maximos_e_minimos de funções de duas variáveis

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Máximos e 
Mínimos de 
Funções de duas 
Variáveis
Professora: Sandra Tieppo
Unioeste – Cascavel
Julho/2012
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Máximos e mínimos:
Máximos e mínimos:
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Máximos e mínimos:
�Se f tiver um máximo ou mínimo relativo em (x0, y0) 
dizemos que a função tem um extremo relativo em
(x0, y0) e se f tiver um máximo ou mínimo absoluto em
(x0, y0) dizemos que a função tem um extremo
absoluto em (x0, y0)
�Questões de interesse?
�Há algum extremo relativo ou absoluto?
�Se houver, onde estão localizados?
Exemplos:
Para funções de uma variável, contínuas em um intervalo fechado,
o teorema do valor extremo garante a existência dos extremos absolutos. 
Para funções de duas variáveis... Máximos e mínimos;
� Importante: Se qualquer uma das condições do teorema 
do valor extremo não for satisfeita, então não há 
garantias da existência de extremos absolutos na região 
R. Assim, uma função descontínua em R não precisa ter 
extremo absoluto, e uma função contínua sobre um 
conjunto que não é fechado e limitado tampouco precisa 
ter extremos absolutos.
�Região limitada e fechada: é o conjunto de pontos do 
interior de uma região mais os pontos do contorno.
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Determinação dos extremos relativos:
�Lembre-se que se uma função g de uma variável tiver 
um extremo relativo em um ponto x0 em que g é 
diferenciável, então g’(x0) = 0.
�Analogamente, suponha que f(x,y) tenha um máximo 
relativo em (x0, y0) e que as derivadas parciais de f 
existam em (x0, y0). Geometricamente, os traços da 
superfície z = f(x,y) sobre os planos x = x0 e y = y0
tenham tangentes horizontais em (x0, y0), logo 
� fx (x0, y0) = 0 e fy (x0, y0) = 0 (Vejamos gráfico a seguir.)
�O mesmo é válido para mínimo relativo.
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Ponto crítico:
Porém, a função ter derivadas parciais nulas em um ponto 
não garante que este seja um extremo relativo. É o caso do 
ponto de sela, que veremos adiante.
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A primeira função tem mínimo absoluto e relativo em (0,0) , mas não tem 
máximo relativo ou absoluto;
A segunda tem máximo relativo e absoluto em (0,0), porém não tem mínimo
absoluto ou relativo.
Exemplos:
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Para a função z, as derivadas parciais no ponto (0,0) não existem, pois o
gráfico faz um pico na origem. O ponto (0,0) é um ponto de mínimo relativo 
e absoluto da função. A função não tem máximo relativo ou absoluto.
Verificar algebricamente.
Exemplos:
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Analise a função z = f(x,y) = 6x - 4y - x2 - 2y2, quanto a existência de pontos críticos.
Observe que esta função é equivalente a: 
11 – z = (x – 3) 2 + 2(y+1) 2
Exemplo:
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Ponto de Sela: 
É o ponto em que as derivadas parciais se anulam, porém 
não é extremo relativo ou absoluto.
Verificar algebricamente.
15Teste da derivada segunda:
Analisa se o ponto crítico é máximo relativo, mínimo relativo ou 
ponto de sela.
Observe que D é o determinante da matriz das derivadas de f:
� �
�
��
�
��
�
��
�
��
, no ponto (x0,y0).
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Exemplos:
1 – Localize todos os extremos relativos e pontos de sela da função
f(x,y) = 2x4 + y2 – x2 - 2y.
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2 – Estude a função f(x,y) = 3x2 - 2xy + y2 – 8y, quanto a existência de extremos
relativos e absolutos.
3 – Faça o mesmo para a função: f(x,y) = 4xy – x4 – y4.
Extremos absolutos em regiões 
limitadas e fechadas.
Vimos que uma Região limitada e fechada é o conjunto de pontos do interior 
de uma região juntamente com os pontos do contorno. Lembre-se que esta é 
uma região do domínio da função.
Exemplos:
1 – Determine os valores de máximo e mínimo absoluto de f(x,y)=3xy-6x-3y+7, 
sobre a região triangular R com vértices nos pontos (0,0), (3,0) e (0,5).