Apostila de Cálculo I (1)
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Apostila de Cálculo I (1)

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Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos.

Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos de conceitos cujos significados já são por nós conhecidos sendo quase impossível estar retornando sempre a definição de todos os conceitos anteriores. Então, precisamos escolher o nosso ponto de partida, isto é, o que vamos admitir já sabido e o que vamos explicar e provar em termos do que já foi suposto conhecido. Em nosso estudo admitiremos o conhecimento dos números da adição, da subtração, multiplicação e a divisão por número diferente de zero.

Sistematização dos Conjuntos Numéricos

Existem diversos processos para introduzir o conceito de número real, entre os quais destacam-se o processo construtivo e o processo axiomático. No processo construtivo parte-se de um número reduzido de conceitos primitivos mediante os quais surge o conjunto dos números naturais N={1,2,3,...}. Define-se depois sobre N duas operações adição e multiplicação, bem como uma relação de ordem. Completa-se o estudo dos números naturais demonstrando as propriedades.

- Conjunto dos Números Naturais (N)

Propriedades:

1 ( N.

( n ( N, (( n+1 (N e n+1 é o sucessor de n.

( m, n ( N se m+1 = n+1 ( m = n.

Seja S ( N com as propriedades:

1 ( S.

( s ( S ( s+1 ( S.

Logo, S = N (Princípio da Indução)

Assim tem-se:

N = {1,2,3,...}

A soma e o produto de dois números naturais ainda são naturais, isto significa que o conjunto N é fechado em relação a adição e a multiplicação.

Exemplo: Sejam a, b ( N
	x = a + b e x = a.b

	São equações que têm solução em N.

	Porém x + a = b ou a.x = b nem sempre tem solução em N.

		

- Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros foi estruturado a partir dos números naturais para resolver as equações acima. Este conjunto foi sistematizado com a introdução do elemento oposto. Dado um número natural a, existe (-a) tal que a + (-a) = 0. Com isso nós incorporamos o zero.

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

O conjunto dos números inteiros é fechado em relação as operações de adição, subtração e multiplicação, mas não é em relação a divisão, por esta razão equações da forma a.x = b nem sempre tem solução em Z.

Exemplo:

- Conjunto dos Números Racionais (Q)

Q é um conjunto numérico formado por números da forma
, onde p e q ( Z e q ( 0. Esses números racionais podem ser escritos na base 10, como decimais finitos ou decimais infinitos e periódicos.

Exemplo: 2,3 ; 0,3333... ; 2,2323...

O conjunto dos números racionais é fechado em relação as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, exceto a divisão por 0; porém no conjunto dos números racionais nem sempre é possível resolver a equação x2 = a

Exemplo:
.

Demonstração que
:

O quadrado de um número par é par:

2.n onde n é inteiro.

 é PAR.

O quadrado de um número ímpar é ímpar:

 é ÍMPAR.

Demonstração por contradição:

Suponha que

m, n ( 0 e m e n não simultaneamente pares, nem ímpares

Se m é par m = 2.k, então:

O que contradiz a hipótese logo
.

Exemplos de números não racionais: 2,3791...;
;(;e.

- Conjunto dos Números Reais (R)

É o conjunto dos números obtidos pela união dos números racionais e irracionais.

- Conjunto dos Números Irracionais (Q\u2019)

É o conjunto dos números tais que a equação
 tem sempre solução quando a é um número racional positivo. Os números irracionais na notação decimal corresponde aos decimais infinitos e não periódicos.

Exemplos: 2,37951..., (, e.

Propriedades dos Números Reais:

Lei comutativa da adição

( x, y ( R ( x + y = y + x

Lei comutativa da multiplicação

( x, y ( R ( x . y = y . x

Lei associativa da adição

( x, y, z ( R ( (x + y) + z = x + (y + z)	

Lei associativa da multiplicação

( x, y, z ( R ( (x . y) . z = x . (y . z)

Lei da existência do elemento neutro da adição

( o 0 ( R / x + 0 = x : ( x ( R

Lei da existência do elemento neutro da multiplicação

1 ( R / 1 . x = x : ( x ( R

Lei da existência do elemento simétrico (oposto) da adição

( x ( R , ( (-x) ( R / x + (-x) = 0

Lei da existência do elemento simétrico (inverso) da multiplicação

( x ( R , x ( 0, ( x-1 ( R / x . x-1 = 1

Lei distributiva da multiplicação em relação a adição

( x, y, z ( R ( x (y + z) = x.y + x.z

Lei do fechamento da adição

( x, y ( R ( x + y ( R

Lei do fechamento da multiplicação

( x, y ( R ( x . y ( R

Lei do cancelamento em relação a adição

( x, y, z ( R se x + z = y + z ( x = y

Lei do cancelamento em relação a multiplicação

( x, y, z ( R e z ( 0 se x . z = y . z ( x = y

Lei da tricotomia

( x, y ( R, vale uma e somente uma das afirmações:

x > y ou x < y ou x = y

Obs.: fazendo y = 0, temos:

x > 0 ou x < 0 ou x = 0

Lei da compatibilidade da relação de ordem com a adição

( x, y, z ( R se x + z > y + z ( x > y

Lei da compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação

( x, y, z ( R e z > 0 se x > y ( x . z > y . z

Obs.: se z < 0 : x > y ( x . z < y . z

Lei da transitividade

( x, y, z ( R se x > y e y > z ( x > z

Exercícios:

Responda (V) ou (F) e justifique.

Se x é um número positivo ( 5x é um número positivo

Se x < 3 e y > 3 ( x < y

Se x ( y ( -5x ( -5y

Se x2 ( 9 ( x ( 3

Se x ( 2 e y > x ( y > 0

Respostas:

(V) É certo pois se x é positivo, 5 multiplicado por um número positivo (x) sempre terá como resultado um número positivo.]

(V) É verdadeiro porque se x < 3, x é qualquer número menor que 3 e sendo y > 3, y é qualquer número maior que 3. Assim x < y.

(V) Podemos simplificar a equação: -5x ( -5y em x ( y.

(F) É falso pois resolvendo a inequação teremos: x2 ( 9

x2 = 9 x = ( 3 x ( 3 x ( -3

(V) x ( 2 y > x y > 2 	

 x

Representação Geométrica dos Números Reais

Existe uma correspondência bionívoca entre os pontos de uma reta e o conjunto dos números reais de tal forma que cada ponto da reta fica determinado por um único número real e todo número real está associado a um único ponto da reta

negativos 0 positivos

Espaço Real Unidimensional

Definições

Conjunto linear

Chama-se conjunto linear qualquer conjunto de números reais ou de seus pontos representativos.

Intervalos

São subconjuntos da reta e podemos considerar os seguintes casos: (sejam a e b números reais tais que a < b)

Intervalo fechado de extremos a e b. [

 [ ]		{x ( R / a ( x ( b}

 	 a b	 [a, b]

Intervalo aberto de extremos a e b. ( ou ]

 [ ]		{x ( R / a < x < b}

 a b	 (a, b) ou ]a, b[

Intervalos reais semi-abertos:

	c.1) à esquerda

 ( ]		{x ( R / a < x ( b}

 	 a b	 (a, b] ou ]a, b]

c.2) à direita

 [ )		{x ( R / a ( x < b}

 a b	 [a, b) ou [a, b[

Intervalos reais ilimitados

d.1) (-(, b] ( {x ( R / x ( b}

 ]

 b

d.2) (-(, b) ( {x ( R / x < b}

 )

 b

d.3) [a, () ( {x ( R / x ( a}

 [

 a

d.4) (a, () ( {x ( R / x > a}

 (

 a		

Intervalo degenerado