Apostila Cap 4 Álgebra Vetorial

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Álgebra Vetorial 4.1 
CAPÍTULO 4 
ÁLGEBRA VETORIAL 
Os conhecimentos adquiridos neste capítulo são básicos para o aprendizado e análise de 
vários conteúdos essenciais à formação de um engenheiro. 
Na primeira metade desse primeiro capítulo, teremos como objetivo a introdução do 
conceito de vetor. Após uma abordagem intuitiva, será apresentada a definição formal de 
vetor como classe de eqüipolência de segmentos orientados, e, em seguida, serão apresentadas 
as operações básicas com vetores: adição e multiplicação de um número por um vetor. 
Na segunda metade desse primeiro capítulo, será apresentado o tratamento algébrico de 
vetores no plano e no espaço. Concluída essa etapa, focaremos nosso trabalho nos produtos 
entre dois vetores: produto escalar e produto vetorial. No fechamento do capítulo tratremos do 
produto misto e do duplo produto vetorial. 
4.1.I�TRODUÇÃO AOS VETORES 
Existem grandezas denominadas escalares que são caracterizadas por um número e uma 
unidade: a área do retângulo é 20(cm2), a régua mede 30(cm) de comprimento, o volume do 
copo é 300(cm3). 
Outras, no entanto, requerem mais do que isso. Por exemplo, para caracterizarmos uma 
força ou uma velocidade ou uma aceleração precisamos mais do que um número e uma 
unidade. Tais grandezas são chamadas vetoriais e são caracterizadas por três elementos: 
módulo, direção e sentido. 
Adotamos que duas flechas de mesmo comprimento, mesma direção, isto é paralelas, e 
mesmo sentido caracterizam a mesma grandeza vetorial. Veja a representação da Fig.4.1. 
 
Fig.4.1-Grandeza vetorial. 
Intuitivamente flecha é um segmento para o qual se fixou uma orientação, isto é, 
escolheu-se um sentido e, por isso, nada melhor do que o conceito de segmento orientado 
para formalizar essa idéia. 
4.1.1.SEGME�TO ORIE�TADO 
Um segmento orientado é um par ordenado de pontos AB onde A é a origem e B é a 
extremidade do segmento AB. 
Um segmento orientado do tipo AA é chamado de segmento orientado nulo e um 
segmento orientado BA é o oposto de AB, conforme mostra a Fig.4.2. 
Tiago
Highlight
Álgebra Vetorial 4.2 
 
Fig.4.2-Segmentos orientados: opostos e nulo. 
4.1.2.VETOR 
Um vetor é representado por um segmento orientado indicado por uma letra minúscula 
com uma flecha em cima ou pelas letras maiúsculas que representam a origem e extremidade 
encimadas pela flecha. A Fig.4.3 ilustra a representação e a notação de um vetor. 
 
Fig.4.3-Representação e notação de um vetor. 
Os segmentos orientados (AB) e (CD) são de mesmo comprimento se os segmentos 
geométricos AB e CD têm comprimentos iguais. 
Se os segmentos orientados (AB) e (CD) não são nulos, eles são de mesma direção, ou 
paralelos, se os segmentos geométricos AB e CD são paralelos, isto inclui o caso em que AB 
e CD são colineares1. A Fig.4.4 ilustra essas situações. 
 
Fig.4.4-Segmentos orientados: paralelos e colineares. 
Caso (AB) e (CD) sejam paralelos diz-se que são de mesmo sentido se os segmentos 
geométricos AB e CD têm interseção vazia, isto é, não há interseção na ligação das origens e 
das extremidades. Caso contrário, havendo intersecção, (AB) e (CD) são de sentido contrário. 
A Fig.4.5 ilustra essas duas situações. 
 
1 co = mesma; linear = linha ⇒ colinear = mesma linha ou seja mesma reta. 
Álgebra Vetorial 4.3 
 
Fig.4.5-Segmentos orientados: mesmo sentido e sentidos contrários. 
4.1.3.MÓDULO OU �ORMA OU COMPRIME�TO DE UM VETOR 
O módulo de um vetor é o comprimento de qualquer um de seus representantes. O 
módulo é indicado por (barras). 
Um vetor é unitário se seu módulo for igual a 1, ou seja, se seu comprimento 
(“tamanho”) for igual a 1. 
Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo 
sentido são representantes de um mesmo vetor, conforme mostra a Fig.4.6. 
 
Fig.4.6-Representações de um mesmo vetor. 
Todos os segmentos orientados, da Fig.4.6, representam o mesmo vetor AB , pois todos 
têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Eles são denominados de vetores 
eqüipolentes. 
Note, ainda, que cada ponto pode ser considerado como origem de um segmento 
orientado que é representante do vetor AB . Dessa maneira esse vetor é chamado de vetor 
livre, pois a origem pode ser colocada em qualquer ponto. 
4.1.4.CLASSIFICAÇÕES (TIPOS) DE VETORES 
Apesar de algumas classificações de vetores já ter sido apresentada em itens anteriores, 
vamos formalizar as principais classificações para os vetores. 
1. Vetor Livre: é o vetor que tem por origem em qualquer ponto no espaço. 
Álgebra Vetorial 4.4 
2. Vetor deslizante: é o vetor cuja origem pertence obrigatoriamente a uma reta que funciona 
como a reta suporte do mesmo, conforme mostra a Fig.4.7. 
 
Fig.4.7-Vetor deslizante. 
3. Vetor posição: é o vetor que dá a posição de um ponto qualquer (do plano ou do espaço) 
em relação à origem. 
4. Vetor nulo: é o vetor de comprimento zero. Por exemplo, o vetor AA é um vetor nulo, 
pois sua origem coincide com sua extremidade. Sua representação geométrica é um ponto. 
Normalmente se indica o vetor nulo por 0
r
. Por definição, o vetor nulo é paralelo a 
qualquer vetor não nulo. 
5. Vetor unitário: é o vetor de comprimento um. 
6. Vetores Iguais: são vetores que possuem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo 
comprimento e indica-se por vu
rr
= . Na Fig.4.8 temos segmentos orientados representando 
o mesmo vetor. 
 
Fig.4.8-Vetores Iguais. 
7. Vetores Opostos: são vetores que possuem a mesma direção, o mesmo comprimento e 
sentidos opostos. A oposição é, geralmente, marcada por sinal negativo. Na Fig.4.9 temos 
segmentos orientados representando vetores opostos. 
 
Fig.4.9-Vetores opostos. 
8. Vetores paralelos: são vetores que possuem mesma direção e indica-se por wvu
rrr
//// . 
Observamos que o vetor nulo é paralelo a qualquer vetor. Na Fig.4.10 temos segmentos 
orientados representando vetores paralelos. 
 
Fig.4.10-Vetores paralelos. 
Álgebra Vetorial 4.5 
9. Vetores Coplanares: são aqueles que têm representantes num mesmo plano. Observamos 
que dois vetores, não nulos, ao mesmo tempo, sempre são coplanares. Três vetores 
poderão ou não ser coplanares. Na Fig.4.11 temos segmentos orientados representando 
vetores coplanares. 
 
Fig.4.11-Vetores coplanares. 
10. Vetores ortogonais: são vetores que formam um ângulo de 90º entre si e indica-se por 
vu
rr ⊥ . Na Fig.4.12 temos segmentos orientados representando vetores ortogonais. O 
termo ortogonal vem do Grego “orthos” que significa “justo, reto” e “gonia” que significa 
“ângulo”. 
 
Fig.4.12-Vetores ortogonais. 
11. Versor: de um vetor não nulo v
r
 é o vetor unitário de mesma direção e sentido de v
r
 e 
indica-se por vˆ . Por exemplo, na Fig.4.13 temos o vetor v
r
 de comprimento 3 e os vetores 
1u
r
 e 2u
r
 que são vetores unitários e têm a mesma direção do vetor v
r
. Entretanto, o vetor 
1u
r
 tem a mesma direção do vetor v
r
 ao passo que o vetor 2u
r
 tem sentido contrário ao do 
vetor v
r
. Logo, 1u
r
 é o versor de v
r
, ou seja, vu ˆ1 =
r
. 
 
Fig.4.13-Conceito de versor. 
4.2.OPERAÇÕES COM VETORES 
4.2.1.ADIÇÃO DE VETORES 
Geometricamente temos dois processos para somar vetores: 
Álgebra Vetorial 4.6 
1. Tendo dois vetores para somá-los devemos, da extremidade do primeiro vetor, colocar a 
origem do segundo, sem alterar seu módulo, direção e sentido. Para ilustrar, consideremos 
os vetores v
r
 e u
r
 mostrados na Fig.4.14. 
 
Fig.4.14-Vetores a serem somados. 
Da extremidade do vetor v
r
 trace o vetor u
r
, conforme mostra a Fig.4.15. 
 
Fig.4.15-Vetores preparados para a soma. 
O vetor resultante é o segmento orientado quetem origem na origem do vetor v
r
 e 
extremidade na extremidade do vetor u
r
, conforme mostra a Fig.4.16. 
 
Fig.4.16-Soma dos vetores pelo primeiro método. 
2. O outro processo é denominado de regra do paralelogramo2. Pela regra, completa-se o 
paralelogramo traçando segmentos paralelos ao vetor v
r
 e ao vetor u
r
. O vetor resultante é 
o segmento orientado representado pela diagonal maior do paralelogramo, conforme 
mostra a Fig.4.17. 
 
2 Paralelogramo é o quadrilátero que apresenta dois a dois os lados opostos paralelos. 
Álgebra Vetorial 4.7 
 
Fig.4.17-Soma dos vetores pelo segundo método. 
A Fig.4.18 mostra outro exemplo de soma através dos dois métodos. 
 
Fig.4.18-Soma de vetores pelos dois métodos. 
4.2.2.SUBTRAÇÃO DE VETORES 
Para subtrair dois vetores podemos utilizar o conceito de vetor oposto e proceder da 
mesma forma que efetuamos a adição. 
 
Fig.4.19-Subtração de vetores. 
A Fig.4.19 mostra que, para encontrarmos uv
rr
− , teremos que encontrar o vetor oposto 
do vetor u
r
. A partir daí, basta procedermos como na soma, ou seja: )( uvuv
rrrr
−+=− , 
conforme mostra a Fig.4.20, por qualquer um dos dois métodos. 
Álgebra Vetorial 4.8 
 
Fig.4.20-Subtração de vetores pelos dois métodos. 
A Fig.4.21 mostra a subtração entre vetores colineares. 
 
Fig.4.21-Subtração de vetores colineares. 
4.2.3.MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM �ÚMERO (ESCALAR) 
Dado um vetor v
r
 diferente do vetor nulo e um número real 0≠α , o produto do número 
real pelo vetor v
r
, representado por v
r
α , dá origem a um novo vetor que tem as seguintes 
características: 
1. O módulo, || v
r
α , do novo vetor é igual ao módulo (comprimento) de v
r
 multiplicado por 
|| α ; 
2. A direção do novo vetor, v
r
α , é a mesma do vetor v
r
; 
3. O sentido do novo vetor, v
r
α , é o mesmo do vetor v
r
 se 0>α ; se 0<α , o sentido do 
novo vetor, v
r
α , é contrário ao sentido do vetor v
r
. 
É comum usar o termo escalar para designar o número real, em contraposição à 
denominação vetor. Por isso, essa operação também é denominada de multiplicação de um 
vetor por um escalar. 
A Fig.4.22 mostra alguns exemplos dessa operação. 
 
Fig.4.22-Multiplicação de um vetor por um escalar. 
Álgebra Vetorial 4.9 
Exercício Proposto 4.1. A figura a seguir apresenta o losango EFGH inscrito no retângulo 
ABCD, sendo O o ponto de interseção das diagonais desse losango. 
 
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: 
a)( ) OGEO = ; b)( ) COEH −=− ; c)( ) OCAO // ; 
d)( ) CHAF = ; e)( ) |||| BDAC = ; f)( ) OHAB ⊥ ; 
g)( ) HGDO = ; h)( ) ||
2
1
|| DBOA = ; i)( ) CBEO ⊥ ; 
j)( ) |||| BOOC −=− ; k)( ) CDAF // ; l)( ) HFAO ⊥ ; 
m)( ) |||| DHOH −=− ; n)( ) HGGF // ; o)( ) FEOB −= . 
Exercício Proposto 4.2. Com base na figura do exercício anterior, determinar os vetores a 
seguir, expressando-os com origem no ponto A: 
a) CHOC + ; b) FGEH + ; c) AFAE 22 + ; d) EFEH + ; 
e) BGEO + ; f) OCOE 22 + ; g) EHBC +
2
1
; h) FGFE + ; 
i) HOOG − ; j) AOFOAF ++ . 
Exercício Proposto 4.3. Sabendo que o ângulo entre os vetores u
r
 e v
r
 é de 30º, determine o 
ângulo formado pelos vetores: 
a) u
r
− e v
r
2− ; b) u
r
− e v
r
2 ; c) u
r
13 e v
r
4− . 
Exercício Proposto 4.4. Calcule o módulo do vetor resultante da soma dos vetores a
r
 e b
r
 em 
cada caso abaixo. 
a) 5|| =a
r
(m) e 8|| =b
r
(m) b) 10|| =a
r
(m) e 5|| =b
r
(m) 
 
4.3.VETORES �O PLA�O 
Qualquer vetor pode ser expresso, no plano, em função de dois vetores não paralelos 1v
r
 
e 2v
r
. Os vetores 1v
r
 e 2v
r
 formam o que denominamos de base. Os vetores 1v
r
 e 2v
r
 não 
precisam ser ortogonais, mas, quando eles o são, facilitam o trabalho de representação visto 
que estamos acostumados a trabalhar com projeções ortogonais. Caso os vetores, 1v
r
 e 2v
r
, 
Álgebra Vetorial 4.10 
sejam ortogonais e unitários constituem uma base denominada de ortonormal. A Fig.4.23 
ilustra uma base ortogonal. 
 
Fig.4.23-Base ortogonal. 
Para cada vetor v
r
 representado no mesmo plano de 1v
r
 e 2v
r
, existe uma só dupla de 
números reais 1a e 2a tal que 2211 vavav
rrr
+= . O vetor v
r
 é denominado de combinação linear 
de 1v
r
 e 2v
r
. O conjunto },{ 21 vvB
rr
= é chamado base no plano. Os números reais 1a e 2a são 
denominados de componentes do vetor v
r
 na base B. O vetor v
r
 pode ser representado 
também por ),( 21 aav =
r
. 
As bases mais utilizadas são as ortonormais que são aquelas em que os vetores são 
ortogonais e unitários. A base ortonormal mais importante é a que determina o sistema 
cartesiano ortogonal. Os vetores nesse sistema são representados por i
r
 e j
r
, ambos com 
origem na origem dos eixos coordenados e extremidade nos pontos )0,1( e )1,0( , 
respectivamente. A base },{ jiC
rr
= , ilustrada na Fig.4.24, é denominada de base canônica e é 
a que iremos utilizar no nosso estudo dos vetores no plano. Ela simplifica a representação dos 
vetores. 
 
Fig.4.24-Base canônica para o plano. 
Voltando à representação de um vetor sob a forma de uma combinação linear utilizando 
a base canônica teremos: 
 jyixvvavav
rrrrrr
+=⇒+= 2211 , (4.1) 
onde x e y são as componentes na base canônica. 
A maneira mais comum de representar o vetor v
r
 é utilizando apenas as suas 
componentes: ),( yxv =
r
, dispensando a “escrita” da sua base canônica. Desta forma podemos 
dizer que um vetor no plano é um par ordenado, ),( yx , de números reais. O par ),( yx é 
Álgebra Vetorial 4.11 
denominado de expressão analítica do o vetor v
r
. A Fig.4.25 ilustra a representação gráfica de 
um vetor. 
 
Fig.4.25-Representação gráfica de um vetor no sistema de coordenadas. 
O link: http://www.fisica.ufpb.br/prolicen/Applets/Applets1/Vetores/Ponto.html traz 
alguns “applets3” e pode ser consultado como exercício para a visualização das componentes 
de um vetor. Alguns exemplos de representação de vetores: 
Forma canônica Forma analítica 
ji
rr
32 + )3,2( 
j
r
2 )2,0( 
j
r
− )1,0( − 
ji
rr
+− )1,1(− 
i
r
4− )0,4(− 
ji
rr
72 −− )7,2( −− 
4.3.1.IGUALDADE DE VETORES 
Dois vetores são iguais quando têm as mesmas componentes. Se o vetor: jyixu
rrr
11 += é 
igual ao vetor: jyixv
rrr
22 += , então: 21 xx = e 21 yy = . 
4.3.2.OPERAÇÃO COM VETORES 
Na seção 4.2 dessa apostila, vimos a representação geométrica das operações com 
vetores. Nessa seção, vamos estudar a forma analítica dessas operações. 
Para tal, consideremos dois vetores: ),( 1111 yxjyixu =+=
rrr
 e ),( 2222 yxjyixv =+=
rrr
: 
O1. Adição: a soma dos vetores u
r
 e v
r
 é igual a: jyyixxvu
rrrr
)()( 2121 +++=+ , ou, em 
notação simplificada: ),( 2121 yyxxvu ++=+
rr
. Por exemplo, se: )2,3(23 =+= jiu
rrr
 e 
)1,1(=+= jiv
rrr
, a soma dos dois vetores é: )3,4(34)12()13( =+=+++=+ jijivu
rrrrrr
. 
O link: http://www.fisica.ufpb.br/prolicen/Applets/Applets1/Vetores/SomaVet.html traz 
aplicação da soma de 2 vetores. 
O link: http://www.walter-fendt.de/ph14br/resultant_br.htm traz aplicações da soma de 2 ou 
mais vetores. 
O2. Multiplicação de um vetor por um escalar: Seja α um número real diferente de zero e v
r
 
um vetor não nulo. A multiplicação de α por v
r
 é representada por v
r
α e é dada por: 
),( 2222 yxjyixv αα=α+α=α
rrr
. Por exemplo, se: )1,2(2 =+= jiv
rrr
 e 3=α , temos: 
 
3 Applets são mini aplicativos JAVAque permitem a manipulação dos fenômenos físicos e matemáticos. 
Álgebra Vetorial 4.12 
)3,6()13,23(1323 =××=×+×=α jiv
rrr
. Note que o vetor resultante tem a mesma direção 
de v
r
. O módulo do vetor resultante é ||α vezes maior que o módulo do vetor v
r
. O sentido 
do vetor resultante é o mesmo sentido de v
r
 se 0>α . Se 0<α , o sentido do vetor resultante 
é oposto ao sentido de v
r
. Se 0=α , 000
rrrr
=+=α jiv , ou seja, o vetor resultante é o vetor 
nulo. 
Exercício Proposto 4.5. Sejam os seguintes vetores: 
jia
rrr
22 −= ; jib
rrr
5−−= ; ic
rr
5= ; jd
rr
2−= ; jie
rrr
34 += ; jif
rrr
54 −−= . 
Determine: 
a) bav
rrr
−= 21 ; b) edv
rrr
22 += ; c) fcv
rrr
23 += ; 
d) fcav
rrrr
224 +−= ; e) cbv
rrr
−=5 ; f) fedcv
rrrrr
2346 +−+= ; 
g) afcv
rrrr
−+= 237 . 
4.4.VETORES DEFI�IDOS POR DOIS PO�TOS 
O vetor AB representado geometricamente na Fig.4.26 tem infinitos representantes, ou 
seja, há uma infinidade de segmentos orientados que apresentam mesmo módulo, mesma 
direção e mesmo sentido do que AB . Observe a Fig.4.27 com alguns desses segmentos. 
 
Fig.4.26-Representação gráfica do vetor AB . 
Álgebra Vetorial 4.13 
 
Fig.4.27-Outras representação gráficas do vetor AB . 
O questionamento, nesse momento, é como caracterizar o vetor AB a partir das 
coordenadas dos 2 pontos que o formam? Para responder essa pergunta, consideremos que o 
ponto A tem coordenadas: ),( 11 yxA e que o ponto B tem coordenadas: ),( 22 yxB . O vetor que 
liga o ponto A à origem do sistema de coordenadas é dado por: ),( 11 yxOA = . O vetor que liga 
o ponto B à origem do sistema de coordenadas é dado por: ),( 22 yxOB = . A soma do vetor 
OA com o vetor AB é igual ao vetor OB , ou seja, OBABOA =+ . Temos, então: 
 ),(),(),( 12121122 yyxxyxyxABOAOBABOBABOA −−=−=⇒−=⇒=+ . (4.2) 
Do resultado da equação (4.2), podemos escrever: 
 AByyxxAB −=−−= ),( 1212 . (4.3) 
Em resumo, para caracterizar um vetor definido por 2 pontos efetuamos a diferença entre as 
coordenadas do ponto da extremidade e as coordenadas do ponto da origem do vetor dado. 
Exercício Proposto 4.6. Sejam os seguintes pontos: 
)2,2( −A ; )5,1( −−B ; )0,5(C ; )2,0( −D ; )3,4(E ; )5,4( −−F . 
Determine: 
a) AC ; b)CA ; c)FD ; 
d) EB ; e) CFAB − ; f) DECD + ; 
g) DAAD − . 
4.5.PO�TO MÉDIO 
Seja determinar as coordenadas do ponto médio M do segmento AB. Se M é ponto 
médio do segmento orientado AB, temos que: ABAM =2 . Supondo que as coordenadas dos 
pontos A e B são: ),( 11 yxA e ),( 22 yxB e que as coordenadas do ponto M, a ser determinado, 
são ),( yxM , podemos escrever: ),( 11 yyxxAM −−= e ),( 1212 yyxxAB −−= . Logo: 
 ),(),(2 121211 yyxxyyxx −−=−− , 
Álgebra Vetorial 4.14 
ou, 
 ),()22,22( 121211 yyxxyyxx −−=−− . 
Para que a igualdade entre os vetores seja mantida, devemos ter: 12122 xxxx −=− e 
12122 yyyy −=− . Isolando x e y, temos: 2)( 21 xxx += e 2)( 21 yyy += . Assim, as 
coordenadas do ponto médio do segmento AB são as médias aritméticas das coordenadas dos 
pontos A e B, isto é, 
 




 ++
2
,
2
2121 yyxxM . (4.4) 
4.6.PARALELISMO DE DOIS VETORES 
Se dois vetores u
r
 e v
r
 são paralelos então existe um número real α tal que: vu
rr
α= . 
Supondo que as componentes dos vetores u
r
 e v
r
 são: ),( 21 uuu =
r
 e ),( 21 vvv =
r
, então 
vu
rr
α= nos leva a 11 vu α= e a 22 vu α= . Melhorando essas relações, podemos escrever: 
 α==
2
2
1
1
v
u
v
u
. (4.5) 
Em resumo, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais. 
Por exemplo, para: )3,2( −=u
r
 e )3,2(−=v
r
, estabelecemos que: 1
3
3
2
2
−=
−
=
−
. Logo 
esses vetores são paralelos. 
Por outro lado, se temos: )3,2( −=u
r
 e )3,2( −−=v
r
, estabelecemos que: 
3
3
2
2
−
−
≠
−
 e 
os vetores não são paralelos. 
4.7.MÓDULO DE UM VETOR 
Vamos considerar um vetor com origem na origem dos eixos coordenados )0,0(O e 
extremidade em um ponto qualquer ),( yxP . Conforme mostra a Fig.4.28, seu módulo, ou 
seja, seu comprimento pode ser encontrado utilizando o Teorema de Pitágoras. 
 
Fig.4.28-Cálculo do módulo de um vetor. 
Álgebra Vetorial 4.15 
 22|| yxOP += . (4.6) 
Por exemplo, o módulo do vetor )4,3( −=OP será: 5169)4(3|| 22 =+=−+=OP 
(unidades de comprimento). 
Se desejarmos encontrar o vetor unitário de um dado vetor v
r
, basta multiplicá-lo pelo 
inverso de seu módulo, pois, como sabemos, o vetor unitário tem seu módulo igual a 1. Esse 
vetor unitário encontrado é denominado, como classificamos anteriormente, de versor do 
vetor v
r
 e é representado por: 
 
||
ˆ
v
v
v r
r
= . (4.7) 
Por exemplo, o versor do vetor )4,3(=v
r
 é: 





=
5
4
,
5
3
vˆ , conforme mostra a Fig.4.29. 
 
Fig.4.29-Um vetor e seu versor. 
4.8.DIST�CIA E�TRE DOIS PO�TOS 
Muitas vezes necessitamos calcular a distância entre dois pontos, por isso, é interessante 
registrar que para esse cálculo nos valemos do triângulo retângulo e utilizamos o Teorema de 
Pitágoras conforme a situação geométrica mostrada na Fig.4.30. Vale ressaltar, ainda, que a 
distância entre dois pontos equivale ao módulo do vetor que é obtido com esses dois pontos, 
independente do sentido tomado visto que tanto a distância entre dois como como o módulo 
de um vetor, é um número positivo. 
Álgebra Vetorial 4.16 
 
Fig.4.30-Distância entre dois pontos. 
Por Pitágoras temos: 212
2
12
2 )()( yyxxd −+−= , logo: 
 212
2
12 )()( yyxxd −+−= . (4.8) 
4.9.VETORES �O ESPAÇO 
Nas seções anteriores trabalhamos com vetores no plano xy, isto é, em R2, onde 
definimos como forma analítica de um vetor um par ordenado de números reais. Essa 
definição foi motivada pelo fato de que a cada par ordenado ),( yx podemos fazer 
corresponder um segmento orientado. Fato semelhante também se verifica no espaço, com 
vetores em R3, onde a forma analítica é uma terna de números representados por ),,( zyx que 
representa o segmento orientado no espaço, conforme ilustra a Fig.4.31. 
 
Fig.4.31-Representação do espaço tridimensional. 
O eixo dos x é denominado de eixo das abscissas, o eixo dos y é denominado de eixo 
das ordenadas e o eixo dos z é denominado de eixo das cotas. 
Para entender a representação desses vetores vamos iniciar com a representação de 
pontos no espaço xyz, por exemplo, do ponto )4,3,2( . Podemos proceder seguindo os 
seguintes passos, que podem ser acompanhados através das Fig.4.31: 
Álgebra Vetorial 4.17 
1. marcar duas unidades no eixo das abscissas (eixo dos x); 
2. a partir daí traça-se uma perpendicular ao eixo x que seja paralela ao eixo y com 3 
unidades de comprimento; 
3. a partir daí traça-se um segmento perpendicular ao plano formado pelos eixos dos x e dos 
y e que seja paralelo ao eixo z com 4 unidades de comprimento. 
 
Fig.4.32-Representação de um ponto no espaço tridimensional. 
Assim como em R2, onde temos o plano dividido em 4 quadrantes, em R3 temos o 
espaço dividido em 8 octantes com a seguinte convenção: 1º octante x, y e z positivos; 2º 
octante x negativo, y e z positivos; 3º octante x e y negativo e z positivo; 4º octante x e z 
positivos e y negativo; 5º octante x e y positivos e z negativo; 6º octante x e z negativos e y 
positivo; 7º octante x, y e z negativos e 8º octante x positivo e y e z negativos. A Fig.4.33 
ilustra os 8 octantes. Para ajudar a visualização os planos divisórios estão em três cores: azul, 
vermelho e verde. 
Através do link: http://www.walter-fendt.de/m14pt/vector3d_pt.htm é possível treinar a 
representação no espaço tridimensional.Álgebra Vetorial 4.18 
 
Fig.4.33-Representação dos octantes do espaço tridimensional. 
Da mesma forma que utilizamos a base canônica ),( ji
vr
 para vetores no plano, no 
espaço consideraremos a base canônica ),,( kji
rvr
, conforme mostra a Fig.4.34. Assim de 
forma análoga podemos representar os vetores no espaço sob a forma canônica e analítica. 
Alguns exemplos de representação de vetores: 
Forma canônica Forma analítica 
kji
rvr
++ 42 )1,4,2( 
kj
rv
− )1,1,0( − 
i
r
3 )0,0,3( 
j
v
− )0,1,0( − 
Vetores unitários 
i
r
 )0,0,1( 
j
v
 )0,1,0( 
k
r
 )1,0,0( 
 
Fig.4.34-Base canônica do espaço tridimensional. 
Álgebra Vetorial 4.19 
No sistema de coordenadas em R3, cada dupla de eixos determina um plano, conforme 
mostra a Fig.4.35. Esses três planos são denominados de planos coordenados. São eles: plano 
XOY ou simplesmente plano xy; plano XOZ ou plano xz e o plano YOZ ou plano yz. 
 
Fig.4.35-Planos coordenados. 
Da mesma forma que no plano, a cada ponto ),,( zyxP do espaço irá corresponder o 
vetor kzjyixOP
rrr
++= . As coordenadas x, y e z do ponto P são as componentes do vetor OP 
na base canônica, ou ainda ),,( zyxOP = na forma analítica. 
Vamos representar um vetor no espaço, por exemplo: kjiv
rrrr
432 ++= na forma 
canônica do vetor ou simplesmente )4,3,2( na sua forma analítica. As três primeiras etapas 
nós já seguimos quando, anteriormente, representamos um ponto no espaço. Repetindo o 
processo, de acordo com a Fig.4.36: 
1. marcar duas unidades no eixo das abscissas (eixo dos x); 
2. a partir daí traça-se uma horizontal ao eixo y com 3 unidades de comprimento; 
3. a partir daí traça-se um segmento paralelo ao eixo z com 4 unidades de comprimento; 
4. o vetor tem origem na origem dos eixos e extremidade no ponto encontrado. 
 
Álgebra Vetorial 4.20 
 
Fig.4.36-Representação de um vetor no espaço tridimensional. 
4.9.1.IGUALDADE DE VETORES 
Assim como no plano, dois vetores são iguais quando têm as mesmas componentes. Se 
o vetor: kzjyixu
rrrr
111 ++= é igual ao vetor: kzjyixv
rrrr
222 ++= , então: 21 xx = , 21 yy = e 
21 zz = . 
4.9.2.OPERAÇÃO COM VETORES 
Assim como no plano, podemos somar (ou subtrair) vetores e multiplicá-los por um 
escalar. 
Vamos considerar dois vetores assim definidos: ),,( 111111 zyxkzjyixu =++=
rrrr
 e 
),,( 222222 zyxkzjyixv =++=
rrrr
: 
O1. Adição: a soma dos vetores u
r
 e v
r
 é igual a: 
kzzjyyixxvu
rrrrr
)()()( 212121 +++++=+ , ou, ),,( 212121 zzyyxxvu +++=+
rr
. 
Por exemplo, se: )2,2,3(223 −=−+= kjiu
rrrr
 e )0,1,1(=+= jiv
rrr
, a soma dos dois vetores 
é: )2,3,4(234)02()12()13( −=−+=+−++++=+ kjikjivu
rrrrrrrr
. 
O2. Multiplicação de um vetor por um escalar: seja α um número real diferente de zero e v
r
 
um vetor não nulo. A multiplicação de α por v
r
 é representada por v
r
α e é dada por: 
),,( 222222 zyxkzjyixv ααα=α+α+α=α
rrrr
. Por exemplo, se: )1,0,2(2 =+= kiv
rrr
 e 4=α , 
temos: )4,0,8()14,04,24(1424 =×××=×+×=α kiv
rrr
. Note que o vetor resultante tem a 
mesma direção de v
r
. O módulo do vetor resultante é ||α vezes maior que o módulo do vetor 
v
r
. O sentido do vetor resultante é o mesmo sentido de v
r
 se 0>α . Se 0<α , o sentido do 
vetor resultante é oposto ao sentido de v
r
. Se 0=α , 0000
rrrrr
=++=α kjiv , ou seja, o vetor 
resultante é o vetor nulo. 
Exercício Proposto 4.7. Sejam os seguintes vetores: 
kjia
rrrr
+−= 22 ; jkb
rrr
5−= ; jc
rr
5= ; jid
rrr
25 −= ; kjie
rrrr
2−+= . 
Determine: 
a) bav
rrr
−= 21 ; b) edv
rrr
22 += ; c) dcv
rrr
23 += ; 
Álgebra Vetorial 4.21 
d) ecav
rrrr
224 +−= ; e) cbv
rrr
−=5 ; f) aedcv
rrrrr
2346 +−+= ; 
g) abcv
rrrr
−+= 237 . 
4.10.VETORES DEFI�IDOS POR DOIS PO�TOS 
O vetor AB representado geometricamente na Fig.4.37 tem infinitos representantes, ou 
seja, há uma infinidade de segmentos orientados que apresentam mesmo módulo, mesma 
direção e mesmo sentido do que AB . Observe a Fig.4.38 com alguns desses segmentos. 
 
Fig.4.37-Representação gráfica do vetor AB . 
 
Fig.4.38-Outras representação gráficas do vetor AB . 
Da mesma forma que no plano, para caracterizar um vetor definido por 2 pontos, 
efetuamos a diferença entre as coordenadas do ponto da extremidade e as coordenadas do 
ponto da origem do vetor dado: 
 ABzzyyxxAB −=−−−= ),,( 121212 . (4.9) 
Exercício Proposto 4.8. Sejam os seguintes pontos: 
Álgebra Vetorial 4.22 
)2,1,2( −A ; )5,1,0( −−B ; )2,0,5( −C ; )4,0,1(−D ; )3,4,1(E . 
Determine: 
a) AC ; b)CA ; c)ED ; 
d) EB ; e) CDAB − ; f) DECD + ; 
g) DAAD − . 
4.11.PO�TO MÉDIO 
Seja determinar as coordenadas do ponto médio M do segmento AB. Se M é ponto 
médio do segmento orientado AB, temos: ABAM =2 . Supondo que as coordenadas dos 
pontos A e B são: ),,( 111 zyxA e ),,( 222 zyxB e que as coordenadas do ponto M a ser 
determinado são ),,( zyxM , podemos escrever: 
 ),,( 111 zzyyxxAM −−−= e ),,,( 121212 zzyyxxAB −−−= . 
Logo: 
 ),,(),,(2 121212111 zzyyxxzzyyxx −−−=−−− . 
Para que a igualdade entre os vetores seja mantida, devemos ter: 12122 xxxx −=− , 
12122 yyyy −=− e 12122 zzzz −=− . Isolando x, y e z, temos que as coordenadas do ponto 
médio do segmento AB são as médias aritméticas das coordenadas dos pontos A e B, isto é 
 




 +++
2
,
2
,
2
212121 zzyyxxM . (4.10) 
4.12.PARALELISMO DE DOIS VETORES 
Da mesma forma que no plano, se dois vetores u
r
 e v
r
 são paralelos então existe um 
número real α tal que: vu
rr
α= . Supondo que as componentes dos vetores u
r
 e v
r
 são: 
),,( 321 uuuu =
r
 e ),,( 321 vvvv =
r
, então vu
rr
α= nos leva a: 
 α===
3
3
2
2
1
1
v
u
v
u
v
u
. (4.11) 
Em resumo, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais. 
4.13.MÓDULO DE UM VETOR 
Quando o vetor tem origem na origem dos eixos coordenados )0,0,0(O e extremidade 
em um ponto qualquer ),,( zyxP , seu módulo, ou seja, seu comprimento pode ser encontrado 
por: 
 222|| zyxOP ++= . (4.12) 
Álgebra Vetorial 4.23 
Por exemplo, o módulo do vetor )3,5,2( −=OP será: 38)3(52|| 222 =−++=OP 
(unidades de comprimento). 
Como no plano, se desejamos encontrar o vetor unitário de um dado vetor v
r
, basta 
multiplicá-lo pelo inverso de seu módulo, pois, como sabemos, o vetor unitário tem seu 
módulo igual a 1. Esse vetor unitário encontrado é denominado de versor do vetor v
r
 e é 
representado por: 
 
||
ˆ
v
v
v r
r
= . (4.13) 
Note que as operações com os vetores no espaço repetem as do plano apenas 
acrescentando a terceira componente do vetor. 
Exercício Proposto 4.9. Escrever a equação dos vetores indicados nas figuras apresentadas a 
seguir: 
 
Exercício Proposto 4.10. Dados )3,2(−A , )0,2(B , )5,0( −C e )2,4( −−D , verifique se: 
a)os vetores AB e DC são iguais; 
b)os vetores AD e CB são opostos. 
Exercício Proposto 4.11. Dados )1,2(A , )1,5( −B , )0,4(−C , calcule e represente o vetor 
soma dos vetores AB e AC . 
Exercício Proposto 4.12. Se ABv =
r
, )2,3(A e )8,5(=v
r
, então qual é o ponto B? 
Exercício Proposto 4.13. Os vetores )4,3(=u
r
, )7,2( av =
r
 e )3,1( bw =
r
 satisfazem à 
equação: 032
rrvr
=+− wvu . Calcule a e b. 
Exercício Proposto 4.14. Sabendo que o ângulo entre os vetores u
r
 e v
r
 é de 60º, determine o 
ângulo formado pelos vetores: 
a)u
r
 e v
r
 b)–u
r
 e v
r
 c)–u
r
 e –v
r
 d)2u
r
 e 3v
r
 
Exercício Proposto 4.15. Dados os pontos )7,3(A e )1,11( −B determine o ponto médio deAB . 
Exercício Proposto 4.16. Obter os pontos que dividem o segmento de extremidades )4,2(A 
e )13,14(B em três partes iguais. 
Exercício Proposto 4.17. O baricentro G de um triângulo ABC é o ponto de interseção das 
medianas do triângulo. Medianas são segmentos que vão de um vértice do triângulo até o 
ponto médio do lado oposto ao vértice. Numa pesquisa pela internet sobre baricentro, um 
aluno encontrou a seguinte afirmativa: Cada coordenada do baricentro G de um triângulo 
Álgebra Vetorial 4.24 
pode ser calculada através da média aritmética das coordenadas dos pontos que compõem os 
vértices do triângulo. Com base nessa afirmativa, encontre o baricentro do triângulo ABC em 
cada caso e faça a representação gráfica do triângulo e do baricentro: 
a) )0,0(A , )0,9(B e )6,0(C 
b) )2,1( −−A , )4,0( −B e )6,1(C 
4.14.OPERAÇÕES E�TRE VETORES 
Nessa seção vamos apresentar as principais operações entre vetores. 
4.14.1.PRODUTO ESCALAR 
Dado dois vetores kzjyixu
rrrr
111 ++= e kzjyixv
rrrr
222 ++= chamamos de produto 
escalar (ou produto interno) a expressão: 212121 zzyyxx ++ representada por: 
 212121 zzyyxxvu ++=⋅
rr
, (4.14) 
onde se lê u escalar v ou vetor u escalar vetor v. 
Note que o resultado desse produto é um escalar (um número real) daí o nome do 
produto. Note, ainda, que é de fundamental importância a representação simbólica do produto 
escalar por um “ponto”. Quando temos produto de escalares (números) a representação pode 
ser feita tanto por um “ponto”, um “x” ou ainda por omissão de operador que sabemos que 
estaremos efetuando a operação de multiplicação. 
Por exemplo, sendo: kjiu
rrrr
25 −+= e kiv
rrr
32 += , temos: 43).2(0.12.5 =−++=⋅vu
rr
. 
Exercício Proposto 4.18. Dados os vetores )1,,4( −α=u
r
 e )3,2,(α=v
r
 e os pontos 
)2,1,4( −A e )1,2,3( −B , determine o valor de α tal que 5)( =+⋅ BAvu
rr
. 
O produto escalar apresenta as seguintes propriedades: 
P1.Comutativa: a ordem dos vetores do produto escalar não muda o resultado da operação: 
 uvvu
rrrr
⋅=⋅ . 
P2.Distributiva: 
 wuvuwvu
rrrrrrr
⋅+⋅=+⋅ )( . 
P3.Multiplicação por um escalar: 
 )()()( vuvuvu
rrrrrr
α⋅=⋅α=⋅α . 
P4.Se 0
rr
=u ou 0
rr
=v , então: 
 0=⋅ vu
rr
. 
P5.Se vu
rr
= , então: 
 2|u|uuvu
rrrrr
=⋅=⋅ . 
Vamos analisar, agora, o produto escalar de uma forma geométrica. Para tal, observe a 
Fig.4.39. 
Álgebra Vetorial 4.25 
 
Fig.4.39-Produto escalar de uma forma geométrica. 
Os vetores u
r
, v
r
 e vu
rr
− formam um triângulo qualquer. Dessa maneira podemos 
aplicar a lei dos co-senos da trigonometria para triângulos quaisquer que nos diz: 
“Em um triângulo QUALQUER o quadrado de um lado é igual à soma dos 
quadrados dos outros lados ME<OS duas vezes o produto desses dois lados 
pelo CO-SE<O do ângulo por eles formado.” 
Tendo os lados do triângulo da Fig.4.39, ou seja, tendo AB , AC e BC , pela lei dos co-
senos, podemos escrever: 
 φ−+= cos.2222 ACABACABBC . (4.15) 
Fazendo a substituição na equação (4.15) dos respectivos vetores4, temos: 
 φ−+=− cos||||2||||| 222 vuvu|vu rrrrrr . (4.16) 
Fazendo o produto escalar do vetor vu
rr
− por ele mesmo podemos escrever: 
 vvuvvuuuvuvu
rrrrrrrrrrrr
⋅+⋅−⋅−⋅=−⋅− )()( . 
Utilizando as propriedades do produto escalar na expressão anterior, temos: 
 222 ||2|| vvu|u|vu
rrrrrr
+⋅−=− . (4.17) 
Igualando as equações (4.16) e (4.17) temos: 
 22222 ||2|cos||||2||| vvuu|vuv|u||vu
rrrrrrrrrr
+⋅−=φ−+=− , 
o que nos leva a concluir, por comparação, que: 
 φ=⋅ cos||| vu|vu rrrr , (4.18) 
que é outra expressão que nos permite o cálculo do produto escalar. 
Juntando as equações (4.14) e (4.18) podemos escrever: 
 φ=++=⋅ cos||212121 v|u|zzyyxxvu rrrr . (4.19) 
Podemos aproveitar a equação (4.18) para determinar o ângulo entre dois vetores: 
 
||||
cos
vu
vu
rr
rr
⋅
=φ , (4.20) 
se 0
rr
≠u e 0
rr
≠v . Observe que: 
• 200cos0 pi<φ<⇒>φ⇒>⋅vu rr , ou seja, se o produto escalar é positivo, o ângulo 
entre os vetores é agudo; 
 
4 Observe que precisamos utilizar o módulo porque estamos trabalhando com o lado do triângulo. 
Álgebra Vetorial 4.26 
• pi<φ<pi⇒<φ⇒<⋅ 20cos0vu rr , ou seja, se o produto escalar é negativo, o 
ângulo entre os vetores é obtuso; 
• 20cos0 pi=φ⇒=φ⇒=⋅vu rr , ou seja, se o produto escalar é nulo, o ângulo entre 
os vetores é reto ⇒ os vetores são ortogonais (ou perpendiculares). 
Por exemplo, sendo: kjiu
rrrr
232 −+−= e kjiv
rrrr
42 ++−= , esses vetores são 
ortogonais, pois: 04).2(2.3)1.(2 =−++−−=⋅vu
rr
. 
Exercício Proposto 4.19. Determine o ângulo entre os vetores )4,1,1(=u
r
 e )2,2,1(−=v
r
. 
Exercício Proposto 4.20. Sabendo que o vetor )1,1,2( −=v
r
 forma um ângulo de 60º com o 
vetor AB determinado pelos pontos )2,1,3( −A e ),0,4( mB , calcule m. 
Geometricamente, o produto escalar representa a projeção de um dado vetor na direção 
de outro vetor. Para entender esse conceito, vamos observar a Fig.4.40. 
 
Fig.4.40-Interpretação geométrica do produto escalar. 
Na Fig.4.40, A’B’ é a medida algébrica da projeção do vetor v
r
 sobre a direção do vetor u
r
. 
Em símbolos: A’B’ vproju
r
r= . Do triângulo retângulo A’B’B, temos que: A’B’ φ= cos|v|r . 
Como: 
||||
cos
vu
vu
rr
rr
⋅
=φ , temos: A’B’
|||| vu
vu
|v| rr
rr
r ⋅
= . Simplificando, vem: 
|| u
vu
vproju r
rr
r
r
⋅
= ou 
vproju|vu u
rrrr
r|=⋅ . 
Outra definição importante para o estudo de vetores é a de ângulos diretores de um 
vetor. Os ângulos diretores de um vetor v
r
 são os ângulos α, β e γ que o vetor v
r
 forma com os 
versores da base canônica i
r
, j
r
 e k
r
, conforme mostra a Fig.4.41. Os co-senos diretores do 
vetor v
r
 são os co-senos de seus ângulos diretores, isto é, αcos , βcos e γcos . 
 
Fig.4.41-Ângulos diretores de um vetor. 
Assim, temos: 
Álgebra Vetorial 4.27 
 
||1||
)0,0,1(),,(
||||
cos
v
x
v
zyx
iv
iv
rrrr
rr
=
⋅
=
⋅
=α , (4.21) 
 
||1||
)0,1,0(),,(
||||
cos
v
y
v
zyx
jv
jv
rrrr
rr
=
⋅
=
⋅
=β , (4.22) 
 
||1||
)1,0,0(),,(
||||
cos
v
z
v
zyx
kv
kv
rrrr
rr
=
⋅
=
⋅
=γ . (4.23) 
Os co-senos diretores são as componentes do versor do vetor v
r
, isto é 
 )cos,cos,(cos
||||||||
ˆ γβα=++== k
v
z
j
v
y
i
v
x
v
v
v
r
r
r
r
r
rr
r
. (4.24) 
Em conseqüência, temos 
 1coscoscos 222 =γ+β+α . (4.25) 
O estudo dessa seção foi realizado para vetores em R3, mas todas as considerações 
feitas aqui são válidas para vetores em R2, isto é, no plano. 
Exercício Proposto 4.21. Dados )3,7,4(=u
r
, )1,2,2(=v
r
 e )2,5,0( −=w
r
, calcule: 
a) vu
rr
⋅ b) wv
rr
⋅ c) wvu
rrr
⋅+ )( d) )2( wvu
rrr
−⋅ e) vproju
r
r 
Exercício Proposto 4.22. Dados )3,0,4(=u
r
 e )1,1,0( −=v
r
, determine: 
a) || vu
rr
+ b) |3| uv
rr
− 
Exercício Proposto 4.23. Determine o versor de )10,10,5( −−=u
r
. 
4.14.2.PRODUTO VETORIAL 
Dado dois vetores kzjyixu
rrrr
111 ++= e kzjyixv
rrrr
222 ++= , tomados nessa ordem, 
chamamos de produto vetorial (ou produto externo) ao resultado: 
 kyxyxjzxzxizyzyvu
rrrrr
)()()( 122121121221 −+−+−=× , (4.26) 
onde se lê u vetorial v ou vetor u vetorial vetor v. 
Cada componente deste vetor pode ser expresso na forma de um determinante de 
segunda ordem: 
 k
yx
yx
j
zx
zx
i
zy
zy
vu
rrrrr
22
11
22
11
22
11 +−=× . (4.27) 
Uma maneira fácil de memorizar esta fórmula é utilizara notação: 
 
222
111
zyx
zyx
kji
vu
rrr
rr
=× . (4.28) 
É importante lembrar que )0,0,1(=i
r
, )0,1,0(=j
r
 e )1,0,0(=k
r
. E mais, é importante notar 
que para formar o determinante para o cálculo de vu
rr
× , indicamos: 
• na 1ª linha os vetores i
r
, j
r
, k
r
; 
• na 2ª linha as componentes do primeiro vetor (u
r
); 
Álgebra Vetorial 4.28 
• na 3ª linha as componentes do segundo vetor ( v
r
). 
Para o cálculo de uv
rr
× devemos anotar as componentes de v
r
 na segunda linha e as de 
u
r
 na terceira linha. Isto acarreta mudança de sinal do determinante. 
Note que o resultado desse produto é um vetor daí o nome do produto. Note, ainda, que 
é de fundamental importância a representação simbólica do produto escalar por um “x”. 
Por exemplo, sendo: kjiu
rrrr
+−= 32 e kjiv
rrrr
23 ++= , temos: 
 kji
kji
vu
rrr
rrr
rr
117
213
132 +−−=−=× . 
Exercício Proposto 4.24. Dados os vetores )3,4,5(=u
r
 e )1,0,1(=v
r
 e os pontos 
)2,1,4( −A e )1,2,3( −B , determine )()( ABvvu +×−
rrr
. 
O produto vetorial apresenta as seguintes propriedades: 
P1.A ordem dos vetores do produto vetorial inverte o resultado da operação: 
 uvvu
rrrr
×−=× . 
P2.Distributiva: 
 wuvuwvu
rrrrrrr
×+×=+× )( . 
P3.Multiplicação por um escalar: 
 )()()( vuvuvu
rrrrrr
α×=×α=×α . 
P4.Se 0
rr
=u ou 0
rr
=v , então: 
 0
rrr
=×vu . 
P5.Se vu
rr
// , então: 
 0
rrr
=×vu . 
Como já dissemos, o produto vetorial dá origem a um vetor e, como sabemos, todo 
vetor tem módulo, direção e sentido. Vamos explorar as características do vetor resultante de 
um produto vetorial. 
1.Módulo 
Tirando o módulo do vetor expresso pela equação (4.26), e elevando ao quadrado, temos: 
 21221
2
2112
2
1221
2 )()()(|| yxyxzxzxzyzyvu −+−+−=×
rr
. (4.29) 
Por outro lado, 
 ))((|||| 22
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
22 zyxzyxvu ++++=
rr
, (4.30) 
e, 
 2212121
2 )()( zzyyxxvu ++=⋅
rr
. (4.31) 
Efetuando as operações indicadas, é possível verificar que: 
 2222 )(||||| vuvu|vu
rrrrrr
⋅−=× 5. (4.32) 
Como: φ=⋅ cos||| vu|vu rrrr , podemos reescrever s equação (4.32) como: 
 
5 Essa expressão é conhecida como identidade de Lagrange. 
Álgebra Vetorial 4.29 
 )cos1(|cos|||||| 222222222 φ−=φ−=× v||u|vuv||u||vu rrrrrrrr . (4.33) 
Sabemos, das relações trigonométricas, que φ−=φ 22 cos1sen . Assim, 
 φ=× 2222 sen|||| vu||vu rrrr . 
Logo, 
 φ=× sen||| v|u||vu rrrr . (4.34) 
2.Direção 
O vetor vu
rr
× é, por definição, perpendicular aos vetores u
r
 e v
r
 e, logicamente, perpendicular 
ao plano formado por u
r
 e v
r
. A Fig.4.42 ilustra a direção do vetor vu
rr
× . 
 
Fig.4.42-Direção do vetor resultante do produto vetorial. 
3.Sentido 
O sentido do vetor resultante do produto vetorial pode ser obtido pela regra da mão direita que 
está ilustrada na Fig.4.43. A regra da mão direita determina o seguinte: 
Desenhe os dois vetores com origem comum e imagine um eixo perpendicular 
ao plano que contém os dois vetores e que passe pela origem dos vetores. 
Agora, dobre os dedos da mão direita em torno desse eixo, “empurrando” com 
a ponta dos dedos o primeiro vetor, que aparece na operação, sobre o segundo 
vetor pelo menor ângulo possível entre eles e mantendo o polegar estendido: o 
polegar apontará no sentido do produto vetorial. 
 
Fig.4.43-Sentido do vetor resultante do produto vetorial. 
Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores u
r
 e v
r
 equivale à área do 
paralelogramo ABCD determinado pelos vetores ABu =
r
 e CDv =
r
, conforme mostra a 
Fig.4.44. 
Álgebra Vetorial 4.30 
 
Fig.4.44-Interpretação geométrica do produto vetorial. 
De fato, a área do paralelogramo ABCD é dada por: hu ||
r
. Como: φ= sen|v|h r , temos 
que: 
 φ=×= senABCD Área |v||u||vu| rrrr . 
Em resumo, o módulo do produto vetorial fornece a área do paralelogramo formado 
pelos dois vetores. 
Exercício Proposto 4.25. Dados )2,1,1(=u
r
, )1,1,3( −=v
r
 e )1,2,0(=w
r
, calcule: 
a) vu
rr
× b) )( uwv
rrr
−× c) )()( wvvu
rrrr
−×+ 
Exercício Proposto 4.26. Dados )1,2,0(=u
r
, )4,3,1(=v
r
 e )2,4,1(−=w
r
, determine: 
a) )( wvu
rrr
×⋅ b) )()( wvvu
rrrr
×⋅+ 
Exercício Proposto 4.27. Calcule a área dos triângulos de vértices: 
a) )3,2,1( −A , )1,3,4( −B e )3,7,5( −C ; 
b) )1,0,1(A , )1,2,4(B e )0,2,1(C . 
Importante: 
• φ=⋅ cos|v||u|vu rrrr ⇒ VERDADEIRO ⇒ é um escalar!!! 
• φ=× sen|v||u|vu rrrr ⇒ FALSO ⇒ é um vetor e não um escalar!!! 
4.14.3.PRODUTO MISTO 
Dado três vetores kzjyixu
rrrr
111 ++= , kzjyixv
rrrr
222 ++= e kzjyixw
rrrr
333 ++= , 
notamos que: 
• wv
rr
× é um novo vetor em R3; 
• )( wvu
rrr
×⋅ é um escalar (número real), pois é o resultado de um produto escalar. 
O escalar (número real) definido pelo resultado da operação )( wvu
rrr
×⋅ é denominado 
de produto misto dos vetores u
r
, v
r
 e w
r
 (nesta ordem) e pode ser representado por ],,[ wvu
rrr
 
ou por ),,( wvu
rrr
. 
O produto misto pode ser calculado da seguinte forma: 
 k
yx
yx
j
zx
zx
i
zy
zy
wv
rrrrr
33
22
33
22
33
22 +−=× , (4.35) 
e levando em consideração a definição de produto escalar de dois vetores, o valor de 
)( wvu
rrr
×⋅ é dado por: 
 
33
22
1
33
22
1
33
22
1)(
yx
yx
z
zx
zx
y
zy
zy
xwvu +−=×⋅
rrr
. (4.36) 
Álgebra Vetorial 4.31 
Uma maneira fácil de memorizar esta fórmula é utilizar a notação: 
 
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvuwvu =×⋅=×⋅
rrrrrr
. (4.37) 
É importante notar que para formar o determinante para o cálculo de )( wvu
rrr
×⋅ , indicamos: 
• na 1ª linha as componentes do primeiro vetor (u
r
); 
• na 2ª linha as componentes do segundo vetor ( v
r
); 
• na 3ª linha as componentes do terceiro vetor (w
r
). 
Note que o resultado desse produto é um escalar obtido a partir da “mistura” de dois 
produtos: o vetorial e o escalar, daí o nome do produto ser produto misto. 
Por exemplo, sendo: kjiu
rrrr
532 ++= , kjiv
rrrr
33 ++−= e kjiw
rrrr
234 +−= , temos: 
 27
234
331
532
=
−
−=×⋅ wvu
rrr
. 
Exercício Proposto 4.28. Dados os vetores )4,2,0(=u
r
, kijv
rrrr
32 ++−= e )1,0,2(=w
r
, 
determine )( wvu
rrr
×⋅ . 
O produto misto apresenta as seguintes propriedades (que em sua maioria estão 
intimamente relacionadas com propriedades dos determinantes): 
P1.O produto misto muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores. Essa propriedade é 
uma conseqüência direta das propriedades dos determinantes: 
 K
rrrrrrrrr
=×⋅−=×⋅−=×⋅ )()()( wuvvwuwvu . 
P2.O produto misto é nulo, 0)( =×⋅ wvu
rrr
, se: 
• pelo menos um dos vetores for nulo; 
• dois vetores são paralelos ou colineares, pois todo determinante é zero quando tem 
duas filas de elementos proporcionais ou iguais; 
• os três vetores forem coplanares6, pois o vetor wv
rr
× por ser ortogonal a v
r
 e w
r
, é 
ortogonal ao vetor u
r
. 
P3.A permuta circular ou cíclica dos fatores não altera o produto misto. Essa propriedade 
também é uma conseqüência direta das propriedades dos determinantes: 
 )()()( vuwuwvwvu
rrrrrrrrr
×⋅=×⋅=×⋅ . 
P4.Os sinais • e × podem ser permutados (trocados) e o produto misto não se altera, ou seja: 
 )()( wvuwvu
rrrrrr
⋅×=×⋅ . 
P5.Multiplicação por um escalar: 
 )()()( wvuwvuwvu
rrrrrrrrr
⋅×α=⋅α×=α×⋅ . 
Importante: 
• O produto vetorial e o produto misto não são definidos no R²!!!• Quanto à ordem das operações, no produto misto, realiza-se primeiro o produto 
vetorial e depois o escalar!!! 
 
6 Vetores coplanares são aqueles que estão num mesmo plano. 
Álgebra Vetorial 4.32 
Geometricamente, o módulo do produto misto dos vetores u
r
, v
r
 e w
r
 é igual ao volume 
do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores ADu =
r
, ABv =
r
 e ACw =
r
, 
conforme mostra a Fig.4.45. 
 
Fig.4.45-Interpretação geométrica do produto misto. 
Sabe-se que o volume de um paralelepípedo é dado pelo produto entre a área da sua 
base ( bA ) e a sua altura (h), ou seja: hAV b .= . A área da base pode ser obtida pelo módulo do 
produto vetorial entre os vetores v
r
 e w
r
: |wv|Ab
rr
×= 
Admitindo que o ângulo entre o vetor u
r
 e o vetor wv
rr
× é ϕ, a altura do paralelepípedo 
é dada por: φ= cos|u|h r . Logo: 
 φ×=φ×= cos|||cos||| wvu|uwv|V rrrrrr , 
o que nos leva a: 
 |wvu|V
rrr
×⋅= . (4.38) 
Em resumo, o módulo do número resultante do produto vetorial fornece o volume do 
paralelepípedo formado pelos três vetores. 
Exercício Proposto 4.29. Dados )1,3,2( −=u
r
, )2,1,5( −=v
r
 e kijw
rrrr
23 +−= , determine o 
volume do paralelepípedo determinado por esses três vetores. 
Exercício Proposto 4.30. Calcule o volume do tetraedro cujos vértices são: )1,2,1(=A , 
)3,4,7(=B , )2,6,4(=C e )3,3,3(=D . 
4.14.4.DUPLO PRODUTO VETORIAL 
Dados três vetores kzjyixu
rrrr
111 ++= , kzjyixv
rrrr
222 ++= e kzjyixw
rrrr
333 ++= , 
denomina-se de duplo produto vetorial dos vetores u
r
, v
r
 e w
r
 (lê-se u
r
 vetorial v
r
 vetorial w
r
) 
ao vetor )( wvu
rrr
×× . 
Sabemos que o produto vetorial de dois vetores quaisquer, u
r
 e v
r
, é um vetor ortogonal 
a u
r
 e a v
r
. Logo o produto vetorial desse vetor, vu
rr
× , com outro vetor qualquer w
r
 resulta 
num vetor que está contido no plano determinado pelos vetores iniciais u
r
 e v
r
, conforme 
mostra a Fig.4.46. 
Álgebra Vetorial 4.33 
 
Fig.4.46-Posição relativa dos vetores no duplo produto vetorial. 
Três vetores coplanares são vetores linearmente dependentes, ou seja, podemos 
escrever qualquer um deles como combinação linear dos outros dois. Pela Fig.4.46 fica claro 
que os vetores )( wvu
rrr
×× , u
r
 e v
r
 são coplanares. Assim, podemos expressar o duplo produto 
vetorial como combinação linear dos vetores v
r
 e w
r
, ou seja: 
 wvwvu
rrrrr β+α=×× )( . 
Após algumas manipulações algébricas podemos determinar os valores dos parâmetros α e β 
em função dos vetores u
r
, v
r
 e w
r
, resultando em: 
 wvuvwuwvu
rrrrrrrrr
)()()( ⋅−⋅=×× . (4.39) 
Como o duplo produto vetorial não é comutativo, wvuwvu
rrrrrr
××≠×× )()( , pois o primeiro é 
perpendicular ao plano formado por u
r
 e wv
rr
× e o segundo é perpendicular ao plano formado 
por vu
rr
× e w
r
, podemos escrever, também, 
 uvwvu
rrrrr λ+η=×× )( . 
Com algumas manipulações algébricas conseguimos determinar os valores dos parâmetros λ e 
η em função dos vetores ur , vr e wr . O resultado é: 
 uwvvwuwvu
rrrrrrrrr
)()()( ⋅−⋅=×× . (4.40) 
As expressões (4.39) e (4.40) são derivadas, de forma simples, através da chamada 
regra do termo central que afirma o seguinte: o duplo produto vetorial é igual ao vetor 
central, cujo coeficiente é o produto escalar dos vetores restantes menos o outro vetor entre 
parênteses, cujo coeficiente é o produto escalar dos vetores restantes. 
O duplo produto vetorial pode ser expresso, ainda, sob a forma de determinante: 
 
wuvu
wv
wvu rrrr
rr
rrr
⋅⋅
=×× )( , (4.41) 
ou, 
 
wuwv
uv
wvu rrrr
rr
rrr
⋅⋅
=×× )( , (4.42) 
Álgebra Vetorial 4.34 
Exercício Proposto 4.31. Dados os vetores )6,2,3( −−=u
r
, jiv
rrr
−= 2 e )4,3,1(=w
r
, 
determine )( wvu
rrr
×× . 
4.15.RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
4.1.a)(V), b)(F), c)(V), d)(F), e)(V), f)(V), g)(V), h)(V), i)(V), j)(V), k)(V), l)(F), m)(F), 
n)(F), o)(V). 
4.2.a) AE , b) AC , c) AC , d) AB , e) AO , f) AD , g) AH , h) AD , i) AO , j) AC . 
4.3.a)30º, b)150º, c)150º. 4.4.a)7 (m), b) 18,11 (m). 
4.5.a) )1,5( , b) )4,8( , c) )10,3( −− , d) )14,9( −− , e) )6,5( −− , f) )27,15( −− , g) )8,5( − . 
4.6.a) )2,3( , b) )2,3( −− , c) )3,4( , d) )8,5( −− , e) )2,6( , f) )3,1(− , g) )0,0( . 
4.7.a) )1,1,4( , b) )4,0,7( − , c) )0,1,10( , d) )2,7,6( −− , e) )1,0,0( , f) )8,10,21( − , 
g) )1,7,2(− . 
4.8.a) )0,1,3( − , b) )0,1,3(− , c) )1,4,2( −− , d) )8,5,1( −−− , e) )9,2,4( − , f) )5,4,4(− , 
g) )0,0,0( . 
4.9.a) )3,4( , b) )2,4(− , c) )3,5( , d) )2,3( − , e) )3,4(− , f) )3,4( −− . 
4.10.a)sim, são iguais; b)sim, são opostos. 
4.11. )3,3( −− . 4.12. )10,8(B . 
4.13.
2
9
=a ; 
9
1
−=b . 4.14.a)60º, b)120º, c)60º, d)60º. 
4.15. )3,7(M . 4.16. )7,6(1P , )10,10(2P . 
4.17.a) )2,3(G , b) )0,0(G . 4.18.
3
7
=α . 
4.19.45º. 4.20. 4−=m . 
4.21.a)25, b) 8− , c) 37− , d)83, e)
74
25
. 4.22.a) 21 , b) 61 . 
4.23. 





−−
3
2
,
3
2
,
3
1
. 4.24. )12,8,14(− . 
4.25.a) )2,1,3( −− , b) )4,4,0( , c) )10,11,3( −− . 4.26.a) 5− , b) 5− . 
4.27.a) 6 , b)
2
7
. 4.28.16. 
4.29.66. 4.30.7. 
4.31. )32,3,50( −−− . 
4.16.EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
R.1.Dados os vetores )4,2( −=u
r
, )1,5(−=v
r
 e )6,12(−=w
r
, determine 1a e 2a tal que: 
vauaw
rrr
21 += . Resp.: 11 −=a e 22 =a . 
R.2.Dados os vetores )4,2,1(=u
r
, )0,1,2(=v
r
 e )0,0,1(=w
r
, calcule os números a, b e c tal 
que: )8,6,4(=++ wcvbua
rrr
. Resp.: 2=a , 2=b e 2−=c . 
R.3.Dados os vetores )12,,1( −−= aau
r
, )1,1,( −= aav
r
 e )1,1,( −= aw
r
, determine a de 
modo que: wvuvu
rrrrr
⋅+=⋅ )( . Resp.: 2=a . 
Álgebra Vetorial 4.35 
R.4.Dados os pontos )0,4,2(A e )2,3,1(−B , obter o ponto C tal que ABAC 3= . 
Resp.: )6,1,7(−C . 
R.5.Dados os pontos )3,2,1(A , )3,2,6( −−B e )1,2,1(C , determine o versor do vetor: 
BCBA 23 − . Resp.: 





9
4
,
9
4
,
9
7
. 
R.6.Obter o ponto simétrico (que está do outro lado, tipo espelho) do ponto )0,1,2(P em 
relação ao ponto )2,1,0(M . Resp.: )4,1,2(− . 
R.7.Sabendo que: vvkji
rrrrr
−=+++ )4,10,6(273 , determine o vetor v
r
. Resp.: )1,1,1(=v
r
. 
R.8.Calcule o perímetro do triângulo ABC de vértices )0,1,1(A , )1,1,0(B e )1,1,1(C . 
Resp.: 22 + . 
R.9.Obtenha um ponto P no eixo das abscissas e eqüidistante dos pontos )1,0,1(A e 
)0,2,1(−B . Resp.: 





− 0,0,
4
3
. 
R.10.Determine a e b de modo que os vetores )8,2,4( −=u
r
 e ),,10( bav =
r
 sejam paralelos. 
Resp.: 5=a e 20−=b . 
R.11.Sabe-se que os vetores )0,1,( −k e )2,1,2( − formam, entre si, um ângulo de 45º. 
Qual(ais) é(são) o(s) valor(es) de k? Resp.: 1=k ou 7=k . 
R.12.Dado o triângulo de vértices )2,0(A , )5,3(B e )5,0(C , calcule a medida do ângulo 
interno A. Resp.:30º. 
R.13.Qual(ais) o(s) valor(es) de α para que os vetores kjiu
rrrr
45 −+α= e 
kjiv
rrrr
42)1( +++α= sejam ortogonais. Resp.: 3−=α e 2=α . 
R.14.Calcule || vu
rr
+ e || vu
rr
− , sabendo que 4|| =u
r
, 3|| =v
r
 e o ângulo entre u
r
 e v
r
 é de 
60º. Resp.: 37 e 13 . 
R.15.Qual é o valor da projeção do vetor )5,1,0(=u
r
 sobre o vetor )1,5,3( −=v
r
? Resp.:0, 
pois os vetores são ortogonais entre si. 
R.16.Efetue as seguintes operações: 
a) )()( jikj
rrrr
××× ; b) )())(( jjjkki
rrrrrr
×××× . Resp.:a) j
r
− b)0
r
 
R.17.Determine o vetor ),,( zyxw =
r
, tal que: 3)2,0,1( =⋅w
r
, e, )2,3,2()1,0,1( −−=−×w
r
. 
Resp.: )0,2,3(=w
r
. 
R.18.Qual deve ser o valor de m para que osvetores )1,2,( −= mu
r
, )3,1,1( −=v
r
 e 
)4,2,0( −=w
r
 sejam coplanares? Resp.: 3=m . 
R.19.Dados os vetores )0,5,(xu =
r
, )1,2,3( −=v
r
 e )1,1,1( −=w
r
, calcule o(s) valor(es) de x 
para que o volume do paralelepípedo determinado por esses três vetores seja 24 unidades de 
volume. Resp.: 4=x ou 4−=x . 
R.20.Representar graficamente os seguintes vetores: 
a) ija
rrr
32 ×= ; b) kib
rrr
3×= ; c) kjc
rrr
×= 2 . 
Resp.:a) ka
rr
6−= b) jb
rr
3−= c) ic
rr
2=