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[vestcursos] Matemática - Apostila 1

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SUMÁRIO - Versão 2
Aula 1 – Revisão de Matemática do 1º Grau ............................................................................................................. 01 
Aula 2 – Razão e Proporção ...................................................................................................................................... 12 
Aula 3 – Geometria Espacial – Parte 2 – Corpos Redondos ..................................................................................... 25 
Aula 4 – Matemática Financeira ................................................................................................................................. 34 
Aula 5 – Inequações de 1º e 2º Graus ....................................................................................................................... 41 
Aula 6 – Produtos Notáveis e Fatoração ................................................................................................................... 56 
Aula 7 – Teoria dos Conjuntos .................................................................................................................................. 63 
Aula 8 – Relações e Funções ................................................................................................................................... 78 
Aula 9 – Funções de 1º e 2º Graus no Vestibular ..................................................................................................... 93 
Aula 10 – Função Modular ......................................................................................................................................... 118 
Aula 11 – Exponenciais e Função Exponencial ......................................................................................................... 128 
Aula 12 – Logaritmos ................................................................................................................................................. 140 
Aula 13 – A Trigonometria e Geometria Plana .......................................................................................................... 153 
Aula 14 – Geometria Plana – Parte II ........................................................................................................................ 165 
Aula 15 – Trigonometria – Parte I .............................................................................................................................. 175 
Aula 16 – Trigonometria – Parte II ............................................................................................................................. 190 
Aula 17 – Trigonometria – Parte III ............................................................................................................................ 201 
Aula 18 – Análise Combinatória ................................................................................................................................ 214 
Aula 19 – Probabilidades – Parte I ............................................................................................................................. 222 
Aula 20 – Probabilidades – Parte II ............................................................................................................................ 229 
Resoluções de Exercícios de Fixação ....................................................................................................................... 234 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 1 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1o GRAU 
 
1.1) SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
 O sistema de numeração que usamos é o sistema de 
numeração decimal, pelo fato de contarmos os elementos em 
grupos de dez. 
 
Dezenas 

 cada grupo de 10 unidades 
 dezenas = 10 unidades 
Centenas 

 cada grupo de 10 dezenas 
 centenas = 100 unidades 
Milhar 

 cada grupo de 10 centenas 
 milhar = 1000 unidades 
 
Dizemos que cada algarismo ocupa uma ordem ou classe (ou 
casa) no numeral: 
Ex: 7 8 9 
9 

 casa das unidades (ordem das unidades) 
8 

 casa das dezenas (ordem das dezenas) 
7 

 casa das centenas (ordem das centenas) 
 
A partir de 1000, os números são indicados por quatro ou mais 
algarismos. Neste caso, separamos os algarismos em classes de 
três, da direita pra esquerda (a última pode ficar incompleta) 
 __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 
 12º 11º 10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º 
 
1º 

 Ordem das unidades 
2º 

 Ordem das dezenas 
3º 

 Ordem das centenas 
4º 

 Ordem das unidades de milhar 
5º 

 Ordem das dezenas de milhar 
6º 

 Ordem das centenas de milhar 
7º 

 Ordem das unidades de milhão 
8º 

 Ordem das dezenas de milhão 
9º 

 Ordem das centenas de milhão 
10º 

 Ordem das unidades de bilhão 
11º 

 Ordem das dezenas de bilhão 
12º 

 Ordem das centenas de bilhão 
 
1.2) FORMA POLINOMIAL 
Baseado no sistema de numeração decimal (posicional) podemos 
escrever da seguinte forma: 
428 = 4.100 + 2.10 + 8.1 ou 4.102 + 2.101 + 8.100 
 
ATENÇÃO! 
Será bastante útil nas resoluções dos problemas envolvendo 
sistema de numeração as notações. 
Para um número de dois algarismos: 
N = [ab] 

 forma polinomial: N = 10 a + b 
Para um número de três algarismos: 
N = [abc] 

 forma polinomial: N = 100 a + 10 b + c 
 
1.3) NÚMEROS NATURAIS 
Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, 
obtemos o que chamamos de números naturais: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12... 
 
O sucessor de um número natural n é escrito (n + 1), e o 
antecessor de n é (n – 1) 
 
Números consecutivos naturais podem ser consecutivos pares, 
ímpares ou simplesmente consecutivos. Veja as seguintes 
notações: 
I. n, n + 1, n + 2, ... consecutivos 
II. 2n, 2n + 2, 2n + 4, ... consecutivos pares 
III. 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, ... consecutivos ímpares 
 
1.4) OPERAÇÕES: 
I – Adição: Na adição de dois, três ou mais números naturais, 
podemos substituir por um número o que chamamos de soma. 
 
a + b + c = S, onde: a, b e c são as parcelas e S é a soma. 
 
É importante lembrar que a ordem desses fatores não altera o 
produto. 
 
II – Subtração: Sejam a e b números naturais, partimos que a > b 
escrevemos: 
 
a – b = D ou a – b = R, onde: a é o minuendo, b é o subtraendo e D 
ou R é o resto ou diferença. 
 
III – Multiplicação: Na multiplicação de dois, três ou mais números 
naturais, podemos substituir por um número ou (fator) o que 
chamamos de produto. 
 
a · b · c = P, onde: a, b e c são fatores e P o produto. 
 
É importante lembrar que a ordem desses fatores não altera o 
produto. 
 
IV – Divisão: A divisão pode ser exata ou não-exata. 
 
Divisão Exata: Considerando a e b números inteiros onde 
a  b  0. Dizemos que “b” é divisor de “a” quando existe “q” 
também inteiro tal que a = b q, onde: a é dividendo, b é divisor e 
q é o quociente. 
 
 
 
 
 
 2 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 
Relação Fundamental da Divisão (R.F.D) 
 
     
a b
a b q r, onde 0 r b.
r q
 
 
a é o dividendo; b é o divisor; q é o quociente e r o resto. 
 
1.5) NÚMEROS PRIMOS 
O que é número primo? 
A seguirestão representados os números naturais de 2 a 50: 
 
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
 
 
Fazendo um círculo no número 2 e, em seguida, apagando todos 
os outros números que são divisíveis por 2, que números 
permanecem? 
 
 2 3 5 7 9 
11 13 15 17 19 
21 23 25 27 29 
31 33 35 37 39 
41 43 45 47 49 
 
Agora, circulando o número 3 e apagando todos os outros números 
que são divisíveis por 3, quais ficam? 
 
 2 3 5 7 
11 13 17 19 
 23 25 29 
31 35 37 
41 43 47 49 
 
Fazendo agora um círculo em volta do próximo número, que é o 5, 
e, em seguida, apagando todos os outros números divisíveis por 5, 
quais ainda continuam? 
 
 2 3 5 7 
11 13 17 19 
 23 29 
31 37 
41 43 47 49 
 
Se prosseguirmos fazendo assim, colocando um círculo no 
primeiro número não assinalado e apagando os demais números 
que são divisíveis por ele, vão sobrar apenas os números 
assinalados com o círculo. Veja os números que permanecem: 
 
 2 3 5 7 
11 13 19 
 23 29 
31 37 
41 43 47 
Esses números que ficaram assinalados com o círculo são 
números primos. Você sabe o que é um número primo? 
Um número natural, maior que 1, é primo quando só é 
divisível por 1 e por ele mesmo. 
 
Os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13, por exemplo, são números primos. 
Cada um deles é divisível por exatamente dois números: 1 e ele 
mesmo. 
 Números como 4, 6, 8, 9, 10, 12 e 15 são chamados números 
compostos. Cada um deles é divisível por mais de dois números. 
 
Um número natural, maior que 1, é composto quando é divi-
sível por mais de dois números naturais. 
 
Observações: 
Pelo texto acima, os números 0 e 1 não entram na classificação de 
primo. O número 0 é divisível por mais de dois números naturais (é 
divisível por 1, por 2, por 3, por 4, etc.). Por isso, é considerado 
número composto. 
Já o número 1, que só e divisível por ele mesmo, não é 
considerado primo nem composto. 
 
1.6) COMO RECONHECER UM NÚMERO PRIMO 
Há infinitos números primos. 
Para saber se um número é primo, devemos dividi-Io 
sucessivamente pelos números primos (2, 3, 5, 7, etc.) e verificar o 
que acontece: 
• Encontrando um resto zero, o número não é primo. 
• Se nenhum resto é zero, o número é primo. Nesse caso, só 
precisamos fazer as divisões até obter um quociente menor 
ou igual ao divisor. 
Veja: 
• 197 não é divisível por 2, porque não é par. 
• 197 não é divisível por 3, porque a soma dos seus algarismos 
(1 + 9 + 7 = 17) não é divisível por 3. 
• 197 não é divisível por 5, porque não termina em zero ou 5. 
• 197 7
57 28
8
 
 
• 197 11
87 17
10
 
 
• 197 13
67 15
2
 
 
• 197 17
27 11
10
 
Não precisamos continuar as divisões. Como não encontramos 
nenhum resto igual a zero até obter um quociente menor que o 
divisor, concluímos que 197 é número primo. 
 
 
 
 
 
197 não é divisível por 7, porque nessa divisão 
ocorre resto 1. O quociente (28) é maior que o 
divisor (7). 
197 não é divisível por 11, porque nessa divisão 
ocorre resto 10. O quociente (17) é maior que o 
divisor (11). 
197 não é divisível por 13, porque nessa divisão 
ocorre resto 2. O quociente (15) é maior que o 
divisor (13). 
197 não é divisível por 17, porque nessa divisão 
ocorre resto 10. O quociente (11) é menor que o 
divisor (17). 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
3 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
1.7) ALGORITMO DA DIVISÃO 
Dados dois números inteiros D e d, sendo d 0, existe um único 
par de números inteiros (q, r) tal que D = d · q + r e 
 0 r d .
 
Dizemos que q é o quociente e r é o resto da divisão de D por q (D 
é o dividendo e d é o divisor). 
 
 
     
D d
D d q r onde 0 r d
r q
 
 
 
 
1.8) CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
É possível estabelecer algumas regras que permitem verificar 
se um número natural é divisível por outro. Estas regras são 
chamadas de critérios de divisibilidade. 
 
Um número natural N é divisível por: 
2 se seu algarismo da unidade é par: 
Ex.: 31457968 
3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3. 
Ex.: 96257832 ( = 42) 
4 se o número formado por seus dois últimos algarismos 
é divisível por 4. 
Ex.: 63517916 ou 00 
5 se seu algarismo da unidade é 0 ou 5. 
Ex.: 73689210 ou 5 
6 se é divisível por 2 e por 3. 
Ex.: 96257832 
7 * 
8 se o número formado por seus três últimos algarismos 
é divisível por 8. 
Ex.: 42796512 ou 000 
9 se a soma de seus algarismos é divisível por 9. 
Ex.: 56482371 ( = 36) 
10 se seu algarismo das unidades é 0. 
Ex.: 27865390 
11 * 
 
 
Divisibilidade por 7 
 Um número com mais de 3 algarismos é divisível por 7 quando 
a diferença entre a soma das classes ímpares e a soma das 
classes pares é zero ou múltiplo de 7. 
Exemplo: 
103381285 é divisível por 7? 
3ªclasse 2ªclasse 1ªclasse
103 381 285
 
Soma das classes ímpares 385 + 103 = 388 
Soma das classes pares = 381 
Diferença = 7 
 
Como o obtido na diferença é um número múltiplo de 7, temos que 
103381285 também é múltiplo de 7. 
 
Observação 
Se a soma das classes ímpares for menor que a soma das 
classes pares, somamos às classes ímpares tantos 7 quantos 
forem necessários até que se torne maior ou igual à soma das 
classes pares. 
Divisibilidade por 11 
Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a 
soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de 
ordem par é zero ou múltiplo de 11. 
Exemplo: 103742 é divisível por 11? 
Note: 
1 0 3 7 4 2
 
 
Soma das ordens ímpares 2 + 7 + 0 = 9 
Soma das ordens pares 4 + 3 + 1 = 8 
Diferença 9 – 8 = 1 
Logo, o número não é divisível por 11 e o resto na divisão por 11 é 
1. 
 
Observação 
Se a soma dos algarismos de ordem ímpar for menor que a 
soma dos algarismos de ordem par, somamos a ela tantos 
11 quantos forem necessários até torná-Ia maior ou igual à 
soma dos algarismos de ordem par. 
 
1.9) DESCOBRINDO OS DIVISORES DE UM NÚMERO 
Existe um método prático para obter todos os divisores de um 
número. Veja como vamos achar os divisores de 18: 
1) Fatoramos o número 18. 
18 2
9 3
3 3
1
 
 
2) Colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos. 
18 2
9 3
3 3
1
 
 
3) Ao lado desse novo traço e uma linha acima, colocamos o sinal 
de multiplicação e o número 1. Na linha seguinte (a linha do fator 
2), colocamos o produto de 2 pelo número que está na linha acima 
dele 
(2 1 2).
 
 1
18 2
9 3
3 3
1
 
4) Na linha seguinte (a linha do fator 3), colocamos o produto de 3 
pelos números que estão nas linhas acima dele, à direita do traço 
(3 1 3 e 3 2 6).
 
 1
18 2
9 3
3 3
1
 
 
quociente 
divisor 
resto 
dividendo 
algarismos de ordem ímpar 
algarismos de ordem par 
2 
2 
3 – 6 
 
 
 
 
 4 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 
resto 
5) Repetimos esse procedimento nas outras linhas, anotando cada 
resultado uma só vez (como o produto de 3 1 e 
3 2 já foi anotado, registramos 3 3 = 9 e 3 6 = 18). 
 1
18 2
9 3
3 3
1
 
 
Os números colocados à direita da segunda linha vertical são os 
divisores do número 18: 
1, 2, 3, 6, 9 e 18 
 
1.10) QUANTIDADE DE DIVISORES 
Se N = 2ª · 3b · 5c · 7d · ...,a quantidade de divisores (positivos) de 
N, dada por: 
 
n[D(N)] = (a + 1) · (b + 1) · (c + 1) · (d + 1) ... 
 
Exemplo: 
O número de divisores positivos de 90 é: 
 



       



1 2 1
90 2
45 3
15 3 90 2 · 3 · 5 n[D(90)] (1 1)· (2 1)· (1 1) 2· 3· 2 12
5 5
1
 
Observação 
Para encontrar os 12 divisores de 90 faça: 
1
90 2 2
45 3 3, 6
15 3 9, 18
5 5 5, 10, 15, 30, 45, 90
1
 
Logo os 12 divisores de 90 são 
D(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} 
 
 
 
1.11) RESTO DA DIVISÃO 
Veremos nesta seção, como comportam-se os restos das divisões 
por números naturais. 
 
Resto da divisão por 2 e por 5. 
O resto da divisão de um número por 2 ou 5 é o mesmo que o da 
divisão do algarismo das unidades por 2 ou 5. Exemplos: 
3.277 (7 : 2) resto 1 
3.277 (7 : 5) resto 2 
1.323 (3 : 2) resto 1 
1.323 (3 : 5) resto 3 (é o próprio algarismo das unidades do 
nº). 
 
 
Observação 
No caso da divisão por 2, temos ainda a opção de 
utilizarmos a seguinte regra prática: 
Se o número a ser dividido for par o resto da divisão é 
zero, e se for ímpar o resto será um. 
 
Resto da divisão por 3 e por 9. 
O resto da divisão de um número por 3 ou 9 é o mesmo que o da 
divisão da sorna dos valores absolutos dos sem algarismos, por 3 
ou 9. 
Exemplos: 
5.297 (5 + 2 + 9 + 7) : 3 23 : 3 resto 2 
5.297 (5 + 2 + 9 + 7) : 9 23 : 9 resto 5 
 
Resto da divisão por 4. 
O resto da divisão de um número por 4 é o mesmo que o da 
divisão do número formado pelos algarismos das dezenas e das 
unidades de seu numeral por 4. 
Exemplo: 
49615 (15 : 4) resto 3 
 
Resto da divisão por 6. 
O resto da divisão de um número por 6 é o mesmo que o resto da 
divisão da soma do algarismo das unidades do número dado com o 
quádruplo da soma dos algarismos restantes. 
Exemplo: 
Qual o resto da divisão de 
 por 6? 
 
        
Soma dos algarismos
restantes
4 4 (2 2 2 1) 4 4 7 32
 
quádruplo 
Logo 
32 6
2 5
 
Assim o resto procurado é 2. 
 
Resto da divisão por 7. 
Caso a diferença entre o somatório das classes não seja um 
número múltiplo de 7, porém maior que 7 pode-se obter o resto, 
efetuando-se a divisão da diferença obtida por 7. 
Exemplo: 
Qual o resto da divisão de 111381285 por 7? 
3ª Classe 2ªClasse 1ªClasse
111 381 285
 
 
Soma das classes ímpares 285 + 111 = 396 
Soma das classes pares = 381 
Diferença = 15 
 
Como 15 não é múltiplo de 7 temos que o número 111381285 não 
é divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será: 
 
15 7
1 2
 
 
Porém se a diferença entre o somatório das classes não for um 
número múltiplo de 7 mas menor que 7, esta diferença já será o 
resto. 
2 
 
2 2 2 1 4
3 – 6 
9 – 18 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
5 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Exemplo: Qual o resto da divisão de 213340132 por 7? 
3ª Classe 2ªClasse 1ªClasse
213 340 132
 
Soma das classes ímpares 213 + 132 = 345 
Soma das classes pares = 340 
Diferença = 5 
 
Como 5 não é múltiplo de 7, temos que o número 213340132 não é 
divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será 5. 
 
Resto da divisão por 8. 
O resto da divisão de um número por 8 é o mesmo que o da 
divisão do número formado pelos algarismos das centenas, 
dezenas e das unidades de seu numeral por 8. 
Exemplo: 
318574 (574 : 8) resto 6 
 
Resto da divisão por 10. 
O resto da divisão de um número por 10 é o algarismo das 
unidades do numeral desse número. 
Exemplo: 
1.315 resto 5 
 
Resto da divisão por 11. 
Caso a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a 
soma dos algarismos de ordem par não seja um número múltiplo 
de 11, porém maior que 11, pode-se obter o resto efetuando-se a 
divisão da diferença obtida por 11. 
Exemplo: Qual o resto da divisão de 8192837 por 11? 
8 1 9 2 8 3 7
 
 
Soma das ordens ímpares 8 + 9 + 8 + 7 = 32 
Soma das classes pares = 6 
Diferença = 26 
 
Como 26 não é múltiplo de 11, temos que o número 81 92837 não 
é divisível por 11 e o resto de sua divisão por 11 será: 
 
26 11
4 2
 
 
1.12) MÚLTIPLO DE UM NÚMERO 
O múltiplo de um número natural é o produto dele por um número 
inteiro. Assim, por exemplo, o conjunto dos múltiplos de 7 (indicado 
por M(7)) é: 
 

   
  

   
      
   
  

   


7· (0) 0
7· ( 1) 7
7· ( 2) 14
7· ( 3) 21
M(7) {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...)
7· ( 4) 28
7· ( 5) 35
7· ( 6) 42
 
1.13) MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
Definição: O mínimo múltiplo comum (MMC) entre os números 
inteiros e positivos a e b, MMC(a, b), é o produto dos fatores 
primos comuns e não comuns de a e b, tomados com o maior 
expoente. 
 
 
1.14) MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
Definição: O máximo divisor comum (MDC) entre os números 
inteiros e positivos a e b, MDC(a, b), é o produto dos fatores 
primos comuns de a e b, tomados com o menor expoente. 
 
 
1.15) PROPRIEDADES DO MDC E DO MMC 
1ª) Se dois números são primos entre si o MMC é o produto 
deles e o MDC é 1. 
 Ex.: MMC(7, 9) = 63; MDC(7, 9) = 1 
 
2ª) Quando um número é divisível por outro, o maior deles é o 
MMC e o menor é o MDC. 
 Ex.: MMC(6, 36) = 36; MDC(6, 36) = 6 
 
3ª) O produto de dois números a e b é igual ao produto do MDC 
pelo MMC desses números. 
 
a · b = MMC(a, b) · MDC(a, b) 
 
 Ex.: 
  15 20 MMC(15, 20) MDC(15, 20)
 
 300 60 · 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
algarismos de ordem par 
algarismos de ordem ímpar 
resto 
 
 
 
 
 6 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
Sejam A e B algarismos que compõem os números AB e A1B representados em notação posicional. 
Sabendo que B = 2.A e que a diferença entre A1B e AB vale 280, determine o valor de A + B. 
 
Questão 02 
O número de inteiros positivos que são divisores do número N = 214 × 353, inclusive 1 e N, é 
a) 84. b) 86. c) 140. d) 160. e) 162. 
 
Questão 03 
O Sr. Francisco foi com seu filho João, comprar azulejos que necessitava para a reforma do banheiro 
de sua casa. O Sr Francisco explicou ao vendedor da loja que a parede onde utilizaria os azulejos era 
retangular e media 3,15 metros de altura por 6,15 metros de comprimento. E por uma questão de 
economia ele gostaria de utilizar o menor numero possível de azulejos quadrados. Antes que o 
vendedor planejasse quantos azulejos seriam necessários para revestir toda a parede, o Sr Francisco 
esclarecer que ele poderia desprezar os espaços ocupados pelos rejuntes entre um azulejo e outro. 
João ficou todo feliz e disse: papai eu sei calcular quantos azulejos serão necessários e disse a seu 
pai a quantidade de azulejo que ele deveria comprar. 
Pergunta-se: 
a) Quais cálculos devem ser feitos por João para encontrar o numero de azulejos, nas condições 
acima? 
b) Qual a quantidade de azulejos calculada por João 
c) Qual a medida do lado do azulejo? 
 
Questão 04 
Numa divisão, o quociente é igual ao divisor e o resto é o maior possível. Sabendo que a soma do 
divisor com o quociente vale 6, calcule o dividendo. 
 
Questão 05 
Ache um númerode dois algarismos XY sabendo que a soma dos seus algarismos vale 6 e que, 
subtraindo 36 unidades do número XY, ele fica escrito na ordem inversa YX. 
 
Questão 06 
O estoque de um depósito atacadista de cereais está constituído de 8 sacas de arroz com 60kg cada, 
9 sacas de trigo com 64kg cada e 6 sacas de milho com 72kg cada. Os cereais disponíveis devem ser 
reembalados em sacas menores, todas com o mesmo peso, com o maior peso possível em cada saca, 
sem misturar os cereais e sem sofrer qualquer perda. Nas novas embalagens, o estoque ficará 
distribuído em n sacas. O valor de n é: 
a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 
 
Questão 07 (UECE) 
Três cidades brasileiras, A, B e C, realizam grandes festas: de 5 em 5 meses em A, de 8 em 8 meses 
em B e de 12 em 12 meses em C. Essas festas coincidiram em setembro, de 2002. Coincidirão 
novamente em: 
a) outubro de 2011. 
b) setembro de 2003. 
c) setembro de 2012. 
d) algum mês de 2004. 
e) fevereiro de 2015. 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
7 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Questão 08 
Seja N = 4784351269534. Sabe-se que os restos das divisões de N por 5, 8 e 9 são respectivamente 
n, p e q. Então o mínimo múltiplo comum de n, p e q vale: 
a) 76 b) 84 c) 88 d) 92 e) 96 
 
Questão 09 
O número 97381285: 
a) é divisível por 7. 
b) na divisão por 7 deixa resto 1. 
c) na divisão por 7 deixa resto 2. 
d) na divisão por 7 deixa resto 3. 
e) na divisão por 7 deixa resto 4. 
 
Questão 10 
De forma a não machucar as belas maças que comprou na feira, a governanta da casa de uma família 
arruma as frutas em uma cesta de vime. Porém, ao deixá-la sozinha por alguns instantes, não percebe 
que: 
• o dono da casa pegou 
1
6
 das frutas e colocou no frigobar do quarto; 
• sua patroa pegou 
1
5
 das restantes e levou para comer no trabalho; 
• o filho mais velhos pega para si 
1
4
 do restante para comer com os amigos no lanche da 
faculdade; 
• o filho do meio e o mais novo pegam, respectivamente 
1
3
 e 
1
2
 das restantes para comerem. 
 
Quando ela chega e percebe o cesto praticamente vazio, fica magoada com a gulodice dos patrões e 
decide guardar as 3 frutas restantes não mais uma cesta, e sim um prato pequeno. Quantas eram as 
maçãs arrumadas originalmente? 
a) 8 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18 
 
Questão 11 
Papiro de Rhind ou papiro de Ahmes é um document6o egípcio de cerca de 1650 a.C., no qual um 
escriba de nome Ahmes detalha a solução de 85 problemas de aritmética, frações, cálculo de áreas, 
volumes, progressões, repartições proporcionais, regra de três simples, equações lineares, trigonometria 
básica e geometria. É um dos mais famosos antigos documentos matemáticos que chegaram aos dias de 
hoje, juntamente com o Papiro de Moscou. 
Disponível em: http://wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Rhind. 
Acesso em: 17 nov. 2012. 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 8 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 
No papiro de Rhind, entre outras informações, encontra-se a expansão de frações como soma de 
outras frações de numerador 1, como por exemplo 
   
2 1 1 1 1
.
73 60 219 292 x
 
 
Nessa expressão, o valor de x é igual a 
a) 345. b) 350. c) 355. d) 360. e) 365. 
 
Questão 12 
Joãozinho tem duas caixas com o mesmo número de bolas. As bolas podem ser azuis, pesando cinco 
quilos cada uma, ou amarelas, pesando dois quilos cada uma. Na primeira caixa, 
1
15
 das bolas são 
azuis. O peso total das bolas da segunda caixa é o dobro do peso total das bolas da primeira caixa. 
Qual a fração de bolas azuis da segunda caixa? 
a) 
4
5
 b) 
7
8
 c) 
2
3
 d) 
2
15
 e) 
1
2
 
 
Questão 13 
Júlia, ansiosa pelo dia do seu aniversário, fez a conta para saber quantos dias ainda faltavam para o 
seu aniversário. Após alguns cálculos, descobriu que, se ao passar 
2
5
 do total de dias e, em seguida, 
mais 
1
6
 do que restou, ainda faltariam 10 dias para o seu aniversário. Dessa forma, quantos dias 
faltavam inicialmente para tão esperada data? 
a) 10 b) 14 c) 16 d) 20 e) 24 
 
Questão 14 
Para ir com Maria ao cinema, João pode escolher dois caminhos. No primeiro, ele passa pela casa de 
Maria e os dois vão juntos até o cinema; nesse caso, ele anda sozinho 
2
3
 do caminho. No segundo, 
ele vai sozinho e encontra Maria na frente do cinema; nesse caso, ele anda 1 km a menos que no 
primeiro caminho, mas o dobro do que Maria terá que caminhar. 
Qual é a distância entre a casa de Maria e o cinema? 
a) 1 km b) 2 km c) 3 km d) 4 km e) 6 km 
 
Questão 15 
Um prêmio da Sena saiu para dois cartões, um da cidade A e outro da cidade B. Nesta última, o cartão 
era de 6 apostadores, tendo cada um deles contribuído com a mesma importância para a aposta. A 
fração do prêmio total, que cada apostador da cidade B receberá, é 
a) 
1
6
. b) 
1
8
. c) 
1
9
. d) 
1
10
. e) 
1
12
. 
 
Questão 16 
A geratriz da dízima 1,833... é 
a
b
, então a + b vale: 
a) 17. b) 15. c) 16. d) 10. e) 9. 
 
Questão 17 
Uma livraria deseja fazer a entrega de 250 livros de Matemática, 125 livros de Física e 
100 livros de Química em caixas de mesmo tamanho. A quantidade máxima de livros que a livraria 
pode colocar em cada caixa e a quantidade de caixas que serão usadas são, respectivamente: 
a) 12 e 27 b) 25 e 19 c) 25 e 500 d) 500 e 19 e) 200 e 400 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
9 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Questão 18 
Uma padaria deseja fazer 100 pães franceses, 80 pães árabes e 60 pães de forma. O dono da padaria 
gosta de fazer kits com os três tipos pães, de modo que cada kit tenha os três tipos. O número máximo 
de pães que ele deve colocar para que cada kit tenha a mesma quantidade total de pães é: 
a) 20 b) 25 c) 300 d) 12 e) 120 
 
Questão 19 
Rafael tem 
2
3
 da idade de Roberto e é 2 anos mais jovem que Reinaldo. A idade de Roberto 
apresenta 
4
3
 da idade de Reinaldo. Em anos, a soma das idades dos três é 
a) 72 
b) 60 
c) 58 
d) 48 
e) 35 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 10 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
Ache um número de dois algarismos tal que o algarismo das 
dezenas seja o triplo do das unidades e que subtraindo ao número 
12 unidades o resto seja igual ao quadrado do algarismo das 
dezenas. 
 
Questão 02 
O quociente da divisão de um número N de 2 algarismos pela 
soma de seus algarismos é 7. Qual o número, se o dobro do 
algarismo das dezenas excede de 3 o triplo das unidades? 
 
Questão 03 (UECE) 
O número de algarismos, contados com as repetições, necessários 
para numerar as 96 páginas de um livro é igual a: 
a) 180 b) 181 c) 182 d) 183 
 
Questão 04 (FUVEST) 
Abaixo está representada uma multiplicação onde os algarismos a, 
b e c são números desconhecidos. Qual o valor de a + b + c? 
a) 5 
b) 8 
c) 11 
d) 14 
e) 17 
 
 
 
1abc
3
abc 4
 
Questão 05 
Qual o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos números 18, 24 e 30? 
 
Questão 06 
Qual o Máximo Divisor Comum (MDC) dos números 18, 24 e 30? 
 
Questão 07 
Sendo dois números A = 22 · 33 · 5 e B = 23 · 32 ·11, o quociente 
da divisãodo seu MMC pelo seu MDC será: 
a) 5 · 11 
b) 22 · 33 
c) 2 · 3 · 5 · 11 
d) 22 · 33 · 5 · 11 
e) 22 · 3 · 52 · 11 
 
Questão 08 (UECE) 
Seja n o menor inteiro positivo para o qual 
n n n n n n n n
, , , , , , e
2 3 4 5 6 7 8 9
 
são números inteiros. O produto dos algarismos do número n é: 
a) 0 
b) 5 
c) 10 
d) 20 
 
Questão 09 (PUC) 
Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na 
máquina A, a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na 
máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a 
manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas 
receberão manutenção no mesmo dia? 
a) 9 de dezembro 
b) 10 de dezembro 
c) 11 de dezembro 
d) 14 de dezembro 
e) 28 de dezembro 
 
Questão 10 
Uma empresa de logística é composta de três áreas: 
administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é 
composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de 
vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza 
uma integração entre as três áreas, de modo que todos os 
funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o 
mesmo número de funcionários com o maior número possível. 
Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e 
o número possível de equipes. 
a) 19 equipes com 6 participantes cada uma 
b) 18 equipes com 5 participantes cada uma 
c) 20 equipes com 4 participantes cada uma 
d) 21 equipes com 3 participantes cada uma 
 
Questão 11 
Larissa fez uma viagem de 1 210km, até chegar à fazenda de seu 
avô. A viagem foi feita da seguinte forma: 
7
11
 do percurso, de 
avião; 
2
5
 do resto, de trem; a seguir 
3
8
 do que restou, de ônibus; 
e os demais quilômetros, de carro com tração nas quatro rodas, 
pois não se chega em carro com tração em duas rodas à fazenda, 
em época de chuva. Calcule quantos quilômetros percorreu de 
carro com tração nas quatro rodas. 
a) 135 b) 145 c) 155 d) 165 e) 175 
 
Questão 12 
A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 
litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do carro no 
momento de partida e no momento de chegada de uma viagem 
feita por João. 
 
Quantos litros de gasolina João gastou nessa viagem? 
a) 10 
b) 15 
c) 18 
d) 25 
e) 30 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
11 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Questão 13 
Uma assalariado de terminada cidade recebe de forma líquida, ou 
seja, após os descontos, um salário de apenas 520 reais por mês. 
Dessa quantia, gasta 
1
4
 com aluguel e 
2
5
 com alimentação da 
família. Este mês ele teve uma despesa extra 
3
8
 do seu salário 
foram gastos com remédios, extrapolando o seu orçamento e, 
consequentemente, fazendo com que ele pedisse um 
adiantamento. Qual a fração do salário que ele extrapolou? 
a) 
41
40
 b) 
3
40
 c) 
3
20
 d) 
1
40
 e) 
7
40
 
 
Questão 14 
Em um aniversário, um bolo foi distribuído entre 5 crianças. João 
ganhou 
1
12
 do bolo, Luiz ganhou a metade do que João, Maria 
ganhou 
1
6
 do bolo, Joana ganhou o dobro de Maria e Jorge 
ganhou o restante do bolo. Então, pode-se afirmar que a fração do 
bolo dada a Jorge foi: 
a) 
3
.
8
 b) 
3
.
5
 c) 
2
.
3
 d) 
5
.
8
 e) 
2
.
9
 
 
Questão 15 
Um feirante vendeu, a R$ 2,00 a dúzia, metade das trezentas 
dúzias de laranjas que comprou. Dois terços da outra metade, ele 
vendeu a R$ 1,50 a dúzia e o restante, a R$ 1,00 a dúzia. Qual foi 
o valor, em reais, que o vendedor faturou na venda? 
a) 300 b) 400 c) 500 d) 600 e) 700 
 
Questão 16 
Uma pessoa perdeu 
2
7
 do que possuía. Em seguida, ganhou 
320 reais e ficou com o triplo do que possuía inicialmente. Quanto 
a pessoa possuía inicialmente? 
 
Questão 17 
Dividiu-se uma quantia entre três pessoas. A primeira ficou com 
1
3
; a segunda com 
2
5
 e a terceira, que ficou com o resto, recebeu 
60 reais a menos do que a primeira. Calcule a quantia. 
 
Questão 18 
Três relógios tem períodos respectivamente 180 minutos, 120 
minutos e 360 minutos. Se eles tocaram simultaneamente as 6h da 
manhã, que horas eles voltarão a tocar, simultaneamente? 
a) 8h b) 12h c) 16h d) 20h e) 22h 
 
 
 
Questão 19 
Uma feirante possui 60 maçãs, 40 peras, 30 bananas e 
50 goiabas. Ela faz cestas com apenas um tipo de fruta de modo 
que cada cesta tenha um número máximo de frutas. A quantidade 
total de cestas que ela pode fazer é: 
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 
 
Questão 20 
Numa escola foram matriculados 80 alunos com 10 anos, 
100 alunos com 12 anos e 120 alunos com 14 anos. A escola irá 
formar apenas turmas com alunos da mesma idade. O número 
máximo de turmas é: 
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 2 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
2.1) INTRODUÇÃO 
 Consideremos a seguinte afirmação: 
 Na 2.a fase do vestibular da Fuvest (São Paulo), o número 
de vagas está para o número de candidatos na razão de 1 para 
3. 
 Esta afirmação significa que a cada vaga existente 
correspondem três candidatos; e ela pode ser representada em 
matemática por 
1
3
 (lê-se: um para três). 
 Quando fazemos esta afirmação, estamos comparando o 
número de vagas existentes com o número de candidatos 
inscritos, por meio de uma divisão do primeiro número pelo 
segundo, e usando a palavra razão para designar o quociente 
obtido. 
 Nesta Unidade, veremos a importância do estudo da razão 
de dois números para conhecimentos futuros e para aplicação 
na vida real. 
 
2.2) RAZÃO 
Vimos que: 
• Comparamos dois números, dividindo um deles pelo 
outro; 
• Chama-se razão o resultado obtido. 
 
Então, de modo geral, diz-se que: 
A razão de dois números racionais (com o segundo diferente de 
zero) é o quociente do primeiro pelo segundo. 
A razão de dois números racionais a e b pode ser representada 
na forma 
a
b
 ou na forma a : b; em ambos os casos lê-se: 
“razão de a para b” ou “a está para b” ou “a para b”. 
O primeiro número denomina-se antecedente e o segundo, 
consequente. 


antecedentea
consequenteb
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
1) Determinar a razão de 20 para 16. 
 
20 5
 fração irredutível que corresponde à razão pedida
16 4
 
 
2) Uma prova de Matemática tem 10 questões. Um aluno 
acertou 8 dessas questões. Determinar: 
a) a razão do número de questões que acertou para o 
número total de questões 

8 4
10 5
 
b) a razão do número de questões que errou para o número 
de questões que acertou: 
2 1
8 4

 
 
OBSERVAÇÕES 
1.a) Sendo a razão de dois números racionais um número 
racional, valem para as razões todas as considerações e 
propriedades dos números racionais. 
2.a) Razão de duas grandezas de mesma espécie é o 
quociente dos números que exprimem as suas medidas 
racionais, tomadas na mesma unidade. 
 
Exemplo 
Observar os cubos das figuras abaixo, e calcular a razão do 
volume do volume do primeiro para o volume do segundo. 
 
  
 
  
3 3
(razão)3 3
Volume do primeiro(2cm) 8cm 8 1
64 8Volume do segundo (4cm) 64cm
 
 
2.3) RAZÕES INVERSAS 
Sejam as razões 
3 4
e
4 3
 
Vemos que: 
• O antecedente de uma é o consequente da outra e vice-
versa; 
• O produto das duas é igual a 1 
 
   
3 4
1 .
4 3
 
Duas razões nestas condições são denominadas inversas. 
Deve-se notar que a razão de antecedente zero não possui 
inversa. 
 
2.4) ALGUMAS RAZÕES ESPECIAIS 
Estudaremos algumas razões especiais que serão úteis em 
nossas vida. 
 
2.4.1. Velocidade Média 
Denomina-se velocidade média a razão entre uma distância 
percorrida e o tempo gasto em percorrê-la. 

distância
velocidade média
tempo
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
13 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
Exemplo 
Um automóvel percorreu 384 km em 5 horas. Qual foi a 
velocidade média desse automóvel? 
Distância percorrida = 384 km. 
Tempo gasto = 5h. 
Velocidade média = 
384 km
5 h
 = 76,8 km/h (lê-se: 76,8 
quilômetros por hora). 
 
2.4.2. Escala 
Denomina-se escala de um desenho a razão entre um 
comprimento considerado no desenho e o correspondente 
comprimento real, medidos com a mesma unidade. 

comprimento no desenho
escala
comprimento no real
 
 
Exemplo: 
No desenho de uma casa, o comprimento da sala, que é de 6 
m, está representado por um segmento de 3 cm. Qual foi a 
escala utilizada para o desenho? 
Comprimento no desenho = 3 cm. 
Escala = 

3 1
ou 1 : 200
600 200
. 
 
As escalas têm grande aplicação nos esboços de objetos 
(móveis, automóveis, etc.), nas plantas de casas e terrenos, nos 
mapas, nas cartas geográficas. 
 
No quadro abaixo, vemos uma parte de um mapa do Estado de 
São Paulo, feito numa escala de 1/4 000 000, ou seja, cada 1 
cm no desenho representa 40 km no real. 
 
 
2.5) PROPORÇÃO 
 
Sejam os números 6, 9, 12 e 18. 
Nessa ordem, vamos calcular: 
 
A razão do 1.o para o 2.o: A razão do 3.o para o 4.o: 
 

6 2
9 3
 

12 2
18 3
 
 
Observando que a razão do primeiro para o segundo é igual à 
razão do terceiro para o quarto, podemos escrever: 
6 : 9 = 12 : 18 ou 

6 12
9 18
 
Nesse caso, dizemos que os números 6, 9, 12 e 18, nessa 
ordem, formam uma proporção. 
Na proporção 6 : 9 = 12 : 18 ou 

6 12
9 18
, destacamos: 
I) A sua leitura é: 6 está para 9, assim como 12 está para 
18. 
II) Os números 6, 9, 12 e 18 são denominados termos da 
proporção. 
III) O primeiro e o quarto termos são denominados extremos, 
enquanto o segundo e o terceiro termos são denominados 
meios. 
 
De uma forma geral: 
 
Quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, nessa 
ordem, foram uma proporção quando a razão do primeiro para o 
segundo é igual à razão do terceiro para o quarto. 
a : b = c : d ou 

a c
b d
 
(lê-se: a está para b assim como c, está para d) 
 
 
OBSERVAÇÃO 
Sendo a proporção uma igualdade de duas razões, os 
antecedentes e os consequentes das razões iguais são 
chamados antecedentes e consequentes da proporção. 
 
2.6) PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES 
Considerando as seguintes proporções, observe: 
1) 

6 15
8 20
 
Produto dos extremos = 6 . 20 = 120. 
Produto dos meios = 8 . 15 = 120. 
O produto dos extremos e o produto dos meios são iguais. 
 
2) 

1 4
3 12
 
Produto dos extremos = 1 . 12 = 12. 
Produto dos meios = 3 . 4 = 12. 
O produto dos extremos e o produto dos meios são iguais. 
Então: 
 
    
produto dos produtos dos
extremos meios
6 15
6 20 8 15
8 20
 
 
 
 
 
 14 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 
 
    
produto dos produtos dos
extremos meios
1 4
1 12 3 4
3 12
 
 
Daí a propriedade fundamental: 
 
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto 
dos meios, e vice-versa. 
    
produto dos produtos dos
extremos meios
a c
a d b c
b d
 
 
 
2.7) RESOLUÇÃO DE UMA PROPORÇÃO 
Resolver uma proporção significa determinar o valor do termo 
desconhecido dessa proporção. 
a) Resolver a proporção: 
 

  

x 3 3
x 1
x 1 5
. 
 
• Aplicando a propriedade fundamental: 
 
   



    
x 3 3
x 1 5
5 x 3 3 x 1
 
 5 + 15 = 3x + 3 
• Resolvendo a equação: 5x – 3x = 3 – 15 
 2x = – 12 
 x = –
12
2
 
 Logo: x = – 6 x = – 6 
 
 
b) Numa maquete, a altura de um edifício é de 90 cm. Qual a 
altura real do prédio, sabendo que a maquete foi construída na 
escala 
1
30
? 
Altura na maquete: 90 cm. 
Altura no real: x 
Escala = 
altura na maquete
altura no real
 

1 90
30 x
 
1 . x = 30 . 90  aplicamos a propriedade fundamental 
 
x = 2.700 cm = 27 m. 
 
2.8) QUARTA PROPORCIONAL DE TRÊS NÚMEROS DADOS 
Dados três números racionais, a, b e c, denomina-se quarta 
proporcional desses números, número x, tal que 

a c
b x
. 
 
 
Exemplo: 
Calcular a quarta proporcional dos números 3, 10 e 6. 
  a
3 6
pela definição de 4. proporcional
10 x
 
        
60
3 x 10 6 3x 60 x x 20
3
. 
 
Resposta: A 4.a proporcional dos números dados é 20. 
 
2.9) TERCEIRA PROPORCIONAL DE DOIS NÚMEROS 
DADOS 
Dados dois números racionais, a e b, denomina-se terceira 
proporcional desses números um número x, tal que 

a b
b x
. 
Exemplo: 
Calcular a terceira proporcional dos números 2 e 6. 
  a
2 6
 pela definição de 3. proporcional
6 x
 
        
36
2 x 6 6 2x 36 x x 18
2
. 
 
Resposta: A 3.a proporcional dos números dados é 18. 
 
2.10) OUTRAS PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
 
1.a propriedade (P1) 
Seja a proporção: 

5 10
4 8
 
Partindo desta proporção, vamos escrever outras proporções: 
 
     
 
 
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 9 18
4 8 5 10 5 10
1. 2. 3. 4.
1. 3.
 
 
     
 
 
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 9 18
4 8 4 8 4 8
1. 2. 3. 4.
2. 4.
 
 
     
 
 
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 1 2
4 8 5 10 5 10
1. 2. 3. 4.
1. 3.
 
 
     
 
 
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 1 2
4 8 4 8 4 8
1. 2. 3. 4.
2. 4.
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
15 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
Logo: 
Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros 
termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a 
soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o 
terceiro (ou para o quarto). 
   
   
a c a b c d a b c d
ou
b d a c b d
 
   
   
a c a b c d a b c d
ou
b d a c b d
 
 
2.a propriedade (P2) 
Seja a proporção: 

10 5
8 4
 
Partindo desta proporção, vamos escrever outras proporções: 

     


 

o
o
10 5 10 5 10 15 10
8 4 8 4 8 12 8
antec. antec. 1. antec.
conseq. conseq. 1. conseq.
 

     


 

o
o
10 5 10 5 5 15 5
8 4 8 4 4 12 4
antec. antec. 2. antec.
conseq. conseq. 2. conseq.
 
     


 

o
o
10 5 10 5 10 5 10
8 4 8 4 8 4 8
antec. antec. 1. antec.
conseq. conseq. 1. conseq.
 

     


 

o
o
10 5 10 5 5 5 5
8 4 8 4 4 4 4
antec. antec. 2. antec.
conseq. conseq. 2. conseq.
 
 
Logo: 
Em toda proporção, a soma (ou a diferença) dos antecedentes 
está para a soma (ou a diferença) dos consequentes, assim 
como cada antecedente está para o seu consequente. 
 
   
 
a c a c a a c c
ou
b d b d b b d d
 
 
   
 
a c a c a a c c
ou
b d b d b b d d
 
 
 
2.11) APLICAÇÃO DAS PROPRIEDADES 
Veremos, por meio de exemplos práticos, como aplicar essas 
propriedades na resolução de exercícios. 
Exemplo 1: Determinar x e y na proporção 

x 3
y 4
, sabendo-
se que x + y = 28. 
 
Resolução: 
   
     1
x 3 x y 3 4 x y 3 4
 ou aplicando-se P
y 4 x 3 y 4
 
Como x + y = 28, resulta: 
          
28 7 84
 x 7 28 3 7x 84 x x 12.
x 3 7
 
          
28 7 112
 y 7 28 4 7y 112 y y 16.
x 4 7
 
Logo: x = 12 e y = 16. 
 
Exemplo 2: A razão de dois números é de 5 para 2, e a 
diferença entre eles é 60. Determine os dois números. 
Resolução: Representando os números por x e y, temos: 
 
  
   
     1
x 5
a razão é de 5 para 2
y 2
x y 60 a diferença é 60
x 5 x y 5 2 x y 5 2
 ou aplicando-se P
y 2 x 5 y 2
 
Como x – y = 60, resulta: 
          
          
60 3 300
 x 3 60 5 3x 300 x x 100.
x 5 3
60 3 120
 y 3 60 2 3y 120 y y 40.
y 2 3
 
Logo: Os números são 100 e 40. 
 
Exemplo 3: Sabendo-se que 

a b
3 2
 e a + b = 30, determinar 
a e b. 
 
    
 
2
a b a b a a b b
ou aplincando-se P
3 2 3 2 3 3 2 2
 
Como a + b = 30, resulta: 
          
30 a 90
 5 a 30 3 5a 90 a a 18.
5 3 5
 
          
30 b 60
 5 b 30 2 5b 60 b b 12.
5 2 5
 
Logo: a = 18 e b = 12. 
 
2.12) PROPORÇÃO MÚLTIPLA 
Consideremos as razões: 
3 10 16
, ,
6 20 32
 
Verificamos que todas são iguais, pois: 
  
3 1 10 1 16 1
6 2 20 2 32 2
 
 
Podemos, então, escrever: 
 
3 10 16
6 20 32
 
 
Ao igualarmos as razões acima, formamos uma sequência de 
razões iguais ou uma proporcional múltipla. 
 
 
 
 
 16 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 Exemplo: 
Resolver a proporção múltipla 
 
x y z
3 5 2
, sabendo-se que 
x + y + z = 200. 
 
Resolução: Como vale para as proporções múltiplas a 
propriedade P3, temos: 
 
   
 
x y z x y z x y z
ou ou
3 5 2 3 5 2 3 5 2
 
 
Como x + y + z = 200, resulta: 
       
200 x 20 x
x 20 3 x 60
10 3 1 3
 
 
       
200 y 20 y
y 20 5 y 100
10 5 1 5
 
       
200 z 20 z
z 20 2 z 40
10 2 1 2
 
 
Logo: x = 60, y = 100 e z = 40. 
 
PARTE I: NÚMEROS PROPORCIONAIS 
 
2.13) INTRODUÇÃO 
Consideremos o seguinte problema: 
Dois amigos jogaram na loteria esportiva e ganharam 
Cr$ 6 000 000. Como o primeiro entrou com Cr$ 1 200 e o 
segundo com Cr$ 1 800, combinaram que o prêmio seria 
dividido em partes proporcionais a estas quantias. Quanto 
coube a cada um? 
Para darmos a resposta a esta situação, devemos aprender a 
dividir um número (no caso, Cr$ 6 000 000) em partes 
proporcionais a dois outros (no caso, Cr$ 1 200 e Cr$ 1 800). 
É o que estudaremos nesta Unidade. 
 
2.14) NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Sejam dois conjuntos, A e B, de números racionais em 
correspondência biunívoca: 
A = {2, 3, 5, 6, 10} 
 
B = {6, 9, 15, 18, 30} 
Determinando as razões entre os elementos correspondentes, 
verificamos que são iguais, isto é: 
    
2 3 5 6 10 1
6 9 15 18 30 3
 
 
Neste caso, dizemos que os elementos dos conjuntos A e B são 
diretamente proporcionais. 
O número 
1
3
 é chamado fator de proporcionalidade. 
 
Exemplos: 
1) Verificar se os elementos das sucessões (2, 5, 12) e (4, 10, 
24) são diretamente proporcionais. 
  
2 1 5 1 12 1
,
4 2 10 2 24 2
 
Como 
  
2 5 12 1
4 10 24 2
, as sucessões são diretamente 
proporcionais. 
 
2) As sucessões (4, x, 10) e (y, 14, 20) são diretamente 
proporcionais. Calcular o valor de x e de y. 
  
       
   
       
   
4 x 10
pela definição
y 14 20
4 10
10 y 4 20 10y 80
y 20
80
y y 8
10
x 10
20 x 14 10 20x 140
14 20
140
x x 7
20
 
Logo: x = 7 e y = 8. 
 
2.15) DIVISÃO DE UM NÚMERO N EM PARTES 
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Seja o problema: 
Dividir o número 180 em partes diretamente 
proporcionais aos números 4, 2 e 3. 
 
Para resolver o problema, devemos: 
• Representar os números procurados por x, y e z; 
• Considerar as sucessões (x, y, z) e (4, 2, 3) como 
diretamente proporcionais. 
 
Então: 
   


  

x y z 180 a soma dos três números é igual a 180
x y z
os números são diretamente proporcionais a 4, 2 e 3
4 2 3
 
 
   
 

       
       
       
x y z x y z x y
ou ou
4 2 3 4 2 3 4 2
z
pela propriedade das proporções
3
180 x 20 x
x 20 4 x 80.
9 4 1 4
180 y 20 y
y 20 2 y 40.
9 2 1 2
180 z 20 z
z 20 3 z 60.
9 3 1 3
 
 
Resposta: Os números são 80, 40 e 60. 
 
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17 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
2.16) NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
Consideremos dois conjuntos, A e B, em correspondência 
biunívoca: 
A = {2, 3, 5, 6, 10} 
 
B = {45, 30, 18, 15, 9} 
Determine o produto entre os elementos correspondentes, 
vemos que são iguais, isto é: 
2 . 45 = 3 . 30 = 5 . 18 = 6 . 15 = 10 . 9 = 90 
 
Neste caso, dizemos que os elementos dos conjuntos A e B são 
inversamente proporcionais. 
O número 90 é chamado fator de proporcionalidade. 
 
Considerando que: 
2 . 45 = 3 . 30 = 5 . 18 = 6 . 15 = 10 . 9, vem que: 
   
2 3 5 6 10
1 1 1 1 1
45 30 18 15 9
 
 
 
Podemos dizer que: 
Os elementos do conjunto A são diretamente proporcionais aos 
inversos dos elementos do conjunto B. 
 
Exemplo: 
1) Verificar se os elementos das sucessões (2, 6, 9) e (18, 6, 4) 
são inversamente proporcionais. 
2 . 18 = 36 , 6 . 6 = 36 9 . 4 = 36 
Como 2 . 18 = 6 . 6 = 9 . 4 = 36, as sucessões são 
inversamente proporcionais. 
 
2) As sucessões (2, x, 15) e (y, 12, 4) são inversamente 
proporcionais. Calcular o valor de x e de y. 
     
        
        
2 y x 12 15 4 pela definição
60
2 y 15 4 2y 60 y y 30.
2
60
x 12 15 4 12x 60 x x 5.
12
 
Logo: x = 5 e y = 30. 
 
2.17) DIVISÃO DE UM NÚMERO N EM PARTES 
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
Seja o problema: 
Dividir o número 390 em partes inversamente 
proporcionais aos números 2, 4 e 3. 
 
Para resolver o problema, devemos: 
• Representar os números procurados por x, y, z; 
• Considerar as sucessões (x, y, z) e (2, 4, 3) como 
inversamente proporcionais. 
 
Então: 
   


   


x y z 390 a soma dos três números é 390
x y z
os números são diretamente proporcionais
1 1 1
aos inversos de 2, 4 e 3
2 4 3
 
   
 
x y z x y z x y z
ou ou
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 3 2 4 3 2 4 3
 
Como x + y + z = 390, resulta: 
  
 
 
390 390 390
390
1 1 1 6 3 4 13
2 4 3 12 12

30 12
13

1
360
 
     
     
     
360 x 1
x 360 x 180.
11 2
2
360 y 1
y 360 y 90.
11 4
4
360 z 1
z 360 z 120.
11 3
3
 
 
Logo: Os números são 180, 90 e 120. 
 
PARTE II: REGRA DE TRÊS 
 
2.18) INTRODUÇÃO 
Consideremos os seguintes problemas: 
1º) Um automóvel, com uma velocidade média de 60 km/h, leva 
5 horas para percorrer a distância entre duas cidades A e B. Se 
a sua velocidade média fosse de 80 km/h, qual seria o tempo 
gasto para percorrer a mesma distância? 
Representando por x o tempo pedido, observamos que: 
• Estamos relacionando dois valores da grandeza 
velocidade média (60 km/h e 80 km/h) com dois valores 
da grandeza tempo (5h e xh) 
• Queremos determinar um desses quatro valores, 
conhecendo os outros três. 
 
2.º) Uma rua mede 600 m de comprimento e está sendo 
asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua. Supondo 
que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos 
dias o trabalho estará terminado? 
Representando por x o tempo pedido e observando que faltam 
420 m para terminar o asfalto, temos: 
• Estamos relacionando dois valores da grandeza 
comprimento (180 m e 420 m) com dois valores da 
grandeza tempo (6 d e x d); 
• Queremos determinar um desses quatro valores, 
conhecendo os outros três. 
 
 
 
 
 
 18 
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CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 2.19) GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Quando colocamos gasolina em nosso carro, despendemos 
certa importância dinheiro. A quantidade colocada e o preço que 
pagamos por ela são duas grandezas variáveis dependentes. 
O mesmo ocorre quando compramos arroz, feijão, batata, 
açúcar ... O peso e o custo da mercadoria comprada são 
grandezas variáveis dependentes. 
 Consideremos, então, o exemplo seguinte, tomando como 
base o preço da batata em janeiro de 1985: 
1 kg de batata custa Cr$ 1 000 
2 kg de batata custam Cr$ 2 000 
3 kg de batata custam Cr$ 3 000 
4 kg de batata custam Cr$ 4 000 
.................................................. 
 
Pelos valores encontrados, verificamos que: 
• Variando o peso, o custo também varia; 
• Duplicando, triplicando, ... o peso, o custo duplica, triplica, 
... 
 
Neste caso, dizemos que as grandezas peso e custo são 
diretamente proporcionais. 
Daí a definição: 
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente 
proporcionais quando, ao dobro, ao triplo ... de uma, 
corresponde o dobro, o triplo ... da outra. 
 
Observemos, agora, o quadro com os valores do exemplo dado: 
Quantidade (em kg) Peço (em Cr$) 
1 1 000 
2 2 000 
3 3 000 
4 4 000 
 
Considerando, duas a duas, as razões dos números que 
exprimem as medidas das grandezas, temos: 
1 1 000 1 1 000 1 1 000
e , e , e
2 2 000 3 3 000 4 4 000
2 2 000 2 2 000 3 3 000
e , e , e
3 3 000 4 4 000 4 4 000
 
Vemos que, duas a duas, as razões são iguais: 
1 1 000 1 1 000 1 1 000
e , e , e
2 2 000 3 3 000 4 4 000
2 2 000 2 2 000 3 3 000
e , e , e
3 3 000 4 4 000 4 4 000
 
 
Então: 
 
Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão 
entre os dois valores de uma é igual à razão entre os dois 
valores correspondentes da outra. 
 
2.20) GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
Consideremos a velocidade de um automóvel (suposta 
constante) e o tempo que ele gasta para percorrer certa 
distância: 
Com velocidade de 40 km/h, gasta 6 horas para percorrer a 
distância. 
Com velocidade de 80 km/h, gastará 3 horas para percorrer a 
mesma distância. 
Com velocidade de 120 km/h, gastará 2 horas para percorrer a 
mesma distância. 
Pelo valores encontrados, verificamos que: 
• Variando a velocidade, o tempo também varia; 
• Duplicando, triplicando ... a velocidade, o tempo fica 
reduzido à metade, à terça parte ... 
 
Neste caso, dizemos que as grandezas velocidade e tempo são 
inversamente proporcionais. 
Daí a definição: 
 
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente 
proporcionais quando, ao dobro, ao triplo ... de uma, 
corresponde a metade, a terça parte ... da outra. 
 
Observemos, agora, o quadro com os valores do exemplo dado: 
Velocidade Tempo 
40 km/h 6 h 
80 km/h 3 h 
120 km/h 2 h 
 
Considerando, duas a duas, as razões dos números que 
exprimem as medidas das grandezas, temos: 
40 6 40 6 80 3
e , e , e
80 3 120 2 120 2
 
 
Vemos que uma razão é igual ao inverso da outra: 
 
40 3 6
 inverso de
80 6 3
 
 
40 2 6
 inverso de
120 6 2
 
 
80 2 3
 inverso de
120 3 2
 
 
Então: 
 
Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, a 
razão dos dois valores de uma é igual ao inverso da razão dos 
dois valores correspondentes da outra. 
 
 
2.21) REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Aprenderemos, agora, a resolver problemas que relacionam 
dois valores de uma grandeza A com dois valores de uma 
grandeza B, chamados problemas de regra de três simples. 
Resolver esses problemas significa determinar um desses 
quatro valores, conhecendo os outros três. 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
19 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
2.22) TÉCNICA OPERATÓRIA 
Representaremos por 



1 2
1 2
a e a os dois valores da grandeza A.
b e b os dois valores da grandeza B.
 
Teremos, então, o seguinte esquema: 
Grandeza A Grandeza B 
 a1 ______________ b1 
 a2 ______________ b2 
 
Quando as grandezas A e B são diretamente proporcionais, 
escrevemos a proporção: 
 1 1
2 2
a b
as razões são iguais
a b
 
Quando as grandezas A e B são inversamente proporcionais, 
escrevemos a proporção: 
  a a1 2
2 1
a b
a 1. razão é igual ao inverso da 2.
a b
 
Vejamos alguns exemplos: 
Exemplo 1: Uma máquina, trabalhando durante 40 minutos, 
produz 100 peças. Quantas peças iguais a essas serão 
produzidas pela máquina em 2h 30min? 
Tempo Produção 
40 min _____________ 100 peças 
150 min ____________ x peças (lembrete: 2h 30min = 150 
min) 
As grandezas são diretamente proporcionais, pois, dobrando-se 
o tempo de funcionamento, o número de peças produzidas 
também dobrará. 
Então: 

40 100
150 x
 
        
15 000
40 x 150 100 40x 15 000 x x 375.
40
 
Resposta: Em 2h 30min, a máquina produzirá 375 peças. 
 
Exemplo 2: Para realizar um serviço de terraplenagem, 4 
máquinas levam 15 dias. Em quantos dias 6 máquinas iguais às 
primeiras fariam o mesmo serviço? 
N.o de máquinas Tempo 
4 máq. _________ 15 dias 
6 máq. _________ x dias 
As grandezas são inversamente proporcionais, pois, dobrando-
se o número de máquinas, o tempo gasto para fazer o mesmo 
serviço fica reduzido à metade. Então: 
          
4 x 60
 6 x 4 15 6x 60 x x 10.
6 15 6
 
Resposta: As 6 máquinas fariam o serviço em 10 dais. 
 
2.23) REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
Estudaremos, agora, problemas que relacionam três ou mais 
grandezas. 
Exemplo 1: 4 operários produzem, em 10 dias, 320 peças de 
certo produto. Quantas peçasdesse produto serão produzidas 
por 10 operários em 16 dias? 
N.o de operários N.o de dias N.o de peças 
 4 _____________ 10 ______________ 320 
 10 ____________ 16 ______________ x 
Para verificar a proporcionalidade, consideremos 
separadamente a grandeza que possui a incógnita com cada 
uma das outras grandezas. 
Assim: Número de operários e número de peças são grandezas 
diretamente proporcionais. 
Número de dias e número de peças são grandezas diretamente 
proporcionais. 
Teremos, então, as razões: 
4 10 320
10 16 x
. 
Escrevemos a proporção igualando a razão que contém o termo 
desconhecido com o produto das outras razões: 

320 4
x
1
10

1
10
1
16
      
4
320 1
 x 320 4 x 1 280.
x 4
 
Resposta: Serão produzidas 1 280 peças. 
 
Exemplo 2: 18 operários, trabalhando 7 horas por dia, fazem 
determinado serviço em 12 dias. Em quantos dias, 12 operários 
que trabalham 9 horas por dia farão serviço idêntico? 
N.o de operários N.o de horas por dias N.o de dias 
 18 _____________ 7 ______________ 12 
 12 _____________ 9 ______________ x 
Número de operários e número de dias são grandezas 
inversamente proporcionais. 
Número de horas por dia e número de dias são grandezas 
inversamente proporcionais. 
As razões são: 

12 18
 inverso de
18 12
 , 

9 7
 inverso de
7 9
 , 
12
x
 
A proporção é: 

12 12
x
6
18
2

1
9
1
7
 
      
12 6 84
6x 84 x x 14
x 7 6
 
Resposta: Farão serviço idêntico em 14 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
Sabendo que: 

 

   
a b c
7 3 2
a b c 16
 
Calcule os valores de a, b e c. 
 
Questão 02 
Dois números estão entre si como 2 está para 1. Sabendo que a diferença entre eles é 40, calcule os 
dois números. 
 
Questão 03 
A diferença entre dois números é 75. O maior deles está para 5, assim como o menor está para 2. 
Quais são esses números? 
 
Questão 04 
Divida: 
a) 357 em partes diretamente proporcionais a 1, 7 e 13; 
b) 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6; 
 
Questão 05 
Precisamos repartir R$ 5000,00 entre Marcelo, 7 anos, Luciano, 8 anos, e Alexandre, 10 anos, de 
modo que cada um receba uma quantia proporcional à sua idade. Como devemos fazer a divisão? 
 
Questão 06 
Marlene está lendo um livro com 352 página. Em 3 horas ela já leu 48 páginas. Quanto tempo Marlene 
vai levar para ler o livro todo? 
 
Questão 07 
Três torneiras idênticas, abertas completamente, enchem um tanque com água em 2h24min. Se, em 
vez de 3, fossem 5 dessas torneiras, quanto tempo levariam para encher o mesmo tanque.? 
 
Questão 08 
Para alimentar 50 coelhos durante 15 dias são necessários 90 kg de ração. Quantos coelhos é 
possível alimentar em 20 dias com 117 kg de ração? 
 
Questão 09 
Para produzir 1 000 livros de 240 páginas, uma editora consome 360 Kg de papel. Quantos livros de 
320 páginas é possível fazer com 720 kg de papel? 
 
Questão 10 
Se 12 operários, trabalhando 10 horas diárias, levantam um muro de 20 m de comprimento 6 dias, em 
quanto tempo 15 operários, trabalhando 8 horas por dia, levantarão um muro de 30 m com a mesma 
altura e largura do anterior? 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
21 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
Questão 11 (UNICAMP) 
 Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1 : 50, as dimensões de uma sala retangular 
são 10 cm e 8 cm. Calcule a área real da sala projetada. 
 
Questão 12 
Qual a medida do maior ângulo de um quadrilátero, se os ângulos têm medidas inversamente 
proporcionais a: 1, 1/2, 1/4, 0,2. 
 
Questão 13 
A média aritmética de um conjunto de 50 números é 38. Se dois números, a saber, 45 e 55, são 
retirados, a média do conjunto restante é: 
a) 36,5. b) 37. c) 37,2. d) 37,5. e) 37,52 
 
Questão 14 
A média aritmética entre dois números é 5. E a média harmônica entre eles é 
24
5
. Calcule a média 
geométrica desses dois números. 
 
Questão 15 
José e Carlos organizaram uma firma comercial com um capital social de R$ 3.000,00 devendo cada 
um deles entrar com R$ 1.500,00. No ato da organização, 1º de janeiro, José integralizou sua quota e 
Carlos contribuiu com apenas R$ 1.000,00, integralizando sua quota após 5 meses. Em 31 de 
dezembro foi procedido o balanço, tendo sido apurado um lucro de R$ 670,00. Qual a parte a ser 
creditada a cada sócio? 
 
Questão 16 (UFJF – Adaptada) 
Num terreno retangular, deseja-se construir uma casa, uma área de lazer, uma área de serviço e uma 
garagem. O terreno possui comprimento igual a 15 metros e está dividido em quatro quadrados, 
conforme mostra a figura abaixo. 
Qual a largura do terreno? 
 
a) 7m b) 8m c) 9m d) 10m e) 12m 
 
Questão 17 
Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900m3. Quando há necessidade de 
limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis 
ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, 
com capacidade de 500m3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o 
reservatório estiver cheio. Os raios utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já 
existente. A quantidade de, ralos do novo reservatório deverá ser igual a: 
a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 9 
Anotações 
 
 
 
 
 
 22 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 18 (PUC) 
Dois ângulos complementares A e B, sendo A < B, têm medidas na razão de 13 para 17. 
Consequentemente, a razão da medida do suplemento do ângulo A para o suplemento do ângulo B 
vale: 
a) 
43
47
 b) 
17
13
 c) 
13
17
 d) 
119
48
 e) 
47
43
 
 
Questão 19 
Doze pedreiros constroem 27 m² de um muro em 30 dias, trabalhando 8 h por dia. Quantas horas 
devem trabalhar por dia, dezesseis pedreiros durante 24 dias, para construírem 36 m² do mesmo 
muro? 
a) 20 horas b) 12 horas c) 10 horas d) 8 horas 
 
Questão 20 
Uma empresa se compromete a realizar uma obra em 30 dias, iniciando a obra com 12 operários, 
trabalhando 6 horas por dia. Decorridos 10 dias, quando já havia realizado 1/3 da obra, a empresa 
teve que deslocar 4 operários para outro projeto. Nessas condições, para terminar a obra no prazo 
pactuado, a empresa deve prorrogar o turno por mais: 
a) 2h e 30min. 
b) 2h. 
c) 3h. 
d) 1h. 
e) 1h e 30min. 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
23 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
Se x – y = 20 e 

x
3
y
, pode-se dizer corretamente que x2 + y2 
vale: 
a) 900 b) 1000 c) 1100 d) 1200 
 
Questão 02 
Na proporção 

 
2 6
5 5
x 2 x 4
, o valor de x é elemento do conjunto: 
a) {–20, –10} 
b) {–5, 1} 
c) {5, 10} 
d) {4, 20} 
 
Questão 03 
A diferença entre dois números é 45. O maior deles está para 9 
assim como o menor está para 4. Logo, o maior número é: 
a) 60 b) 72 c) 75 d) 81 
 
Questão 04 
João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 
20000,00 e Maria, com R$ 30000,00. Seao fim de um ano eles 
obtiverem um lucro de R$ 7500,00, quanto vai caber a cada um? 
 
Questão 05 
O relógio de Nanci atrasa 26 segundos a cada 48 horas. Quanto 
vai atrasar em 30 dias? 
 
Questão 06 
Um navio foi abastecido com comida suficiente para alimentar 14 
pessoas durante 45 dias. Se 18 pessoas embarcarem nesse navio, 
para quantos dias, no máximo, as reservas de alimento serão 
suficientes? 
 
Questão 07 
Para revestir uma parede de 3 m de comprimento por 2,25 m de 
altura, são necessários 300 azulejos. Quantos azulejos seriam 
necessários se a parede medisse 4,5 m x 2 m? 
 
Questão 08 
Uma montadora de automóveis demora 8 dia; para produzir 200 
veículos; trabalhando 9 horas por dia. Quantos veículos montará 
em 15 dias, funcionando 12 horas por dia? 
 
Questão 09 
Para abrir uma valeta de 50 m de comprimento e 2 m de 
profundidade, 10 operários levam 6 dias. Quantos dias serão 
necessários para abrir 80 m de valeta com 3 m de profundidade, 
dispondo de 16 operários? 
 
Questão 10 
Se 5 homens podem arar um campo de 10 hectares em 9 dias, 
trabalhando 8 horas por dia, quantos homens serão necessários 
para arar 20 hectares em 10 dias, trabalhando 9 horas por dia? 
 
Questão 11 
O produto de dois números positivos é 72 e a razão entre eles 
2
9
. 
Determiná-los. 
 
Questão 12 (UFRJ) 
Um automóvel de 4,5 m de comprimento é representado, em 
escala, por modelo de 3 cm de comprimento. Determine a altura do 
modelo que representa, na mesma escala, uma casa de 3,75m de 
altura. 
 
Questão 13 
Dividindo-se 1.650 em partes diretamente proporcionais a 4, 
1
6
4
 e 
7
2
 a soma das duas partes menores é: 
a) 720. b) 800. c) 870. d) 900. 
 
Questão 14 
Se a média geométrica de dois números vale 
2 5
 e a média 
aritmética é 
9
2
. Calcule esses números. 
 
Questão 15 
Aplicou-se uma prova de uma classe de vinte rapazes e trinta 
moças. Os rapazes e trinta moças. Os rapazes obtiveram média 8 
e as moças média 7. A média da classe foi: 
a) 7,40 b) 7,45 c) 7,50 d) 7,55 e) 7,60 
 
Questão 16 
Reparti 230 balas entre minhas três sobrinhas que tem 
respectivamente 4, 5 e 8 anos quantas balas recebeu cada uma se 
a divisão foi feita em partes inversamente proporcionais à idade. 
a) 100, 80 e 50. 
b) 90, 70 e 40. 
c) 80, 60 e 30. 
d) 70, 50 e 20. 
e) 60, 40 e 10. 
 
Questão 17 
Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 
18.000,00, R$ 25.000,00 e R$ 27.000,00 e obtiveram um lucro 
líquido de R$ 35.000,00. Qual será a parte de cada um? 
 
Questão 18 
Uma obra é construída em 8 dias, por 9 pedreiros trabalhando 5 
horas por dia. Em quantos dias 12 pedreiros, trabalhando 6 horas 
por dia, poderia realizar a mesma obra? 
a) 5 dias d) 25 dias 
b) 8 dias e) 32 dias 
c) 15 dias 
 
Questão 19 
Quinze operários, trabalhando 9h por dia, construíram 36 m de 
muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operários terão 60 m do 
 
 
 
 
 24 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 mesmo muro, trabalhando 8h por dia? 
a) 25 dias 
b) 42 dias 
c) 45 dias 
d) 50 dias 
e) 55 dias 
 
Questão 20 
Trabalhando 10 horas por dia, durante 16 dias, 8 pedreiros fizeram 
uma parede de concreto de 48 m2. Se tivesse trabalhando 12 horas 
diárias, e se o número de operários fosse reduzido de 2, quantos 
dias levariam para fazer outra parede cuja área fosse o dobro 
daquela? 
a) 33 dias 
b) 33 dias e 8 horas 
c) 34 dias e 4 horas 
d) 33 dias e 6 horas 
e) 35 dias 13 horas e 20 minutos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 3 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 03 – PORCENTAGEM 
PORCENTAGEM 
 
3.1) DEFINIÇÃO 
A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, 
significando "por cento", "a cada centena") é uma medida de razão 
com base 100. É um modo de expressar uma proporção ou uma 
relação entre 2 valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir 
de uma fração cujo denominador é 100, ou seja, é dividir um 
número por 100. 
 
3.2) SÍMBOLO 
Muitos acreditam que o símbolo "%" teria evoluído a partir da 
expressão matemática 
x
100
. Porém, alguns documentos altamente 
antigos sugerem que o % evoluiu a partir da escrita da expressão 
latina "per centum", sendo conhecido em seu formato atual desde 
meados do século XVII. Apesar do nome latino, a criação do 
conceito de representar valores em relação a uma centena é 
atribuída aos gregos. 
• 
 Símbolo no século XV 
• 
 Símbolo no século XVII 
• 
 Símbolo a partir do século XVIII 
 
Segundo o historiador David Eugene Smith, o símbolo seria 
originalmente escrito "per 100" ou "per c". Smith estudou um 
manuscrito anónimo de 1425, contendo um círculo por cima do "c". 
Com o tempo a palavra "per" acabaria por desaparecer e o "c" teria 
evoluído para um segundo círculo. 
 
3.3) SIGNIFICADO DO TERMO PORCENTAGEM 
Dizer que algo (chamaremos de blusas) é "70%" de uma loja (lê-se: 
"as blusas são setenta por cento de uma loja"), significa dizer que 
blusas é equivalente a 70 elementos em um conjunto universo de 
100 elementos (representando lojas, que pode ter qualquer valor), 
ou seja, que a razão é a divisão: 
70
0,7
100

 
Ou seja, a 0,7ª parte de 1, onde esse 1 representando o valor 
inteiro da fração, no caso, "loja". 
Em determinados casos, o valor máximo de uma percentagem é 
obrigatoriamente de 100%, tal qual ocorre na umidade relativa do 
ar. Em outros, contudo, o valor pode ultrapassar essa marca, como 
quando se refere a uma fração maior que o valor (500% de x é 
igual a 5 vezes x). 
3.4) PONTO PERCENTUAL 
 
 
Ponto percentual é o nome da unidade na qual pode ser expressa 
o valor absoluto da diferença entre quaisquer pares de 
porcentagens. 
Por exemplo: se uma determinada taxa de juros cair de 24% ao 
ano para 12% ao ano, pode-se dizer que houve redução de 50% 
{[(valor inicial)-(valor final)]/(valor inicial)}, mas não que houve 
redução de 12%. Dizer que houve uma redução de 12% implica 
que o valor final seja de 12% menor que o valor inicial, no nosso 
exemplo, a taxa final seria 21,12% ao invés de 12%. 
 O Ponto Percentual é uma unidade que pode expressar essa 
diferença, voltando ao nosso exemplo, é correto dizer que houve 
redução de 12 pontos percentuais na tal taxa de juros. 
 
3.5) CÁLCULO DE UMA PORCENTAGEM 
Vamos ver exemplos resolvidos de situações que envolvem o 
cálculo de porcentagens, para que depois você possa entender 
com maior facilidade as questões que resolveremos juntos em 
nosso curso online e em seguinda, consiga resolver as questões 
propostas para o seu treino em casa. 
 
Exemplo 1: Qual é o valor de 25% de 50 ? 
 
Resolução: Note que 100% representa o total, ou seja, 50. E 25% 
representa X. Fazendo a regra de três, temos: 
50/100 = X/25 

 50 . 25 = 100X 

 1250 = 100X 

 X = 1250/100 

 X = 12,5. 
Portanto, 25% de 50 é 12,5. 
 
Resposta: 12,5. 
 
Exemplo 2: Segundo a reportagem “Gastos de turistas da Europa 
e EUA no Brasil é mais do que o dobro dos sul-americanos”, 
publicada no jornal O Estado de S. Paulo, 5,67 milhões de turistas 
 
 
 
 
 26 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 3 – PORCENTAGEM 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 3 - Prof. Raul Brito) 
 visitaram o Brasil em 2012. O gasto médio dos estrangeiros do 
turismo

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