Teoria da Mecânica Quântica

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A MECÂNICA QUÂNTICA EXIGE UMA REVISÃO DE NOSSOS CONCEITOS SOBRE A
ESTRUTURA DA MATÉRIA.
- UMA PARTÍCULA NÃO É UM PONTO GEOMÉTRICO, MAS UMA ENTIDADE
QUE OCUPA UMA REGIÃO DO ESPAÇO. 
- A DISTRIBUIÇÃO ESPACIAL DE UMA PARTÍCULA É DESCRITA POR UMA
FUNÇÃO CHAMADA DE FUNÇÃO DE ONDA (RELACIONADA COM A FUNÇÃO DE 
ONDA QUE APLICAMOS PARA ONDAS MECÂNICAS E PARA ONDAS ELETROMAGNÉTICAS)
A DESCRIÇÃO CORPUSCULAR NÃO É INCONSISTENTE COM A DESCRIÇÃO ONDULATÓ_
RIA; O PRINCÍPIO DA COMPLEMENTARIDADE MOSTRA SER NECESSÁRIO O USO
DO MODELO ONDULATÓRIO JUNTAMENTE COM O MODELO CORPUSCULAR PARA
TORNAR POSSÍVEL UMA DESCRIÇÃO COMPLETA DA NATUREZA (ONDAS ELETRO_
MANÉTICAS COMO PARTÍCULAS; ELÉTRONS E OUTRAS COMO ONDAS).
FUNDAMENTOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
PRINCÍPIO DA INCERTEZA
A MECÂNICA CLÁSSICA PREVÊ SER POSSÍVEL FAZER AS MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE
VELOCIDADE DE UMA PARTÍCULA NUM CERTO INSTANTE DE TEMPO COM EXATIDÃO
INFINITA. NO ENTANTO, A TEORIA QUÂNTICA REVELA SER IMPOSSÍVEL FAZER 
MEDIÇÕES SIMULTÂNEAS DA POSIÇÃO E DA VELOCIDADE DE UMA MESMA 
PARTÍCULA COM EXATIDÃO INFINITA.
EM 1927, WERNER HEISENBERG (1901 – 1976) ENUNCIOU O PRINCÍPIO DA 
INCERTEZA:
“ SE UMA MEDIDA DA POSIÇÃO FOR FEITA COM PRECISÃO ∆x E SE UMA MEDIDA 
SIMULTÂNEA DO MOMENTO FOR FEITA COM PRECISÃO ∆p, ENTÃO O PRODUTO DAS
DUAS INCERTEZAS NUNCA PODERÁ SER MENOR DO QUE UM NÚMERO DA ORDEM
DE h/2pi ”. ISTO É:
h=≥∆∆
pi2
hpx
AS INCERTEZAS ∆x E ∆p SÃO DECORRENTES DA PRÓPRIA ESTRUTURA QUÂNTICA DA
MATÉRIA: de efeitos como o recuo imprevisível de um elétron atingido por um fóton
indivisível, ou a difração da luz ou a dos elétrons ao passar através de pequenas
aberturas.
(Princípio da Incerteza de Heisenberg
para a posição e o momento linear)
A FIGURA A SEGUIR APRESENTA A RELAÇÃO ENTRE AS INCERTEZAS ∆x E ∆p : 
EXISTE TAMBÉM UM PRINCÍPIO DA INCERTEZA PARA A ENERGIA. VERIFICA-SE QUE
A ENERGIA TAMBÉM POSSUI INCERTEZAS. A INCERTEZA ∆E DEPENDE DO INTERVALO 
DE TEMPO ∆t DURANTE O QUAL O SISTEMA PERMANECE EM UM DADO ESTADO. 
A RELAÇÃO É:
h=≥∆∆
pi2
h
tE (Princípio da incerteza de Heisenbergpara a energia e o intervalo de tempo) 
UM SISTEMA QUE PERMANECE EM UM ESTADO METAESTÁVEL (vida média relativa_
mente longa contra a emissão espontânea) DURANTE UM TEMPO LONGO (∆t muito
grande) PODE APRESENTAR UM ESTADO DE ENERGIA MUITO BEM DEFINIDO (∆E
muito pequeno), CONTUDO, QUANDO ELE PERMANECE EM UM ESTADO DURANTE 
SOMENTE UM INTERVALO DE TEMPO CURTO (∆t muito pequeno), A INCERTEZA
NA ENERGIA É CORRESPONDENTEMENTE MAIOR (∆E muito grande). A FIGURA A 
SEGUIR ILUSTRA ESSA IDÉIA.
CONCLUE-SE, PORTANTO, QUE O PRINCÍPIO DE HEISENBEREG NOS AJUDA
A ENTENDER MELHOR A DUPLA NATUREZA DA LUZ E DA MATÉRIA.
EXERCÍCIOS – Princípio da Incerteza
1) Resolvido – Exemplo 1 
2) Resolvido – Exemplo 2
3) Proposto
4) Proposto
MECÂNICA QUÂNTICA - FUNÇÃO DE ONDA
• ÁTOMOS SÃO COMO “POÇO QUÂNTICO” PARA OS ELÉTRONS.
- ESTUDO DA MECÂNICA DO MOVIMENTO DAS PARTÍCULAS NO DOMÍNIO ATÔMICO: 
- O COMPORTAMENTO DA PARTÍCULA (elétron) É DESCRITO PELA “FUNÇÃO DE 
ONDA”.
- A FUNÇÃO DE ONDA É USADA PARA REPRESENTAR A “ONDA DE MATÉRIA”
ASSOCIADA A PARTÍCULA (ondas de De Broglie).
-A FUNÇÃO DE ONDA É OBTIDA ATRAVÉS DA SUPERPOSIÇÃO DE UM CONJUNTO DE
ONDAS CO-SENOIDAIS, OU SEJA, DEVE REPRESENTAR UM “GRUPO DE ONDA” NA
FORMA:
ONDE CADA TERMO DO CONJUNTO TEM UM COMPRIMENTO DE ONDA DIFERENTE
(λ) OU UM NÚMERO DE ONDA DIFERENTE (k).
• ESTADOS ESTACIONÁRIOS DO ELÉTRON(ondas de De Broglie), OU 
MODOS DE VIBRAÇÃO DO ELÉTRON.
∑=Ψ j xkx j )cos()(
- ONDAS CO-SENOIDAIS COMPÕEM A FUNÇÃO DE ONDA QUE SE EXPRESSA NA
FORMA:
A FUNÇÃO DE ONDA É FORMADA:
PARTE REAL:
PARTE IMAGINÁRIA: 
)]([),( tkxieAtx ω−=Ψ
)cos()Re( tkxA ω−=Ψ
)sen()Im( tkxA ω−=Ψ
• A FUNÇÃO DE ONDA É, EM GERAL, DEPENDENTE DA POSIÇÃO E DO TEMPO
DE TODAS AS PARTÍCULAS DO SISTEMA. E, AINDA, A FORMA DA FUNÇÃO DE ONDA
DEPENDE DO SISTEMA QUE ESTIVER SENDO DESCRITO E DAS FORÇAS QUE 
ATUAM SOBRE O SISTEMA.
A EXEMPLO, SE UMA PARTÍCULA EM UM POÇO QUÂNTICO TIVER UM MOMENTO
CONHECIDO, A SUA FUNÇÃO DE ONDA É UMA ONDA SENOIDAL DE COMPRIMENTO
DE ONDA:
λλλλ = h/p
- EM UMA REGIÃO QUÂNTICA (região de dimensão atômica), EM UM DETERMINADO
INSTANTE DE TEMPO, A PARTÍCULA DEVERÁ ESTAR EM ALGUM LUGAR DENTRO DA
FAIXA DE POSIÇÕES DESTA REGIÃO. 
- A FUNÇÃO DE ONDA CONTEM TODA INFORMAÇÃO QUE SE PODE TER SOBRE A 
PARTÍCULA, MAS ELA NÃO É UMA GRANDEZA QUE SE PODE MEDIR.
EM 1928, Max Born JÁ HAVIA ENUNICADO QUE: A INTENSIDADE DA ONDA
ASSOCIADA A PARTÍCULA MEDE A PROBABILIDADE DE SE ENCONTRAR A
PARTÍCULA EM VÁRIAS POSIÇÕES AO LONGO DA REGIÃO QUÂNTICA.
• DESTA FORMA, A MECÂNICA QUÂNTICA INDICA UMA DISTRIBUIÇÃO DAS
PROVÁVEIS POSIÇÕES DA PARTÍCULA AO LONGO DA REGIÃO QUÂNTICA,
1=Ψ= ∫ dxtxtxP ²),(),( , EXPRESSANDO A CERTEZA.
A GRANDEZA |Ψ|² É DENOMINADA A DENSIDADE DE PROBABILIDADE.
Sendo que: ΨΨ=Ψ *²
E, ainda, |Ψ|² é o complexo conjugado de Ψ.
A FIGURA ABAIXO DÁ OS GRÁFICOS DA FUNÇÃO DE ONDA, Ψ(x), E DA FUNÇÃO DENSIDADE 
DE PROBABILIDADE |Ψ|² EM FUNÇÃO DE x, COM n = 1,2 E 3. OBSERVAMOS QUE |Ψ|² É
SEMPRE NULA NAS FRONTEIRAS, O QUE INDICA SER IMPOSSÍVEL ENCONTRAR A PARTÍCULA
NESTES PONTOS. TAMBÉM, |Ψ|² = 0 EM OUTROS PONTOS, CONFORME O VALOR DE n.
PARA n = 1 A PROBABILIDADE DE SE ENCONTRAR A PARTÍCULA TEM UM 
MÁXIMO EM x = L/2, ISTO É, |Ψ|² = 1. ASSIM, COMO |Ψ|² = 1 PARA OUTROS 
PONTOS, CONFORME O VALOR DE n.
ESTANDO A PARTÍCULA OBRIGADA A SE MOVER NA REGIÃO QUÂNTICA SEGUNDO
CONDIÇÕES INICIAIS E, ASSIM, EXIBIR COMPRIMENTOS DE ONDA RESTRITOS
PELA CONDIÇÃO λ = 2L/n E MÓDULO DO MOMENTO LINEAR TAMBÉM RESTRITO
A VALORES PARTICULARES, TEMOS:
L
nh
nL
hhp
2/2
=== λ
E, EMPREGANDO p = mv, ENCONTRAMOS OS VALORES PERMITIDOS DE ENERGIA
CINÉTICA PARA A PARTÍCULA NA REGIÃO QUÂNTICA, EXPRESSOS PELA EQUAÇÃO:
,...3,2,1²
²8
²
,log
2
)²2/(
2
²
²
2
1
=





=
===
nparan
mL
hE
o
m
Lnh
m
p
vmE
n
n
DE ACORDO COM A EQUAÇÃO ANTERIOR VEMOS QUE A ENERGIA DA PARTÍCULA
ESTÁ QUANTIZADA, OU SEJA, A ENERGIA MAIS BAIXA PERMITIDA CORRESPONDE
A n = 1, E VALE E1 = h²/8mL². OS ESTADOS EXCITADOS, En = n² E1 , CORRESPON_
DENTES A n = 2,3,4, ..., TÊM ENERGIAS DADAS POR 4E1 , 9E1 , 16E1 , ... .
NA FIGURA ABAIXO ESTÁ O DIAGRAMA DE NÍVEIS DE ENERGIA QUE DESCREVE AS
POSIÇÕES DOS ESTADOS PERMITIDOS DE UMA PARTÍCULA CONFINADA EM UMA
REGIÃO QUÂNTICA DE LARGURA L.
EXERCÍCIOS – Quantização da Energia na Matéria
1) Resolvido – Exemplo 1
2) Resolvido – Exemplo 2
3) Proposto
4) Proposto
A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER É UMA GENERALIZAÇÃO DA RELAÇÃO DE
DE BROGLIE,
A FUNÇÃO DE ONDA É DA FORMA,
ESTA FUNÇÃO DE ONDA É SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA
O CASO DE UMA PARTÍCULA CUJO MOMENTO LINEAR TENHA UM MÓDULO 
CONSTANTE.
λ
hp =
( ) ( ) 





==Ψ λ
pixkxx 2sensen (Eq.2)
(Eq.1)
A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER DEVE SER CONSISTENTE COM A LEI DE CONSER_
VAÇÃO DA ENERGIA NA FORMA QUE ELA ASSUME PARA UMA PARTÍCULA NÃO 
RELATIVÍSTICA.
ONDE: E é a energia total do sistema
Up é a energia potencial do sistema
Kc é a energia cinética não relativística
PORTANTO,
PC UKE +=
pU
m
pE +=
2
²
(Eq.3)
(Eq.4)
COMBINANDO AS EQUAÇÕES (1) E (4), RESULTA:
OU, AINDA,
pU
m
hE +=
²2
²
λ
)(
²
2
²
1
pUEh
m
−=λ
(Eq.5)
(Eq.6)
TOMANDO A SEGUNDA DERIVADA DA FUNÇÃO DE ONDA, Eq.2, TEM-SE:
( ) ( )xx
x
x
e
x
x
x
Ψ





−=











−=
∂
Ψ∂






=
∂
Ψ∂
22 22
sen
2
²
²
,
2
cos
2)(
λ
pi
λ
pi
λ
pi
λ
pi
λ
pi
SUBSTITUINDO O VALOR DE 1/λ² , Eq.6, VEM: 
( ) ( )xUE
h
m
x
x
p Ψ−×−=∂
Ψ∂ )(
²
2
²4²
²
pi
E, FINALMENTE:
( ) ( )xUE
h
m
x
x
p Ψ−−=∂
Ψ∂ )(
²
²8
²
² pi
ESTA EQUAÇÃO É CONHECIDA COMO A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
INDEPENDENTE DO TEMPO, QUE É A EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA 
MECÂNICA QUÂNTICA.
AS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO SÃO
DA FORMA:
ESTAS EQUAÇÕES POSSIBILITAM DETERMINAR OS PERMITIDOS NÍVEIS DE ENERGIA
(QUANTIZAÇÃO DA ENERGIA NA MATÉRIA) COM QUE A PARTÍCULA PODERÁ SER 
ENCONTRADA AO LONGO DE UMA REGIÃO DE COMPRIMENTO L. 
SENDO, ASSIM, A MECÂNCIA QUÂNTICA PERMITE DETERMINAR A PROBABILIDADE
DE SE ENCONTRAR A PARTÍCULA EM ALGUM LUGAR NA REGIÃO (POÇO QUÂNTICO), 
( )
( ) PARPARIDADEDESOLUÇÃOkxNx
e
ÍMPARPARIDADEDESOLUÇÃOkxNx
→=Ψ
→=Ψ
cos
,
sen
1=Ψ= ∫ dxtxtxP ²),(),(
EXPRESSANDO A CERTEZA.
EXERCÍCIOS – Função de Onda
– Equação de Schrödinger Independente do Tempo 
1) Resolvido – Função de Onda – exemplo 1 
2) Resolvido – Função de Onda – exemplo 2
3) Resolvido – Equação de Schrödinger – exemplo 1
5) Proposto – Função de Onda
6) Proposto – Equação de Schrödinger
4) Resolvido – Equação de Schrödinger – exemplo 2