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SUMÁRIO - Versão 2 Aula 1 – Revisão de Matemática do 1º Grau ............................................................................................................. 01 Aula 2 – Razão e Proporção ...................................................................................................................................... 12 Aula 3 – Geometria Espacial – Parte 2 – Corpos Redondos ..................................................................................... 25 Aula 4 – Matemática Financeira ................................................................................................................................. 34 Aula 5 – Inequações de 1º e 2º Graus ....................................................................................................................... 41 Aula 6 – Produtos Notáveis e Fatoração ................................................................................................................... 56 Aula 7 – Teoria dos Conjuntos .................................................................................................................................. 63 Aula 8 – Relações e Funções ................................................................................................................................... 78 Aula 9 – Funções de 1º e 2º Graus no Vestibular ..................................................................................................... 93 Aula 10 – Função Modular ......................................................................................................................................... 118 Aula 11 – Exponenciais e Função Exponencial ......................................................................................................... 128 Aula 12 – Logaritmos ................................................................................................................................................. 140 Aula 13 – A Trigonometria e Geometria Plana .......................................................................................................... 153 Aula 14 – Geometria Plana – Parte II ........................................................................................................................ 165 Aula 15 – Trigonometria – Parte I .............................................................................................................................. 175 Aula 16 – Trigonometria – Parte II ............................................................................................................................. 190 Aula 17 – Trigonometria – Parte III ............................................................................................................................ 201 Aula 18 – Análise Combinatória ................................................................................................................................ 214 Aula 19 – Probabilidades – Parte I ............................................................................................................................. 222 Aula 20 – Probabilidades – Parte II ............................................................................................................................ 229 Resoluções de Exercícios de Fixação ....................................................................................................................... 234 CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA AULA 1 – Prof Raul Brito CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1o GRAU 1.1) SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL O sistema de numeração que usamos é o sistema de numeração decimal, pelo fato de contarmos os elementos em grupos de dez. Dezenas cada grupo de 10 unidades dezenas = 10 unidades Centenas cada grupo de 10 dezenas centenas = 100 unidades Milhar cada grupo de 10 centenas milhar = 1000 unidades Dizemos que cada algarismo ocupa uma ordem ou classe (ou casa) no numeral: Ex: 7 8 9 9 casa das unidades (ordem das unidades) 8 casa das dezenas (ordem das dezenas) 7 casa das centenas (ordem das centenas) A partir de 1000, os números são indicados por quatro ou mais algarismos. Neste caso, separamos os algarismos em classes de três, da direita pra esquerda (a última pode ficar incompleta) __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 12º 11º 10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º 1º Ordem das unidades 2º Ordem das dezenas 3º Ordem das centenas 4º Ordem das unidades de milhar 5º Ordem das dezenas de milhar 6º Ordem das centenas de milhar 7º Ordem das unidades de milhão 8º Ordem das dezenas de milhão 9º Ordem das centenas de milhão 10º Ordem das unidades de bilhão 11º Ordem das dezenas de bilhão 12º Ordem das centenas de bilhão 1.2) FORMA POLINOMIAL Baseado no sistema de numeração decimal (posicional) podemos escrever da seguinte forma: 428 = 4.100 + 2.10 + 8.1 ou 4.102 + 2.101 + 8.100 ATENÇÃO! Será bastante útil nas resoluções dos problemas envolvendo sistema de numeração as notações. Para um número de dois algarismos: N = [ab] forma polinomial: N = 10 a + b Para um número de três algarismos: N = [abc] forma polinomial: N = 100 a + 10 b + c 1.3) NÚMEROS NATURAIS Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos o que chamamos de números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12... O sucessor de um número natural n é escrito (n + 1), e o antecessor de n é (n – 1) Números consecutivos naturais podem ser consecutivos pares, ímpares ou simplesmente consecutivos. Veja as seguintes notações: I. n, n + 1, n + 2, ... consecutivos II. 2n, 2n + 2, 2n + 4, ... consecutivos pares III. 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, ... consecutivos ímpares 1.4) OPERAÇÕES: I – Adição: Na adição de dois, três ou mais números naturais, podemos substituir por um número o que chamamos de soma. a + b + c = S, onde: a, b e c são as parcelas e S é a soma. É importante lembrar que a ordem desses fatores não altera o produto. II – Subtração: Sejam a e b números naturais, partimos que a > b escrevemos: a – b = D ou a – b = R, onde: a é o minuendo, b é o subtraendo e D ou R é o resto ou diferença. III – Multiplicação: Na multiplicação de dois, três ou mais números naturais, podemos substituir por um número ou (fator) o que chamamos de produto. a · b · c = P, onde: a, b e c são fatores e P o produto. É importante lembrar que a ordem desses fatores não altera o produto. IV – Divisão: A divisão pode ser exata ou não-exata. Divisão Exata: Considerando a e b números inteiros onde a b 0. Dizemos que “b” é divisor de “a” quando existe “q” também inteiro tal que a = b q, onde: a é dividendo, b é divisor e q é o quociente. 2 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) Relação Fundamental da Divisão (R.F.D) a b a b q r, onde 0 r b. r q a é o dividendo; b é o divisor; q é o quociente e r o resto. 1.5) NÚMEROS PRIMOS O que é número primo? A seguirestão representados os números naturais de 2 a 50: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Fazendo um círculo no número 2 e, em seguida, apagando todos os outros números que são divisíveis por 2, que números permanecem? 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 Agora, circulando o número 3 e apagando todos os outros números que são divisíveis por 3, quais ficam? 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 Fazendo agora um círculo em volta do próximo número, que é o 5, e, em seguida, apagando todos os outros números divisíveis por 5, quais ainda continuam? 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 Se prosseguirmos fazendo assim, colocando um círculo no primeiro número não assinalado e apagando os demais números que são divisíveis por ele, vão sobrar apenas os números assinalados com o círculo. Veja os números que permanecem: 2 3 5 7 11 13 19 23 29 31 37 41 43 47 Esses números que ficaram assinalados com o círculo são números primos. Você sabe o que é um número primo? Um número natural, maior que 1, é primo quando só é divisível por 1 e por ele mesmo. Os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13, por exemplo, são números primos. Cada um deles é divisível por exatamente dois números: 1 e ele mesmo. Números como 4, 6, 8, 9, 10, 12 e 15 são chamados números compostos. Cada um deles é divisível por mais de dois números. Um número natural, maior que 1, é composto quando é divi- sível por mais de dois números naturais. Observações: Pelo texto acima, os números 0 e 1 não entram na classificação de primo. O número 0 é divisível por mais de dois números naturais (é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, etc.). Por isso, é considerado número composto. Já o número 1, que só e divisível por ele mesmo, não é considerado primo nem composto. 1.6) COMO RECONHECER UM NÚMERO PRIMO Há infinitos números primos. Para saber se um número é primo, devemos dividi-Io sucessivamente pelos números primos (2, 3, 5, 7, etc.) e verificar o que acontece: • Encontrando um resto zero, o número não é primo. • Se nenhum resto é zero, o número é primo. Nesse caso, só precisamos fazer as divisões até obter um quociente menor ou igual ao divisor. Veja: • 197 não é divisível por 2, porque não é par. • 197 não é divisível por 3, porque a soma dos seus algarismos (1 + 9 + 7 = 17) não é divisível por 3. • 197 não é divisível por 5, porque não termina em zero ou 5. • 197 7 57 28 8 • 197 11 87 17 10 • 197 13 67 15 2 • 197 17 27 11 10 Não precisamos continuar as divisões. Como não encontramos nenhum resto igual a zero até obter um quociente menor que o divisor, concluímos que 197 é número primo. 197 não é divisível por 7, porque nessa divisão ocorre resto 1. O quociente (28) é maior que o divisor (7). 197 não é divisível por 11, porque nessa divisão ocorre resto 10. O quociente (17) é maior que o divisor (11). 197 não é divisível por 13, porque nessa divisão ocorre resto 2. O quociente (15) é maior que o divisor (13). 197 não é divisível por 17, porque nessa divisão ocorre resto 10. O quociente (11) é menor que o divisor (17). CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 3 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 1.7) ALGORITMO DA DIVISÃO Dados dois números inteiros D e d, sendo d 0, existe um único par de números inteiros (q, r) tal que D = d · q + r e 0 r d . Dizemos que q é o quociente e r é o resto da divisão de D por q (D é o dividendo e d é o divisor). D d D d q r onde 0 r d r q 1.8) CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE É possível estabelecer algumas regras que permitem verificar se um número natural é divisível por outro. Estas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. Um número natural N é divisível por: 2 se seu algarismo da unidade é par: Ex.: 31457968 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3. Ex.: 96257832 ( = 42) 4 se o número formado por seus dois últimos algarismos é divisível por 4. Ex.: 63517916 ou 00 5 se seu algarismo da unidade é 0 ou 5. Ex.: 73689210 ou 5 6 se é divisível por 2 e por 3. Ex.: 96257832 7 * 8 se o número formado por seus três últimos algarismos é divisível por 8. Ex.: 42796512 ou 000 9 se a soma de seus algarismos é divisível por 9. Ex.: 56482371 ( = 36) 10 se seu algarismo das unidades é 0. Ex.: 27865390 11 * Divisibilidade por 7 Um número com mais de 3 algarismos é divisível por 7 quando a diferença entre a soma das classes ímpares e a soma das classes pares é zero ou múltiplo de 7. Exemplo: 103381285 é divisível por 7? 3ªclasse 2ªclasse 1ªclasse 103 381 285 Soma das classes ímpares 385 + 103 = 388 Soma das classes pares = 381 Diferença = 7 Como o obtido na diferença é um número múltiplo de 7, temos que 103381285 também é múltiplo de 7. Observação Se a soma das classes ímpares for menor que a soma das classes pares, somamos às classes ímpares tantos 7 quantos forem necessários até que se torne maior ou igual à soma das classes pares. Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par é zero ou múltiplo de 11. Exemplo: 103742 é divisível por 11? Note: 1 0 3 7 4 2 Soma das ordens ímpares 2 + 7 + 0 = 9 Soma das ordens pares 4 + 3 + 1 = 8 Diferença 9 – 8 = 1 Logo, o número não é divisível por 11 e o resto na divisão por 11 é 1. Observação Se a soma dos algarismos de ordem ímpar for menor que a soma dos algarismos de ordem par, somamos a ela tantos 11 quantos forem necessários até torná-Ia maior ou igual à soma dos algarismos de ordem par. 1.9) DESCOBRINDO OS DIVISORES DE UM NÚMERO Existe um método prático para obter todos os divisores de um número. Veja como vamos achar os divisores de 18: 1) Fatoramos o número 18. 18 2 9 3 3 3 1 2) Colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos. 18 2 9 3 3 3 1 3) Ao lado desse novo traço e uma linha acima, colocamos o sinal de multiplicação e o número 1. Na linha seguinte (a linha do fator 2), colocamos o produto de 2 pelo número que está na linha acima dele (2 1 2). 1 18 2 9 3 3 3 1 4) Na linha seguinte (a linha do fator 3), colocamos o produto de 3 pelos números que estão nas linhas acima dele, à direita do traço (3 1 3 e 3 2 6). 1 18 2 9 3 3 3 1 quociente divisor resto dividendo algarismos de ordem ímpar algarismos de ordem par 2 2 3 – 6 4 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) resto 5) Repetimos esse procedimento nas outras linhas, anotando cada resultado uma só vez (como o produto de 3 1 e 3 2 já foi anotado, registramos 3 3 = 9 e 3 6 = 18). 1 18 2 9 3 3 3 1 Os números colocados à direita da segunda linha vertical são os divisores do número 18: 1, 2, 3, 6, 9 e 18 1.10) QUANTIDADE DE DIVISORES Se N = 2ª · 3b · 5c · 7d · ...,a quantidade de divisores (positivos) de N, dada por: n[D(N)] = (a + 1) · (b + 1) · (c + 1) · (d + 1) ... Exemplo: O número de divisores positivos de 90 é: 1 2 1 90 2 45 3 15 3 90 2 · 3 · 5 n[D(90)] (1 1)· (2 1)· (1 1) 2· 3· 2 12 5 5 1 Observação Para encontrar os 12 divisores de 90 faça: 1 90 2 2 45 3 3, 6 15 3 9, 18 5 5 5, 10, 15, 30, 45, 90 1 Logo os 12 divisores de 90 são D(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} 1.11) RESTO DA DIVISÃO Veremos nesta seção, como comportam-se os restos das divisões por números naturais. Resto da divisão por 2 e por 5. O resto da divisão de um número por 2 ou 5 é o mesmo que o da divisão do algarismo das unidades por 2 ou 5. Exemplos: 3.277 (7 : 2) resto 1 3.277 (7 : 5) resto 2 1.323 (3 : 2) resto 1 1.323 (3 : 5) resto 3 (é o próprio algarismo das unidades do nº). Observação No caso da divisão por 2, temos ainda a opção de utilizarmos a seguinte regra prática: Se o número a ser dividido for par o resto da divisão é zero, e se for ímpar o resto será um. Resto da divisão por 3 e por 9. O resto da divisão de um número por 3 ou 9 é o mesmo que o da divisão da sorna dos valores absolutos dos sem algarismos, por 3 ou 9. Exemplos: 5.297 (5 + 2 + 9 + 7) : 3 23 : 3 resto 2 5.297 (5 + 2 + 9 + 7) : 9 23 : 9 resto 5 Resto da divisão por 4. O resto da divisão de um número por 4 é o mesmo que o da divisão do número formado pelos algarismos das dezenas e das unidades de seu numeral por 4. Exemplo: 49615 (15 : 4) resto 3 Resto da divisão por 6. O resto da divisão de um número por 6 é o mesmo que o resto da divisão da soma do algarismo das unidades do número dado com o quádruplo da soma dos algarismos restantes. Exemplo: Qual o resto da divisão de por 6? Soma dos algarismos restantes 4 4 (2 2 2 1) 4 4 7 32 quádruplo Logo 32 6 2 5 Assim o resto procurado é 2. Resto da divisão por 7. Caso a diferença entre o somatório das classes não seja um número múltiplo de 7, porém maior que 7 pode-se obter o resto, efetuando-se a divisão da diferença obtida por 7. Exemplo: Qual o resto da divisão de 111381285 por 7? 3ª Classe 2ªClasse 1ªClasse 111 381 285 Soma das classes ímpares 285 + 111 = 396 Soma das classes pares = 381 Diferença = 15 Como 15 não é múltiplo de 7 temos que o número 111381285 não é divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será: 15 7 1 2 Porém se a diferença entre o somatório das classes não for um número múltiplo de 7 mas menor que 7, esta diferença já será o resto. 2 2 2 2 1 4 3 – 6 9 – 18 CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 5 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU Exemplo: Qual o resto da divisão de 213340132 por 7? 3ª Classe 2ªClasse 1ªClasse 213 340 132 Soma das classes ímpares 213 + 132 = 345 Soma das classes pares = 340 Diferença = 5 Como 5 não é múltiplo de 7, temos que o número 213340132 não é divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será 5. Resto da divisão por 8. O resto da divisão de um número por 8 é o mesmo que o da divisão do número formado pelos algarismos das centenas, dezenas e das unidades de seu numeral por 8. Exemplo: 318574 (574 : 8) resto 6 Resto da divisão por 10. O resto da divisão de um número por 10 é o algarismo das unidades do numeral desse número. Exemplo: 1.315 resto 5 Resto da divisão por 11. Caso a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par não seja um número múltiplo de 11, porém maior que 11, pode-se obter o resto efetuando-se a divisão da diferença obtida por 11. Exemplo: Qual o resto da divisão de 8192837 por 11? 8 1 9 2 8 3 7 Soma das ordens ímpares 8 + 9 + 8 + 7 = 32 Soma das classes pares = 6 Diferença = 26 Como 26 não é múltiplo de 11, temos que o número 81 92837 não é divisível por 11 e o resto de sua divisão por 11 será: 26 11 4 2 1.12) MÚLTIPLO DE UM NÚMERO O múltiplo de um número natural é o produto dele por um número inteiro. Assim, por exemplo, o conjunto dos múltiplos de 7 (indicado por M(7)) é: 7· (0) 0 7· ( 1) 7 7· ( 2) 14 7· ( 3) 21 M(7) {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...) 7· ( 4) 28 7· ( 5) 35 7· ( 6) 42 1.13) MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Definição: O mínimo múltiplo comum (MMC) entre os números inteiros e positivos a e b, MMC(a, b), é o produto dos fatores primos comuns e não comuns de a e b, tomados com o maior expoente. 1.14) MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Definição: O máximo divisor comum (MDC) entre os números inteiros e positivos a e b, MDC(a, b), é o produto dos fatores primos comuns de a e b, tomados com o menor expoente. 1.15) PROPRIEDADES DO MDC E DO MMC 1ª) Se dois números são primos entre si o MMC é o produto deles e o MDC é 1. Ex.: MMC(7, 9) = 63; MDC(7, 9) = 1 2ª) Quando um número é divisível por outro, o maior deles é o MMC e o menor é o MDC. Ex.: MMC(6, 36) = 36; MDC(6, 36) = 6 3ª) O produto de dois números a e b é igual ao produto do MDC pelo MMC desses números. a · b = MMC(a, b) · MDC(a, b) Ex.: 15 20 MMC(15, 20) MDC(15, 20) 300 60 · 5 algarismos de ordem par algarismos de ordem ímpar resto 6 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM Questão 01 Sejam A e B algarismos que compõem os números AB e A1B representados em notação posicional. Sabendo que B = 2.A e que a diferença entre A1B e AB vale 280, determine o valor de A + B. Questão 02 O número de inteiros positivos que são divisores do número N = 214 × 353, inclusive 1 e N, é a) 84. b) 86. c) 140. d) 160. e) 162. Questão 03 O Sr. Francisco foi com seu filho João, comprar azulejos que necessitava para a reforma do banheiro de sua casa. O Sr Francisco explicou ao vendedor da loja que a parede onde utilizaria os azulejos era retangular e media 3,15 metros de altura por 6,15 metros de comprimento. E por uma questão de economia ele gostaria de utilizar o menor numero possível de azulejos quadrados. Antes que o vendedor planejasse quantos azulejos seriam necessários para revestir toda a parede, o Sr Francisco esclarecer que ele poderia desprezar os espaços ocupados pelos rejuntes entre um azulejo e outro. João ficou todo feliz e disse: papai eu sei calcular quantos azulejos serão necessários e disse a seu pai a quantidade de azulejo que ele deveria comprar. Pergunta-se: a) Quais cálculos devem ser feitos por João para encontrar o numero de azulejos, nas condições acima? b) Qual a quantidade de azulejos calculada por João c) Qual a medida do lado do azulejo? Questão 04 Numa divisão, o quociente é igual ao divisor e o resto é o maior possível. Sabendo que a soma do divisor com o quociente vale 6, calcule o dividendo. Questão 05 Ache um númerode dois algarismos XY sabendo que a soma dos seus algarismos vale 6 e que, subtraindo 36 unidades do número XY, ele fica escrito na ordem inversa YX. Questão 06 O estoque de um depósito atacadista de cereais está constituído de 8 sacas de arroz com 60kg cada, 9 sacas de trigo com 64kg cada e 6 sacas de milho com 72kg cada. Os cereais disponíveis devem ser reembalados em sacas menores, todas com o mesmo peso, com o maior peso possível em cada saca, sem misturar os cereais e sem sofrer qualquer perda. Nas novas embalagens, o estoque ficará distribuído em n sacas. O valor de n é: a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 Questão 07 (UECE) Três cidades brasileiras, A, B e C, realizam grandes festas: de 5 em 5 meses em A, de 8 em 8 meses em B e de 12 em 12 meses em C. Essas festas coincidiram em setembro, de 2002. Coincidirão novamente em: a) outubro de 2011. b) setembro de 2003. c) setembro de 2012. d) algum mês de 2004. e) fevereiro de 2015. Anotações CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 7 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU Questão 08 Seja N = 4784351269534. Sabe-se que os restos das divisões de N por 5, 8 e 9 são respectivamente n, p e q. Então o mínimo múltiplo comum de n, p e q vale: a) 76 b) 84 c) 88 d) 92 e) 96 Questão 09 O número 97381285: a) é divisível por 7. b) na divisão por 7 deixa resto 1. c) na divisão por 7 deixa resto 2. d) na divisão por 7 deixa resto 3. e) na divisão por 7 deixa resto 4. Questão 10 De forma a não machucar as belas maças que comprou na feira, a governanta da casa de uma família arruma as frutas em uma cesta de vime. Porém, ao deixá-la sozinha por alguns instantes, não percebe que: • o dono da casa pegou 1 6 das frutas e colocou no frigobar do quarto; • sua patroa pegou 1 5 das restantes e levou para comer no trabalho; • o filho mais velhos pega para si 1 4 do restante para comer com os amigos no lanche da faculdade; • o filho do meio e o mais novo pegam, respectivamente 1 3 e 1 2 das restantes para comerem. Quando ela chega e percebe o cesto praticamente vazio, fica magoada com a gulodice dos patrões e decide guardar as 3 frutas restantes não mais uma cesta, e sim um prato pequeno. Quantas eram as maçãs arrumadas originalmente? a) 8 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18 Questão 11 Papiro de Rhind ou papiro de Ahmes é um document6o egípcio de cerca de 1650 a.C., no qual um escriba de nome Ahmes detalha a solução de 85 problemas de aritmética, frações, cálculo de áreas, volumes, progressões, repartições proporcionais, regra de três simples, equações lineares, trigonometria básica e geometria. É um dos mais famosos antigos documentos matemáticos que chegaram aos dias de hoje, juntamente com o Papiro de Moscou. Disponível em: http://wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Rhind. Acesso em: 17 nov. 2012. Anotações 8 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) No papiro de Rhind, entre outras informações, encontra-se a expansão de frações como soma de outras frações de numerador 1, como por exemplo 2 1 1 1 1 . 73 60 219 292 x Nessa expressão, o valor de x é igual a a) 345. b) 350. c) 355. d) 360. e) 365. Questão 12 Joãozinho tem duas caixas com o mesmo número de bolas. As bolas podem ser azuis, pesando cinco quilos cada uma, ou amarelas, pesando dois quilos cada uma. Na primeira caixa, 1 15 das bolas são azuis. O peso total das bolas da segunda caixa é o dobro do peso total das bolas da primeira caixa. Qual a fração de bolas azuis da segunda caixa? a) 4 5 b) 7 8 c) 2 3 d) 2 15 e) 1 2 Questão 13 Júlia, ansiosa pelo dia do seu aniversário, fez a conta para saber quantos dias ainda faltavam para o seu aniversário. Após alguns cálculos, descobriu que, se ao passar 2 5 do total de dias e, em seguida, mais 1 6 do que restou, ainda faltariam 10 dias para o seu aniversário. Dessa forma, quantos dias faltavam inicialmente para tão esperada data? a) 10 b) 14 c) 16 d) 20 e) 24 Questão 14 Para ir com Maria ao cinema, João pode escolher dois caminhos. No primeiro, ele passa pela casa de Maria e os dois vão juntos até o cinema; nesse caso, ele anda sozinho 2 3 do caminho. No segundo, ele vai sozinho e encontra Maria na frente do cinema; nesse caso, ele anda 1 km a menos que no primeiro caminho, mas o dobro do que Maria terá que caminhar. Qual é a distância entre a casa de Maria e o cinema? a) 1 km b) 2 km c) 3 km d) 4 km e) 6 km Questão 15 Um prêmio da Sena saiu para dois cartões, um da cidade A e outro da cidade B. Nesta última, o cartão era de 6 apostadores, tendo cada um deles contribuído com a mesma importância para a aposta. A fração do prêmio total, que cada apostador da cidade B receberá, é a) 1 6 . b) 1 8 . c) 1 9 . d) 1 10 . e) 1 12 . Questão 16 A geratriz da dízima 1,833... é a b , então a + b vale: a) 17. b) 15. c) 16. d) 10. e) 9. Questão 17 Uma livraria deseja fazer a entrega de 250 livros de Matemática, 125 livros de Física e 100 livros de Química em caixas de mesmo tamanho. A quantidade máxima de livros que a livraria pode colocar em cada caixa e a quantidade de caixas que serão usadas são, respectivamente: a) 12 e 27 b) 25 e 19 c) 25 e 500 d) 500 e 19 e) 200 e 400 Anotações CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 9 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU Questão 18 Uma padaria deseja fazer 100 pães franceses, 80 pães árabes e 60 pães de forma. O dono da padaria gosta de fazer kits com os três tipos pães, de modo que cada kit tenha os três tipos. O número máximo de pães que ele deve colocar para que cada kit tenha a mesma quantidade total de pães é: a) 20 b) 25 c) 300 d) 12 e) 120 Questão 19 Rafael tem 2 3 da idade de Roberto e é 2 anos mais jovem que Reinaldo. A idade de Roberto apresenta 4 3 da idade de Reinaldo. Em anos, a soma das idades dos três é a) 72 b) 60 c) 58 d) 48 e) 35 Anotações 10 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Questão 01 Ache um número de dois algarismos tal que o algarismo das dezenas seja o triplo do das unidades e que subtraindo ao número 12 unidades o resto seja igual ao quadrado do algarismo das dezenas. Questão 02 O quociente da divisão de um número N de 2 algarismos pela soma de seus algarismos é 7. Qual o número, se o dobro do algarismo das dezenas excede de 3 o triplo das unidades? Questão 03 (UECE) O número de algarismos, contados com as repetições, necessários para numerar as 96 páginas de um livro é igual a: a) 180 b) 181 c) 182 d) 183 Questão 04 (FUVEST) Abaixo está representada uma multiplicação onde os algarismos a, b e c são números desconhecidos. Qual o valor de a + b + c? a) 5 b) 8 c) 11 d) 14 e) 17 1abc 3 abc 4 Questão 05 Qual o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos números 18, 24 e 30? Questão 06 Qual o Máximo Divisor Comum (MDC) dos números 18, 24 e 30? Questão 07 Sendo dois números A = 22 · 33 · 5 e B = 23 · 32 ·11, o quociente da divisãodo seu MMC pelo seu MDC será: a) 5 · 11 b) 22 · 33 c) 2 · 3 · 5 · 11 d) 22 · 33 · 5 · 11 e) 22 · 3 · 52 · 11 Questão 08 (UECE) Seja n o menor inteiro positivo para o qual n n n n n n n n , , , , , , e 2 3 4 5 6 7 8 9 são números inteiros. O produto dos algarismos do número n é: a) 0 b) 5 c) 10 d) 20 Questão 09 (PUC) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A, a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia? a) 9 de dezembro b) 10 de dezembro c) 11 de dezembro d) 14 de dezembro e) 28 de dezembro Questão 10 Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes. a) 19 equipes com 6 participantes cada uma b) 18 equipes com 5 participantes cada uma c) 20 equipes com 4 participantes cada uma d) 21 equipes com 3 participantes cada uma Questão 11 Larissa fez uma viagem de 1 210km, até chegar à fazenda de seu avô. A viagem foi feita da seguinte forma: 7 11 do percurso, de avião; 2 5 do resto, de trem; a seguir 3 8 do que restou, de ônibus; e os demais quilômetros, de carro com tração nas quatro rodas, pois não se chega em carro com tração em duas rodas à fazenda, em época de chuva. Calcule quantos quilômetros percorreu de carro com tração nas quatro rodas. a) 135 b) 145 c) 155 d) 165 e) 175 Questão 12 A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do carro no momento de partida e no momento de chegada de uma viagem feita por João. Quantos litros de gasolina João gastou nessa viagem? a) 10 b) 15 c) 18 d) 25 e) 30 CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 11 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU Questão 13 Uma assalariado de terminada cidade recebe de forma líquida, ou seja, após os descontos, um salário de apenas 520 reais por mês. Dessa quantia, gasta 1 4 com aluguel e 2 5 com alimentação da família. Este mês ele teve uma despesa extra 3 8 do seu salário foram gastos com remédios, extrapolando o seu orçamento e, consequentemente, fazendo com que ele pedisse um adiantamento. Qual a fração do salário que ele extrapolou? a) 41 40 b) 3 40 c) 3 20 d) 1 40 e) 7 40 Questão 14 Em um aniversário, um bolo foi distribuído entre 5 crianças. João ganhou 1 12 do bolo, Luiz ganhou a metade do que João, Maria ganhou 1 6 do bolo, Joana ganhou o dobro de Maria e Jorge ganhou o restante do bolo. Então, pode-se afirmar que a fração do bolo dada a Jorge foi: a) 3 . 8 b) 3 . 5 c) 2 . 3 d) 5 . 8 e) 2 . 9 Questão 15 Um feirante vendeu, a R$ 2,00 a dúzia, metade das trezentas dúzias de laranjas que comprou. Dois terços da outra metade, ele vendeu a R$ 1,50 a dúzia e o restante, a R$ 1,00 a dúzia. Qual foi o valor, em reais, que o vendedor faturou na venda? a) 300 b) 400 c) 500 d) 600 e) 700 Questão 16 Uma pessoa perdeu 2 7 do que possuía. Em seguida, ganhou 320 reais e ficou com o triplo do que possuía inicialmente. Quanto a pessoa possuía inicialmente? Questão 17 Dividiu-se uma quantia entre três pessoas. A primeira ficou com 1 3 ; a segunda com 2 5 e a terceira, que ficou com o resto, recebeu 60 reais a menos do que a primeira. Calcule a quantia. Questão 18 Três relógios tem períodos respectivamente 180 minutos, 120 minutos e 360 minutos. Se eles tocaram simultaneamente as 6h da manhã, que horas eles voltarão a tocar, simultaneamente? a) 8h b) 12h c) 16h d) 20h e) 22h Questão 19 Uma feirante possui 60 maçãs, 40 peras, 30 bananas e 50 goiabas. Ela faz cestas com apenas um tipo de fruta de modo que cada cesta tenha um número máximo de frutas. A quantidade total de cestas que ela pode fazer é: a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 Questão 20 Numa escola foram matriculados 80 alunos com 10 anos, 100 alunos com 12 anos e 120 alunos com 14 anos. A escola irá formar apenas turmas com alunos da mesma idade. O número máximo de turmas é: a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA AULA 2 – Prof Raul Brito CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO RAZÃO E PROPORÇÃO 2.1) INTRODUÇÃO Consideremos a seguinte afirmação: Na 2.a fase do vestibular da Fuvest (São Paulo), o número de vagas está para o número de candidatos na razão de 1 para 3. Esta afirmação significa que a cada vaga existente correspondem três candidatos; e ela pode ser representada em matemática por 1 3 (lê-se: um para três). Quando fazemos esta afirmação, estamos comparando o número de vagas existentes com o número de candidatos inscritos, por meio de uma divisão do primeiro número pelo segundo, e usando a palavra razão para designar o quociente obtido. Nesta Unidade, veremos a importância do estudo da razão de dois números para conhecimentos futuros e para aplicação na vida real. 2.2) RAZÃO Vimos que: • Comparamos dois números, dividindo um deles pelo outro; • Chama-se razão o resultado obtido. Então, de modo geral, diz-se que: A razão de dois números racionais (com o segundo diferente de zero) é o quociente do primeiro pelo segundo. A razão de dois números racionais a e b pode ser representada na forma a b ou na forma a : b; em ambos os casos lê-se: “razão de a para b” ou “a está para b” ou “a para b”. O primeiro número denomina-se antecedente e o segundo, consequente. antecedentea consequenteb Vejamos alguns exemplos: 1) Determinar a razão de 20 para 16. 20 5 fração irredutível que corresponde à razão pedida 16 4 2) Uma prova de Matemática tem 10 questões. Um aluno acertou 8 dessas questões. Determinar: a) a razão do número de questões que acertou para o número total de questões 8 4 10 5 b) a razão do número de questões que errou para o número de questões que acertou: 2 1 8 4 OBSERVAÇÕES 1.a) Sendo a razão de dois números racionais um número racional, valem para as razões todas as considerações e propriedades dos números racionais. 2.a) Razão de duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que exprimem as suas medidas racionais, tomadas na mesma unidade. Exemplo Observar os cubos das figuras abaixo, e calcular a razão do volume do volume do primeiro para o volume do segundo. 3 3 (razão)3 3 Volume do primeiro(2cm) 8cm 8 1 64 8Volume do segundo (4cm) 64cm 2.3) RAZÕES INVERSAS Sejam as razões 3 4 e 4 3 Vemos que: • O antecedente de uma é o consequente da outra e vice- versa; • O produto das duas é igual a 1 3 4 1 . 4 3 Duas razões nestas condições são denominadas inversas. Deve-se notar que a razão de antecedente zero não possui inversa. 2.4) ALGUMAS RAZÕES ESPECIAIS Estudaremos algumas razões especiais que serão úteis em nossas vida. 2.4.1. Velocidade Média Denomina-se velocidade média a razão entre uma distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la. distância velocidade média tempo CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 13 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO Exemplo Um automóvel percorreu 384 km em 5 horas. Qual foi a velocidade média desse automóvel? Distância percorrida = 384 km. Tempo gasto = 5h. Velocidade média = 384 km 5 h = 76,8 km/h (lê-se: 76,8 quilômetros por hora). 2.4.2. Escala Denomina-se escala de um desenho a razão entre um comprimento considerado no desenho e o correspondente comprimento real, medidos com a mesma unidade. comprimento no desenho escala comprimento no real Exemplo: No desenho de uma casa, o comprimento da sala, que é de 6 m, está representado por um segmento de 3 cm. Qual foi a escala utilizada para o desenho? Comprimento no desenho = 3 cm. Escala = 3 1 ou 1 : 200 600 200 . As escalas têm grande aplicação nos esboços de objetos (móveis, automóveis, etc.), nas plantas de casas e terrenos, nos mapas, nas cartas geográficas. No quadro abaixo, vemos uma parte de um mapa do Estado de São Paulo, feito numa escala de 1/4 000 000, ou seja, cada 1 cm no desenho representa 40 km no real. 2.5) PROPORÇÃO Sejam os números 6, 9, 12 e 18. Nessa ordem, vamos calcular: A razão do 1.o para o 2.o: A razão do 3.o para o 4.o: 6 2 9 3 12 2 18 3 Observando que a razão do primeiro para o segundo é igual à razão do terceiro para o quarto, podemos escrever: 6 : 9 = 12 : 18 ou 6 12 9 18 Nesse caso, dizemos que os números 6, 9, 12 e 18, nessa ordem, formam uma proporção. Na proporção 6 : 9 = 12 : 18 ou 6 12 9 18 , destacamos: I) A sua leitura é: 6 está para 9, assim como 12 está para 18. II) Os números 6, 9, 12 e 18 são denominados termos da proporção. III) O primeiro e o quarto termos são denominados extremos, enquanto o segundo e o terceiro termos são denominados meios. De uma forma geral: Quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, nessa ordem, foram uma proporção quando a razão do primeiro para o segundo é igual à razão do terceiro para o quarto. a : b = c : d ou a c b d (lê-se: a está para b assim como c, está para d) OBSERVAÇÃO Sendo a proporção uma igualdade de duas razões, os antecedentes e os consequentes das razões iguais são chamados antecedentes e consequentes da proporção. 2.6) PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES Considerando as seguintes proporções, observe: 1) 6 15 8 20 Produto dos extremos = 6 . 20 = 120. Produto dos meios = 8 . 15 = 120. O produto dos extremos e o produto dos meios são iguais. 2) 1 4 3 12 Produto dos extremos = 1 . 12 = 12. Produto dos meios = 3 . 4 = 12. O produto dos extremos e o produto dos meios são iguais. Então: produto dos produtos dos extremos meios 6 15 6 20 8 15 8 20 14 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) produto dos produtos dos extremos meios 1 4 1 12 3 4 3 12 Daí a propriedade fundamental: Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, e vice-versa. produto dos produtos dos extremos meios a c a d b c b d 2.7) RESOLUÇÃO DE UMA PROPORÇÃO Resolver uma proporção significa determinar o valor do termo desconhecido dessa proporção. a) Resolver a proporção: x 3 3 x 1 x 1 5 . • Aplicando a propriedade fundamental: x 3 3 x 1 5 5 x 3 3 x 1 5 + 15 = 3x + 3 • Resolvendo a equação: 5x – 3x = 3 – 15 2x = – 12 x = – 12 2 Logo: x = – 6 x = – 6 b) Numa maquete, a altura de um edifício é de 90 cm. Qual a altura real do prédio, sabendo que a maquete foi construída na escala 1 30 ? Altura na maquete: 90 cm. Altura no real: x Escala = altura na maquete altura no real 1 90 30 x 1 . x = 30 . 90 aplicamos a propriedade fundamental x = 2.700 cm = 27 m. 2.8) QUARTA PROPORCIONAL DE TRÊS NÚMEROS DADOS Dados três números racionais, a, b e c, denomina-se quarta proporcional desses números, número x, tal que a c b x . Exemplo: Calcular a quarta proporcional dos números 3, 10 e 6. a 3 6 pela definição de 4. proporcional 10 x 60 3 x 10 6 3x 60 x x 20 3 . Resposta: A 4.a proporcional dos números dados é 20. 2.9) TERCEIRA PROPORCIONAL DE DOIS NÚMEROS DADOS Dados dois números racionais, a e b, denomina-se terceira proporcional desses números um número x, tal que a b b x . Exemplo: Calcular a terceira proporcional dos números 2 e 6. a 2 6 pela definição de 3. proporcional 6 x 36 2 x 6 6 2x 36 x x 18 2 . Resposta: A 3.a proporcional dos números dados é 18. 2.10) OUTRAS PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 1.a propriedade (P1) Seja a proporção: 5 10 4 8 Partindo desta proporção, vamos escrever outras proporções: o o o o o o 5 10 5 4 10 8 9 18 4 8 5 10 5 10 1. 2. 3. 4. 1. 3. o o o o o o 5 10 5 4 10 8 9 18 4 8 4 8 4 8 1. 2. 3. 4. 2. 4. o o o o o o 5 10 5 4 10 8 1 2 4 8 5 10 5 10 1. 2. 3. 4. 1. 3. o o o o o o 5 10 5 4 10 8 1 2 4 8 4 8 4 8 1. 2. 3. 4. 2. 4. CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 15 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO Logo: Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro (ou para o quarto). a c a b c d a b c d ou b d a c b d a c a b c d a b c d ou b d a c b d 2.a propriedade (P2) Seja a proporção: 10 5 8 4 Partindo desta proporção, vamos escrever outras proporções: o o 10 5 10 5 10 15 10 8 4 8 4 8 12 8 antec. antec. 1. antec. conseq. conseq. 1. conseq. o o 10 5 10 5 5 15 5 8 4 8 4 4 12 4 antec. antec. 2. antec. conseq. conseq. 2. conseq. o o 10 5 10 5 10 5 10 8 4 8 4 8 4 8 antec. antec. 1. antec. conseq. conseq. 1. conseq. o o 10 5 10 5 5 5 5 8 4 8 4 4 4 4 antec. antec. 2. antec. conseq. conseq. 2. conseq. Logo: Em toda proporção, a soma (ou a diferença) dos antecedentes está para a soma (ou a diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. a c a c a a c c ou b d b d b b d d a c a c a a c c ou b d b d b b d d 2.11) APLICAÇÃO DAS PROPRIEDADES Veremos, por meio de exemplos práticos, como aplicar essas propriedades na resolução de exercícios. Exemplo 1: Determinar x e y na proporção x 3 y 4 , sabendo- se que x + y = 28. Resolução: 1 x 3 x y 3 4 x y 3 4 ou aplicando-se P y 4 x 3 y 4 Como x + y = 28, resulta: 28 7 84 x 7 28 3 7x 84 x x 12. x 3 7 28 7 112 y 7 28 4 7y 112 y y 16. x 4 7 Logo: x = 12 e y = 16. Exemplo 2: A razão de dois números é de 5 para 2, e a diferença entre eles é 60. Determine os dois números. Resolução: Representando os números por x e y, temos: 1 x 5 a razão é de 5 para 2 y 2 x y 60 a diferença é 60 x 5 x y 5 2 x y 5 2 ou aplicando-se P y 2 x 5 y 2 Como x – y = 60, resulta: 60 3 300 x 3 60 5 3x 300 x x 100. x 5 3 60 3 120 y 3 60 2 3y 120 y y 40. y 2 3 Logo: Os números são 100 e 40. Exemplo 3: Sabendo-se que a b 3 2 e a + b = 30, determinar a e b. 2 a b a b a a b b ou aplincando-se P 3 2 3 2 3 3 2 2 Como a + b = 30, resulta: 30 a 90 5 a 30 3 5a 90 a a 18. 5 3 5 30 b 60 5 b 30 2 5b 60 b b 12. 5 2 5 Logo: a = 18 e b = 12. 2.12) PROPORÇÃO MÚLTIPLA Consideremos as razões: 3 10 16 , , 6 20 32 Verificamos que todas são iguais, pois: 3 1 10 1 16 1 6 2 20 2 32 2 Podemos, então, escrever: 3 10 16 6 20 32 Ao igualarmos as razões acima, formamos uma sequência de razões iguais ou uma proporcional múltipla. 16 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) Exemplo: Resolver a proporção múltipla x y z 3 5 2 , sabendo-se que x + y + z = 200. Resolução: Como vale para as proporções múltiplas a propriedade P3, temos: x y z x y z x y z ou ou 3 5 2 3 5 2 3 5 2 Como x + y + z = 200, resulta: 200 x 20 x x 20 3 x 60 10 3 1 3 200 y 20 y y 20 5 y 100 10 5 1 5 200 z 20 z z 20 2 z 40 10 2 1 2 Logo: x = 60, y = 100 e z = 40. PARTE I: NÚMEROS PROPORCIONAIS 2.13) INTRODUÇÃO Consideremos o seguinte problema: Dois amigos jogaram na loteria esportiva e ganharam Cr$ 6 000 000. Como o primeiro entrou com Cr$ 1 200 e o segundo com Cr$ 1 800, combinaram que o prêmio seria dividido em partes proporcionais a estas quantias. Quanto coube a cada um? Para darmos a resposta a esta situação, devemos aprender a dividir um número (no caso, Cr$ 6 000 000) em partes proporcionais a dois outros (no caso, Cr$ 1 200 e Cr$ 1 800). É o que estudaremos nesta Unidade. 2.14) NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Sejam dois conjuntos, A e B, de números racionais em correspondência biunívoca: A = {2, 3, 5, 6, 10} B = {6, 9, 15, 18, 30} Determinando as razões entre os elementos correspondentes, verificamos que são iguais, isto é: 2 3 5 6 10 1 6 9 15 18 30 3 Neste caso, dizemos que os elementos dos conjuntos A e B são diretamente proporcionais. O número 1 3 é chamado fator de proporcionalidade. Exemplos: 1) Verificar se os elementos das sucessões (2, 5, 12) e (4, 10, 24) são diretamente proporcionais. 2 1 5 1 12 1 , 4 2 10 2 24 2 Como 2 5 12 1 4 10 24 2 , as sucessões são diretamente proporcionais. 2) As sucessões (4, x, 10) e (y, 14, 20) são diretamente proporcionais. Calcular o valor de x e de y. 4 x 10 pela definição y 14 20 4 10 10 y 4 20 10y 80 y 20 80 y y 8 10 x 10 20 x 14 10 20x 140 14 20 140 x x 7 20 Logo: x = 7 e y = 8. 2.15) DIVISÃO DE UM NÚMERO N EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Seja o problema: Dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais aos números 4, 2 e 3. Para resolver o problema, devemos: • Representar os números procurados por x, y e z; • Considerar as sucessões (x, y, z) e (4, 2, 3) como diretamente proporcionais. Então: x y z 180 a soma dos três números é igual a 180 x y z os números são diretamente proporcionais a 4, 2 e 3 4 2 3 x y z x y z x y ou ou 4 2 3 4 2 3 4 2 z pela propriedade das proporções 3 180 x 20 x x 20 4 x 80. 9 4 1 4 180 y 20 y y 20 2 y 40. 9 2 1 2 180 z 20 z z 20 3 z 60. 9 3 1 3 Resposta: Os números são 80, 40 e 60. CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 17 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 2.16) NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Consideremos dois conjuntos, A e B, em correspondência biunívoca: A = {2, 3, 5, 6, 10} B = {45, 30, 18, 15, 9} Determine o produto entre os elementos correspondentes, vemos que são iguais, isto é: 2 . 45 = 3 . 30 = 5 . 18 = 6 . 15 = 10 . 9 = 90 Neste caso, dizemos que os elementos dos conjuntos A e B são inversamente proporcionais. O número 90 é chamado fator de proporcionalidade. Considerando que: 2 . 45 = 3 . 30 = 5 . 18 = 6 . 15 = 10 . 9, vem que: 2 3 5 6 10 1 1 1 1 1 45 30 18 15 9 Podemos dizer que: Os elementos do conjunto A são diretamente proporcionais aos inversos dos elementos do conjunto B. Exemplo: 1) Verificar se os elementos das sucessões (2, 6, 9) e (18, 6, 4) são inversamente proporcionais. 2 . 18 = 36 , 6 . 6 = 36 9 . 4 = 36 Como 2 . 18 = 6 . 6 = 9 . 4 = 36, as sucessões são inversamente proporcionais. 2) As sucessões (2, x, 15) e (y, 12, 4) são inversamente proporcionais. Calcular o valor de x e de y. 2 y x 12 15 4 pela definição 60 2 y 15 4 2y 60 y y 30. 2 60 x 12 15 4 12x 60 x x 5. 12 Logo: x = 5 e y = 30. 2.17) DIVISÃO DE UM NÚMERO N EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Seja o problema: Dividir o número 390 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 4 e 3. Para resolver o problema, devemos: • Representar os números procurados por x, y, z; • Considerar as sucessões (x, y, z) e (2, 4, 3) como inversamente proporcionais. Então: x y z 390 a soma dos três números é 390 x y z os números são diretamente proporcionais 1 1 1 aos inversos de 2, 4 e 3 2 4 3 x y z x y z x y z ou ou 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 3 2 4 3 2 4 3 Como x + y + z = 390, resulta: 390 390 390 390 1 1 1 6 3 4 13 2 4 3 12 12 30 12 13 1 360 360 x 1 x 360 x 180. 11 2 2 360 y 1 y 360 y 90. 11 4 4 360 z 1 z 360 z 120. 11 3 3 Logo: Os números são 180, 90 e 120. PARTE II: REGRA DE TRÊS 2.18) INTRODUÇÃO Consideremos os seguintes problemas: 1º) Um automóvel, com uma velocidade média de 60 km/h, leva 5 horas para percorrer a distância entre duas cidades A e B. Se a sua velocidade média fosse de 80 km/h, qual seria o tempo gasto para percorrer a mesma distância? Representando por x o tempo pedido, observamos que: • Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade média (60 km/h e 80 km/h) com dois valores da grandeza tempo (5h e xh) • Queremos determinar um desses quatro valores, conhecendo os outros três. 2.º) Uma rua mede 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua. Supondo que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias o trabalho estará terminado? Representando por x o tempo pedido e observando que faltam 420 m para terminar o asfalto, temos: • Estamos relacionando dois valores da grandeza comprimento (180 m e 420 m) com dois valores da grandeza tempo (6 d e x d); • Queremos determinar um desses quatro valores, conhecendo os outros três. 18 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 2.19) GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Quando colocamos gasolina em nosso carro, despendemos certa importância dinheiro. A quantidade colocada e o preço que pagamos por ela são duas grandezas variáveis dependentes. O mesmo ocorre quando compramos arroz, feijão, batata, açúcar ... O peso e o custo da mercadoria comprada são grandezas variáveis dependentes. Consideremos, então, o exemplo seguinte, tomando como base o preço da batata em janeiro de 1985: 1 kg de batata custa Cr$ 1 000 2 kg de batata custam Cr$ 2 000 3 kg de batata custam Cr$ 3 000 4 kg de batata custam Cr$ 4 000 .................................................. Pelos valores encontrados, verificamos que: • Variando o peso, o custo também varia; • Duplicando, triplicando, ... o peso, o custo duplica, triplica, ... Neste caso, dizemos que as grandezas peso e custo são diretamente proporcionais. Daí a definição: Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando, ao dobro, ao triplo ... de uma, corresponde o dobro, o triplo ... da outra. Observemos, agora, o quadro com os valores do exemplo dado: Quantidade (em kg) Peço (em Cr$) 1 1 000 2 2 000 3 3 000 4 4 000 Considerando, duas a duas, as razões dos números que exprimem as medidas das grandezas, temos: 1 1 000 1 1 000 1 1 000 e , e , e 2 2 000 3 3 000 4 4 000 2 2 000 2 2 000 3 3 000 e , e , e 3 3 000 4 4 000 4 4 000 Vemos que, duas a duas, as razões são iguais: 1 1 000 1 1 000 1 1 000 e , e , e 2 2 000 3 3 000 4 4 000 2 2 000 2 2 000 3 3 000 e , e , e 3 3 000 4 4 000 4 4 000 Então: Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre os dois valores de uma é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra. 2.20) GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Consideremos a velocidade de um automóvel (suposta constante) e o tempo que ele gasta para percorrer certa distância: Com velocidade de 40 km/h, gasta 6 horas para percorrer a distância. Com velocidade de 80 km/h, gastará 3 horas para percorrer a mesma distância. Com velocidade de 120 km/h, gastará 2 horas para percorrer a mesma distância. Pelo valores encontrados, verificamos que: • Variando a velocidade, o tempo também varia; • Duplicando, triplicando ... a velocidade, o tempo fica reduzido à metade, à terça parte ... Neste caso, dizemos que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Daí a definição: Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando, ao dobro, ao triplo ... de uma, corresponde a metade, a terça parte ... da outra. Observemos, agora, o quadro com os valores do exemplo dado: Velocidade Tempo 40 km/h 6 h 80 km/h 3 h 120 km/h 2 h Considerando, duas a duas, as razões dos números que exprimem as medidas das grandezas, temos: 40 6 40 6 80 3 e , e , e 80 3 120 2 120 2 Vemos que uma razão é igual ao inverso da outra: 40 3 6 inverso de 80 6 3 40 2 6 inverso de 120 6 2 80 2 3 inverso de 120 3 2 Então: Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, a razão dos dois valores de uma é igual ao inverso da razão dos dois valores correspondentes da outra. 2.21) REGRA DE TRÊS SIMPLES Aprenderemos, agora, a resolver problemas que relacionam dois valores de uma grandeza A com dois valores de uma grandeza B, chamados problemas de regra de três simples. Resolver esses problemas significa determinar um desses quatro valores, conhecendo os outros três. CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 19 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 2.22) TÉCNICA OPERATÓRIA Representaremos por 1 2 1 2 a e a os dois valores da grandeza A. b e b os dois valores da grandeza B. Teremos, então, o seguinte esquema: Grandeza A Grandeza B a1 ______________ b1 a2 ______________ b2 Quando as grandezas A e B são diretamente proporcionais, escrevemos a proporção: 1 1 2 2 a b as razões são iguais a b Quando as grandezas A e B são inversamente proporcionais, escrevemos a proporção: a a1 2 2 1 a b a 1. razão é igual ao inverso da 2. a b Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: Uma máquina, trabalhando durante 40 minutos, produz 100 peças. Quantas peças iguais a essas serão produzidas pela máquina em 2h 30min? Tempo Produção 40 min _____________ 100 peças 150 min ____________ x peças (lembrete: 2h 30min = 150 min) As grandezas são diretamente proporcionais, pois, dobrando-se o tempo de funcionamento, o número de peças produzidas também dobrará. Então: 40 100 150 x 15 000 40 x 150 100 40x 15 000 x x 375. 40 Resposta: Em 2h 30min, a máquina produzirá 375 peças. Exemplo 2: Para realizar um serviço de terraplenagem, 4 máquinas levam 15 dias. Em quantos dias 6 máquinas iguais às primeiras fariam o mesmo serviço? N.o de máquinas Tempo 4 máq. _________ 15 dias 6 máq. _________ x dias As grandezas são inversamente proporcionais, pois, dobrando- se o número de máquinas, o tempo gasto para fazer o mesmo serviço fica reduzido à metade. Então: 4 x 60 6 x 4 15 6x 60 x x 10. 6 15 6 Resposta: As 6 máquinas fariam o serviço em 10 dais. 2.23) REGRA DE TRÊS COMPOSTA Estudaremos, agora, problemas que relacionam três ou mais grandezas. Exemplo 1: 4 operários produzem, em 10 dias, 320 peças de certo produto. Quantas peçasdesse produto serão produzidas por 10 operários em 16 dias? N.o de operários N.o de dias N.o de peças 4 _____________ 10 ______________ 320 10 ____________ 16 ______________ x Para verificar a proporcionalidade, consideremos separadamente a grandeza que possui a incógnita com cada uma das outras grandezas. Assim: Número de operários e número de peças são grandezas diretamente proporcionais. Número de dias e número de peças são grandezas diretamente proporcionais. Teremos, então, as razões: 4 10 320 10 16 x . Escrevemos a proporção igualando a razão que contém o termo desconhecido com o produto das outras razões: 320 4 x 1 10 1 10 1 16 4 320 1 x 320 4 x 1 280. x 4 Resposta: Serão produzidas 1 280 peças. Exemplo 2: 18 operários, trabalhando 7 horas por dia, fazem determinado serviço em 12 dias. Em quantos dias, 12 operários que trabalham 9 horas por dia farão serviço idêntico? N.o de operários N.o de horas por dias N.o de dias 18 _____________ 7 ______________ 12 12 _____________ 9 ______________ x Número de operários e número de dias são grandezas inversamente proporcionais. Número de horas por dia e número de dias são grandezas inversamente proporcionais. As razões são: 12 18 inverso de 18 12 , 9 7 inverso de 7 9 , 12 x A proporção é: 12 12 x 6 18 2 1 9 1 7 12 6 84 6x 84 x x 14 x 7 6 Resposta: Farão serviço idêntico em 14 dias. 20 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM Questão 01 Sabendo que: a b c 7 3 2 a b c 16 Calcule os valores de a, b e c. Questão 02 Dois números estão entre si como 2 está para 1. Sabendo que a diferença entre eles é 40, calcule os dois números. Questão 03 A diferença entre dois números é 75. O maior deles está para 5, assim como o menor está para 2. Quais são esses números? Questão 04 Divida: a) 357 em partes diretamente proporcionais a 1, 7 e 13; b) 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6; Questão 05 Precisamos repartir R$ 5000,00 entre Marcelo, 7 anos, Luciano, 8 anos, e Alexandre, 10 anos, de modo que cada um receba uma quantia proporcional à sua idade. Como devemos fazer a divisão? Questão 06 Marlene está lendo um livro com 352 página. Em 3 horas ela já leu 48 páginas. Quanto tempo Marlene vai levar para ler o livro todo? Questão 07 Três torneiras idênticas, abertas completamente, enchem um tanque com água em 2h24min. Se, em vez de 3, fossem 5 dessas torneiras, quanto tempo levariam para encher o mesmo tanque.? Questão 08 Para alimentar 50 coelhos durante 15 dias são necessários 90 kg de ração. Quantos coelhos é possível alimentar em 20 dias com 117 kg de ração? Questão 09 Para produzir 1 000 livros de 240 páginas, uma editora consome 360 Kg de papel. Quantos livros de 320 páginas é possível fazer com 720 kg de papel? Questão 10 Se 12 operários, trabalhando 10 horas diárias, levantam um muro de 20 m de comprimento 6 dias, em quanto tempo 15 operários, trabalhando 8 horas por dia, levantarão um muro de 30 m com a mesma altura e largura do anterior? Anotações CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 21 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO Questão 11 (UNICAMP) Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1 : 50, as dimensões de uma sala retangular são 10 cm e 8 cm. Calcule a área real da sala projetada. Questão 12 Qual a medida do maior ângulo de um quadrilátero, se os ângulos têm medidas inversamente proporcionais a: 1, 1/2, 1/4, 0,2. Questão 13 A média aritmética de um conjunto de 50 números é 38. Se dois números, a saber, 45 e 55, são retirados, a média do conjunto restante é: a) 36,5. b) 37. c) 37,2. d) 37,5. e) 37,52 Questão 14 A média aritmética entre dois números é 5. E a média harmônica entre eles é 24 5 . Calcule a média geométrica desses dois números. Questão 15 José e Carlos organizaram uma firma comercial com um capital social de R$ 3.000,00 devendo cada um deles entrar com R$ 1.500,00. No ato da organização, 1º de janeiro, José integralizou sua quota e Carlos contribuiu com apenas R$ 1.000,00, integralizando sua quota após 5 meses. Em 31 de dezembro foi procedido o balanço, tendo sido apurado um lucro de R$ 670,00. Qual a parte a ser creditada a cada sócio? Questão 16 (UFJF – Adaptada) Num terreno retangular, deseja-se construir uma casa, uma área de lazer, uma área de serviço e uma garagem. O terreno possui comprimento igual a 15 metros e está dividido em quatro quadrados, conforme mostra a figura abaixo. Qual a largura do terreno? a) 7m b) 8m c) 9m d) 10m e) 12m Questão 17 Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900m3. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500m3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os raios utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente. A quantidade de, ralos do novo reservatório deverá ser igual a: a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 9 Anotações 22 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) Questão 18 (PUC) Dois ângulos complementares A e B, sendo A < B, têm medidas na razão de 13 para 17. Consequentemente, a razão da medida do suplemento do ângulo A para o suplemento do ângulo B vale: a) 43 47 b) 17 13 c) 13 17 d) 119 48 e) 47 43 Questão 19 Doze pedreiros constroem 27 m² de um muro em 30 dias, trabalhando 8 h por dia. Quantas horas devem trabalhar por dia, dezesseis pedreiros durante 24 dias, para construírem 36 m² do mesmo muro? a) 20 horas b) 12 horas c) 10 horas d) 8 horas Questão 20 Uma empresa se compromete a realizar uma obra em 30 dias, iniciando a obra com 12 operários, trabalhando 6 horas por dia. Decorridos 10 dias, quando já havia realizado 1/3 da obra, a empresa teve que deslocar 4 operários para outro projeto. Nessas condições, para terminar a obra no prazo pactuado, a empresa deve prorrogar o turno por mais: a) 2h e 30min. b) 2h. c) 3h. d) 1h. e) 1h e 30min. Anotações CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 23 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Questão 01 Se x – y = 20 e x 3 y , pode-se dizer corretamente que x2 + y2 vale: a) 900 b) 1000 c) 1100 d) 1200 Questão 02 Na proporção 2 6 5 5 x 2 x 4 , o valor de x é elemento do conjunto: a) {–20, –10} b) {–5, 1} c) {5, 10} d) {4, 20} Questão 03 A diferença entre dois números é 45. O maior deles está para 9 assim como o menor está para 4. Logo, o maior número é: a) 60 b) 72 c) 75 d) 81 Questão 04 João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 20000,00 e Maria, com R$ 30000,00. Seao fim de um ano eles obtiverem um lucro de R$ 7500,00, quanto vai caber a cada um? Questão 05 O relógio de Nanci atrasa 26 segundos a cada 48 horas. Quanto vai atrasar em 30 dias? Questão 06 Um navio foi abastecido com comida suficiente para alimentar 14 pessoas durante 45 dias. Se 18 pessoas embarcarem nesse navio, para quantos dias, no máximo, as reservas de alimento serão suficientes? Questão 07 Para revestir uma parede de 3 m de comprimento por 2,25 m de altura, são necessários 300 azulejos. Quantos azulejos seriam necessários se a parede medisse 4,5 m x 2 m? Questão 08 Uma montadora de automóveis demora 8 dia; para produzir 200 veículos; trabalhando 9 horas por dia. Quantos veículos montará em 15 dias, funcionando 12 horas por dia? Questão 09 Para abrir uma valeta de 50 m de comprimento e 2 m de profundidade, 10 operários levam 6 dias. Quantos dias serão necessários para abrir 80 m de valeta com 3 m de profundidade, dispondo de 16 operários? Questão 10 Se 5 homens podem arar um campo de 10 hectares em 9 dias, trabalhando 8 horas por dia, quantos homens serão necessários para arar 20 hectares em 10 dias, trabalhando 9 horas por dia? Questão 11 O produto de dois números positivos é 72 e a razão entre eles 2 9 . Determiná-los. Questão 12 (UFRJ) Um automóvel de 4,5 m de comprimento é representado, em escala, por modelo de 3 cm de comprimento. Determine a altura do modelo que representa, na mesma escala, uma casa de 3,75m de altura. Questão 13 Dividindo-se 1.650 em partes diretamente proporcionais a 4, 1 6 4 e 7 2 a soma das duas partes menores é: a) 720. b) 800. c) 870. d) 900. Questão 14 Se a média geométrica de dois números vale 2 5 e a média aritmética é 9 2 . Calcule esses números. Questão 15 Aplicou-se uma prova de uma classe de vinte rapazes e trinta moças. Os rapazes e trinta moças. Os rapazes obtiveram média 8 e as moças média 7. A média da classe foi: a) 7,40 b) 7,45 c) 7,50 d) 7,55 e) 7,60 Questão 16 Reparti 230 balas entre minhas três sobrinhas que tem respectivamente 4, 5 e 8 anos quantas balas recebeu cada uma se a divisão foi feita em partes inversamente proporcionais à idade. a) 100, 80 e 50. b) 90, 70 e 40. c) 80, 60 e 30. d) 70, 50 e 20. e) 60, 40 e 10. Questão 17 Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 18.000,00, R$ 25.000,00 e R$ 27.000,00 e obtiveram um lucro líquido de R$ 35.000,00. Qual será a parte de cada um? Questão 18 Uma obra é construída em 8 dias, por 9 pedreiros trabalhando 5 horas por dia. Em quantos dias 12 pedreiros, trabalhando 6 horas por dia, poderia realizar a mesma obra? a) 5 dias d) 25 dias b) 8 dias e) 32 dias c) 15 dias Questão 19 Quinze operários, trabalhando 9h por dia, construíram 36 m de muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operários terão 60 m do 24 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) mesmo muro, trabalhando 8h por dia? a) 25 dias b) 42 dias c) 45 dias d) 50 dias e) 55 dias Questão 20 Trabalhando 10 horas por dia, durante 16 dias, 8 pedreiros fizeram uma parede de concreto de 48 m2. Se tivesse trabalhando 12 horas diárias, e se o número de operários fosse reduzido de 2, quantos dias levariam para fazer outra parede cuja área fosse o dobro daquela? a) 33 dias b) 33 dias e 8 horas c) 34 dias e 4 horas d) 33 dias e 6 horas e) 35 dias 13 horas e 20 minutos CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA AULA 3 – Prof Raul Brito CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 03 – PORCENTAGEM PORCENTAGEM 3.1) DEFINIÇÃO A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, significando "por cento", "a cada centena") é uma medida de razão com base 100. É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é 100, ou seja, é dividir um número por 100. 3.2) SÍMBOLO Muitos acreditam que o símbolo "%" teria evoluído a partir da expressão matemática x 100 . Porém, alguns documentos altamente antigos sugerem que o % evoluiu a partir da escrita da expressão latina "per centum", sendo conhecido em seu formato atual desde meados do século XVII. Apesar do nome latino, a criação do conceito de representar valores em relação a uma centena é atribuída aos gregos. • Símbolo no século XV • Símbolo no século XVII • Símbolo a partir do século XVIII Segundo o historiador David Eugene Smith, o símbolo seria originalmente escrito "per 100" ou "per c". Smith estudou um manuscrito anónimo de 1425, contendo um círculo por cima do "c". Com o tempo a palavra "per" acabaria por desaparecer e o "c" teria evoluído para um segundo círculo. 3.3) SIGNIFICADO DO TERMO PORCENTAGEM Dizer que algo (chamaremos de blusas) é "70%" de uma loja (lê-se: "as blusas são setenta por cento de uma loja"), significa dizer que blusas é equivalente a 70 elementos em um conjunto universo de 100 elementos (representando lojas, que pode ter qualquer valor), ou seja, que a razão é a divisão: 70 0,7 100 Ou seja, a 0,7ª parte de 1, onde esse 1 representando o valor inteiro da fração, no caso, "loja". Em determinados casos, o valor máximo de uma percentagem é obrigatoriamente de 100%, tal qual ocorre na umidade relativa do ar. Em outros, contudo, o valor pode ultrapassar essa marca, como quando se refere a uma fração maior que o valor (500% de x é igual a 5 vezes x). 3.4) PONTO PERCENTUAL Ponto percentual é o nome da unidade na qual pode ser expressa o valor absoluto da diferença entre quaisquer pares de porcentagens. Por exemplo: se uma determinada taxa de juros cair de 24% ao ano para 12% ao ano, pode-se dizer que houve redução de 50% {[(valor inicial)-(valor final)]/(valor inicial)}, mas não que houve redução de 12%. Dizer que houve uma redução de 12% implica que o valor final seja de 12% menor que o valor inicial, no nosso exemplo, a taxa final seria 21,12% ao invés de 12%. O Ponto Percentual é uma unidade que pode expressar essa diferença, voltando ao nosso exemplo, é correto dizer que houve redução de 12 pontos percentuais na tal taxa de juros. 3.5) CÁLCULO DE UMA PORCENTAGEM Vamos ver exemplos resolvidos de situações que envolvem o cálculo de porcentagens, para que depois você possa entender com maior facilidade as questões que resolveremos juntos em nosso curso online e em seguinda, consiga resolver as questões propostas para o seu treino em casa. Exemplo 1: Qual é o valor de 25% de 50 ? Resolução: Note que 100% representa o total, ou seja, 50. E 25% representa X. Fazendo a regra de três, temos: 50/100 = X/25 50 . 25 = 100X 1250 = 100X X = 1250/100 X = 12,5. Portanto, 25% de 50 é 12,5. Resposta: 12,5. Exemplo 2: Segundo a reportagem “Gastos de turistas da Europa e EUA no Brasil é mais do que o dobro dos sul-americanos”, publicada no jornal O Estado de S. Paulo, 5,67 milhões de turistas 26 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 3 – PORCENTAGEM CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 3 - Prof. Raul Brito) visitaram o Brasil em 2012. O gasto médio dos estrangeiros do turismo
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