Apostila de NB019   Cálculo I
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Apostila de NB019 Cálculo I

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Instituto Nacional de Telecomunicações

Curso de NB019 - Cálculo I

1o Período

Profa Daniela Barude Fernandes
Prof Paulo César Xavier Duarte

Prof Luiz Felipe Simões de Godoy
Prof Renan Ralpe Sthel Duque

1o Semestre de 2013

Inatel \u2013 Instituto Nacional de Telecomunicações

Curso de Cálculo I \u2013 1o Período 1

Capítulo 1
REVISÃO DE MATEMÁTICA E FUNÇÕES

1.1. Frações. Operações com frações.

1.1.1. Definições

Uma fração corresponde a uma parcela de um todo. Por exemplo, se você comeu 3

fatias de uma pizza de 8 fatias, significa que você comeu
8
3

 da pizza, onde:

rdenominado
numerador

8
3

\u2192

\u2192

Duas frações são equivalentes quando representam o mesmo valor. Para encontrar uma
fração equivalente à fração dada, basta multiplicar ou dividir simultaneamente o
numerador e o denominador pelo mesmo valor.

Exemplo 01:
2
1

4
4

8
4

=

÷

÷
. Logo,

8
4

 e
2
1

 são frações equivalentes.

Exemplo 02: Simplifique as frações a seguir:

a)
18
15

 b)
24
60

 c)
36
12

1.1.2. Operações com frações

a) Adição e subtração

Ao somar e subtrair duas ou mais frações, basta somar ou subtrair os numeradores
quando os denominadores são iguais.

Exemplo 03: Calcule:

a)
7
2

7
3

+

b)
16
9

16
3

\u2212

Quando os denominadores são diferentes, é necessário encontrar frações equivalentes de
mesmo denominador para cada termo da soma/subtração, utilizando o mínimo múltiplo
comum entre os denominadores.

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Curso de Cálculo I \u2013 1o Período 2

Exemplo 04: Calcule:

a)
7
5

3
2

+

b)
6
5

4
1

\u2212

c)
5
3

9
4

15
2

\u2212+

d)
2
7

8
2

6
5

\u2212+

e) \uf8fa
\uf8fb

\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0

\uf8ee
\uf8f7
\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb
+\u2212\u2212\u2212

75
36

45
14

15
2

225
1

f)
4
1

10
3

2
1

15
2

8
1

24
19

+\uf8fa
\uf8fb

\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0

\uf8ee
+\uf8f7

\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb
\u2212\u2212\u2212

b) Multiplicação

Multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si.

Exemplo 05: Calcule:

a)
7
5

3
2

×

b)
6
5

2
3

5
4

××

c) Divisão

Multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda fração, sabendo que o inverso

da fração
B
A

 é a fração
A
B

 (uma fração cujo numerador é igual a zero não possui
inversa).

Exemplo 06: Calcule:

a)
7
5

3
2

÷

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Curso de Cálculo I \u2013 1o Período 3

b)
6
5

4
1

÷

c)
5

1
6

d)
4
3

2

e)
5

6
12

5

f)
8

7
4

3

g)
3

7
2

2
4
3

\u2212

\u2212

h)
15
2

5
2

4
3

5
37

3
2

÷\u2212

\uf8f7
\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb
\u2212\u22c5\u2212

i) \uf8fa
\uf8fb

\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0

\uf8ee
\u2212\uf8f7

\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb
+÷\uf8f7

\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb
\u2212÷

\uf8fe
\uf8fd
\uf8fc

\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1

\uf8fa
\uf8fb

\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0

\uf8ee
\uf8f7
\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb
\u2212\u2212÷\uf8fa

\uf8fb

\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0

\uf8ee
\uf8f7
\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb
\u2212\u2212\u2212 2

3
2

4
3

3
2

4
3

5
4

3
1

5
4

3
12

1.2. Potenciação e radiciação

1.2.1. Definições

Uma potência é a repetição de uma multiplicação, da forma

bbbbba n ××××== L (n termos iguais a b na multiplicação), onde

a é o resultado da potência n-ésima de b .
b é a base.
n é o expoente.

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Exemplo 07:

a)
27
8

3
2

3
2

3
2

3
2 3

=××=\uf8f7
\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1622222 4 =\u2212×\u2212×\u2212×\u2212=\u2212

Observações:

1) ( ) 44 22 \u2212\u2260\u2212

2) Se o expoente é 1, o resultado é igual a base.

3) Se a base é igual a zero e o expoente é diferente de zero, o resultado é igual a zero.

4) Se o expoente é zero e a base é diferente de zero, o resultado é igual a 1.

5) Se o expoente é negativo, deve-se inverter a base e modificar o sinal do expoente.

6) Se o expoente for um número fracionário, ele indicará uma radiciação, da forma
n pn

p

aa = .

1.2.2. Propriedades

a) Produto de potências de mesma base

nmnm
aaa

+
=\u22c5

b) Razão entre potências de mesma base

nm

n

m

a
a

a
\u2212

=

Da propriedade anterior podemos concluir:

10 === \u2212 aa
a

a mm
m

m

 (todo número dividido por ele mesmo é igual a 1).

m

mm
a

a

a

a

\u2212

==

01
 ou m

mm
a

a

a

a
==

\u2212\u2212

01

c) Potência de potência

nmnm aa \u22c5=)(

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Observação:
nmnm aa \u2260)(

d) Potência de um produto

( ) mmm baba \u22c5=\u22c5

e) Potência de um quociente

m

mm

b
a

b
a

=\uf8f7
\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb
 0\u2260b

f) Radiciação

n

m

n m aa =

Utilizando a propriedade do item c, podemos concluir:

( ) n mpnpmpnmpn m aaaa ==\uf8f7\uf8f7
\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb
=

\u22c5

g) Raiz de um produto

nnn baba \u22c5=\u22c5

h) Raiz de um quociente

n

n

n

b
a

b
a

= 0\u2260b

i) Raiz de uma raiz

nmm n aa \u22c5=

Exemplo 08: Calcule o valor das expressões a seguir, utilizando as propriedades de
potenciação e radiciação:

a) ( )019\u2212

b)
3

2
1 \u2212
\uf8f7
\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb
\u2212

c) 43\u2212

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d) ( ) ( ) ( )254 222 \u2212\u22c5\u2212\u22c5\u2212

e) 432 2793 \u22c5\u22c5

f)
34

2

25
1

5
15 \uf8f7

\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb
\u22c5\uf8f7

\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb
\u22c5

\u2212

g) 222 36 \u22c5\u22c5

h) 842 36 \u22c5\u22c5

i) 5
4

2
8

j)
6 2

3

81
9

k) 3 5525 \u22c5\u22c5

l) ( )[ ] 06453
\uf8fe
\uf8fd
\uf8fc

\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1

m) ( )[ ] ( )[ ]32784344 3223 \u22c5÷\u22c5

n)

n

n

n

n

a

a
a

\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7

\uf8f8

\uf8f6

\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec

\uf8ed

\uf8eb
\u22c5

\u2212

\u2212

2

1

o) 000002,0400×

p)
004,0

00072,0

q) 1
11

2
32

\u2212

\u2212\u2212 +

r) ( ) ( )( )2
33

004,0
02,001,0 \u2212\u22c5

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Curso de Cálculo I \u2013 1o Período 7

s)
1

11

9
1

94
\u2212

\u2212\u2212

\uf8f7
\uf8f7

\uf8f8

\uf8f6

\uf8ec
\uf8ec

\uf8ed

\uf8eb +

t) ( ) 1
1

0001,010
10001,01,0

\u2212

\u2212

×

××

u) 4 0016,0

v) 5 00032,0\u2212

w) 81,0\u2212
x)

10
11

11

11

1

+
+

+

y) 3 5 602

z) 64 27144 \u22c5

Exemplo 09: Racionalize as expressões a seguir:

a)
2

2

b)
3 5
3

c)
7 23

4

Exemplo 10: Calcule as expressões a seguir, supondo que nas divisões o divisor é
sempre diferente de zero:

a) )2(3 2xx \u2212\u22c5\u2212

b) )
3
1(6 223 zxyyzx \u2212\u22c5\u2212

c) 23 \u2212\u22c5 xx

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Curso de Cálculo I \u2013 1o Período 8

d) aa n \u22c5

e) nmnm xx +\u2212 \u22c5 3
3
2

3
1

f) )1()1( 2 +\u2212\u22c5+ ttt

g) )2(
2
1 23 aa \u2212÷

h) 25 \u2212\u2212 ÷ xx

i) mm uu ÷+1

j) )2(6 2334 \u2212\u2212÷ cbba

k) ])(18[)(72 23 baba \u2212\u22c5\u2212÷\u2212\u22c5

l) ])(4[)(12 4322373234 babababa +\u2212÷+

m) 34 ++ ÷ mm xx

n) )5(3 32 \u2212\u2212 \u2212÷\u2212 mm aa

o) 4 35 3 xx ÷

p) nn 2143 84 \u2212+ \u22c5

q) 1212 28127)9( ++\u2212 ÷\u22c5 mmmm

1.3. Produtos notáveis

Os casos mais comuns de produtos notáveis são:

a) Produto da soma de dois termos pela sua diferença: 22)()( bababa \u2212=\u2212\u22c5+
b) Quadrado da soma de dois termos: 222