Apostila   Cap 4   Álgebra Vetorial
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Apostila Cap 4 Álgebra Vetorial


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Álgebra Vetorial 4.1 
CAPÍTULO 4 
ÁLGEBRA VETORIAL 
Os conhecimentos adquiridos neste capítulo são básicos para o aprendizado e análise de 
vários conteúdos essenciais à formação de um engenheiro. 
Na primeira metade desse primeiro capítulo, teremos como objetivo a introdução do 
conceito de vetor. Após uma abordagem intuitiva, será apresentada a definição formal de 
vetor como classe de eqüipolência de segmentos orientados, e, em seguida, serão apresentadas 
as operações básicas com vetores: adição e multiplicação de um número por um vetor. 
Na segunda metade desse primeiro capítulo, será apresentado o tratamento algébrico de 
vetores no plano e no espaço. Concluída essa etapa, focaremos nosso trabalho nos produtos 
entre dois vetores: produto escalar e produto vetorial. No fechamento do capítulo tratremos do 
produto misto e do duplo produto vetorial. 
4.1.I\ufffdTRODUÇÃO AOS VETORES 
Existem grandezas denominadas escalares que são caracterizadas por um número e uma 
unidade: a área do retângulo é 20(cm2), a régua mede 30(cm) de comprimento, o volume do 
copo é 300(cm3). 
Outras, no entanto, requerem mais do que isso. Por exemplo, para caracterizarmos uma 
força ou uma velocidade ou uma aceleração precisamos mais do que um número e uma 
unidade. Tais grandezas são chamadas vetoriais e são caracterizadas por três elementos: 
módulo, direção e sentido. 
Adotamos que duas flechas de mesmo comprimento, mesma direção, isto é paralelas, e 
mesmo sentido caracterizam a mesma grandeza vetorial. Veja a representação da Fig.4.1. 
 
Fig.4.1-Grandeza vetorial. 
Intuitivamente flecha é um segmento para o qual se fixou uma orientação, isto é, 
escolheu-se um sentido e, por isso, nada melhor do que o conceito de segmento orientado 
para formalizar essa idéia. 
4.1.1.SEGME\ufffdTO ORIE\ufffdTADO 
Um segmento orientado é um par ordenado de pontos AB onde A é a origem e B é a 
extremidade do segmento AB. 
Um segmento orientado do tipo AA é chamado de segmento orientado nulo e um 
segmento orientado BA é o oposto de AB, conforme mostra a Fig.4.2. 
Tiago
Highlight
Álgebra Vetorial 4.2 
 
Fig.4.2-Segmentos orientados: opostos e nulo. 
4.1.2.VETOR 
Um vetor é representado por um segmento orientado indicado por uma letra minúscula 
com uma flecha em cima ou pelas letras maiúsculas que representam a origem e extremidade 
encimadas pela flecha. A Fig.4.3 ilustra a representação e a notação de um vetor. 
 
Fig.4.3-Representação e notação de um vetor. 
Os segmentos orientados (AB) e (CD) são de mesmo comprimento se os segmentos 
geométricos AB e CD têm comprimentos iguais. 
Se os segmentos orientados (AB) e (CD) não são nulos, eles são de mesma direção, ou 
paralelos, se os segmentos geométricos AB e CD são paralelos, isto inclui o caso em que AB 
e CD são colineares1. A Fig.4.4 ilustra essas situações. 
 
Fig.4.4-Segmentos orientados: paralelos e colineares. 
Caso (AB) e (CD) sejam paralelos diz-se que são de mesmo sentido se os segmentos 
geométricos AB e CD têm interseção vazia, isto é, não há interseção na ligação das origens e 
das extremidades. Caso contrário, havendo intersecção, (AB) e (CD) são de sentido contrário. 
A Fig.4.5 ilustra essas duas situações. 
 
1 co = mesma; linear = linha \u21d2 colinear = mesma linha ou seja mesma reta. 
Álgebra Vetorial 4.3 
 
Fig.4.5-Segmentos orientados: mesmo sentido e sentidos contrários. 
4.1.3.MÓDULO OU \ufffdORMA OU COMPRIME\ufffdTO DE UM VETOR 
O módulo de um vetor é o comprimento de qualquer um de seus representantes. O 
módulo é indicado por (barras). 
Um vetor é unitário se seu módulo for igual a 1, ou seja, se seu comprimento 
(\u201ctamanho\u201d) for igual a 1. 
Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo 
sentido são representantes de um mesmo vetor, conforme mostra a Fig.4.6. 
 
Fig.4.6-Representações de um mesmo vetor. 
Todos os segmentos orientados, da Fig.4.6, representam o mesmo vetor AB , pois todos 
têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Eles são denominados de vetores 
eqüipolentes. 
Note, ainda, que cada ponto pode ser considerado como origem de um segmento 
orientado que é representante do vetor AB . Dessa maneira esse vetor é chamado de vetor 
livre, pois a origem pode ser colocada em qualquer ponto. 
4.1.4.CLASSIFICAÇÕES (TIPOS) DE VETORES 
Apesar de algumas classificações de vetores já ter sido apresentada em itens anteriores, 
vamos formalizar as principais classificações para os vetores. 
1. Vetor Livre: é o vetor que tem por origem em qualquer ponto no espaço. 
Álgebra Vetorial 4.4 
2. Vetor deslizante: é o vetor cuja origem pertence obrigatoriamente a uma reta que funciona 
como a reta suporte do mesmo, conforme mostra a Fig.4.7. 
 
Fig.4.7-Vetor deslizante. 
3. Vetor posição: é o vetor que dá a posição de um ponto qualquer (do plano ou do espaço) 
em relação à origem. 
4. Vetor nulo: é o vetor de comprimento zero. Por exemplo, o vetor AA é um vetor nulo, 
pois sua origem coincide com sua extremidade. Sua representação geométrica é um ponto. 
Normalmente se indica o vetor nulo por 0
r
. Por definição, o vetor nulo é paralelo a 
qualquer vetor não nulo. 
5. Vetor unitário: é o vetor de comprimento um. 
6. Vetores Iguais: são vetores que possuem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo 
comprimento e indica-se por vu
rr
= . Na Fig.4.8 temos segmentos orientados representando 
o mesmo vetor. 
 
Fig.4.8-Vetores Iguais. 
7. Vetores Opostos: são vetores que possuem a mesma direção, o mesmo comprimento e 
sentidos opostos. A oposição é, geralmente, marcada por sinal negativo. Na Fig.4.9 temos 
segmentos orientados representando vetores opostos. 
 
Fig.4.9-Vetores opostos. 
8. Vetores paralelos: são vetores que possuem mesma direção e indica-se por wvu
rrr
//// . 
Observamos que o vetor nulo é paralelo a qualquer vetor. Na Fig.4.10 temos segmentos 
orientados representando vetores paralelos. 
 
Fig.4.10-Vetores paralelos. 
Álgebra Vetorial 4.5 
9. Vetores Coplanares: são aqueles que têm representantes num mesmo plano. Observamos 
que dois vetores, não nulos, ao mesmo tempo, sempre são coplanares. Três vetores 
poderão ou não ser coplanares. Na Fig.4.11 temos segmentos orientados representando 
vetores coplanares. 
 
Fig.4.11-Vetores coplanares. 
10. Vetores ortogonais: são vetores que formam um ângulo de 90º entre si e indica-se por 
vu
rr \u22a5 . Na Fig.4.12 temos segmentos orientados representando vetores ortogonais. O 
termo ortogonal vem do Grego \u201corthos\u201d que significa \u201cjusto, reto\u201d e \u201cgonia\u201d que significa 
\u201cângulo\u201d. 
 
Fig.4.12-Vetores ortogonais. 
11. Versor: de um vetor não nulo v
r
 é o vetor unitário de mesma direção e sentido de v
r
 e 
indica-se por v\u2c6 . Por exemplo, na Fig.4.13 temos o vetor v
r
 de comprimento 3 e os vetores 
1u
r
 e 2u
r
 que são vetores unitários e têm a mesma direção do vetor v
r
. Entretanto, o vetor 
1u
r
 tem a mesma direção do vetor v
r
 ao passo que o vetor 2u
r
 tem sentido contrário ao do 
vetor v
r
. Logo, 1u
r
 é o versor de v
r
, ou seja, vu \u2c61 =
r
. 
 
Fig.4.13-Conceito de versor. 
4.2.OPERAÇÕES COM VETORES 
4.2.1.ADIÇÃO DE VETORES 
Geometricamente temos dois processos para somar vetores: 
Álgebra Vetorial 4.6 
1. Tendo dois vetores para somá-los devemos, da extremidade do primeiro vetor, colocar a 
origem do segundo, sem alterar seu módulo, direção e sentido. Para ilustrar, consideremos 
os vetores v
r
 e u
r
 mostrados na Fig.4.14. 
 
Fig.4.14-Vetores a serem somados. 
Da extremidade do vetor v
r
 trace o vetor u
r
, conforme mostra a Fig.4.15. 
 
Fig.4.15-Vetores preparados para a soma. 
O vetor resultante é o segmento orientado que