Notas de aula 4 - lançamentos

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Notas de Aula:
Aula 4- Lançamento. 
 
4.1 Introdução 
 Lançamento também é conhecido por movimento de projéteis ou 
movimento balístico. Este tipo de movimento possui duas dimensões, sendo o 
que acontece quando se dispara uma bola de canhão, um chute alto numa bola 
de futebol, entre outros: 
 
Como dito anteriormente, esse tipo de movimento se dá em duas 
dimensões (x e y), portanto teremos componentes verticais e horizontais do 
vetor velocidade e da posição: 
 
Figura 4.1 Desenho ilustrativo do movimento de projéteis com as componentes da velocidade. 
Notas de Aula:
4.2 Movimento Horizontal 
 No movimento horizontal, consideraremos apenas o movimento na 
direção x e como não temos aceleração nessa direção é um MRU, portanto na 
figura 4.1 temos que: 
𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 (4.1) 
Como na horizontal temos um MRU, sua equação horária é: 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥. 𝑡 (4.2) 
Teremos: 
𝑥 = 𝑥0 + (𝑣0 cos 𝜃). 𝑡 (4.3) 
 
4.3 Movimento Vertical 
 Na vertical temos a ação da força gravitacional que proporciona uma 
aceleração (g ≈ 9,8 m/s2), portanto temos um MRUV e na figura 4.1 temos: 
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦. 𝑡 −
𝑔.𝑡2
2
 (4.4) 
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔. 𝑡 (4.5) 
𝑣𝑦
2 = 𝑣0𝑦
2 − 2. 𝑔. ∆𝑦 (4.6) 
Onde: 
𝑣0𝑦 = 𝑣0 sen 𝜃 (4.1) 
Note que as equações são as mesmas utilizadas nas aulas 1 e 2, para 
movimentos uniformes e uniformemente variável, as diferenças são que na 
vertical, a posição e a velocidade estão na direção y e a aceleração é a 
aceleração da gravidade. Já na horizontal temos a componente da velocidade 
na direção x. 
 
 
 
 
Notas de Aula:
4.4 Equação da Trajetória 
A equação a trajetória nos fornece a posição y do objeto em função da 
posição x: 
𝑦 = (tan 𝜃0)𝑥 −
𝑔.𝑥2
2(𝑣0 cos 𝜃0)2
 (4.7) 
Para chegarmos nessa equação isolamos o t na equação 4.2, tomamos a 
posição inicial como sendo 0 e substituímos na equação 4.4: 
𝑡 =
𝑥
𝑣0𝑥
 (4.2) 
𝑦 = 𝑣0𝑦. 𝑡 −
𝑔.𝑡2
2
 (4.4) 
Substituindo 4.2 em 4.4 temos: 
𝑦 = 𝑣0𝑦.
𝑥
𝑣0𝑥
−
𝑔. (
𝑥
𝑣0𝑥
)
2
2
 
Como: 
𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 e 𝑣0𝑦 = 𝑣0 sen 𝜃 
Temos: 
𝑦 = 𝑣0 sen 𝜃 .
𝑥
𝑣0 cos 𝜃
−
𝑔. (
𝑥
𝑣0 cos 𝜃
)
2
2
 
𝑦 = tan 𝜃 . 𝑥 −
𝑔. 𝑥2
2. 𝑣0
2 cos2 𝜃
 
𝑦 = tan 𝜃 . 𝑥 −
𝑔. 𝑥2
2. (𝑣0 cos 𝜃)2
 
 
Que á a nossa equação 4.7 
 
 
 
 
Notas de Aula:
4.5 Alcance Horizontal (R) 
Alcance horizontal é a distância máxima em x que o corpo atinge: 
𝑅 =
𝑣0
2
𝑔
. sin 2𝜃0 (4.8) 
Essa equação pode ser encontrada fazendo y=0 na equação 4.4, 
isolando o t e substituindo na equação 4.2: 
𝑦 = 𝑣0 sen 𝜃 . 𝑡 −
𝑔.𝑡2
2
= 0 (4.4) 
𝑣0 sen 𝜃 . 𝑡 −
𝑔. 𝑡2
2
= 0 
𝑡. (𝑣0 sen 𝜃 −
𝑔. 𝑡
2
) = 0 
 
Essa equação possui duas soluções a primeira é quando t=0 e é chamada de 
solução trivial, pois é o instante em que o movimento se inicia e não nos 
interessa esse resultado o outro é: 
𝑣0 sen 𝜃 −
𝑔. 𝑡
2
= 0 
𝑡 =
2. 𝑣0 sen 𝜃
𝑔
 
Substituindo esse t na equação 4.2 temos: 
𝑥 = (𝑣0 cos 𝜃). 𝑡 
𝑥 = (𝑣0 cos 𝜃). (
2. 𝑣0 sen 𝜃
𝑔
) 
𝑥 =
𝑣0
2
𝑔
. 2. sin 𝜃 . cos 𝜃 
Sabemos que: 
2. sin 𝜃 . cos 𝜃 = sin 2𝜃 
Portanto: 
𝑥 =
𝑣0
2
𝑔
. sin 2𝜃 
 
 
Notas de Aula:
Exercícios de Fixação: 
3.1 – 
 
Resolução: Os dados fornecidos foram: 
𝑦0 = 45 𝑚 
𝑣0 = 250 𝑚/𝑠
2 
a) Quando o projétil chega ao chão, sua altura final é zero, portanto y=o e: 
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 sen 𝜃 . 𝑡 −
𝑔. 𝑡2
2
 
0 = 𝑦0 + 𝑣0 sen 0 . 𝑡 −
𝑔. 𝑡2
2
 
0 = 𝑦0 −
𝑔. 𝑡2
2
 
𝑡 = √
2𝑦0
𝑔
 
𝑡 = √
2 ∗ 45
9,8
= 3,03 𝑠 
b) Agora precisamos encontrar a distância x em que o projétil atinge o solo. Sabemos 
que o tempo que ele gasta para tingir o solo é t=3,03 s e sua posição inicial x0=0, 
portanto: 
𝑥 = 𝑥0 + (𝑣0 cos 𝜃). 𝑡 
𝑥 = 𝑣0 cos 0 . 𝑡 
𝑥 = 𝑣0𝑡 
𝑥 = 250 ∗ 3,03 
𝑥 = 758 𝑚 
c) A componente vertical da velocidade está na direção y, e atinge o sola no instante 
t=3,03 s, então: 
Notas de Aula:
𝑣𝑦 = 𝑣0 sen 𝜃 − 𝑔. 𝑡 
𝑣𝑦 = 𝑣0 sen 0 − 𝑔. 𝑡 
𝑣𝑦 = −𝑔. 𝑡 
𝑣𝑦 = −9,8 ∗ 3,03 
𝑣𝑦 = −29,7 𝑚/𝑠 
Como ele quer em módulo, 
|𝑣𝑦| = 29,7 m/s 
 
3.2 – 
 
 
3.3 – 
 
 
 
 
 
Notas de Aula:
3.4 – 
 
3.5 – 
 
 
 
 
Notas de Aula:
3.6 – 
 
3.7 – 
 
 
Respostas 
3.3 – 
 
Notas de Aula:
3.4 – 
 
3.5 - 
 
3.6 - 
Notas de Aula:
 
3.7 
Notas de Aula:
 
 
Bibliografia: 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e ondas, 
termodinâmica. Vol. 1, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ISBN: 9788521614623. 
 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física - mecânica. Vol. 1, 8ª ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2009. ISBN: 9788521616054.