50 números pares entre 
51 e 150.
50 50 50 1 1 1 1P = X X = x x =
200 200 200 4 4 4 64
Cor Vermelha: 25 casos favoráveis, pois existem apenas 25 números pares entre 
151 e 200.
25 25 25 1 1 1P = X X = x x = 
200 200 200 8 8 8
Assim, a probabilidade total é dada por:
1 + 8 +11 1 1P(total) = — + — + — 
512 64 512 512
Resposta letra A.
1
512
10
512
310 - (ATA-MF - 2009 / ESAF) Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o 
valor mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma 
vez?
A) 35%
B) 17%
C) 7%
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D) 42%
E) 58%
Solução:
Nessa questão temos o seguinte:
Probabilidade de sair o número 1: 1
6
1 5Probabilidade de sair um número diferente de 1: 1 -----= —
6 6
Assim, jogando o dado três vezes, queremos que o número 1 saia apenas uma 
vez. Para isso, temos três possibilidades:
1 , outro número, outro número 
outro número, 1 , outro número 
outro número, outro número, 1
Com isso, podemos calcular a probabilidade:
1 5 5 75
P = 3 x - x - x - = = 0,3472 = 34,72%
6 6 6 216
Resposta letra A.
311 - (SUSEP - 2010 / ESAF) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, 
amarelas e pretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de 
bolas azuis, o número de bolas amarelas é cinco vezes o número debolas 
vermelhas, e o número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas 
amarelas. Se as bolas diferem apenas na cor, ao se retirar ao acaso três 
bolas da urna, com reposição, qual a probabilidade de exatamente duas 
bolas serem pretas?
A) 100/729.
B) 100/243.
C) 10/27.
D) 115/243.
E) 25/81.
Solução:
Nessa questão temos o seguinte:
Quantidade de bolas pretas = 2 x Quantidade de bolas azuis 
Quantidade de bolas azuis = 2 x Quantidade de bolas amarelas
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Quantidade de bolas amarelas = 5 x Quantidade de bolas vermelhas
Aqui nós temos a proporção entre as quantidades de bolas de cada cor. Assim, 
podemos considerar o seguinte:
Para cada bola vermelha, teremos 5 bolas amarelas. Se temos 5 bolas amarelas, 
teremos 10 bolas azuis. E se temos 10 bolas azuis, teremos 20 bolas pretas.
Com isso, podemos considerar uma urna com 36 bolas: 20 pretas, 10 azuis, 5 
amarelas e 1 vermelha. Para esta urna nós temos:
Probabilidade de sair uma bola preta: 20
36
Probabilidade de sair uma bola não preta: 10 + 5 +1
36
16
36
Assim, retirando três bolas da urna, queremos que exatamente 2 sejam pretas. 
Para isso, temos três possibilidades:
preta, preta, outra cor 
preta, outra cor, preta 
outra cor, preta, preta
Com isso, podemos calcular a probabilidade:
20 20 16 100 P = 3 x x x =
36 36 36 243
Resposta letra B.
312 - (AFRFB - 2012 / ESAF) - adaptada - Em uma cidade de colonização 
alemã, a probabilidade de uma pessoa falar alemão é de 60%. Selecionando- 
se ao acaso 4 pessoas desta cidade, a probabilidade de exatamente 3 delas 
não falarem alemão é, em valores percentuais, igual a
A) 6,4.
B) 12,26.
C) 15,36.
D) 3,84.
E) 24,5.
Solução:
Aqui temos que três pessoas não falam alemão e 1 fala alemão. Assim, 
considerando que a probabilidade de uma pessoa falar alemão é igual a 60% e de 
não falar alemão é igual a 1 - 60% = 40%, temos:
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P = 0,6 x 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,0384
Ocorre que podemos ter o primeiro selecionado falando alemão e os outros não, 
ou o segundo selecionado falando alemão e os outros não, ou o terceiro 
selecionado falando alemão e os outros não ou o quarto selecionado falando 
alemão e os outros não, ou seja, temos 4 opções:
P = 4 x 0,0384 = 0,1536 = 15,36%
Resposta letra C.
Essa questão foi anulada por não possuir no enunciado a palavra “exatamente”, o 
que dava uma margem para que os 4 selecionados pudessem não falar alemão.
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Para essa aula de hoje, resolvi trazer alguns assuntos que podem ajudar na 
resolução dos problemas aritméticos.
2 - MDC, MMC e Fatoração
Esse assunto vocês já viram há muito tempo atrás, mas não custa nada relembrar 
(até porque ele ajuda na resolução de algumas questões). Primeiro, vamos 
lembrar o que significam essas siglas:
MDC: Máximo Divisor Comum 
MMC: Mínimo Múltiplo Comum
Bom, de forma simplificada, dados dois ou mais números naturais diferentes de 
zero, o MDC indica qual o maior número inteiro que estes dois ou mais números 
são divisíveis ao mesmo tempo (lembrando que um número é considerado 
divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero). Já o MMC 
indica qual o menor número diferente de zero que é múltiplo, ao mesmo tempo, 
destes dois ou mais números. Vamos ver alguns exemplos:
Ex1: Encontrar o MDC e o MMC entre 4 e 6:
Divisores de 4: 1, 2 e 4 
Divisores de 6: 1, 2, 3 e 6
MDC entre 4 e 6 = 2 (o maior dos divisores em comum)
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, ...
MMC entre 4 e 6 = 12 (o menor múltiplo em comum diferente de zero)
Ex2: Encontrar o MDC e o MMC entre 15 e 20:
Divisores de 15: 1, 3, 5 e 15 
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20
MDC entre 15 e 20 = 5 (o maior dos divisores em comum)
Múltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, ...
Múltiplos de 20: 0, 20, 40, 60, 80, 100, ...
MMC entre 15 e 20 = 60 (o menor múltiplo em comum diferente de zero)
Cálculo do MDC e do MMC
Bom, numa prova, listar todos os divisores e todos os múltiplos de um número 
pode não ser interessante, devido ao tempo que pode ser necessário para isso
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(imaginem descobrir o MDC entre 1.200 e 1.800 dessa forma). Assim, existem 
algumas técnicas para o cálculo do MDC e do MMC que facilitam bastante o 
trabalho.
- Fatoração
A primeira coisa a se lembrar é da fatoração. Lembram o que é fatoração? E como 
fatorar um número? A fatoração, que nos interessa nesse momento, é um termo 
que indica a decomposição de um número em um produto de números primos 
(fatores).
Fatorar o número 36
36 2
18 2
9 3
3 3
1
36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32 
Fatorar o número 56
56 2
28 2
14 2
7 7
1
56 = 2 x 2 x 2 x 7 = 23 x 7
Agora, podemos definir o MDC e o MMC, a partir da fatoração dos números:
MDC: O MDC entre dois ou mais números é igual ao produto dos seus fatores 
primos comuns de menor expoente.
MMC: O MMC entre dois ou mais números é igual ao produto dos seus fatores 
primos comuns de maior expoente e de seus fatores primos não comuns com seus 
respectivos expoentes.
Ex: Encontrar o MDC e o MMC entre 36 e 56.
MDC: 36 = 22 x 32 e 56 = 23 x 7 (percebam que tanto 36 quanto 56 possuem o 2 
como fator comum, assim, o MDC entre eles será o 2 com o menor expoente, ou 
seja, 22). MDC entre 36 e 56 = 22 = 4
MMC: 36 = 22 x 32 e 56 = 23 x 7 (percebam que tanto 36 quanto 56 possuem o 2 
como fator comum e 3 e 7 como fatores não comuns, assim, o MMC entre eles
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será o produto do 2 com o maior expoente, com 32 e 7, ou seja, 23 x 32 x 7). MMC 
entre 36 e 56 = 23 x 32 x 7 = 504
Outra técnica para encontrar o MDC entre dois números é dividir o maior pelo 
menor. Em seguida, dividimos o divisor da primeira divisão pelo resto dessa 
divisão. E assim sucessivamente, até o resto ser igual a zero. O MDC será igual 
ao divisor que resultou no resto zero. Vamos ver como seria com o exemplo 
anterior:
MDC entre 36 e 56
56
36
= 1 (resto = 20)
— = 1 (resto = 16) 
20
20
16
= 1 (resto = 4)
16
T = 4 (resto = 0)
Portanto, o MDC entre 36 e 56 é igual a 4.
3 - Equações de 1° grau
Podemos definir uma equação do primeiro grau como toda equação na forma 
a.x + b = 0, (com a ^ 0)
Exemplo 1:
2.x + 4 = 0 (a = 2 e b = 4)
Exemplo 2:
8.x = 24 
Organizando:
8.x - 24 = 0 (a = 8 e b = -24)
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Exemplo 3:
x + 6 = 3.x
Organizando: 
3.x - x - 6 = 0
2 .x - 6 = 0 (a = 2 e b = - 6)
Exemplo 4:
5.x = 0 
Organizando:
5.x + 0 = 0 (a = 5 e b = 0)
Chamamos de raiz da equação a qualquer valorde x que satisfaça a equação. 
Assim, podemos definir que resolver uma equação é o mesmo que encontrar suas 
raízes.
As equações de 1° grau só possuem uma raiz real (por isso mesmo são ditas de 
1° grau), e a melhor forma de encontrar essa raiz é isolando a variável.
Vamos encontrar as raízes das equações dos exemplos anteriores:
Exemplo 1:
2.x + 4 = 0
2.x = -4
- 4 x =
2
x = -2
logo, a raiz desta equação é igual a -2
Exemplo 2:
8.x = 24
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24 x =
8
x = 3
logo, a raiz desta equação é igual a 3
Exemplo 3:
x + 6 = 3.x 
3.x - x = 6 
2 .x = 6 
6x =
2
x = 3
logo, a raiz desta equação é igual a 3
Exemplo 4:
5.x = 0 
0x =
5
x = 0
logo, a raiz desta equação é igual a 0
Sistemas de equações do 1° grau com 2 variáveis
Um sistema de equações do 1° grau com duas variáveis x e y, é um conjunto de 
equações do tipo:
a.x + b.y + c = 0 (com a, b e c sendo números reais)
Para que possamos chamar de sistema, é necessário que existam pelo menos 
duas equações.
Exemplo:
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x - y + 1 = 0 
2.x + 3.y - 8 = 0
Resolver esse sistema significa encontrar todos os pares (x, y) que satisfazem as 
equações simultaneamente. Vamos resolver o sistema do nosso exemplo:
x - y + 1 = 0
2.x + 3.y - 8 = 0
Nesse sistema, o único par (x, y) que satisfaz às duas equações ao mesmo tempo 
é o par (1, 2), ou seja, x = 1 e y = 2. Mas como fazemos para encontrar a solução? 
Existem alguns métodos para isso. Vejamos:
Método da substituição
1° Passo - Isolar uma das variáveis em uma das equações.
2° Passo - A variável isolada é substituída na outra equação, que resolvemos pois 
só fica uma variável.
3° Passo - Após encontrar o valor de uma das variáveis, substituímos esse valor 
em qualquer uma das equações do sistema e a resolvemos.
4° passo - Encontramos a solução
Vamos testar esse método com o nosso exemplo:
\ - y + 1 = 0
-
2.x + 3.y - 8 = 0
Começamos isolando o x na primeira equação (poderia ser o y, tanto faz): 
"x = y - 1
<
2.x + 3.y - 8 = 0
Agora, substituímos o valor do x na segunda equação:
2.x + 3.y - 8 = 0
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2.(y - 1) + 3.y - 8 = 0 
2.y - 2 + 3.y - 8 = 0 
5.y - 10 = 0 
5.y = 10
y =
10
~5
y = 2
Agora, substituímos o valor de y que acabamos de encontrar na primeira equação:
x = y - 1
x = 2 - 1
x = 1
Pronto, chegamos à solução do sistema (1,2), ou seja, x = 1 e y = 2.
Método da adição
1° Passo - multiplicamos todos os valores de uma das equações por um número 
escolhido de forma que os coeficientes de uma das variáveis fiquem opostos nas 
duas equações.
2° Passo - Somamos os membros das duas equações e resolvemos a equação 
restante, que terá apenas uma variável.
3° Passo - Após encontrar o valor de uma das variáveis, substituímos esse valor 
em qualquer uma das equações do sistema e a resolvemos.
4° passo - Encontramos a solução
Vamos testar esse método no nosso exemplo:
x - y + 1 = 0
2.x + 3.y - 8 = 0
Começamos multiplicando uma das equações por um número escolhido de forma 
que os coeficientes de uma das variáveis fiquem opostos nas duas equações. 
Para o nosso exemplo, vamos multiplicar a primeira equação por 3, pois assim o y 
ficará com coeficiente -3, que é oposto ao seu coeficiente na segunda equação:
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x - y + 1 = 0 (multiplica tudo por 3)
-<
2.x + 3.y - 8 = 0
3.x - 3.y + 3 = 0 
2.x + 3.y - 8 = 0
Agora, somamos os membros das duas equações, e resolvemos a equação 
resultante:
3.x - 3.y + 3 = 0
2. x + 3.y - 8 = 0
v,______________________
3. x + 2.x - 3.y + 3.y + 3 - 8 = 0 + 0 
5.x - 5 = 0
5.x = 5 
5x =
5
x = 1
Agora, substituímos o valor de x que acabamos de encontrar na primeira equação: 
x - y + 1 = 0 
1 - y + 1 = 0 
y = 1 + 1
y = 2
Pronto, chegamos à solução do sistema (1,2), ou seja, x = 1 e y = 2.
Sistema Indeterminado
Se ao tentarmos resolver o sistema chegarmos a resultados do tipo:
0 = 0 
1 = 1
-15 = -15
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ou qualquer outro semelhante em que a sentença é sempre verdadeira, dizemos 
que o sistema é indeterminado e possui infinitas soluções.
Exemplo:
x - y + 1 = 0 
2 .x - 2 .y + 2 = 0
Multiplicando a primeira equação por -2, temos
- 2 .x + 2 .y - 2 = 0
2 .x - 2 .y + 2 = 0
Somando as duas equações:
- 2 .x + 2 .y - 2 = 0 
2 .x - 2 .y + 2 = 0
_ s * ____________________________________________________
- 2 .x + 2 .x + 2 .y - 2 .y - 2 + 2 = 0
0 = 0
Sistema Impossível
Se ao tentarmos resolver o sistema chegarmos a resultados do tipo:
2 = 0 
3 = 1 
-4 = 5
ou qualquer outro semelhante em que a sentença é sempre falsa, dizemos que o 
sistema é impossível e não possui solj ção real.
Exemplo:
x - y + 1 = 0 
2.x - 2.y + 5 = 0
Multiplicando a primeira equação por -2, temos 
- 2 .x + 2 .y - 2 = 0 
2.x - 2.y + 5 = 0
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Somando as duas equações:
- 2 .x + 2 .y - 2 = 0 
2.x - 2.y + 5 = 0
-2.x + 2.x + 2.y - 2.y - 2 + 5 = 0 
3 = 0
4 - Equação do segundo grau
Podemos definir uma equação do segundo grau como toda equação na forma 
a.x2 + b.x + c = 0, (com a * 0)
Lembram-se como resolver esta equação? Vou relembrar para vocês:
Uma equação do segundo grau escrita dessa forma possui sempre duas raízes:
Raízes = b + , onde A = b2 - 4.a.c
2.a
Vamos ver um exemplo
Equação: x2 - 6.x + 5 = 0
a = 1, b = -6 e c = 5
Portanto:
A = b2 - 4.a.c 
A = (-6)2 - 4.(1).(5)
A = 36 - 20 
A = 16
Com isso: 
Raízes = — b ± VA 
2 a
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Raízes = - ( -6) ± V Í6 
2 1
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Raízes =
2
1a Raiz = 6 + 4 
2
10
T = 5
2a Raiz = 6 - 4 
2
2
2
= 1
Portanto, as raízes dessa equação do segundo grau são 1 e 5.
5 - Progressões
Em matemática, uma sequência é uma lista de elementos cuja ordem é definida 
por uma regra de formação, uma função específica (uma “lei” de formação). 
Vejamos alguns exemplos:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...
Podemos facilmente perceber que o próximo elemento da seqüência é o número 
40, depois o 45, em seguida o 50, e assim por diante, pois percebemos que essa 
sequência é formada pelos múltiplos positivos do número 5.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...
Agora já complicou um pouco, mas podemos notar que todos os números desta