Apostila de NB019   Cálculo I
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Apostila de NB019 Cálculo I


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Instituto Nacional de Telecomunicações 
 
Curso de NB019 - Cálculo I 
 
1o Período 
 
 
 
Profa Daniela Barude Fernandes 
Prof Paulo César Xavier Duarte 
Prof Luiz Felipe Simões de Godoy 
Prof Renan Ralpe Sthel Duque 
1o Semestre de 2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inatel \u2013 Instituto Nacional de Telecomunicações 
 
Curso de Cálculo I \u2013 1o Período 1 
 
Capítulo 1 
REVISÃO DE MATEMÁTICA E FUNÇÕES 
 
1.1. Frações. Operações com frações. 
 
1.1.1. Definições 
 
Uma fração corresponde a uma parcela de um todo. Por exemplo, se você comeu 3 
fatias de uma pizza de 8 fatias, significa que você comeu 
8
3
 da pizza, onde: 
rdenominado 
numerador 
8
3
\u2192
\u2192
 
 
Duas frações são equivalentes quando representam o mesmo valor. Para encontrar uma 
fração equivalente à fração dada, basta multiplicar ou dividir simultaneamente o 
numerador e o denominador pelo mesmo valor. 
 
Exemplo 01: 
2
1
4
4
8
4
=
÷
÷
. Logo, 
8
4
 e 
2
1
 são frações equivalentes. 
 
Exemplo 02: Simplifique as frações a seguir: 
 
a) 
18
15
 b) 
24
60
 c) 
36
12
 
 
 
1.1.2. Operações com frações 
 
a) Adição e subtração 
 
Ao somar e subtrair duas ou mais frações, basta somar ou subtrair os numeradores 
quando os denominadores são iguais. 
 
Exemplo 03: Calcule: 
 
a) 
7
2
7
3
+ 
 
b) 
16
9
16
3
\u2212 
 
 
Quando os denominadores são diferentes, é necessário encontrar frações equivalentes de 
mesmo denominador para cada termo da soma/subtração, utilizando o mínimo múltiplo 
comum entre os denominadores. 
Inatel \u2013 Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I \u2013 1o Período 2 
Exemplo 04: Calcule: 
 
a) 
7
5
3
2
+ 
 
b) 
6
5
4
1
\u2212 
 
c) 
5
3
9
4
15
2
\u2212+ 
 
d) 
2
7
8
2
6
5
\u2212+ 
 
e) \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u2212\u2212\u2212
75
36
45
14
15
2
225
1
 
 
f) 
4
1
10
3
2
1
15
2
8
1
24
19
+\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
+\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u2212\u2212 
 
 
b) Multiplicação 
 
Multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si. 
 
Exemplo 05: Calcule: 
 
a) 
7
5
3
2
× 
 
b) 
6
5
2
3
5
4
×× 
 
 
c) Divisão 
 
Multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda fração, sabendo que o inverso 
da fração 
B
A
 é a fração 
A
B
 (uma fração cujo numerador é igual a zero não possui 
inversa). 
 
Exemplo 06: Calcule: 
 
a) 
7
5
3
2
÷ 
 
Inatel \u2013 Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I \u2013 1o Período 3 
b) 
6
5
4
1
÷ 
 
c) 
5
1
6
 
 
d) 
4
3
2
 
 
e) 
5
6
12
5
 
 
f) 
8
7
4
3
 
 
g) 
3
7
2
2
4
3
\u2212
\u2212
 
 
h) 
15
2
5
2
4
3
5
37
3
2
÷\u2212
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u22c5\u2212
 
 
i) \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+÷\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212÷
\uf8fe
\uf8fd
\uf8fc
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u2212÷\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u2212\u2212 2
3
2
4
3
3
2
4
3
5
4
3
1
5
4
3
12 
 
 
1.2. Potenciação e radiciação 
 
1.2.1. Definições 
 
Uma potência é a repetição de uma multiplicação, da forma 
 
bbbbba n ××××== L (n termos iguais a b na multiplicação), onde 
 
a é o resultado da potência n-ésima de b . 
b é a base. 
n é o expoente. 
 
 
 
Inatel \u2013 Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I \u2013 1o Período 4 
Exemplo 07: 
 
a) 
27
8
3
2
3
2
3
2
3
2 3
=××=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 
 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1622222 4 =\u2212×\u2212×\u2212×\u2212=\u2212 
 
Observações: 
 
1) ( ) 44 22 \u2212\u2260\u2212 
 
2) Se o expoente é 1, o resultado é igual a base. 
 
3) Se a base é igual a zero e o expoente é diferente de zero, o resultado é igual a zero. 
 
4) Se o expoente é zero e a base é diferente de zero, o resultado é igual a 1. 
 
5) Se o expoente é negativo, deve-se inverter a base e modificar o sinal do expoente. 
 
6) Se o expoente for um número fracionário, ele indicará uma radiciação, da forma 
n pn
p
aa = . 
 
1.2.2. Propriedades 
 
a) Produto de potências de mesma base 
 
nmnm
aaa
+
=\u22c5 
 
b) Razão entre potências de mesma base 
 
nm
n
m
a
a
a
\u2212
= 
 
Da propriedade anterior podemos concluir: 
 
10 === \u2212 aa
a
a mm
m
m
 (todo número dividido por ele mesmo é igual a 1). 
 
m
mm
a
a
a
a
\u2212
==
01
 ou m
mm
a
a
a
a
==
\u2212\u2212
01
 
 
c) Potência de potência 
 
nmnm aa \u22c5=)( 
Inatel \u2013 Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I \u2013 1o Período 5 
Observação: 
nmnm aa \u2260)(
 
 
d) Potência de um produto 
 
( ) mmm baba \u22c5=\u22c5 
 
e) Potência de um quociente 
 
m
mm
b
a
b
a
=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
 0\u2260b 
 
f) Radiciação 
 
n
m
n m aa = 
 
Utilizando a propriedade do item c, podemos concluir: 
 
( ) n mpnpmpnmpn m aaaa ==\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=
\u22c5
 
 
g) Raiz de um produto 
 
nnn baba \u22c5=\u22c5 
 
h) Raiz de um quociente 
 
n
n
n
b
a
b
a
= 0\u2260b 
 
i) Raiz de uma raiz 
 
nmm n aa \u22c5= 
 
Exemplo 08: Calcule o valor das expressões a seguir, utilizando as propriedades de 
potenciação e radiciação: 
 
a) ( )019\u2212 
 
b) 
3
2
1 \u2212
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212 
 
c) 43\u2212 
Inatel \u2013 Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I \u2013 1o Período 6 
 
d) ( ) ( ) ( )254 222 \u2212\u22c5\u2212\u22c5\u2212 
 
e) 432 2793 \u22c5\u22c5 
 
f) 
34
2
25
1
5
15 \uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u22c5\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u22c5
\u2212
 
 
g) 222 36 \u22c5\u22c5 
 
h) 842 36 \u22c5\u22c5 
 
i) 5
4
2
8
 
 
j) 
6 2
3
81
9
 
 
k) 3 5525 \u22c5\u22c5 
 
l) ( )[ ] 06453
\uf8fe
\uf8fd
\uf8fc
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
 
 
m) ( )[ ] ( )[ ]32784344 3223 \u22c5÷\u22c5 
 
n) 
n
n
n
n
a
a
a
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u22c5
\u2212
\u2212
2
1
 
 
o) 000002,0400× 
 
p) 
004,0
00072,0
 
 
q) 1
11
2
32
\u2212
\u2212\u2212 +
 
 
r) ( ) ( )( )2
33
004,0
02,001,0 \u2212\u22c5
 
 
Inatel \u2013 Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I \u2013 1o Período 7 
s) 
1
11
9
1
94
\u2212
\u2212\u2212
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb +
 
 
t) ( ) 1
1
0001,010
10001,01,0
\u2212
\u2212
×
××
 
 
u) 4 0016,0 
 
v) 5 00032,0\u2212 
 
w) 81,0\u2212 
x) 
10
11
11
11
1
+
+
+
 
 
y) 3 5 602 
 
z) 64 27144 \u22c5 
 
Exemplo 09: Racionalize as expressões a seguir: 
 
a) 
2
2
 
 
b) 
3 5
3
 
 
c) 
7 23
4
 
 
Exemplo 10: Calcule as expressões a seguir, supondo que nas divisões o divisor é 
sempre diferente de zero: 
 
a) )2(3 2xx \u2212\u22c5\u2212 
 
b) )
3
1(6 223 zxyyzx \u2212\u22c5\u2212 
 
c) 23 \u2212\u22c5 xx 
 
Inatel \u2013 Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I \u2013 1o Período 8 
d) aa n \u22c5 
 
e) nmnm xx +\u2212 \u22c5 3
3
2
3
1
 
 
f) )1()1( 2 +\u2212\u22c5+ ttt 
 
g) )2(
2
1 23 aa \u2212÷ 
 
h) 25 \u2212\u2212 ÷ xx 
 
i) mm uu ÷+1 
 
j) )2(6 2334 \u2212\u2212÷ cbba 
 
k) ])(18[)(72 23 baba \u2212\u22c5\u2212÷\u2212\u22c5 
 
l) ])(4[)(12 4322373234 babababa +\u2212÷+ 
 
m) 34 ++ ÷ mm xx 
 
n) )5(3 32 \u2212\u2212 \u2212÷\u2212 mm aa 
 
o) 4 35 3 xx ÷ 
 
p) nn 2143 84 \u2212+ \u22c5 
 
q) 1212 28127)9( ++\u2212 ÷\u22c5 mmmm 
 
 
1.3. Produtos notáveis 
 
Os casos mais comuns de produtos notáveis são: 
 
a) Produto da soma de dois termos pela sua diferença: 22)()( bababa \u2212=\u2212\u22c5+ 
b) Quadrado da soma de dois termos: 222