Transformada Laplace
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Transformada Laplace

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INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE SONGO

CURSO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA

(I Nível)

ANALISE MATEMÁTICA II

TRANSFORMADA DE PIERRE - SIMON LAPLACE

Autores:

MASSIMO, Milicinho Baptista

MUATIUA, Martins J. Constantino

MAJAJA,Liberato J. Álvaro

LACERDA,Denilson Texeira

Docente:

Dr. Nabote António Magaia

Songo, 17 de Março de 2019

INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE SONGO

CURSO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA

(I Nível)

ANALISE MATEMÁTICA II

TRANSFORMADA DE PIERRE - SIMON LAPLACE

Autores:

MASSIMO, Milicinho Baptista

MUATIUA, Martins J. Constantino

MAJAJA,Liberato J. Álvaro

LACERDA,Denilson Texeira

Docente:

Dr. Nabote António Magaia

Corrigiu:...........................................

Trabalho submetido para sua apro-
vação pelo Dr. Nabote A. Magaia
docente da cadeira, como segundo
trabalho da disciplina Analise Ma-
temática II.

Songo, 17 de Março de 2019

COPYRIGHT© 2018 TRABALHO EM GRUPO

Impresso aos 17 de Março de 2019

O ISPSongo tem o direito, perpétuo e sem limites geográficos, de arquivar e publicar este
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quer outro meio conhecido ou que venha a ser inventado, e de a divulgar através de repositórios
científicos e de admitir a sua cópia e distribuição em objectivos educacionais ou de investigação,
não comerciais, desde que sejam dados créditos aos autores e editores.

I

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Documentação consultada e Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1 Bases para a Elaboração do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 TRANSFORMADA DE PIERRE - SIMON LAPLACE 3
2.1 Definição da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Propriedades lineares de transformada de laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Tabela de transformadas inversas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Propriedades de transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.1 Primeiro Teorema Da Translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Transformada de Laplace de derivadas de funções . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Derivadas de transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7 Convoluções de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.8 Propriedades de Convoluções de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.9 Convolução de transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.10 Resolução de (EDO) através da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . 13

2.10.1 Problemas com valor inicial de (EDO) da primeira ordem . . . . . . . . 14
2.10.2 Problemas com valor inicial de (EDO) da segunda ordem . . . . . . . . 17

3 Conclusão 20

Bibliografia 21

ANEXOS 22

II

LISTA DE FIGURAS

2.1 Região admissível para os pontos singulares de F (s) . . . . . . . . . . 5
2.2 Região de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

III

LISTA DE TABELAS

2.1 Tabela de transformadas inversas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Pares de transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

IV

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 Introdução

A transformada de Laplace é um método opcional que pode ser usado de maneira proveitosa
para solucionar equações diferenciais lineares. Por meio de sua actualização, podemos converter
muitas funções comuns, como funções senoidais, funções senoidais amortecidas e funções ex-
ponenciais, em funções algébricas de uma variável complexa s. Operações como diferenciação
de integração podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo. Assim, uma
equação diferencial linear pode ser transformada em uma equação dependente, então a solução da
equação diferencial (a transformada de Laplace inversa da variável dependente) poderá ser obtida
por meio da tabela das Transformadas de Laplace ou pela utilização da técnica de expansão em
fracções parciais.

Uma vantagem do método da transformada de Laplace é que ele permite o uso de técni-
cas gráficas para prever o desempenho do sistema, sem a necessidade de solucionar sistemas de
equações diferenciais. Outra vantagem desse método é que, quando solucionamos uma equação
diferencial, tanto a componente transitória quanto a componente estacionária da solução podem
ser obtidas simultaneamente .

A Transformada de Laplace foi desenvolvida pelo matemático francês Pierre Simon Laplace
(1749-1827).

Palavras-chave: Transformada de Pierre-Simon Laplace.

1

Transformada de Laplace §1.2. Objectivos

1.2 Objectivos

Objectivos 1.2.1 (Geral)

Abordar acerca da Transformada de Pierre-Simon Laplace.

Objectivos 1.2.2 (Específicos)

\ufffd Definição de Transformada de Laplace;

\ufffd Propriedades lineares de transformada de laplace;

\ufffd Transformada inversa de Laplace;

\ufffd Propriedades de transformada inversa de Laplace;

\ufffd Transformada de Laplace de derivadas de funções;

\ufffd Derivadas de transformada de Laplace

\ufffd Convoluções de funções

\ufffd Propriedades de Convoluções de funções

\ufffd Convolução de transformada de Laplace

\ufffd Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias através da transformada de Laplace.

1.3 Documentação consultada e Metodologia

A elaboração do trabalho baseou-se em pesquisas bibliográficas e verificando-se 3 fases no
seu desenvolvimento, nomeadamente:

\ufffd Colecta de dados;

\ufffd Revisão da matéria das aulas da cadeira de Análise Matemática II;

\ufffd Análises, Composição das notas de cálculo e criação do presente trabalho.

Foram, também, consultados trabalhos feitos pelos estudantes de engenharia do Instituto
Superior Politécnico de Songo para efeitos de direcionamento e balanço.

Foram consultadas várias Bibliografias relacionadas à área da Matemática, manuais eletrôni-
cos, relatórios, livros, cadernos e notas explicativas da disciplina de Análise Matemática II.

1.3.1 Bases para a Elaboração do Trabalho

Como referência-chave, usou-se a obra Memórias de B. Demedovitch: Problemas e Exer-
cícios de Análise Matemática. Como ferramenta directiva na produção do presente texto,
usou-se o guião de elaboração de trabalhos académicos em vigor no Instituto Superior
Politécnico de Songo.

Grupo V & Engenharia Hidraulica® 2 ISPSongo|2018

CAPÍTULO 2

TRANSFORMADA DE PIERRE - SIMON LAPLACE

2.1 Definição da transformada de Laplace

Se f = f(t) é uma função real ou complexa, definida para todo t \u2265 0 e o parâmetro z é um
número complexo da forma z = s+ iv de modo que para cada s > 0, ocorre a convergência da
integral imprópria:

F (z) =

\u2c6 \u221e
0

f(t)e\u2212ztdt = lim
M\u2192\u221e

[\u2c6 M
0

f(t)e\u2212ztdt
]

(2.1)

Então a função F = F (z) definida pela integral acima, recebe o nome de transformada de
Laplace da função f = f(t). Se o parâmetro z é um número real, isto é, a parte imaginária
v = 0, usamos z = s > 0 e a definição fica simplesmente na forma:

F (s) =

\u2c6 \u221e
0

f(t)e\u2212stdt (2.2)

A transformada de Laplace depende de s, é representada por uma letra maiúscula F = F (s),
ao contrário da função original que sofreu a transformação depende de t é representada por uma
letra minúscula f = f(t). Para representar a transformada de Laplace da função f, é comum
usar a notação:

L [f(t)] = F (s) (2.3)

Existência da Transformada de Laplace: Se f = f(t) é seccionalmente contínua (continua
por partes) para todo intervalo finito de [0,\u221e), e além disso f = f(t) é do tipo exponencial de
ordem \u3b1 quando t \u2212\u2192\u221e, então a transformada de Laplace F = F (s), definida para s > \u3b1 por:

F (s) =

\u2c6 \u221e
0

f(t)e\u2212stdt