Geometria Plana e números Complexos

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Números Complexos e Geometria – Exercício - Avançado 
 
 
1. Sejam n21 A...,,A,A vértices de um polígono regular de gênero n, ,3n,INn ≥∈ e )C( a circunferência circunscrita 
a este polígono e R o seu raio. Prove que: 
.ROPPA nn
n
1k
k −=∏
=
 
 
Onde P é tal que 1A é um ponto do interior do segmento OP. 
 
Solução: 
Considere o problema no Plano de Gauss. A menos de movimentos rígidos, ou seja, translações e rotações podemos 
fazer com que o centro de ( C ) coincida com a origem do plano e que 1A pertença ao semi-eixo real positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vamos considerar que: 
P é o afixo de um complexo z 
kA é o afixo de ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π=
n
k2cisz k raiz n-ésima da unidade para .1n...,,2,1k −= 
Logo, 
( ) .rOPrzrzzzzzPA nnnnnnn
1k
k
n
1k
k
n
1k
k −=−=−=−=−= ∏∏∏
===
 
 
Re 
Im 
P 
kA
1AO
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Seja P um ponto pertencente à circunferência circunscrita ao polígono regular de vértices n21 A...,,A,A . Prove que 
n2PA....PAPA 2n
2
2
2
1 =+++ 
 
Dica: 
.zzzz2zzzzzz)zz()zz(zz kk
2
kkk
2
kk
2
k −−=+−−=−−=− 
 
 
 
3. Seja P um ponto pertencente à circunferência circunscrita ao polígono regular de vértices n21 A...,,A,A . Prove que 
n6PA....PAPA 4n
4
2
4
1 =+++ . 
 
Dica: 
Análogo ao exercício anterior. ( )
( )
( )
( )
.zz4zz4)zz()zz(6
zz2zz4zz4)zz()zz(4zzzz2
zzzzzz
)zz()zz(
zzzz
kk
2
k
2
k
2
k
2
kk
2
k
2
k
2
kk
22
kkk
2
2
kk
22
k
4
k
−−++=
+−−++=−−=
+−−=
−−=
−=−
 
 
 
 
4. Prove que dados dois vértices 21 zez de um triângulo equilátero, o terceiro vértice será o complexo 2
2
1 zz ω−ω− , onde 
ω é uma raiz cúbica da unidade. 
 
 
5. (IME 1995-1996) Sejam w0 = 1, . w1 = j . w2 = j2 as raízes cúbicas da unidade no plano complexo (considere w1 o número de 
módulo 1 e argumento 
3
2π ). Sabendo que se c ∈ C a rotação R em torno do ponto c e amplitude igual a 
3
π é dada por 
R(z) = –j2z – j c, ∀ z ∈C – {c} 
pede-se: 
a) determinar as relações existentes entre a, b, c, j, j2, onde a, b ∈ C, de modo que o triângulo a, b, c, seja equilátero. 
b ) determinar z para que o triângulo i, z, i z seja equilátero. 
 
Dado: i = 1− . 
Resposta 
.
ji1
jiz
j1
ji
z
)b
.bjcaj
ajcbj
)a
2
2
2
2
+−=
+−=
=−−
=−−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Dado um triângulo ABC, prove que os baricentros dos triângulos equiláteros construídos externamente sobre os lados de 
ABC são vértices de um triângulo equilátero. 
 
Dica: 
Exercício 4. 
 
 
7. Dado um triângulo ABC e o seu baricentro G. Prove que: 
.CABCAB)GCGBGA(3 222222 ++=++ 
 
8. Seja ABCDEF um hexágono inscrito em uma circunferência de raio R. Prove que se REFCDAB === então os 
pontos médios de BC, DE e FA são vértices de um triângulo equilátero. 
 
 
9. Sejam 321 zez,z tais que: 
⎪⎩
⎪⎨⎧ =++
===
0zzz
1zzz
321
321 . 
Prove que os afixos de 321 zez,z são vértices de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio unitário. 
 
 
10. Prove que os afixos de 321 zez,z são vértices de um triângulo equilátero se, e somente se 
 
133221
2
3
2
2
2
1 zzzzzzzzz ++=++ . 
 
11. Seja ABC o triângulo cujos vértices são os afixos das raízes da equação, 
0rzq3zp3z 23 =−+− . 
Prove que: 
a. O baricentro do triângulo é o afixo do complexo p. 
b. ABC é um triângulo equilátero se, e somente se .qp2 = 
 
 
12. Sejam 54321 AeA,A,A,A os vértices de um pentágono regular inscrito em uma circunferência unitária. Prove que: 
5)AAAA( 23121 =⋅ .