Buscar

Curso_Matem_tica_Financeira_com_HP_12C

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 49 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 49 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 49 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Seja Bem Vindo! 
 
Curso 
Matemática Financeira 
com HP 12C 
Carga horária: 25hs 
 
 
 
 
 
 
Dicas importantes 
 
• Nunca se esqueça de que o objetivo central é aprender o 
conteúdo, e não apenas terminar o curso. Qualquer um termina, só 
os determinados aprendem! 
 
• Leia cada trecho do conteúdo com atenção redobrada, não se 
deixando dominar pela pressa. 
 
• Explore profundamente as ilustrações explicativas disponíveis, 
pois saiba que elas têm uma função bem mais importante que 
embelezar o texto, são fundamentais para exemplificar e melhorar 
o entendimento sobre o conteúdo. 
 
• Saiba que quanto mais aprofundaste seus conhecimentos mais 
se diferenciará dos demais alunos dos cursos. 
 
 Todos têm acesso aos mesmos cursos, mas o aproveitamento 
que cada aluno faz do seu momento de aprendizagem diferencia os 
“alunos certificados” dos “alunos capacitados”. 
 
• Busque complementar sua formação fora do ambiente virtual 
onde faz o curso, buscando novas informações e leituras extras, 
e quando necessário procurando executar atividades práticas que 
não são possíveis de serem feitas durante o curso. 
 
• Entenda que a aprendizagem não se faz apenas no momento 
em que está realizando o curso, mas sim durante todo o dia-a-
dia. Ficar atento às coisas que estão à sua volta permite encontrar 
elementos para reforçar aquilo que foi aprendido. 
 
• Critique o que está aprendendo, verificando sempre a aplicação 
do conteúdo no dia-a-dia. O aprendizado só tem sentido 
quando pode efetivamente ser colocado em prática. 
 
 
 
 
Conteúdo 
 
O Valor do Dinheiro no Tempo 
Principais Conceitos 
Fórmulas Básicas 
Diagrama de Fluxo de Caixa 
Regra de Sociedade 
Operações com Mercadorias 
Regimes de Capitalização 
Capitalização Simples 
Taxas Equivalentes 
Juros Exatos e Juros Comerciais 
Desconto Simples 
Capitalização Composta 
Desconto Composto 
Taxa de Desconto e Taxa de Juros Equivalência 
Taxa de Juros e Taxa de Desconto 
Sistemas de Amortização 
Bibliografia/Links Recomendados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Valor do Dinheiro no Tempo 
A Matemática Financeira surgiu da necessidade de se levar em 
conta o valor do dinheiro no tempo. 
Mas o que é o "valor do dinheiro no tempo"? 
Intuitivamente, sabemos que R$ 4.000,00 hoje "valem" mais que 
esses mesmos R$ 4.000,00 daqui a um ano, por exemplo. A 
princípio, isso nos parece muito simples, porém, poucas pessoas 
conseguem explicar porque isso ocorre. 
É aí que entram os juros. Os R$ 4.000,00, hoje, valem mais do 
que os R$ 4.000,00 daqui a um ano porque esse capital poderia 
ficar aplicado em um banco, por exemplo, e me render juros que 
seriam somados aos R$ 4.000,00, resultando numa quantia, 
obviamente, maior que esse capital. 
Por exemplo: suponha que um banco me pague R$ 400,00 de 
juros ao ano caso eu aplique esses R$ 4.000,00 hoje. Isso quer 
dizer que, daqui a um ano, quando esse capital for resgatado, o 
valor recebido será de R$ 4.400,00, e não somente os R$ 
4.000,00 iniciais. 
Isso mostra que receber os R$ 4.000,00 hoje seria equivalente a 
receber R$ 4.400,00 daqui a um ano, e não os mesmos R$ 
4.000,00, já que esses, daqui a um ano, já terão perdido parte de 
seu valor. Os juros de R$ 400,00 referentes ao prazo de um ano 
funcionariam como uma recompensa por termos de esperar todo 
esse tempo para ter o dinheiro em vez de tê-lo hoje. 
É esse o valor do dinheiro no tempo. Os juros fazem com que 
uma determinada quantia, hoje, seja equivalente a outra no 
futuro. Apesar de diferentes nos números, os valores R$ 4.000,00 
hoje e R$ 4.400,00 daqui a um ano seriam equivalentes para 
juros de R$ 400,00. 
Um capital de R$ 4.000,00 só será equivalente a R$ 4.000,00 
daqui a um ano na hipótese absurda de a taxa de juros ser 
considerada igual a 0. 
A Matemática Financeira, portanto, está diretamente ligada ao 
valor do dinheiro no tempo, que por sua vez está ligado à 
existência da taxa de juros. 
 
Principais Conceitos 
CAPITAL ou VALOR PRESENTE (VP) 
 
Capital ou Valor Presente (VP) é o Capital Inicial (Principal) em 
uma transação financeira, referenciado, geralmente, na escala 
horizontal do tempo, na data inicial (n=0). É, ainda, o valor a vista 
quando nos referimos, nos termos comerciais, àquele valor "com 
desconto" dado como opção às compras a prazo. 
É considerado também como o investimento inicial feito em um 
projeto de investimento. 
 
Na HP 12C pela tecla PV (Present Value). 
 
JUROS (J) 
 
Os juros (J) representam a remuneração pela utilização de 
capitais de terceiros, ou por prazos concedidos. Podem ser, 
também, a remuneração por capital aplicado nas instituições 
financeiras. São considerados rendimento se você os recebe, e 
são considerados despesa se você os paga. 
 
TAXA DE JUROS (i) 
 
Taxa de juros (i) é o valor do juro em determinado tempo, 
expresso como porcentagem do capital inicial. Pode ser expresso 
da forma unitária ou percentual (0,15 ou 15%, respectivamente). 
Veja: 
Se um banco me paga R$ 400,00 de juros sobre um capital de 
R$ 4.000,00 aplicado durante um ano, a taxa de juros nada mais 
é do que: 
 
Isso significa que esse banco está pagando uma taxa de juros de 
10% ao ano. 
A HP 12C usa a tecla “i “ ( de “Interest” = juro). 
 
PRAZO ou PERÍODOS (n) 
 
As transações financeiras são feitas tendo-se como referência 
uma unidade de tempo (como um dia, um mês, um semestre e 
etc.) e a taxa de juros cobrada nesse determinado tempo. 
O período de uma transação é o tempo de aplicação de cada 
modalidade financeira. Pode ser unitário ou fracionário. 
Por exemplo, uma aplicação em CDB de 33 dias. O prazo dessa 
aplicação é unitário se o banco utilizar uma taxa específica para 
33 dias. Isso quer dizer que n=1 (1 período), pois 33 dias foi o 
período considerado para a taxa de juros como sendo uma 
unidade de tempo. 
O banco pode, ainda, considerar para essa aplicação uma taxa 
que corresponda a um período de um ano, por exemplo. 
Já nessa situação, o prazo da aplicação (n) será de 33/360, o que 
significa a proporção de tempo em relação a um ano, que foi 
considerado como unidade de tempo (tendo em vista que a taxa 
de juros é anual). Daí temos um período fracionário, pois 
n=33/360. Então, o prazo ou período considerado só pode ser 
definido se levarmos em consideração a taxa de juros, que pode 
ser definida para qualquer período. 
No caso de seqüência de capitais ou série de pagamentos, o “n” 
expressa o número de pagamentos ou recebimentos efetuados 
do começo ao fim da operação. Todos nós, obviamente, já nos 
deparamos com uma situação como, por exemplo, comprar um 
televisor em 5 prestações mensais. Essas 5 prestações 
representam o "n", ou seja, o número de pagamentos que serão 
efetuados durante toda a operação. 
Na HP 12C é indicado pela tecla “n”. 
 
MONTANTE ou VALOR FUTURO (VF) 
Na HP12C como “FV” (de “Future Value”). 
 
Fórmulas Básicas 
Serão dadas as três principais fórmulas: do Montante (M), 
dos Juros (J) e da Taxa de Juros (i). Com estas três fórmulas é 
possível resolver diversos problemas que pareciam complicados. 
 
EXEMPLO: 
Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de 12 % a.m. 
Acompanhe como é realizado o cálculo dos juros e do Montante 
ao final do primeiro mês. 
 
 
Exemplo: 
Suponhamos que você aplicou R$ 1.500,00 a uma taxa de juros 
de 25% a.a. Veja como é calculado, no Excel, o rendimento de 
juros e quanto seria resgatado em 1 ano. 
 
Agora vamos verificar como é realizado este cálculo na HP 12C. 
Se você tem uma calculadora HP 12C, também pode utilizá-la 
para efetuar esse cálculo. 
 
 
 :: > Valor do Capital 
 :: > Usandoa tecla indicada, a calculadora efetuará 25% dos 
1.500 do Capital. Depois é só somar os dois valores para 
encontrar o Montante 
 
Exemplo: 
Você tem R$ 2.346,00 hoje, mas daqui a três meses terá que 
pagar uma dívida de R$ 3.123,00. Para honrar a sua dívida, 
alguém sugere que você aplique seu dinheiro para que, no futuro, 
tenha o que precisa. A qual taxa de juros você precisaria aplicar 
esse capital? 
Nesse caso, você já tem os Valores Presente e Futuro, e precisa 
da taxa de juros que renderia os R$ 777,00 de juros para a 
formação do Montante de R$ 3.123,00 objetivado. 
 
 
Agora vamos ver como se faz este cálculo na HP 12C. 
 
Na HP 12C você poderia fazer esse exercício usando a tecla de 
variação percentual. 
 
 
 
 ::> Valor do Capital 
 ::> Depois é inserido o Valor Futuro, acionada a função 
variação percentual e encontrada a taxa de juros. 
 
Diagrama de Fluxo de Caixa 
Mais um conceito fundamental da matemática financeira é o 
de fluxo de caixa. Ele é definido como o conjunto de entradas e 
saídas monetárias (pagamentos e recebimentos) referentes a 
uma transação financeira de uma empresa, projeto de 
investimento e etc. 
Nesse contexto, o diagrama de fluxo de caixa é a representação 
gráfica desse indispensável instrumento de análise de 
rentabilidade, custos, viabilidade econômica e financeira de 
projetos de investimento. O diagrama torna mais fácil a 
visualização da movimentação monetária, facilitando o processo 
de análise. 
O diagrama é universal e feito da seguinte forma: 
 
Vale lembrar que: 
 As setas não são necessariamente proporcionais ao valor das entradas e 
saídas. 
 O fluxo de caixa é muito útil na análise de problemas com séries de 
capital. 
 Os intervalos de tempo entre os períodos são todos iguais. 
 Os valores serão colocados no início e final de cada período, 
dependendo da convenção utilizada, mas nunca durante o período. 
 
Exemplo: 
Para exemplificar o conceito de fluxo de caixa, suponha a 
seguinte situação: 
Um investidor compra um título hoje por R$ 1.000,00. Esse título 
lhe dá o direito de receber, durante 5 anos, a quantia de 10 % a.a 
(ao ano) sobre o valor inicial pago (denominado valor nominal ou 
de face), mais o capital inicial de volta no final do quinto ano. 
O diagrama ficaria assim: 
 
 
Regra de Sociedade 
Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a 
forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuízo) de uma 
sociedade, sendo que os membros poderão participar com 
capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos 
membros participantes são indicados por: e os 
respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade 
por 
 
Definiremos o peso de cada participante como o 
produto: 
 
 
e indicaremos o capital total como a soma dos capitais 
participantes: 
 
 
A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de 
decomposição de um valor M diretamente proporcional aos 
pesos 
 
Exemplo Resolvido: 
 
1) Três pessoas formaram uma sociedade, A entrou com R$ 
24.000,00; B com R$ 30.000,00 e C com R$ 36.000,00. Depois de três 
meses tiveram um lucro de R$ 60.000,00. Calcule o lucro de cada 
sócio. 
 
 
2) Três sócios têm que dividir um lucro de R$60.000,00 sendo que o 
sócio A investiu R$5.000,00 , o B com R$15.000,00 e C com 
R$30.000,00. 
 
 
3) Três sócios têm que dividir um lucro de R$90.000,00 sendo que o 
sócio A investiu R$15.000,00 durante 2 anos, B durante 4 anos 
aplicou R$5.000,00 e C investiu R$30.000,00 durante 1 ano e 3 
meses. 
 
Operações com Mercadorias 
Vamos estudar os tipos de problemas de percentagem ligados às 
operações de compra e venda de mercadorias, isto é, vamos 
aprender a fazer cálculos de LUCRO ou PREJUÍZO sobre os 
preços de CUSTO e de VENDA de mercadorias. 
 
VENDAS COM LUCRO 
A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro 
pode ser sobre o preço de custo (preço de compra) ou sobre o 
preço de venda. 
 
VENDAS COM LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO 
Fórmulas para calcular essa operação: 
L = PV – PC 
L = i x PC 
PV = (1 + i).PC 
Onde: PV: Preço de venda; 
PC: Preço de compra; 
L: Lucro; 
i: taxa unitária do lucro 
Legenda: o “x” simboliza a operação de multiplicação 
 
 
VENDAS COM LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA 
L = PV – PC 
L = i x PV 
PV = PC / (1 – i) 
Onde: 
PV: Preço de venda; 
PC: Preço de compra; 
L: Lucro; 
i: taxa unitária do lucro 
 
Analogicamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria 
pode ser vendida com prejuízo sobre o preço de custo (preço de 
compra) ou sobre o preço de venda. 
 
VENDAS COM PREJUÍZO 
Basta Lembrar que Prejuízo é um Lucro Negativo! Isto É Trocar 
na Fórmula P = - L 
Regimes de Capitalização 
Capitalização é o ato de incluir os juros incorridos durante um 
período no capital inicial, resultando em um montante 
"capitalizado" (acrescido dos juros). 
Quando um capital é aplicado à determinada taxa, o montante 
resultante dessa aplicação pode "crescer" de duas formas: pela 
capitalização simples ou pela capitalização composta. 
 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
Em um regime de capitalização simples os juros são sempre 
iguais e incidem somente sobre o capital inicial durante todo o 
período. O montante, dessa forma, cresce de maneira linear. 
Nessa forma de capitalização, geralmente os juros são pagos no 
final da operação. 
Exemplo: 
Aplica-se um capital de R$ 2.000,00 no início do primeiro ano e 
espera-se resgatá-lo daqui a 3 anos. Sabendo que o regime é de 
capitalização simples e que os juros são de 17% a.a., é fácil 
calcular o montante. Veja: 
 
 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
 
Nesse regime de capitalização, o capital é remunerado a cada 
período, e os juros incidem sobre o capital inicial, acrescido dos 
juros acumulados até a referida data. Sendo assim, o montante, 
ao final da data 1(n = 1), por exemplo, é o capital inicial da data 2 
(n = 2) e sobre ele incidirão juros novamente. 
O montante, neste caso, cresce em progressão geométrica, ou 
seja, crescimento exponencial. 
 
Exemplo: 
Representando essa aplicação no diagrama de fluxo de caixa, 
podemos ver mais facilmente. 
 
Na HP 12C, os cálculos podem ser executados da seguinte 
forma: 
 
 
Capitalização Simples 
Fórmulas: Montante, Juros e Taxas de Juros 
 
Os juros simples têm seu fundamento no regime de capitalização 
simples, no qual o crescimento do capital se dá linearmente (por 
isso, o cálculo dos juros simples também é chamado de cálculo 
linear). Trata-se de juros simples toda transação em que os juros 
incidem sempre sobre o capital inicial e são, então, iguais em 
todos os períodos. 
 
A fórmula dos juros simples é, intuitivamente: 
 
Como já sabemos que: 
 
 
Exemplo: 
Veja como é fácil realizar operações de cálculos com juros 
simples. Suponhamos que você tenha uma aplicação de R$ 
120.000,00, que rende, a juros simples, 15% a.t. Quanto 
esperaria ter no final do ano, se aplicou seu dinheiro no primeiro 
dia do ano? 
Para resolver, basta aplicar a fórmula apresentada acima. Veja: 
 
Daí: 
 
Ou então use a fórmula direta: 
 
 
Na HP 12C, o cálculo poderia ser executado da seguinte forma: 
 
 
::> Valor presente 
::> Juros para 1 trimestre 
::> Juros para 4 trimestres (1 ano) 
::> Montante final (C + 4J) 
 
Taxas Equivalentes 
Normalmente temos que transformar a taxa de juros de um 
período para outro período, esse cálculo é muito usado em 
transações financeiras em geral e as taxas que procuramos são 
denominadas taxas equivalentes, isto é, que produzem o mesmo 
montante se aplicadas sobre um mesmo capital em um mesmo 
intervalo de tempo. 
No casodos juros simples, o cálculo é muito fácil e simplificado 
pelo caráter linear desse tipo de capitalização. Pode sempre ser 
feito por meio da proporcionalidade (usando regra de três 
simples, por exemplo). 
Se quisermos calcular, por exemplo, a taxa anual em juros 
simples, equivalente à taxa mensal de 2,5 % a.m., teremos: 
 
 
 
Daí tiramos que a taxa equivalente é de 30% ao ano. Veja que 
isso é exatamente o que fizemos no exemplo dado para 
transformar a taxa mensal de juros do cartão de crédito, de 10 % 
a.m., em uma taxa diária de juros de 0,33 % a.d. (10/30). 
Juros Exatos e Juros Comerciais 
O cálculo de taxas equivalentes diárias é muito comum no nosso 
dia-a-dia, como visto anteriormente. Porém, o cálculo das taxas 
equivalentes tem como pressuposto o cálculo dos dias corridos 
da operação. Essa conta, por sua vez, pode ser feita de duas 
maneiras distintas, aplicáveis de acordo com a operação. 
Quando usamos como base o ano civil, com 365 dias (ou 366) e 
meses com números variáveis de dias, os juros calculados são os 
juros exatos. 
Quando usamos como base o ano comercial de 360 dias e 
meses com 30 dias, os juros obtidos são os juros comerciais. 
Desconto Simples 
Conceito 
 
A didática do desconto pode ser facilmente entendida como 
sendo o inverso dos juros. Isso porque, se os juros incidem sobre 
o Valor Presente de um capital, o desconto incide sobre o Valor 
Nominal desse capital. Enquanto os juros somam ao Valor 
Presente um valor porcentual (denominado taxa de juros) 
transformando-o em um Valor Nominal (futuro) no final da 
operação, o desconto faz o caminho inverso. Ele incide sobre o 
Valor Nominal, decrescendo deste um valor porcentual 
(denominado taxa de desconto), transformando-o em um Valor 
Presente na data da operação. 
Na prática, o desconto pode ser usado para o cálculo do Valor 
"Descontado" (e daí o nome) de um título que precisa ser 
resgatado antes do vencimento. O desconto, nesse caso, seria 
simplesmente a diferença entre o Valor Nominal que seria 
resgatado no vencimento e o Valor Presente conseguido pelo 
título liquidado antecipadamente. 
 
Se quisermos calcular o Valor de Venda de um título hoje (isto é, 
seu Valor Presente), devemos subtrair do Valor de resgate desse 
título (que é seu Valor Nominal) o valor referente ao desconto. 
Existem duas metodologias para o cálculo dos descontos: o 
Desconto Racional Simples ou "Por Dentro" e o Desconto 
Comercial Simples ou "Por Fora". 
 
Desconto racional ou por dentro 
 
O desconto racional pode ser entendido como a diferença entre o 
Valor Nominal (N) de um título ou transação e o seu Valor 
Presente, atual ou inicial. 
A taxa utilizada não é uma taxa de desconto e sim a própria taxa 
de juros. Esse tipo de desconto raramente tem sido utilizado pelo 
mercado brasileiro. 
Entretanto, ele consiste numa importante fonte de comparação 
com o Desconto Comercial. 
 
Dito isso, temos o desconto racional como: 
 
Desconto comercial ou por fora 
 
Desconto Comercial ou por Fora é a modalidade de desconto 
freqüentemente usada no mercado. No Desconto Comercial há 
uma taxa antecipada, denominada taxa de desconto, que incide 
sobre o Valor Nominal de um título ou transação trazendo-o ao 
Valor Presente na data antecipada. Esse método difere-se do 
Desconto Racional pois, nesse último, utilizávamos a própria taxa 
de juros para calcular o Valor Presente. 
Nesse caso, o Valor Presente é o "montante" procurado, pela 
incidência de uma taxa de desconto, por tantos períodos quanto 
forem especificados, sobre um Valor Base, nesse caso, o Valor 
Nominal. Trata-se, literalmente, da operação inversa à da 
capitalização do Capital Inicial. Essa é uma operação de 
descapitalização. 
Veja, analogicamente, a fórmula do desconto comercial: 
 
 
Da fórmula anterior, tem-se que o Valor Atual Comercial é: 
 
Para entendermos melhor o cálculo do Desconto Comercial, 
vamos fazer o mesmo exercício do exemplo anterior. 
Dessa vez, porém, a taxa de desconto é que será igual a 7% a.m. 
Substituindo nas fórmulas, temos que: 
 
A diferença dos dois métodos é clara agora. 
No primeiro exemplo, o que incidiu sobre o Valor Nominal foi a taxa 
de juros. Já no segundo caso, foi a taxa de desconto. Note que 
essas taxas incidem de maneiras diferentes. 
Por isso que a taxa de juros e a taxa de desconto, apesar de iguais 
em valor no exemplo acima, não são equivalentes. 
Isso também acontece em virtude da diferença de base de 
incidência de cada uma das taxas. 
 
Os cálculos de Descontos Comerciais também podem ser 
realizados na HP 12C. Veja como fazê-los: 
 
Neste exemplo testamos a equivalência das duas taxas utilizadas 
em cada um dos métodos. 
Se, por exemplo, pegássemos o Valor Recebido pela antecipação 
do exercício anterior. Será que, se reinvestíssemos esse dinheiro 
a uma taxa de juros de 7 % a.m., conseguiríamos de novo os R$ 
7.000,00 que iríamos receber? 
 
Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Veja como fazê-lo. 
 
E como faríamos se quiséssemos reaplicar o dinheiro recebido na 
antecipação e resgatar R$ 7.000,00 daqui a três meses? Esse 
procedimento, de achar taxas equivalentes, pode ser feito de 2 
formas: 
 A primeira delas é pela aplicação das fórmulas de equivalência entre a 
taxa de juros e a taxa de desconto. Calculando manualmente, ou 
inserindo as fórmulas no EXCEL, você acha taxas equivalentes. 
As fórmulas são as seguintes: 
 
Desta forma, sabendo que foi usada uma taxa de desconto de 7 
% para o desconto do título, e que o Valor recebido pela 
liquidação foi de R$ 5.530,00, podemos facilmente agora achar a 
taxa correspondente e verificar a eficácia do método. 
 
Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Veja como fazê-lo. 
 
 
Desta forma, qualquer que fosse o método utilizado para o 
cálculo da taxa de juros simples da operação, sua visualização 
seria a seguinte: 
 
Capitalização Composta 
Conceito 
Os juros compostos têm seu fundamento no regime de 
capitalização composta, vista no primeiro módulo, no qual o 
crescimento do capital se dá exponencialmente (por isso, o 
cálculo dos juros compostos também é chamado de cálculo 
exponencial). Trata-se de juros compostos toda transação na 
qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial e os juros 
acumulados até a referida data são, então, diferentes em todos 
os períodos. Lembre-se do diagrama para o regime de juros 
compostos: 
 
 
A FÓRMULA DO MONTANTE 
 
Como já foi dito, os juros compostos incidem sobre o capital de 
maneira exponencial. Demonstrando, simplificadamente, o 
caminho para a fórmula do montante, esse fato fica evidente. 
Partindo do que já sabemos a respeito de capitalização 
composta, temos: 
 
...e assim sucessivamente. 
 
 
Essa fórmula, que só é válida para operações com taxas de juros 
constantes durante todo o período de aplicação e pagamento 
único, é a mais importante fórmula para a matemática financeira, já 
que é dela que se derivam as fórmulas de Valor Presente, Valor 
Futuro, Taxa de Juros e Prazo, que serão todas vistas adiante. A 
seguir, veremos, em um exemplo, como fazemos o cálculo do 
montante. 
Por motivo de comparação, pegaremos o primeiro exemplo do 
módulo de juros simples. Suponhamos que você tenha uma 
aplicação de R$ 120.000,00, que rende, a juros compostos, 15% 
a.t. Quanto esperaria ter no final do ano, se aplicou seu dinheiro 
no primeiro dia do ano? 
 
As calculadoras financeiras geralmente usadas, enfatizando aqui 
a HP 12C, fazem os cálculos de qualquer uma das quatro 
variáveis presentes na fórmula do montante. Apesar de ainda não 
termos falado sobre as outras fórmulas, é importante saber que o 
cálculo pode ser feito apenas inserindo, na calculadora, três das 
quatro variáveis dessa fórmula.Importante: é sempre necessário respeitar a convenção de fluxo 
de caixa presente nas calculadoras financeiras, onde 
o VP e VF devem ser inseridos com sinais opostos, indicando as 
saídas e entradas de caixa. Lembre-se disso sempre! 
 
Assim, o cálculo do valor futuro, ou montante, dessa operação é 
feito da seguinte forma: 
 
 
 
::> PV – do inglês "Present Value" ou Valor Presente (Capital 
Inicial) 
 
::> FV – do inglês "Future Value" ou Valor Futuro ( Montante 
Final) 
 
 
FÓRMULA DO VALOR PRESENTE (CAPITAL) 
 
A fórmula de valor presente é deduzida, como dito, da fórmula do 
montante. 
Facilmente, podemos ver que: 
 
Um empréstimo deve ser pago em 60 dias. O valor a ser pago é 
de R$ 15.000,00. Os juros (compostos) do empréstimo são de 
12% a.m. Qual o valor desse empréstimo se ele fosse pago hoje? 
Na HP 12C, o cálculo é feito assim: 
 
 
::> FV - do inglês "Future Value" ou Valor Futuro ( Montante Final) 
 
::> PV - do inglês "Present Value" ou Valor Presente (Capital 
Inicial) 
 
TAXA DE JUROS COMPOSTOS 
 
A fórmula da taxa de juros de uma operação financeira também é 
deduzida da fórmula do montante. Isolando o "i" da fórmula 
inicial, temos o seguinte: 
 
Qual a taxa de juros compostos que está embutida em um 
produto que tem preço à vista de R$ 1.500,00 e a prazo, para 
pagamento daqui a 90 dias, de R$ 1.900,00? 
 
Na HP 12C, o cálculo é feito assim: 
 
 
PRAZO 
A fórmula do prazo, também proveniente da fórmula do montante, 
nos permite calcular o prazo de aplicação entre dois valores para 
determinada taxa. 
Isolando-se o "n", teremos: o isolamento do "n", como é fator de 
radiciação, traz a necessidade de uso de logaritmo neperiano, 
porém, como os cálculos são feitos todos ou no EXCEL ou nas 
calculadoras financeiras, não nos traz problema algum. Você nem 
precisa se preocupar com a resolução de logaritmos, caso você 
não se lembre. 
 
Veja o que você precisaria para duplicar um capital de R$ 
3.500,00 à taxa de juros compostos de 12% a.m. 
 
Na HP 12C, o cálculo é feito assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
::> Cálculo da Taxa Equivalente diária de 12% a.m. 
::> Taxa Equivalente diária em (i) 
::> Valor Futuro (FV) 
::> Inverte o sinal e colocar em Valor Presente (PV) 
::> Prazo da aplicação em dias 
 
O conceito de taxas equivalentes a juros compostos é igual ao 
módulo de juros simples: duas taxas são consideradas 
equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, por um 
período equivalente de tempo, para produzirem o mesmo 
montante. 
Como os montantes são iguais, podemos simplesmente igualar 
as fórmulas de cálculo do montante. Visualmente, temos que: 
 
 
Qual seria a taxa mensal de juros compostos de uma aplicação 
que remunera o capital à taxa de 42 % a.a.? 
 
Na HP 12C, este cálculo é feito da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
::> Prazo dado 
::> Prazo requerido 
::> Armazenado na memória zero 
::> Para transformar em número índice 
::> Adiciona-se a taxa do período 
 
::> Tira a raiz 12 
 
::> Finaliza o cálculo da Taxa Equivalente Mensal 
 
TAXAS NOMINAL E EFETIVA 
 
As taxas nominais são as taxas aparentes de juros em uma 
transação, e a taxa efetiva é a taxa que realmente onera o 
tomador e remunera o aplicador. 
Existe diferença entre essas duas taxas sempre que houver na 
transação alguma condição de cobrança ou despesas que 
modificam a taxa que realmente incide na operação. 
É o caso, por exemplo, das taxas de IOF e taxas de 
administração cobradas nas operações de desconto, como visto 
no módulo de desconto simples. 
Lembre-se que, naqueles casos, as taxas cobradas reduziam o 
valor a ser resgatado, aumentando a taxa de desconto efetiva, 
enquanto a taxa de desconto nominal permanecia inalterada. 
 
TAXA NOMINAL E EFETIVA QUANDO O PERÍODO DA TAXA NÃO 
COINCIDE COM O PERÍODO DA CAPITALIZAÇÃO 
 
Já vimos no primeiro módulo deste curso que "capitalização é o 
ato de incluir os juros incorridos durante um período no capital 
inicial, resultando em um montante "capitalizado". 
Entretanto, o que ocorre quando possuímos, por exemplo, uma 
taxa de juros ao ano capitalizada semestralmente? 
O primeiro passo é transformar essa taxa ao ano, em uma taxa 
semestral, pelo regime de juros simples.Esse valor encontrado 
representa a taxa efetiva da operação e a primeiro taxa, dada ao 
ano, representa a taxa nominal da operação. A taxa efetiva é a que 
realmente incide sobre o capital aplicado e não a taxa nominal. 
O que acabamos de fazer foi calcular a taxa efetiva 
por proporção à taxa comum, prática muito comum no mercado. 
Veja um exemplo disso: considere uma taxa de 24 % a.a., 
capitalizada mensalmente. A taxa de 24 % é considerada a taxa 
nominal. Para calcularmos a taxa efetiva (que deve ser mensal, 
uma vez que os juros serão capitalizados mensalmente) devemos 
efetuar os seguintes cálculos: 
 
Como conseqüência do que foi apresentado acima, a taxa que 
realmente incide sobre o capital geralmente é maiordo que a taxa 
nominal dada, porque a capitalização, à taxa proporcional, é 
exponencial. 
Exemplo disso pode ser visto na caderneta de poupança. Embora 
seja dito que o rendimento anual é de, digamos, 19 % a.a, 
sabemos que com a capitalização mensal ela rende 20,74 % a.a. 
Neste caso a primeira taxa é a nominal e a segunda é a efetiva. 
O cálculo dessa taxa efetiva pode ser feito achando-se a taxa 
proporcional à nominal no período de capitalização. 
 
Os caminhos são os seguintes: 
Taxa Efetiva para Taxa Nominal (com taxa nominal anual e 
capitalizações mensais) 
 
Taxa Nominal para Taxa Efetiva 
 
 
VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL 
 
Os conceitos de valor atual ou presente e valor nominal, futuro ou 
final são os mesmos que os vistos em juros simples, só que o 
cálculo é diferenciado, pelo regime de capitalização composta. 
Nesse caso, o diagrama seria: 
 
neste caso, temos: 
 
O cálculo para esse tipo de problema pode ser encontrado de 
diversas maneiras. Nesse momento, no entanto, nos interessa 
saber somente alguns. 
Vejamos um exemplo: 
Um título tem valor nominal de R$ 3.000,00. Sabe-se que a taxa 
de juros ao mês é de 5%. Qual seria o valor atual se fosse 
liquidado dois meses antes do vencimento? 
 
Pela fórmula 
 
Na HP 12C veja como seria o cálculo: 
 
Desconto Composto 
O Desconto Composto pode ser entendido da mesma forma que 
o Desconto Simples. Entretanto, a taxa de desconto é composta, 
e o processo é o inverso da capitalização com taxa de juros 
compostos. Aqui também a taxa incide sobre o Valor Nominal, do 
qual é retirada a parcela correspondente à taxa de desconto, 
resultando no Valor Atual, Presente ou Capital, dependendo de 
cada caso. 
Esse tipo de desconto também é muito utilizado no mercado, 
principalmente nas áreas comercial e de análise de 
investimentos, onde os fluxos são descontados e trazidos ao seu 
Valor Presente para ver quanto de caixa esse fluxo futuro "vale" 
hoje. 
A visualização é a mesma de Descontos Compostos: 
 
Analogamente ao Desconto Simples, existem o Desconto 
Racional (Por Dentro) e Comercial (Por Fora) Compostos. 
 
DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) E DESCONTO COMERCIAL 
(POR FORA) 
 
A principal diferença entre os dois métodos de desconto acima 
citados está na metodologia de cálculo. 
No cálculo por dentro, adotado no desconto racional, não se 
trabalha com a taxa de desconto, e sim com a taxa de juros 
objetivada na operação do desconto. Desta maneira, o desconto 
pode ser calculado descontando-se o valor final pela taxa de 
juros, da maneira convencional. Veja fórmula abaixo: 
 
Essa é a maneira mais convencional de descontoutilizada para 
análise de investimentos e fluxos de caixa futuros, pois se trata 
exatamente da fórmula do Valor Presente e Valor Futuro. 
No cálculo por fora, utiliza-se a taxa de desconto para o cálculo 
do desconto comercial. Nessa metodologia a taxa de desconto 
incide sobre o valor final. 
Veja a diferença na metodologia: 
 
Em uma linguagem comercial, diríamos que o cálculo por fora é 
semelhante ao cálculo da margem bruta por meio da relação 
lucro bruto e preço de custo, enquanto que o cálculo por dentro é 
semelhante ao cálculo da margem bruta pela relação de lucro 
bruto e preço de venda. 
Para exemplificar ainda melhor essa diferença, veja os exemplos 
a seguir. 
 
Exemplo: 
 
Um título tem Valor Nominal de R$ 5.000,00 e será resgatado 
com três meses de antecedência. Calcule o seu Valor Atual ou 
Presente, pelo método de Desconto Racional (i = 2,5 % a.m.) e 
pelo método do Desconto Comercial (d = 2,44 %). Verifique 
também a taxa de juros do processo do desconto comercial e 
comparando com a taxa do Desconto Racional (inclusive os 
resultados obtidos). 
Na HP 12C, o cálculo é feito assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
::> Valor Atual pelo Desconto Racional 
 
 
 
::> Valor Atual pelo Desconto Comercial 
 
 
 
::> Taxa de Juros do Período Equivalente 
 
 
 
::> Taxa de Juros Equivalente Comercial 
 
Repare que os dois métodos, cada um com a sua metodologia de 
cálculo, obtêm os mesmos resultados no Valor Presente. Isso 
pode ser evidenciado pela igualdade entre a taxa de juros usada 
no Desconto Racional e a taxa de juros equivalente encontrada 
no Desconto Comercial. 
É importante notar que as taxas utilizadas são diferentes, e 
equivalentes. As duas metodologias dariam resultados diferentes 
se a mesma taxa fosse usada para ambas. Por isso convém 
saber bem qual a metodologia utilizada antes de fazer o cálculo. 
Taxa de Desconto e Taxa de Juros Equivalência 
As taxas de Juros cobradas pelos bancos são calculadas com 
base em uma taxa de juros efetiva objetivada. Sabendo disso e 
como visto no exercício anterior, as taxas de desconto são 
equivalentes à determinada taxa de juros quando o "Valor 
Descontado" obtido com o desconto for reaplicado a uma taxa de 
juros que recupere o valor original ou Nominal da operação. 
Desta forma, como incidem sobre bases diferentes, essas taxas 
nunca serão iguais (em termos absolutos). Isso é, você nunca irá 
reaver um Valor Nominal reaplicando o Valor Descontado a uma 
taxa de juros igual à taxa de desconto. 
 
Assim: 
 
As fórmulas para a conversão das taxas equivalentes podem ser 
vistas abaixo: 
 
Exemplo: 
 
Compra a vista e Compra a prazo 
 
Passando na rua, você vê uma faixa na frente de uma loja que 
diz: 
 
Você então entra na loja querendo comprar um computador. O 
preço na etiqueta é de R$ 1.500,00. No momento, porém, você 
só tem R$ 1.300,00. 
Conversando com o vendedor, você descobre que os juros 
cobrados no crediário são de 7,3% a.m. Aplicando os conceitos 
da Matemática Financeira, qual o desconto que você pode pedir 
ao vendedor para pagar a vista? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa de Desconto Equivalente (2 meses) 
 
 
Valor Líquido Descontado 
Valor do Desconto 
 
Como a loja coloca juros implícitos no prazo concedido para o 
cliente pagar (lembre-se, em todo adiamento de pagamentos, 
juros são cobrados sobre capital) esses juros podem ser retirados 
se o cliente pagar a vista. Por esse motivo, o desconto a ser 
pedido ao vendedor é de 13,14%, para que você consiga comprar 
o computador com R$ 1.302,84. 
Taxa de Juros e Taxa de Desconto 
Nesse tipo de problema, quando a opção a ser escolhida envolve 
séries de pagamentos em prazos concedidos, o cálculo da 
equivalência das taxas não poderá ser feito da maneira usual. 
Neste caso, como ainda não vimos séries uniformes, o cálculo 
deve ser feito para que tenhamos um parâmetro a julgar. Veja o 
exemplo : 
 
Na HP 12C, o cálculo é feito assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
::>Taxa de Desconto Equivalente (3 meses) 
 
Exemplo: 
Do ponto de vista do comprador, o que é mais vantajoso: um 
desconto de 12% ou um prazo de 30, 60 e 90 dias no pagamento 
de um produto, se os juros embutidos na operação do crédito ao 
cliente são de 4,5% a.m.? 
À primeira vista parece mais um caso no qual se pode, 
facilmente, achar a taxa equivalente de desconto da taxa dada de 
juros, ou a taxa equivalente de juros da taxa dada de desconto e 
comparar. 
 
Porém, como os prazos concedidos incluem os pagamentos 
parciais de 1/3 do valor total em 30, 60 e 90 dias, ao invés de um 
só pagamento em 90 dias, há uma diferença fundamental na 
incidência dos juros e no cálculo do desconto equivalente. 
 
Na HP 12C, o cálculo é feito desta forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
::> 1º Pagto. Descontado 
 
 
 
 
 
::> 2º Pagto. Descontado 
 
 
 
 
::> 3º Pagto. Descontado 
 
 
::> Valor Presente da Série 
 
 
::> Taxa de Desconto Equivalente 
Sistemas de Amortização 
EMPRÉSTIMOS: 
Em termos financeiros, a dívida surge quando uma certa 
importância é emprestada por um certo prazo de tempo. Quem 
assume a dívida obriga-se a pagá-la da seguinte forma: o valor 
tomado emprestado mais os juros devidos, no prazo estipulado 
no acordo inicial. 
Os empréstimos classificam-se em: 
Curto e médio prazos: caracterizam-se por serem saldados até 3 
anos. 
Longo prazo: sofrem um tratamento especial por existir várias 
modalidades de restituição do principal e dos juros. Tais 
empréstimos têm suas condições previamente estipuladas por 
contrato entre as partes, ou seja, entre o credor e o devedor. 
 
AMORTIZAÇÃO 
 
Conceito: Ato de pagar as prestações que foram geradas 
mediante tomada de empréstimo. 
Período de amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas 
amortizações sucessivas. 
Prazo de amortização: é o intervalo de tempo, durante o qual são 
pagas as amortizações. 
Parcelas de amortização: corresponde às parcelas de devolução do 
principal, ou seja, do capital emprestado. 
 
Nos sistemas de amortização os juros serão sempre cobrados 
sobre o saldo devedor, considerando a taxa de juros compostos, 
sendo que, se não houver pagamento de uma parcela, levará a 
um saldo devedor maior, calculando juro sobre juro. 
Saldo Devedor é o estado da dívida, ou seja, o débito, em um 
determinado instante de tempo. 
 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
Definição: meios pelos quais vai se pagando uma dívida contraída, 
de forma que seja escolhida pelo devedor a maneira mais 
conveniente para ele. 
Qualquer um dos sistemas de amortização pode ter, ou não, 
prazo de carência. 
Prazo de carência: período compreendido entre o prazo de 
utilização e o pagamento da primeira amortização. Durante esse 
prazo o devedor só paga os juros. 
 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE - SAC 
 
As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são 
calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros 
contratada (na forma unitária) pelo saldo devedor existente no 
período anterior. 
Por este sistema o credor exige a devolução do principal em n 
parcelas iguais, incidindo os juros sobre o saldo devedor. 
 
Amortizações mensais : 5 
O principal foi emprestado no início do 1º ano e as prestações e 
os juros serão pagos no fim de cada ano, ou seja, sempre sobre 
o saldo devedor do período anterior. A amortização é anual, a 
prestação é obtida somando-se, ao final de cada período, a 
amortização com os juros. 
 
 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS - PRICE 
 
Por este sistema o mutuário obriga-se a devolvero principal mais 
os juros em prestações iguais entre si. A dívida fica 
completamente saldada na última prestação. 
 
Precisamos calcular a prestação e separar a amortização dos 
juros. 
C: 50.000 
i: 1,5% a.m. 
Amortizações mensais : 5 
 
Calcular a prestação: 
 
Teremos então 5 prestações iguais de R$ 10.455,48. Os juros 
serão aplicados sobre o saldo devedor do período anterior, como 
no sistema de amortização constante. 
A amortização será calculada pela diferença entre a prestação e 
o juro, e o saldo devedor será calculado como sendo a diferença 
entre o saldo devedor do período anterior e a amortização do 
período: 
 
 
SISTEMA AMERICANO 
 
Após um certo prazo o devedor paga, em uma única parcela, o 
capital emprestado, ou pode querer pagá-lo durante a carência. A 
modalidade mais comum é aquela em que o devedor paga juros 
durante a carência. 
 
O devedor pode querer aplicar recursos disponíveis e gerar um 
fundo que iguale o desembolso a ser efetuado para amortizar o 
principal. Tal fundo é conhecido por “sinking fund” na literatura 
americana e, na brasileira, por “fundo de amortização”. 
C: 50.000 
 
i: 1,5% a.m. 
Amortização no 5º mês 
 
Os juros são calculados sobre o saldo devedor, pagos no final. 
 
Há capitalização dos juros durante a carência: 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS 
 
As parcelas de amortização são contratadas pelas partes e os 
juros são calculados sobre o saldo devedor. 
Neste caso, a devolução do principal (amortizações) é feita em 
parcelas desiguais. Isto pode ocorrer na prática quando as partes 
fixam, antecipadamente, as parcelas de amortizações (sem 
nenhum critério particular) e a taxa de juros cobrada. 
 
Nestas condições a taxa de juros também será sobre o saldo 
devedor. O empréstimo é amortizado mensalmente conforme 
abaixo:. 
1º mês – 10.000 
2º mês – 15.000 
3º mês – 10.000 
4º mês – 15.000 
 
C: 50.000 
 
i: 1,5% a.m. 
Amortização: 4 meses 
 
Coloca-se inicialmente as amortizações, a seguir são calculados 
os juros sobre o saldo devedor do período anterior e calculada a 
prestação: 
 
 
Bibliografia/Links Recomendados 
 HP 12C Online: http://fazaconta.com/calculadora-hp-
12c-online.htm 
 Manual oficial da HP: 
http://h10032.www1.hp.com/ctg/Manual/bpia5239.pdf 
 Emulador Online da HP 12C: 
http://www.baixaki.com.br/download/web-hp-12c-
emulator.htm 
 http://h10025.www1.hp.com/ewfrf/wc/documentSubCate
gory?tmp_rule=50245&tmp_task=useCategory&cc=br&dlc=pt
&lc=pt&product=81575 
 http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=hp%2012c&
source=web&cd=26&ved=0CHQQFjAFOBQ&url=http%3A%2
F%2Fwww.ec

Outros materiais

Outros materiais