Teoria da Mecânica Quântica
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A MECÂNICA QUÂNTICA EXIGE UMA REVISÃO DE NOSSOS CONCEITOS SOBRE A
ESTRUTURA DA MATÉRIA.

- UMA PARTÍCULA NÃO É UM PONTO GEOMÉTRICO, MAS UMA ENTIDADE
QUE OCUPA UMA REGIÃO DO ESPAÇO.

- A DISTRIBUIÇÃO ESPACIAL DE UMA PARTÍCULA É DESCRITA POR UMA
FUNÇÃO CHAMADA DE FUNÇÃO DE ONDA (RELACIONADA COM A FUNÇÃO DE

ONDA QUE APLICAMOS PARA ONDAS MECÂNICAS E PARA ONDAS ELETROMAGNÉTICAS)

A DESCRIÇÃO CORPUSCULAR NÃO É INCONSISTENTE COM A DESCRIÇÃO ONDULATÓ_
RIA; O PRINCÍPIO DA COMPLEMENTARIDADE MOSTRA SER NECESSÁRIO O USO

DO MODELO ONDULATÓRIO JUNTAMENTE COM O MODELO CORPUSCULAR PARA
TORNAR POSSÍVEL UMA DESCRIÇÃO COMPLETA DA NATUREZA (ONDAS ELETRO_

MANÉTICAS COMO PARTÍCULAS; ELÉTRONS E OUTRAS COMO ONDAS).

FUNDAMENTOS DA MECÂNICA QUÂNTICA

PRINCÍPIO DA INCERTEZA

A MECÂNICA CLÁSSICA PREVÊ SER POSSÍVEL FAZER AS MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE
VELOCIDADE DE UMA PARTÍCULA NUM CERTO INSTANTE DE TEMPO COM EXATIDÃO

INFINITA. NO ENTANTO, A TEORIA QUÂNTICA REVELA SER IMPOSSÍVEL FAZER
MEDIÇÕES SIMULTÂNEAS DA POSIÇÃO E DA VELOCIDADE DE UMA MESMA

PARTÍCULA COM EXATIDÃO INFINITA.

EM 1927, WERNER HEISENBERG (1901 \u2013 1976) ENUNCIOU O PRINCÍPIO DA
INCERTEZA:

\u201c SE UMA MEDIDA DA POSIÇÃO FOR FEITA COM PRECISÃO \u2206x E SE UMA MEDIDA
SIMULTÂNEA DO MOMENTO FOR FEITA COM PRECISÃO \u2206p, ENTÃO O PRODUTO DAS

DUAS INCERTEZAS NUNCA PODERÁ SER MENOR DO QUE UM NÚMERO DA ORDEM
DE h/2pi \u201d. ISTO É:

h=\u2265\u2206\u2206
pi2

hpx

AS INCERTEZAS \u2206x E \u2206p SÃO DECORRENTES DA PRÓPRIA ESTRUTURA QUÂNTICA DA
MATÉRIA: de efeitos como o recuo imprevisível de um elétron atingido por um fóton

indivisível, ou a difração da luz ou a dos elétrons ao passar através de pequenas
aberturas.

(Princípio da Incerteza de Heisenberg
para a posição e o momento linear)

A FIGURA A SEGUIR APRESENTA A RELAÇÃO ENTRE AS INCERTEZAS \u2206x E \u2206p :

EXISTE TAMBÉM UM PRINCÍPIO DA INCERTEZA PARA A ENERGIA. VERIFICA-SE QUE
A ENERGIA TAMBÉM POSSUI INCERTEZAS. A INCERTEZA \u2206E DEPENDE DO INTERVALO

DE TEMPO \u2206t DURANTE O QUAL O SISTEMA PERMANECE EM UM DADO ESTADO.
A RELAÇÃO É:

h=\u2265\u2206\u2206
pi2

h
tE (Princípio da incerteza de Heisenbergpara a energia e o intervalo de tempo)

UM SISTEMA QUE PERMANECE EM UM ESTADO METAESTÁVEL (vida média relativa_
mente longa contra a emissão espontânea) DURANTE UM TEMPO LONGO (\u2206t muito

grande) PODE APRESENTAR UM ESTADO DE ENERGIA MUITO BEM DEFINIDO (\u2206E
muito pequeno), CONTUDO, QUANDO ELE PERMANECE EM UM ESTADO DURANTE
SOMENTE UM INTERVALO DE TEMPO CURTO (\u2206t muito pequeno), A INCERTEZA
NA ENERGIA É CORRESPONDENTEMENTE MAIOR (\u2206E muito grande). A FIGURA A
SEGUIR ILUSTRA ESSA IDÉIA.

CONCLUE-SE, PORTANTO, QUE O PRINCÍPIO DE HEISENBEREG NOS AJUDA
A ENTENDER MELHOR A DUPLA NATUREZA DA LUZ E DA MATÉRIA.

EXERCÍCIOS \u2013 Princípio da Incerteza

1) Resolvido \u2013 Exemplo 1

2) Resolvido \u2013 Exemplo 2

3) Proposto

4) Proposto

MECÂNICA QUÂNTICA - FUNÇÃO DE ONDA

\u2022 ÁTOMOS SÃO COMO \u201cPOÇO QUÂNTICO\u201d PARA OS ELÉTRONS.

- ESTUDO DA MECÂNICA DO MOVIMENTO DAS PARTÍCULAS NO DOMÍNIO ATÔMICO:

- O COMPORTAMENTO DA PARTÍCULA (elétron) É DESCRITO PELA \u201cFUNÇÃO DE
ONDA\u201d.

- A FUNÇÃO DE ONDA É USADA PARA REPRESENTAR A \u201cONDA DE MATÉRIA\u201d
ASSOCIADA A PARTÍCULA (ondas de De Broglie).

-A FUNÇÃO DE ONDA É OBTIDA ATRAVÉS DA SUPERPOSIÇÃO DE UM CONJUNTO DE
ONDAS CO-SENOIDAIS, OU SEJA, DEVE REPRESENTAR UM \u201cGRUPO DE ONDA\u201d NA

FORMA:

ONDE CADA TERMO DO CONJUNTO TEM UM COMPRIMENTO DE ONDA DIFERENTE
(\u3bb) OU UM NÚMERO DE ONDA DIFERENTE (k).

\u2022 ESTADOS ESTACIONÁRIOS DO ELÉTRON(ondas de De Broglie), OU
MODOS DE VIBRAÇÃO DO ELÉTRON.

\u2211=\u3a8 j xkx j )cos()(

- ONDAS CO-SENOIDAIS COMPÕEM A FUNÇÃO DE ONDA QUE SE EXPRESSA NA
FORMA:

A FUNÇÃO DE ONDA É FORMADA:

PARTE REAL:

PARTE IMAGINÁRIA:

)]([),( tkxieAtx \u3c9\u2212=\u3a8

)cos()Re( tkxA \u3c9\u2212=\u3a8
)sen()Im( tkxA \u3c9\u2212=\u3a8

\u2022 A FUNÇÃO DE ONDA É, EM GERAL, DEPENDENTE DA POSIÇÃO E DO TEMPO
DE TODAS AS PARTÍCULAS DO SISTEMA. E, AINDA, A FORMA DA FUNÇÃO DE ONDA

DEPENDE DO SISTEMA QUE ESTIVER SENDO DESCRITO E DAS FORÇAS QUE
ATUAM SOBRE O SISTEMA.

A EXEMPLO, SE UMA PARTÍCULA EM UM POÇO QUÂNTICO TIVER UM MOMENTO
CONHECIDO, A SUA FUNÇÃO DE ONDA É UMA ONDA SENOIDAL DE COMPRIMENTO
DE ONDA:

\u3bb\u3bb\u3bb\u3bb = h/p

- EM UMA REGIÃO QUÂNTICA (região de dimensão atômica), EM UM DETERMINADO
INSTANTE DE TEMPO, A PARTÍCULA DEVERÁ ESTAR EM ALGUM LUGAR DENTRO DA

FAIXA DE POSIÇÕES DESTA REGIÃO.

- A FUNÇÃO DE ONDA CONTEM TODA INFORMAÇÃO QUE SE PODE TER SOBRE A
PARTÍCULA, MAS ELA NÃO É UMA GRANDEZA QUE SE PODE MEDIR.

EM 1928, Max Born JÁ HAVIA ENUNICADO QUE: A INTENSIDADE DA ONDA
ASSOCIADA A PARTÍCULA MEDE A PROBABILIDADE DE SE ENCONTRAR A

PARTÍCULA EM VÁRIAS POSIÇÕES AO LONGO DA REGIÃO QUÂNTICA.

\u2022 DESTA FORMA, A MECÂNICA QUÂNTICA INDICA UMA DISTRIBUIÇÃO DAS
PROVÁVEIS POSIÇÕES DA PARTÍCULA AO LONGO DA REGIÃO QUÂNTICA,

1=\u3a8= \u222b dxtxtxP ²),(),( , EXPRESSANDO A CERTEZA.

A GRANDEZA |\u3a8|² É DENOMINADA A DENSIDADE DE PROBABILIDADE.
Sendo que: \u3a8\u3a8=\u3a8 *²

E, ainda, |\u3a8|² é o complexo conjugado de \u3a8.

A FIGURA ABAIXO DÁ OS GRÁFICOS DA FUNÇÃO DE ONDA, \u3a8(x), E DA FUNÇÃO DENSIDADE
DE PROBABILIDADE |\u3a8|² EM FUNÇÃO DE x, COM n = 1,2 E 3. OBSERVAMOS QUE |\u3a8|² É

SEMPRE NULA NAS FRONTEIRAS, O QUE INDICA SER IMPOSSÍVEL ENCONTRAR A PARTÍCULA
NESTES PONTOS. TAMBÉM, |\u3a8|² = 0 EM OUTROS PONTOS, CONFORME O VALOR DE n.

PARA n = 1 A PROBABILIDADE DE SE ENCONTRAR A PARTÍCULA TEM UM
MÁXIMO EM x = L/2, ISTO É, |\u3a8|² = 1. ASSIM, COMO |\u3a8|² = 1 PARA OUTROS

PONTOS, CONFORME O VALOR DE n.

ESTANDO A PARTÍCULA OBRIGADA A SE MOVER NA REGIÃO QUÂNTICA SEGUNDO
CONDIÇÕES INICIAIS E, ASSIM, EXIBIR COMPRIMENTOS DE ONDA RESTRITOS

PELA CONDIÇÃO \u3bb = 2L/n E MÓDULO DO MOMENTO LINEAR TAMBÉM RESTRITO
A VALORES PARTICULARES, TEMOS:

L
nh

nL
hhp

2/2
=== \u3bb

E, EMPREGANDO p = mv, ENCONTRAMOS OS VALORES PERMITIDOS DE ENERGIA
CINÉTICA PARA A PARTÍCULA NA REGIÃO QUÂNTICA, EXPRESSOS PELA EQUAÇÃO:

,...3,2,1²
²8

²

,log
2

)²2/(
2

²
²

2
1

=\uf8f7
\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb
=

===

nparan
mL

hE

o

m

Lnh
m

p
vmE

n

n

DE ACORDO COM A EQUAÇÃO ANTERIOR VEMOS QUE A ENERGIA DA PARTÍCULA
ESTÁ QUANTIZADA, OU SEJA, A ENERGIA MAIS BAIXA PERMITIDA CORRESPONDE

A n = 1, E VALE E1 = h²/8mL². OS ESTADOS EXCITADOS, En = n² E1 , CORRESPON_
DENTES A n = 2,3,4, ..., TÊM ENERGIAS DADAS POR 4E1 , 9E1 , 16E1 , ... .

NA FIGURA ABAIXO ESTÁ O DIAGRAMA DE NÍVEIS DE ENERGIA QUE DESCREVE AS
POSIÇÕES DOS ESTADOS PERMITIDOS DE UMA PARTÍCULA CONFINADA EM UMA

REGIÃO QUÂNTICA DE LARGURA L.

EXERCÍCIOS \u2013 Quantização da Energia na Matéria

1) Resolvido \u2013 Exemplo 1

2) Resolvido \u2013 Exemplo 2

3) Proposto

4) Proposto

A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER

A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER É UMA GENERALIZAÇÃO DA RELAÇÃO DE
DE BROGLIE,

A FUNÇÃO DE ONDA É DA FORMA,

ESTA FUNÇÃO DE ONDA É SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA
O CASO DE UMA PARTÍCULA CUJO MOMENTO LINEAR TENHA UM MÓDULO

CONSTANTE.

\u3bb
hp =

( ) ( ) \uf8f7
\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec

\uf8ed

\uf8eb
==\u3a8 \u3bb

pixkxx 2sensen (Eq.2)

(Eq.1)

A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER DEVE SER CONSISTENTE COM A LEI DE CONSER_
VAÇÃO DA ENERGIA NA FORMA QUE ELA ASSUME PARA UMA PARTÍCULA NÃO

RELATIVÍSTICA.

ONDE: E é a energia total do sistema
Up é a energia potencial do sistema

Kc é a energia cinética não relativística

PORTANTO,

PC UKE +=

pU
m

pE +=
2

²

(Eq.3)

(Eq.4)

COMBINANDO AS EQUAÇÕES (1) E (4), RESULTA:

OU, AINDA,

pU
m

hE +=
²2

²

\u3bb

)(
²

2
²

1
pUEh

m
\u2212=\u3bb

(Eq.5)

(Eq.6)

TOMANDO A SEGUNDA DERIVADA DA FUNÇÃO DE ONDA, Eq.2, TEM-SE:

( ) ( )xx
x

x

e

x

x

x

\u3a8\uf8f7
\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec

\uf8ed

\uf8eb
\u2212=\uf8f7

\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec

\uf8ed

\uf8eb
\uf8f7

\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec

\uf8ed

\uf8eb
\u2212=

\u2202
\u3a8\u2202

\uf8f7
\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb
=

\u2202
\u3a8\u2202

22 22
sen

2
²

²

,

2
cos

2)(

\u3bb
pi

\u3bb
pi

\u3bb
pi

\u3bb
pi

\u3bb
pi

SUBSTITUINDO O VALOR DE 1/\u3bb² , Eq.6, VEM:
( ) ( )xUE

h
m

x

x
p \u3a8\u2212×\u2212=\u2202

\u3a8\u2202 )(
²

2
²4