Caderno de Fisica 2 - Lab. PUC-Minas - 1 semestre 2019

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CADERNO DE ATIVIDADES DE LABORATÓRIO 
 
FÍSICA GERAL 2 
FLUIDOS, TERMODINÂMICA, OSCILAÇÕES, ONDAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 
 
 
 
 
 
3 
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DA DISCIPLINA 
 
Os critérios de avaliação das atividades realizadas nas disciplinas Laboratório de Física 
Geral I, Laboratório de Física Geral II, Laboratório de Física Geral III e Laboratório de 
Física, ofertadas pelo Departamento de Física e Química nos diversos campi e unidades, 
são: 
 
1. DISTRIBUIÇÃO DE PONTOS: as disciplinas supracitadas deverão ter a pontuação 
distribuída em duas provas no valor de 30 (trinta) pontos e 40 (quarenta) pontos em 
atividades práticas. 
 
2. PROVAS: todas as provas devem ser individuais e com consulta apenas aos 
relatórios e cadernos de anotações. 
a. As provas devem conter questões relacionadas às atividades práticas 
realizadas em laboratório: metodologia, análise de dados, e interpretações 
teóricas. 
 
3. ATIVIDADES PRÁTICAS: os 40 (quarenta) pontos de atividades práticas devem ser 
distribuídos conforme a seguir: 
a. No mínimo 20 (vinte) pontos devem ser distribuídos em relatórios técnicos: 
i. Devem ser avaliados no mínimo 5 (cinco) relatórios técnicos 
(individuais); 
ii. Todos os relatórios técnicos devem seguir o padrão indicado nas 
“Orientações Gerais” anexadas nos cadernos de roteiros; 
iii. Cada professor (a) deve expor claramente aos seus alunos, nos 
primeiros dias de aula, os critérios adotados nas correções de tais 
relatórios técnicos; 
iv. Os relatórios devem ser devidamente corrigidos e devolvidos aos 
alunos na aula seguinte à data da entrega. 
b. O restante dos pontos pode ser distribuído à critério do(a) professor(a); 
i. Exemplos: caderno de anotações, vídeos, testes, apresentações e etc. 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Densidade e pressão 
 
1 - Introdução 
Ao se estudar a disciplina de Fluidos dois conceitos aparecem como muito 
importantes, densidade e pressão. O conceito mais conhecido de densidade é o de 
densidade volumétrica, definida para um corpo como a razão entre sua massa e o volume 
𝜌 = 𝑚 𝑉.⁄ 
Sua unidade no Sistema Internacional é kg/m3. No entanto, o conceito de densidade é 
mais amplo. Podemos também considerar a densidade linear e superficial ao invés da 
densidade volumétrica de massa. No Eletromagnetismo existe as definições de densidade 
linear, superficial e volumétrica de carga elétrica. Nesse caso, no lugar da massa temos a 
carga elétrica. Por exemplo, quando uma quantidade 𝑄 de cargas elétricas ocupa um 
volume 𝑉 do espaço, podemos calcular a densidade volumétrica de carga elétrica por 
𝜌 = 𝑄 𝑉⁄ . 
Ainda no eletromagnetismo podemos pensar na densidade de linhas de campos 
elétricos ou magnéticos que atravessam uma determinada área ou volume no espaço. Já 
para um fio enrolado em volta de um cilindro de comprimento L podemos pensar na 
densidade do enrolamento como a razão entre o número N de voltas do fio e o 
comprimento L do cilindro. Em Geografia existe o conceito de densidade populacional, 
definido pelo número de habitantes por unidade de área. 
Ao se estudar os fluidos precisamos considerar a pressão em seu interior. A pressão 
P é definida como a razão entre uma força 𝐹 aplicada perpendicular sobre uma área 𝑆 e o 
valor dessa área, 
𝑃 = 𝐹 𝑆.⁄ 
A unidade de pressão no Sistema Internacional é o pascal, representado por Pa. De 
acordo com a definição de pressão temos 1Pa = 1 N/m2. Existem outras unidades para se 
medir a pressão. Essas unidades estão relacionadas como mostradas abaixo 
1 atm = 1,01325 x 105 Pa = 760,13 torr = 14.7 psi = 1,01325 bar = 1.033 kgf/cm2 
 
 
 
 
 
 
 
6 
2 – Parte experimental 
 
Material: Fio de cobre, bloco de alumínio, folha de papel, régua, caixa, balança e 
micrômetro. 
Procedimentos: 
1. Meça e anote as massas 𝑚 do fio de cobre, do bloco de alumínio, da folha e da 
caixa de papelão. 
2. Considerando o fio de cobre como tendo a forma de um cilindro meça o diâmetro da 
base e a altura 𝐿 dos cilindros. 
3. Meça a largura e o comprimento da folha. 
4. Meça as três dimensões da caixa. 
5. Calcule a densidade volumétrica de massa 𝜌 do fio de cobre em kg/m3 e em g/cm3. 
6. Calcule a densidade superficial da folha nas unidades kg/m2 e g/cm2. 
7. Amasse a folha até ela obter um formato esférico. Meça o diâmetro e calcule sua 
densidade. Ela é igual ao caso anterior? 
8. Considerando que o ar tem uma densidade aproximada de 1,21 kg/m3, calcule 
aproximadamente quantos quilos de ar existe na caixa? 
9. Calcule a pressão que cada uma das três faces da caixa quando apoiada sobre a 
mesa pode exercer. Utilize a unidade Pa. 
10. Converta os valores de pressão calculados acima para as unidades atm, torr, psi e 
bar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Princípio de Arquimedes 
 
1 – Introdução 
 
Um objeto, ao ser mergulhado em um fluido qualquer, fica sujeito a uma força de 
baixo para cima devida à diferença entre as pressões nas partes superior e inferior desse 
objeto. O módulo 𝐸 dessa força, chamada de empuxo, é igual ao peso do fluido contido em 
um volume idêntico ao volume submerso do corpo no fluido, ou seja, 
𝐸 = 𝜌𝑔𝑉, 
em que 𝜌 é a densidade do fluido, 𝑔 é a aceleração da gravidade e 𝑉 é o volume submerso 
do corpo no fluido. Esse resultado é conhecido como Princípio de Arquimedes. Considere 
o objeto pendurado em um dinamômetro, como mostrado na parte a da Figura 1. Nessa 
situação, a leitura no dinamômetro é 𝑃. Em seguida, esse objeto é imerso em um líquido e, 
ao atingir o equilíbrio, a leitura no dinamômetro passa a ser 𝑃’, como mostrado na parte b 
da mesma figura. Note-se que, nessa situação, 
𝑃´ = 𝑃 − 𝜌𝑔𝑉. 
Então, medindo-se o peso aparente 𝑃’ e o volume 𝑉 submerso do objeto, pode-se 
determinar a densidade do líquido. 
 
Figura 1: Representação das forças que agem sobre um objeto. Em (a), o 
dinamômetro indica o peso P; em (b), o dinamômetro indica o peso aparente P’. 
Figura adaptada da Ref. [1]. 
 
 
 
 
8 
 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar a densidade de um líquido. 
 
Material Utilizado: cilindro de alumínio graduado, paquímetro, béquer de 250 ml, 
dinamômetro, líquido de densidade desconhecida, haste com suporte. 
 
Procedimentos: 
• Utilize o dinamômetro para determinar o peso do cilindro de alumínio, com sua 
respectiva incerteza avaliada (incerteza ou desvio avaliado é a metade da menor 
divisão do aparelho). 
 
𝑃 = _________________________ 
 
• Meça com o paquímetro o diâmetro d e a altura h do cilindro de alumínio. Anote os 
resultados com as respectivas incertezas avaliadas. 
 
𝑑 = _____________ ℎ = _____________ 
 
• O volume do cilindro de alumínio é 
𝑉 =
𝜋𝑑2
4
ℎ. 
O desvio absoluto ∆𝑉 do volume pode ser obtido pela relação 
∆𝑉
𝑉
= 2
∆𝑑
𝑑
+
∆ℎ
ℎ
 
em que ∆𝑑 e ∆ℎ são os desvios avaliados de 𝑑 e ℎ , respectivamente. Então, 
especifique o volume do cilindro com sua respectiva incerteza. 
 
𝑉 = _______________ 
 
• Mergulhe o cilindro, ainda pendurado no dinamômetro, gradualmente no líquido. 
Para cada graduação do cilindro, registre o valor do peso aparente 𝑃´e o volume 
mergulhado 𝑉. Anote os resultados em uma tabela. 
 
 
 
 
9 
• Construa o gráfico de 𝑃´em função de 𝑉, com auxílio do programa Scidavis. Faça 
uma regressão linear para obter uma equação empírica do tipo 𝑃´ = 𝑎𝑉 + 𝑏, na qual 
𝑎 e 𝑏 são os coeficientesangular e linear da reta, respectivamente. 
• Qual é o significado físico do parâmetro 𝑏? Compare-o com o resultado esperado. 
• Qual é o significado físico do parâmetro 𝑎? Determine a densidade do líquido. 
• Compare o resultado encontrado com os valores mostrados na Tabela 1 e veja se é 
possível identificar o líquido utilizado. 
 
Líquido 𝝆 (g/cm3) 
Água 1,00 ± 0,01 
Benzeno 0,90 ± 0,01 
Etanol 0,80 ± 0,02 
Éter 0,72 ± 0,01 
Glicerina 1,26 ± 0,01 
Mercúrio 13,6 ± 0,1 
Tabela1: Densidades de alguns líquidos à temperatura ambiente (20ºC). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Coeficiente de Viscosidade 
 
1 – Introdução 
Quando uma esfera metálica cai através de um tubo contendo líquido, de densidade 
𝜌𝐿 , acelera até que a força de atrito de viscosidade 𝐹 do líquido, juntamente com seu 
empuxo, 𝐸 = 𝜌𝐿𝑉𝑔, iguale ao peso 𝑃 = 𝑚𝑔 da esfera, isto é, a esfera acelera até que 
𝑚𝑔 = 𝜌𝐿𝑉𝑔 + 𝐹 (1) 
 Quando a condição representada na equação (1) é satisfeita, a esfera cai com 
velocidade constante. A esta velocidade dá-se o nome de velocidade limite ou terminal. 
Segundo Stokes, a força de atrito de viscosidade 𝐹, sobre uma esfera de raio 𝑟 
movendo-se com velocidade 𝑣 através de um líquido de coeficiente de viscosidade 𝜇, é 
dada por: 
𝐹 = 6𝜋𝜇𝑟𝑣 (2) 
Sabendo-se que 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 e 𝑚 = 𝜌𝑒𝑉, em que 𝜌𝑒 é a densidade da esfera, podemos 
escrever a equação (1) como segue: 
𝜌𝑒 (
4
3
𝜋𝑟3) 𝑔 = 𝜌𝐿 (
4
3
𝜋𝑟3)𝑔 + 6𝜋𝜇𝑟𝑣. 
, 
Isolando 𝜇 podemos obter a expressão para o cálculo do coeficiente de viscosidade do 
líquido 
𝜇 =
2𝑟2𝑔 (𝜌𝑒 − 𝜌𝐿)
9𝑣
 (3) 
 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar o coeficiente de viscosidade de um líquido. 
 
Material Utilizado: tripé, barra em alumínio com régua milimetrada, cinco sensores 
fotoelétricos, cronômetro multifunções, tubo de vidro, duas esferas de diâmetros diferentes, 
acessórios para fixação do tubo de vidro e um imã. 
 
Procedimentos: 
 
 
 
 
11 
• Monte o equipamento conforme Figura 1. 
• Meça os diâmetros das esferas: 
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 1: ________________________ 𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 2: ________________________ 
 
 
Figura 1: Montagem do experimento. 
 
• Determine a massa específica das esferas. 
𝜌𝑒 = __________________ 
• Procure saber qual líquido será colocado no tubo e consulte a Tabela 1 da atividade 
“Densidade de um líquido” para especificar o valor de 𝜌𝐿. 
𝜌𝐿 = __________________ 
 
• Coloque o tubo, com o líquido cuja viscosidade se deseja medir, no suporte. 
• Coloque o primeiro sensor a 0,150 m da extremidade livre do líquido, e posicione os 
demais sensores a 0,100 m entre eles. 
• Conecte os sensores ao cronômetro. Se necessário, consulte o manual ou peça 
ajuda ao professor para usar o cronômetro corretamente. 
• Abandone a esfera 1 dentro do tubo e meça o tempo decorrido no deslocamento 
entre os pares de sensores. Anote os resultados na Tabela 1. 
 
 
 
 
12 
Observação: O tempo dever ser medido após a esfera percorrer a distância de 15 
cm. Por quê? 
• Preencha o restante da Tabela 1. 
• Repita os procedimentos para a esfera 2 e anote os resultados na Tabela 2. 
 
Diâmetro 
(m) 
Deslocamento 
(m) 
Tempo (s) Velocidade 
(m/s) 
Valor médio 
da 
velocidade 
(m/s) 
Viscosidade 
do líquido 
(Pa.s) 
 0,100 
0,200 
0,300 
0,400 
 
Tabela 1: Dados do movimento da esfera 1. 
 
 
Diâmetro 
(m) 
Deslocamento 
(m) 
Tempo (s) Velocidade 
(m/s) 
Valor médio 
da 
velocidade 
(m/s) 
Viscosidade 
do líquido 
(Pa.s) 
 0,100 
0,200 
0,300 
0,400 
 
Tabela 2: Dados do movimento da esfera 2. 
 
• Pesquise sobre as condições de validade da fórmula de Stokes. 
• Comente os resultados encontrados. 
 
 
 
 
 
 
 
13 
Princípio de Bernoulli 
 
1 – Introdução 
Nesta prática teremos a oportunidade de utilizar as equações de continuidade e de 
Bernoulli para prever qual seria a velocidade de escoamento de água por um furo em uma 
garrafa PET. Faremos medidas que nos permitirão medir essa velocidade e assim verificar 
a validade dos cálculos feitos. 
 
 
2 – PARTE EXPERIMENTAL 
1. Coloque um par de gominhas como na foto. Nosso objetivo é calcular de três formas 
diferentes qual será a vazão de saída da água pelo furo quando o nível da água da 
garrafa estiver entre as gominhas. Estas gominhas devem ter uma distância de 
cerca de 2 cm entre si e devem ficar no ponto mais alto possível, antes da garrafa 
afunilar. 
 
2. Encha a garrafa PET de água. Deixe que a água escorra pelo furo e observe. 
 
 
 
 
 
14 
3. Primeiro vamos obter uma previsão da velocidade de escoamento da água sem 
observar o vazamento em si, vamos medir apenas as condições do vazamento, 
observando apenas a garrafa vazia. 
 
 
 
Cálculo da velocidade DE ESCOAMENTO 
1) Cálculo da velocidade usando a equação de Bernoulli: A equação de Bernoulli 
nos permite estimar a velocidade de escoamento da água pelo furo em 
função da altura do nível da água. Meça essa altura e calcule a velocidade 
utilizando a equação de Bernoulli 
P + ρgh +
1
2
ρv2 = constante 
Dica: você pode aplicar a equação de Bernoulli utilizando o furo e o nível 
da água. Como a velocidade de escoamento pelo furo é muito maior que a 
velocidade de descida do nível da água, você pode considerar que esta 
velocidade de descida do nível da água é praticamente zero. As pressões 
nesses dois pontos são iguais à pressão atmosférica.) 
Agora vamos fazer medidas dessa velocidade observando o vazamento em si. 
Vamos medir a velocidade de escoamento por dois métodos diferentes. 
2) Cálculo da velocidade usando o movimento de projétil 
i. Após sair do furo, a água faz uma trajetória de movimento de projétil, 
sua velocidade de saída do furo é horizontal. 
ii. Medindo a altura que a água cai, ∆𝑦, a partir do furo até chegar ao 
“chão”, podemos calcular seu tempo de queda. Este movimento 
vertical da água é um movimento uniformemente acelerado com 
aceleração 𝑔 =9,81m/s2. Sendo assim, vale ∆𝑦 = 𝑣0𝑦𝑡 + (1 2)𝑔𝑡
2⁄ , 
sendo 𝑣0𝑦 = 0. 
iii. Como o movimento horizontal de um projétil tem velocidade constante, 
temos que a velocidade com a qual a água sai do furo é igual ao 
alcance horizontal da água percorrido durante a queda, 𝑥, dividido pelo 
tempo de queda: 𝑣 = 𝑥/𝑡. (O tempo de queda foi calculado no item 
anterior.) 
 
 
 
 
15 
iv. Faça as medidas de 𝑥 e ∆𝑦 e utilize-as para calcular a velocidade da 
água ao sair da garrafa. 
 
3) Cálculo da velocidade usando a equação de continuidade: Podemos medir a 
velocidade de descida do nível da água dividindo a distância entre as 
gominhas pelo tempo que o nível gasta para descer de uma até outra. Faça 
as medidas e calcule essa velocidade. 
i. Faça medidas que te permitam calcular a área da seção reta da 
garrada. 
ii. Faça medidas que te permitam calcular a área da seção reta do furo. 
iii. Utilize a equação de continuidade de escoamento dos fluidos, as áreas 
da seção reta da garrafa e do furo e a velocidade medida da descida 
no nível da água na garrafa para calcular a velocidade da água ao sair 
pelo furo. 
 
Análise dos resultados e cálculos 
a. Encontre um valor médio para a velocidade utilizando os três resultados 
obtidos. 
b. Calcule a vazão de água pelo furo através do valor de velocidade encontrado. 
c. Calcule em quanto tempo a garrafa,com 2 litros de água, esvaziaria 
mantivesse essa vazão continuamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
Oscilador Harmônico Simples - Sistema Massa-Mola 
 
 
1 – Introdução 
 
 Na Figura 1, um objeto de massa 𝑚 pendurado, em equilíbrio, na extremidade de 
uma mola de constante elástica 𝑘 e de massa desprezível produz, nela, um alongamento 
𝑥0 . A mola faz uma força 𝐹 contrária, tendendo a voltar ao seu comprimento original, 
proporcional à sua elongação. Matematicamente escrevemos: 
𝐹 = −𝑘𝑥0 (1) 
 Na situação de equilíbrio (repouso), o módulo do peso do objeto é igual ao 
módulo da força que a mola exerce nele, ou seja, 
 
𝑘𝑥0 = 𝑚𝑔 (2) 
 
 
Figura 1: Uma mola sofre uma deformação x0, quando um objeto de peso P é colocado em sua 
extremidade. Na situação de equilíbrio a mola exerce sobre o objeto uma força de módulo 𝑭 = 𝑷. 
 
 Fazendo-se um pequeno deslocamento 𝑥𝑚 , a partir da posição de equilíbrio, e 
soltando-se o objeto, o sistema passa a oscilar, executando um movimento periódico 
(Movimento Harmônico simples). Sabe-se, pela 2ª lei de Newton, que 
𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
. 
No caso da mola, escreve-se 
−𝑘𝑥 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
. (3) 
 
 
 
 
17 
Na equação (3) 𝑥 é a posição do objeto, em relação à posição de equilíbrio 𝑥0. Como a 
posição do objeto varia com o tempo, deve-se encontrar uma função x(t) que seja solução 
da equação diferencial (3). Uma das soluções possíveis desta equação, e que se ajusta à 
nossa situação física é: 
𝑥 = 𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡), (4) 
com 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 . (5) 
Para interpretar a constante 𝜔, denominada frequência angular do movimento periódico, 
notamos primeiramente que o deslocamento 𝑥(𝑡) deve ser igual a 𝑥(𝑡 + 𝑇), onde T é o 
período do movimento. Nesse caso podemos escrever: 
𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡) = 𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜔𝑇) 
 Como a função cosseno se repete pela primeira vez quando o argumento aumenta 2𝜋 rad, 
conclui-se que: 
𝜔𝑇 = 2𝜋, 
ou seja, 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
. (6) 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar a constante elástica de uma mola. 
Material Utilizado: régua, cronômetro, suporte e objetos de massas conhecidas. 
Procedimento 1: 
• Monte o experimento, conforme figura 1, colocando apenas um objeto na 
extremidade da mola. 
• Meça o comprimento 𝑥0. 
 
 
 
 
18 
• Acrescente os demais objetos, um por vez, e meça o comprimento 𝑥0. Anote os 
resultados na Tabela 1. 
𝑚 (kg) 0 
𝐹 (N) 0 
𝑥0 (m) 0 
Tabela 1: Valores da massa colocada na extremidade da mola e os correspondentes valores 
da força elástica F e deformação 𝒙𝟎. 
 
• Construa o gráfico 𝐹 versus 𝑥0 , com auxílio do programa Scidavis. Faça uma 
regressão linear e compare a equação empírica obtida com a equação (1) para 
determinar a constante elástica da mola. 
Procedimento 2: 
• Monte o experimento, conforme figura 1, colocando apenas um objeto na 
extremidade da mola. Dê um pequeno deslocamento vertical e meça o período de 
oscilação. 
Sugestão: Meça o tempo de cinco oscilações ou mais e divida o resultado pelo 
número de oscilações para obter o valor mais provável do período. 
• Acrescente os demais objetos, um por vez, e meça o período de oscilação. Anote os 
resultados na Tabela 2. 
• Use a equação (6) para calcular a frequência angular 𝜔. Complete a tabela. 
• Observe a equação (5) e pense qual gráfico linear deve ser construído para que a 
inclinação nos forneça k. Construa o gráfico com auxílio do programa Scidavis. Faça 
uma regressão linear e determine a constante elástica k através da equação 
empírica obtida. 
• Verifique se o valor encontrado é próximo do obtido no procedimento 1. 
𝑚 (kg) 
𝑇 (s) 
𝜔 (rad/s) 
Tabela 2: Período de oscilação T e frequência angular 𝝎 em função da massa m. 
 
 
 
 
 
 
19 
Pêndulo Simples 
 
1 – Introdução 
 
O pêndulo simples é um exemplo de oscilador harmônico simples no qual a força de 
retorno está associada à gravitação e não às propriedades elásticas de um fio ou de uma 
mola. O pêndulo simples é composto por uma partícula de massa 𝑚 suspensa por uma 
das extremidades de um fio inextensível, de massa desprezível e comprimento 𝐿, cuja 
outra extremidade está fixa, como na Figura 1. 
As forças que agem sobre a partícula de massa 𝑚 são a tração �⃗� exercida pelo fio e 
a força gravitacional �⃗� , como mostra a Figura 1, onde o fio faz um ângulo 𝜃 com a vertical. 
Decompomos P em uma componente radial 𝑃𝑐𝑜𝑠 𝜃 e uma componente 𝑃𝑠𝑒𝑛 𝜃 que é 
tangente à trajetória da partícula. A componente tangencial produz um torque restaurador 
em relação ao ponto fixo do pêndulo porque sempre age no sentido oposto ao do 
deslocamento do peso, tendendo a levá-lo de volta ao ponto central. O ponto central (𝜃 =
0) é chamado de posição de equilíbrio porque o pêndulo ficaria em repouso neste ponto se 
parasse de oscilar. 
 
Figura 1: As forças que agem sobre a partícula de massa 𝒎 são a tração �⃗⃗� exercida pelo fio e a força 
gravitacional �⃗⃗� . Figura adaptada da referência [1]. 
 
 
 
 
 
20 
O torque restaurador pode ser escrito na forma 
𝜏 = −𝐿(𝑃𝑠𝑒𝑛 𝜃), (1) 
em que o sinal negativo indica que o torque age no sentido de reduzir 𝜃 e 𝐿 é o braço de 
alavanca da componente 𝑃𝑠𝑒𝑛 𝜃 da força gravitacional em relação ao ponto fixo do 
pêndulo. 
De acordo com a segunda lei de Newton, o módulo do torque resultante 𝜏 é 
𝜏 = 𝐼𝛼, (2) 
na qual 𝐼 é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação 𝛼 =
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 é a 
aceleração angular. Combinando as equações (1) e (2), e substituindo 𝑃 por 𝑚𝑔, obtemos 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
= −
𝑚𝑔𝐿
𝐼
𝑠𝑒𝑛 𝜃. (3) 
Podemos simplificar a equação (3) supondo que o ângulo 𝜃 é pequeno, pois nesse caso 
podemos substituir 𝑠𝑒𝑛 𝜃 por 𝜃 (expresso em radianos). Usando essa aproximação, 
ficamos com 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
= −
𝑚𝑔𝐿
𝐼
 𝜃. (4) 
 
Uma das soluções possíveis desta equação diferencial, e que se ajusta à nossa situação 
física é: 
𝜃 = 𝜃𝑀cos (𝜔𝑡 + 𝜑) (4) 
com 
𝜔 = √
𝑚𝑔𝐿
𝐼
 . (5) 
A constante 𝜔 é a frequência angular do movimento periódico. Como o período T de 
oscilação é 2𝜋/𝜔, chegamos na seguinte equação para o período de um pêndulo de 
simples 
𝑇 = 2𝜋√
𝐼
𝑚𝑔𝐿
. (6) 
Lembrando que o momento de inércia de uma partícula que está a uma distância L do eixo 
de rotação é 𝐼 = 𝑚𝐿2, podemos escrever o período como 
𝑇 = 2𝜋√
𝐿
𝑔
. (7) 
A equação (7) é válida apenas para pequenas oscilações (𝜃 < 10°). 
 
 
 
 
21 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar a aceleração da gravidade. 
 
Material Utilizado: Barbante fino, objeto de massa 𝑚, cronômetro e régua. 
Procedimentos 
O experimento consiste em se medir o período do pêndulo em função de seu comprimento. 
Para isso você deve usar uma montagem como a representada na Figura 1. 
• Varie o comprimento do pêndulo de 10 em 10 cm e meça o período de oscilação 
para cada comprimento (é aconselhável que a amplitude de oscilação seja pequena, 
e que você meça o tempo de 5 oscilações e divida por 5 para obter o período 
médio. Anote os resultados na Tabela 1. 
• Faça uma linearização da equação (7), isto é, pense qual gráfico linear deve ser 
construído para que a inclinação nos forneça uma informação para determinarmos o 
valor de 𝑔 . Construa o gráfico com auxílio do programa Scidavis. Faça uma 
regressão linear e determine a aceleraçãoda gravidade local através da equação 
empírica obtida. 
 
( 𝐿 ± 0,001) 
m 
 
𝑇 (s) ± 5% 
Tabela 1: Período T de oscilação de um pêndulo simples em função de seu comprimento L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
PÊNDULO DE TORÇÃO 
 
1 – Introdução 
 
Quando fazemos girar a haste rígida da Figura 1, produzindo um deslocamento 
angular a partir de sua posição de equilíbrio e a liberamos em seguida, a haste passa a 
oscilar em torno dessa posição em um movimento harmônico angular simples. A rotação 
da haste de um pequeno ângulo θ em qualquer sentido produz um torque restaurador dado 
por 
 
Figura 1.1: Pêndulo de torção composto por um fio e uma haste. 
𝜏 = −𝜅𝜃 (1.1) 
 
Para essa equação temos: 
•  é o torque restaurador 
• κ é uma constante, chamada constante de torção, que depende do comprimento e 
diâmetro do fio e do material de que é feito; 
• O sinal negativo indica torque restaurador, ou seja, o sentido do torque é oposto ao 
sentido de abertura do ângulo; 
• θ é medido em radianos. 
 
 
 
 
23 
De acordo com a segunda lei de Newton para rotação, o módulo do torque resultante é 
 𝜏 = 𝐼𝛼 (1.2) 
na qual  é o momento de inércia da haste e 
𝛼 =
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 (1.3) 
é a aceleração angular. Combinando as equações (1.1), (1.2) e (1.3), podemos escrever 
𝐼
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
= −𝜅𝜃 (1.4) 
que pode ser reescrita como 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+
𝜅
𝐼
𝜃 = 0 (1.5) 
 
Essa é uma equação diferencial semelhante à equação do oscilador harmônico simples 
composto de uma massa m e uma mola de constante elástica K. Uma das soluções 
possíveis da equação (1.5) e que se ajusta à nossa situação física é expressa por 
 
𝜃(𝑡) = 𝜃0cos (𝜔0𝑡 + 𝜑0) (1.6) 
onde: 
• θ0 é o valor do ângulo inicial medido em radianos; 
• ω0 é a frequência angular com a qual a haste oscila, medida em rad/s 
• φ0 é a fase inicial e indica o ângulo, no instante t = 0 e medido em radianos, que a 
haste forma com sua posição de repouso. 
É possível mostrar (ver questão 2 no final do texto) que a frequência ω0 de oscilação 
pode ser calculada por 
𝜔0 = √
𝜅
Ι
 (1.7) 
 
 
 
 
 
24 
Relação entre a frequência angular e o período 
Período de oscilação: O tempo necessário para uma oscilação completa é o período do 
movimento. A partir dessa informação e do conceito de função periódica podemos deduzir 
a relação entre a frequência angular e o período. A função θ(t) = θ0cos(ωot + φ0) é função 
do tempo t e depois de um período T ela se repete. Em termos matemáticos esse 
comportamento periódico é descrito como 
 
𝜃(𝑡) = 𝜃(𝑡 + 𝑇) (1.8) 
 
Logo, temos 
𝜃0 cos(𝜔0𝑡 + 𝜑0) = 𝜃0cos (𝜔0(𝑡 + 𝑇) + 𝜑0) 
 
que pode ser reescrita como 
𝜃0 cos(𝜔0𝑡 + 𝜑0) = 𝜃0cos (𝜔0𝑡 + 𝜑0 + 𝜔0𝑇) 
Para essa igualdade ser verdadeira é preciso que 𝜔0𝑇 = 2𝜋, pois para qualquer ângulo 
α, temos que cos(α) = cos(α + 2π). Portanto podemos calcular o período como 
 
𝑇 =
2𝜋
𝜔0
 (1.9) 
 
mas como 
𝜔0 = √
𝜅
𝐼
 
temos 
𝑇 = 2𝜋√
𝐼
𝜅
 (1.10) 
 
Como a frequência é o inverso do período, 𝑓 = 1 𝑇⁄ podemos calcular 
𝑓 =
1
2𝜋
√
κ
Ι
 (1.11) 
 
 
 
 
25 
2 – Parte Experimental 
Objetivo 
Usar a balança de torção para encontrar a função que descreve a oscilação da haste, 
medir o módulo de torção de um fio de aço e entender o efeito do momento de inércia 
sobre a frequência de oscilação. 
Material Utilizado 
Balança de torção com acessórios, régua milimetrada, cronômetro digital, haste metálica 
cilíndrica. 
Procedimentos 
1. Coloque a haste metálica no suporte preso ao fio, que se encontra fixo na balança 
de torção. Posicione a haste bem centralizada. Veja a figura 1.2a. 
2. Anote a posição inicial 𝑥0 da luz do laser refletida sobre a régua e a distância 𝐿 
entre a régua e o espelho. 
𝑥0 = 
 
3. Desloque ligeiramente a haste de sua posição de equilíbrio, dando-lhe um 
pequeno ângulo de rotação e anote o valor da posição 𝑥 do reflexo do laser na 
régua. É com esse valor que iremos calcular a amplitude de rotação da haste. 
𝑥 = 
 
 
 
 
 
 
26 
 
(a) Haste 
centralizada 
(b) Haste não centralizada 
Figura 1.2: Representação esquemática da montagem do experimento para medir a constante de 
torção de um fio de aço. 
Cálculo do período de oscilação: Meça o intervalo de tempo ∆t para 10 oscilações, e 
calcule o tempo médio de uma única oscilação utilizando a expressão 
𝑇𝑚𝑒𝑑 =
Δ𝑇
10
 (1.12) 
4. Cálculo da frequência angular de oscilação: Calcule a frequência angular de 
oscilação utilizando a equação (1.9). Para isso o valor de T será considerado o 
período médio 𝑇𝑚𝑒𝑑 calculado acima. 
5. Cálculo da amplitude de rotação da haste: A amplitude de rotação da haste é o 
valor máximo do ângulo de rotação θ. Ele pode ser calculado utilizando os valores 
de 𝑥0 e 𝑥 anotados nos primeiros itens. Para isso vamos considerar a figura 1.3 e 
com base nela utilizar a expressão a equação 
𝜃0 =
1
2
arctan (
𝑥 − 𝑥0
𝐿
) (1.13) 
 
 
 
 
 
27 
 
Figura 1.3: Deslocamento do reflexo do laser ao longo da régua. 
Anote o valor de 𝜃0 (em radianos) 
 
Observação: O fator 1/2 que aparece na expressão acima vem do fato de 
que quando o espelho gira de um ângulo 𝜃, por exemplo 𝜃 = 𝜋/6, o reflexo 
na régua gira de um ângulo 2𝜃, no caso 𝜋/3. Por isso o ângulo 𝜃0 de giro do 
espelho e da haste, para estar correto, deve ser a metade do ângulo 
calculado na figura 1.3. 
 
 (a) Espelho sem rotação (b) Espelho com rotação de um ângulo θ 
Figura 1.4: Na figura 1.4a a luz incide e reflete sobre a normal. Na figura 1.4b a rotação do espelho de 
um ângulo θ produz uma rotação de 2θ na reflexão da luz. 
6. Função que descreve a rotação da haste: Substitua os valores de θ0 e ω0 que 
você encontrou na equação 𝜃(𝑡) = 𝜃0𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡). Essa é a equação que descreve 
a rotação da haste em sua montagem. 
7. Cálculo do momento de inércia da haste: O momento de inércia I de uma haste 
em torno de um eixo perpendicular ao seu centro é (1/12)𝑚𝐿2 , em que 𝑚 é sua 
massa, e 𝐿 seu comprimento. 
𝜃0 (𝑟𝑎𝑑) = 
 
 
 
 
28 
8. Cálculo da constante de torção: Calcule a constante de torção 𝑘 pela expressão 
(1.10). 
9. Alteração do momento de inércia e influência sobre o período: Desloque a 
haste no suporte de forma que ela fique presa por uma das extremidades, como 
mostrado na 1.2b. Anote o período de 10 oscilações e recalcule o período de 
oscilação da haste nessa nova situação, utilizando a equação (1.12). 
10. Cálculo do novo momento de inércia e verificação da constante de torção: O 
momento de inércia da haste em torno de um eixo que passa por uma de suas 
extremidades, como na figura 1.2 b, é calculado como 
𝐼 = (1/3)𝑚𝐿2 
 Calcule o valor do novo momento de inércia da haste e utilizando a equação 
(1.10) recalcule a constante de torção 𝑘 e compare este resultado com o valor 
obtido anteriormente. 
Exercícios a serem feitos em sala ou para entregar juntamente com o relatório. 
1. Sabendo que o momento de inércia de um corpo rígido qualquer é dado por 
 𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚, explique por que o momento de inércia da haste aumenta quando ela é 
presa em sua extremidade. 
2. Mostre que a função 𝜃(𝑡) = 𝜃0cos (𝜔0𝑡 + 𝜑0) satisfaz a equação (1.5) se 𝜔0 = √
𝜅
Ι⁄ 
3. Utilizando o programa Scidavis, plote o gráfico da função 𝜃(𝑡) que você obteve na 
prática. Verifique se o valor de 𝑇𝑚𝑒𝑑 obtido é compatível com o período mostrado no 
gráfico. Para isso após iniciar o Scidavis use ‘CTRL +F’ ou ‘File + New + New 
Function Plot’ como mostrado abaixo. 
 
 
 
 
29 
 
 
 
O programa abrirá a janela à direita onde você pode inserir a equação obtida. Considere o 
exemplo, em que vamos plotar o gráfico da função 𝜃(𝑡) = 2cos (8𝑡) para 𝑡 entre 0 e 2s. 
Escolhemos ‘Points =1000’ para ter uma curva mais suave. Após clicar em ‘Ok’ teremos o 
gráfico da função mostrado abaixo, após editar o título, a equação e os eixos. A partir do 
gráfico podemos ver o valor da amplitude é 2 e ter noção de que o período é 
aproximadamente 1,2 s, que irá fornecer uma frequência angular aproximada de 7,85 rad/s, 
que está próximo do valor 8 mostrado na equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
Oscilador Amortecido 
1 – Introdução 
1.1 Pêndulo de torção ideal 
Nesta prática vamos utilizar novamente o pêndulo de torção. Na prática anterior 
vimos que desconsiderando a dissipação de energia, principalmente devido a resistência 
do ar, o pêndulo oscila eternamente com amplitude constante e o ângulo de rotação é 
função do tempo 𝜃(𝑡) expressa por 
𝜃(𝑡) = 𝜃0cos (𝜔0𝑡 + 𝜑0) (1.1) 
Essa solução descreve o movimento angular de um pêndulo que não dissipa energia e 
que oscila eternamente com amplitude 𝜃0 constante e frequência angular 𝜔0 constante. 
Nesta função, o termo 𝜑0 é chamado de constante de fase do movimento. Seu valor está 
relacionado com a posição angular do pêndulo no instante de tempo t = 0. 
1.2 Pêndulo de torção amortecido 
Nos problemas de engenharia não podemos evitar a dissipação de energia, 
principalmente devido à resistência do ar. Sabemos na prática que o pêndulo oscila em 
torno de seu eixo, mas eventualmente irá parar. O pêndulo real é amortecido e a força 
de resistência do ar irá sempre exercer um torque contrário ao movimento. Geralmente 
esse torque é proporcional à velocidade angular de rotação 𝜔 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡⁄ . Portanto vamos 
escrever 
𝜏 = −𝑏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 (1.2) 
 
Agora temos sobre o pêndulo, dois torques, um do fio e outro do ar. O torque total é 
𝜏 = −𝜅𝜃 − 𝑏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 (1.3) 
 
Mas como 
 
 
 
 
31 
𝜏 = 𝛪
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 (1.4) 
 
Podemos obter a equação de movimento para esse pêndulo real passa a ser 
𝛪
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+ 𝑏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
+ 𝜅𝜃 = 0 (1.5) 
 
cuja solução pode ser escrita como 
 
𝜃(𝑡) = 𝜃0𝑒
−𝛾𝑡cos (𝜔1𝑡 + 𝜑0) (1.6) 
 
1.3 Amplitude e frequência angular de movimento 
A função (1.6) mostra que à medida que a haste oscila o ângulo 𝜃 varia com o tempo 
𝑡 de um modo mais complicado do que no pêndulo ideal. Enquanto neste a amplitude é 
constante, no pêndulo amortecido a amplitude possui um decaimento exponencial 
(exponencial negativa) e a função cosseno descreve o movimento de oscilação com uma 
frequência angular 𝜔1. Na equação 
𝜃(𝑡) = 𝜃0𝑒
−𝛾𝑡cos (𝜔1𝑡 + 𝜑0) 
O termo 𝜃0𝑒
−𝛾𝑡 descreve a amplitude do pêndulo que decresce de acordo com a 
exponencial negativa, sendo  uma constante calculada por 
𝛾 =
𝑏
2Ι
 (1.7) 
onde 𝑏 uma constante que depende do meio onde o pêndulo está imerso (ar, água, etc) 
e 𝛪 é o momento de inércia do pêndulo. O termo cos (𝜔1𝑡 + 𝜑0) é a parte da função que 
descreve a oscilação da haste que ocorre com frequência 𝜔1. Portanto, a rapidez com 
que a amplitude diminui depende do meio, através do valor da constante 𝑏 e do 
momento de inércia 𝐼 do conjunto. A frequência angular é calculada por 
𝜔1 = √
𝜅
Ι
− 𝛾2 = √𝜔0
2 − 𝛾2 (1.8) 
 
 
 
 
32 
Observe que o valor da frequência de oscilação do pêndulo depende da constante , que 
é uma característica do meio em que a haste está imersa. Assim a haste poderá oscilar 
com frequências diferentes se estiver imerso no ar ou na água, por exemplo. Apesar 
disso, a relação entre o período de oscilação e a frequência ω1 não muda, continua 
sendo 
𝑇 =
2𝜋
𝜔1
 (1.9) 
Podemos escrever 
𝑇 =
2𝜋
√𝜔𝑜2 − 𝛾2
 (1.10) 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Entender o movimento amortecido, obter a função 𝜃(𝑡) que descreve o 
movimento, plotar e analisar seu gráfico. 
Material: Pêndulo de torção com acessórios, cronômetro, régua. 
 Procedimento: Vamos utilizar o pêndulo de torção para estudar oscilações amortecidas. 
 
2.1 - Estudo do período de oscilação versus amplitude 
Período versus amplitude: As equações (1.10) mostra que o período independe da 
amplitude de movimento. É o queremos verificar nesta parte. Vamos medir o período de 
oscilação à medida que a amplitude diminui e analisar se há influência no valor do 
período. Para isso consideramos apenas a resistência do ar sobre a haste. 
Atenção: É muito importante que você evite que a haste vibre durante a rotação. O 
correto seria a haste apenas girar sem vibrar. Quanto maior a vibração, maior é a 
possibilidade dos resultados a seguir serem influenciados pela vibração. 
 
(a) Leve a haste para sua posição máxima e solte-a sem puxar ou empurrar. 
 
 
 
 
33 
(b) Para cada oscilação anote o período medido pelo cronômetro utilizando três 
casas após a vírgula, preenchendo a tabela abaixo. Queremos verificar o que 
acontece com o período enquanto a amplitude de oscilação diminui. Ao final 
calcule e anote o tempo médio utilizando a equação 
𝑇𝑚𝑒𝑑 =
1
𝑛
∑ 𝑡𝑖
𝑛
1
 
(1.11) 
 
Tabela 1: Amortecimento usando o ar como meio de amortecimento 
𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑇𝑚𝑒𝑑 
𝑡𝑖(𝑠) 
 
 
2.2 Comportamento da amplitude de oscilação com o tempo 
 Agora vamos determinar o comportamento da amplitude com o tempo. Nessa 
parte vamos continuar utilizando apenas a haste sendo o meio de amortecimento o ar. 
(a) Leitura da posição inicial: Ligue o laser na base do pêndulo e observe onde 
a luz refletida pelo espelho atinge a régua. A haste oscila um pouco por isso 
evite encostar na mesa e na montagem. Após observar que a luz refletida está 
aproximadamente parada, anote a posição inicial x0. 
𝑥0= 
(b) Gire e segura a barra de modo que a luz refletida na régua atinja uma 
posição fixa escolhida por você. 
Observação: Procedendo desse modo, estamos considerando φ0 = 0 na 
equação (1.1). Você é capaz de entender por quê? 
(c) Libere a haste e sucessivamente anote os valores de x para todos os pontos 
de retorno enquanto ela oscila (pode ser necessário que um aluno anote as 
 
 
 
 
34 
posições a esquerda e outro a direita). Repita o procedimento 3 vezes e 
calcule a média de cada posição a esquerda e a direita. 
 
 
Medidas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
𝒙𝟏(𝒄𝒎) 
 
𝒙𝟐(𝒄𝒎) 
 
𝒙𝟑(𝒄𝒎) 
 
𝒙𝒎𝒆𝒅(𝒄𝒎) 
 
Tabela 2: Estudo da posição x do reflexo da luz sobre a régua 
(d) Meça a distância L entre o espelho e a régua. 
(e) Agora podemos calcular o ângulo máximo de deslocamento angular 𝜃 para 
cada posição 𝑥𝑚𝑒𝑑 obtida acima. Utilizando a equação (1.12) abaixo, calcule o 
ângulo e anote na segunda linha da Tabela 3. Deverá haver valores negativos 
e positivos para 𝜃. 
𝜃 =
1
2
arctan (
𝑥𝑚𝑒𝑑 − 𝑥0
𝐿
) 
(1.12) 
 
(f) Na Tabela 1 calculamos a média do período 𝑇𝑚𝑒𝑑 e o consideramos como 
sendo o período de oscilação. Conhecendo o período podemos calcular os 
instantes em que assume os valores de 𝜃 calculados. Complete a terceira 
linha da Tabela 4 com os valores correspondentes de t, que são múltiplos de 
𝑇𝑚𝑒𝑑 2⁄ . 
Tabela 3: Estudo da amplitude 𝜽 = 𝜽𝟎𝒆
−𝜸𝒕 com o tempo. 
Medidas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
𝜽(𝒓𝒂𝒅) 
 
𝒕(𝒔) 
 
 
 
 
 
35 
2.3 Envoltória da curva 𝜽(𝒕) 
Pelos resultados obtidos vimos que aamplitude 𝜃 decresce com o tempo. Há uma curva 
que intercepta todos os valores de 𝜃, positivos ou negativos. Ela é formada por todos os 
pontos de retorno em que a haste está momentaneamente em repouso. Essa curva é 
chamada de envoltória e sua equação é 𝜃(𝑡) = 𝜃0𝑒
−𝛾𝑡 . Podemos obter a equação da 
envoltória mas para isso precisamos determinar os valores de 
𝜃0 e 𝛾 . Copie da Tabela 3 para a segunda linha e para a terceira linha da Tabela 4 
apenas os valores positivos de 𝜽 e os tempos t correspondentes. Para cada valor de 𝜃 
calcule 𝑙𝑛𝜃 e preencha a última linha da Tabela 4 abaixo. 
 
Tabela 4: Somente valores positivos de 𝜃 
Medidas 1 2 3 4 5 6 7 8 
𝜽(𝒓𝒂𝒅) 
 
𝒕(𝒔) 
 
𝒍𝒏𝜽 
 
 
2.4 Gráficos e análise de dados 
Vamos utilizar o programa Scidavis para fazer os gráficos a seguir: 
1. Gráfico 𝜽 𝐱 𝒕 : Utilizando os dados da Tabela 3 plote o gráfico 𝜃 em função de t. 
2. Gráfico 𝒍𝒏𝜽 𝐱 𝒕 t: trace o gráfico com os dados de 𝒍𝒏𝜽 e t obtidos na Tabela 4. 
Utilize a regressão linear para encontrar os valores dos coeficientes angular 𝑎 e 
linear 𝑏. 
3. Os coeficientes angular e linear obtidos acima nos permitem obter os valores de 𝛾 
e 𝜃0, pois 
𝛾 = 𝑎 e 𝑏 = 𝑙𝑛𝜃0. Desta última equação podemos obter que 𝜃0 = 𝑒
𝑏. Preencha a 
tabela 5. 
 
 
 
 
 
 
36 
Tabela 5 
𝛾 
𝜃0 
 
2.5 Sugestão de exercícios a serem feitos em sala ou para entregar juntamente 
com o relatório. 
1) Equação de movimento: O pêndulo de torção que estamos utilizando é um 
exemplo de oscilador harmônico amortecido que oscila de acordo com a equação 
 𝜃(𝑡) = 𝜃0𝑒
−𝛾𝑡cos (𝜔1𝑡 + 𝜑0) 
Na tabela 1, obtivemos o valor de 𝑇𝑚𝑒𝑑 e agora podemos calcular a frequência ω1 
utilizando 
𝜔1 =
2𝜋
𝑇𝑚𝑒𝑑
 
 
Da Tabela 5 temos os valores de 𝛾 e 𝜃0 . Escreva a função 𝜃(𝑡) = 𝜃0𝑒
−𝛾𝑡cos (𝜔1𝑡) 
substituindo os valores de 𝛾,𝜃0, 𝜔1 na prática. 
2) Equação da envoltória: Com os valores de 𝛾 e 𝜃0 obtenha escreva a função f(𝑡) =
𝜃0𝑒
−𝛾𝑡 
3) Gráficos: Utilize o programa Scidavis para traçar os gráficos das funções 𝜃(𝑡), 𝑓(𝑡) . 
Plote o gráfico dessas funções juntamente com os dados da Tabela 3 (no Scidavis 
clique com o mouse em GRAPH + ADD FUNCTION ...) e verifique se sua função 
está correta e ajustada aos dados da Tabela 3 obtidos na prática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
Ondas Estacionárias Unidimensionais 
 
 
1 – Introdução 
 
Considere uma corda esticada, na horizontal, entre duas presilhas. Suponha que 
produzimos uma onda senoidal contínua de uma certa frequência que se propaga para a 
esquerda. Quando a onda chega à extremidade esquerda, é refletida e começa a se 
propagar de volta para a direita. Para certas frequências, a interferência entre a onda que 
se propaga para a esquerda e a onda que se propaga para a direita produz uma onda 
estacionária, Figura 1, com nós (pontos com deslocamento nulo) e antinós (pontos em que 
a amplitude da onda resultante é máxima). Dizemos que uma onda estacionária desse tipo 
é gerada quando existe ressonância, isto é, quando a frequência da fonte que produz a 
onda senoidal é igual à frequência natural de oscilação da corda. Se a corda é excitada em 
uma frequência que não é uma das frequências de ressonância, não se forma uma onda 
estacionária. 
 
Figura 1: Uma corda presa a dois suportes oscila com ondas estacionárias. (a) O padrão 
mais simples possível é o de meio comprimento de onda. (b) O segundo padrão mais 
simples é o de um comprimento de onda. (c) O terceiro padrão mais simples é o de um e 
meio comprimento de onda. Figura adaptada da referência [1]. 
 
Uma onda estacionária pode ser excitada em uma corda de comprimento 𝐿 por 
qualquer onda cujo comprimento de onda  satisfaz a condição 
 =
2𝐿
𝑛
, para 𝑛 = 1,2,3, … (1) 
 
 
 
 
38 
As frequências de ressonância 𝑓 que correspondem a esses comprimentos de onda 
podem ser calculadas usando a equação 
𝑣 =  𝑓 (2) 
onde 𝑣 é a velocidade da onda na corda. Combinando as equações (1) e (2), encontramos 
que 
𝑓 = 𝑛
𝑣
2𝐿
, para n = 1, 2, 3, … (3) 
 
A equação (3) nos diz que as frequências de ressonância são múltiplos inteiros da menor 
frequência de ressonância, 𝑓 = 𝑣 2𝐿⁄ que corresponde a 𝑛 = 1. O modo de oscilação com 
menor frequência é chamada de modo fundamental ou primeiro harmônico. O segundo 
harmônico é o modo de oscilação com 𝑛 = 2, o terceiro harmônico é o modo com 𝑛 = 3 e 
assim por diante. 
 A velocidade de uma onda está relacionada ao comprimento de onda e à frequência 
através da equação (2), mas é determinada pelas propriedades do meio. É possível 
demonstrar que, em uma corda esticada, a velocidade depende apenas da força 𝑇 que 
deixa a corda tensionada e da massa específica linear da corda (µ), conforme equação (4). 
𝑣 = √
𝑇
µ
 (4) 
Portanto, substituindo 𝑣 na equação (2) pela equação (4), temos 
 
√
𝑇
µ
=  𝑓 
ou 
√𝑇 = 𝜆√µ𝑓 
Elevando ao quadrado e reorganizando o lado direito, temos 
𝑇 = 𝑓2 µ 2 (5) 
 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Analisar experimentalmente a relação entre a força de tração na corda e o 
comprimento de onda da onda estacionária. 
 
 
 
 
39 
 
Material Utilizado: dinamômetro, corda, haste regulável com suporte para dinamômetro e 
gerador elétrico de ondas estacionárias. 
 
Procedimentos: 
1. Monte o experimento conforme Figura 2. 
 
Figura 2: Dispositivo usado no experimento. 
 
2. Aplique no dinamômetro uma força de tração igual a 0,30 N, movimentando a haste 
que fixa o dinamômetro. 
3. Ligue o equipamento deixando-o vibrar em uma frequência média. Mantenha a 
frequência constante durante o experimento. 
4. Ajuste cuidadosamente o dinamômetro movimentando-o para cima ou para baixo 
até encontrar o primeiro modo de vibração (primeiro harmônico). Se a força de 
tração exceder 1,10 N, diminuir um pouco a frequência para não danificar o 
dinamômetro. 
5. Anote, na Tabela 1, o valor da força de tração 𝑇 indicada no dinamômetro, o número 
de nós e de antinós. 
6. Com uma trena meça o comprimento de onda . Anote o resultado na Tabela 1. 
7. Movimente o dinamômetro para baixo diminuindo a intensidade da tensão aplicada 
e encontre o próximo modo de vibração. 
8. Repita os procedimentos anteriores para o 2º, 3º e 4º harmônicos. Complete a 
Tabela 1. 
9. Construa o gráfico 𝑇 versus , com auxílio do programa Scidavis. Este gráfico está 
de acordo com o esperado? 
 
 
 
 
40 
Harmônico Nós Antinós 𝑇 (N)  (m) 2 (m2) 
1º 
2º 
3º 
4º 
Tabela 1: Número de nós e antinós da onda estacionária, de comprimento de onda , 
produzida em uma corda tensionada por uma força T, quando os modos de vibração 
correspondem ao 1º, 2º, 3º e 4º harmônicos. 
 
10. Utilize uma mudança de variável adequada para linearizar o gráfico. Para isso, 
observe a equação (5). Após linearização, faça uma regressão linear para obter 
uma equação do tipo 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵. 
11. Qual é o significado físico do parâmetro 𝑎? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
Módulo de Elasticidade 
 
 
1 – Introdução 
 
O módulo de elasticidade ou módulo de Young de um material é uma medida da rigidez do 
material quando o mesmo é submetido à deformações elásticas. Esta grandeza é um 
parâmetro de importância destacada em diversas áreas das ciências e sua determinação é 
tradicionalmente feita através doensaio de tração. 
O ensaio de tração consiste em retirar uma amostra do material e submetê-la a esforços 
uniaxiais anotando-se os valores das forças aplicadas 𝐹 e das deformações elásticas 𝑋 
sofridas pelo corpo de prova. A figura abaixo mostra um corpo de prova usado para se 
determinar o módulo de elasticidade do material e outras propriedades 
 
Figura 1 – Corpo de prova usado para o Ensaio de tração 
Neste ensaio uma força 𝐹 é aplicada a um corpo de prova que sofre um alongamento 𝑋. A 
tensão aplicada 𝜎 (em N/𝑚2) é 
𝜎 =
𝐹
𝐴0
 (1) 
 
 
 
 
42 
E a deformação (grandeza adimensional) 𝜀 é 
𝜀 =
𝑋
𝐿0
 (2) 
A relação entre a tensão aplicada 𝜎 e a deformação correspondente 𝜀 é dada pela Lei de 
Hooke 
𝜎 = 𝐸𝜀 (3) 
Onde 𝐸 é o Módulo de Young ou módulo de elasticidade do material (N/m2). Na 
determinação experimental do módulo de elasticidade por meio do ensaio de tração, 
constrói-se a curva tensão versus deformação (𝜎 × 𝜀) e a incinação da curva, em sua 
parte linear, representa o valor do módulo de Young do material. 
 
Figura 2. Curva típica do ensaio de tração construída a partir da tensão aplicada (𝝈) e da 
deformação (𝜺) experimentada pelo objeto 
A partir desta curva, determina-se o Módulo de elasticidade do material como a inclinação 
de sua parte linear. Interprete a parte linear desta curva com base na lei de Hooke, dada 
 
 
 
 
43 
pela equação 3. São mostrados a seguir valores do módulo de Young 𝐸 para alguns 
materiais. 
Material 𝑬 (× 𝟏𝟎𝟔 𝑵 𝒎𝟐⁄ ) 
Alumínio 70.000 
Ligas de Ti 110.000-124000 
Aço Carbono 190.000 - 205.000 
Latão 90.000-101000 
 
Tabela 1. Módulo de Elasticidade de alguns materiais 
 
Ondas Mecânicas nos sólidos 
A propagação de ondas mecânicas através de um meio material se dá pela 
transmissão das vibrações das partículas (átomos ou moléculas) que constituem o meio. 
As propriedades do meio determinam a velocidade com que um pulso mecânico se 
propaga através do material. No caso de um material sólido a velocidade de propagação 
de uma onda mecânica é determinada pelas propriedades de elasticidade e inércia do 
meio conforme a relação 
𝑣 = √
𝐸
𝜌
 (4). 
Onde 𝑣 representa a velocidade de propagação da onda, E é o módulo de Young do 
material e 𝜌 é densidade do material. Neste experimento vai se determinar a velocidade de 
propagação do som (deformações elásticas) em barras metálicas das quais se conhece a 
densidade ρ. A partir dai determina-se o módulo de elasticidade 𝐸 do material usando a 
equação a seguir. 
𝐸 = 𝑣2𝜌 (5) 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar o módulo de elasticidade de um material metálico. 
 
 
 
 
 
44 
Material Utilizado: Fonte de tensão contínua, capacitor, resistor, multímetro digital, barra 
metálica/base e trena. 
 
 
Procedimentos: 
 
-Determinação da velocidade de propagação de ondas mecânicas em uma barra 
metálica 
Quando a barra metálica da figura 3 é abandonada na vertical e colide com a base 
metálica, um pulso de onda sonora é produzido. Aqui o som é representado pela 
propagação da deformação elástica que a barra sofre quando ela colide com a base. Este 
pulso se propaga ao longo da barra e, ao atingir sua extremidade superior ele se reflete, 
retornando à extremidade inferior. Neste momento o pulso restaura a forma original da 
barra, exercendo sobre a base uma força orientada para baixo. A base por sua vez exerce 
uma força para cima, sobre a barra, fazendo-a “rebater”. Observe que a barra ficou em 
contato com a base desde o instante que ela a toca, até o instante que é “rebatida”. 
 
Figura 3 – Diagrama esquemático 
 
Determinamos então a velocidade de propagação do som na barra utilizando a equação 
𝑣 =
2𝐿
𝑡𝑐
 (6) 
Nesta equação 𝐿 é o comprimento da barra, medido em metros e 𝑡𝑐 é o tempo de contato 
entre a barra metálica e a base, medido em segundos. 
 
 
 
 
 
45 
Montagem experimental 
• Monte o circuito elétrico, conforme Figura 4. 
• Ajuste na fonte uma tensão V0 = 3,0 V 
• Quando a chave S é ligada, o capacitor C é carregado até atingir a mesma tensão 
V0 da fonte. 
• Ao se soltar a barra, o capacitor descarrega através do resistor R, durante o tempo 
em que a barra permanece em contato com a base metálica. A tensão nos terminais 
do capacitor diminui de acordo com a equação: 
𝑉 = 𝑉0𝑒
−𝑡𝑐 𝑅𝐶 ⁄ (7) 
em que RC é chamado de constante de tempo do circuito e 𝑡𝑐 é tempo de contato 
entre a barra e a base. 
 
Figura 4: Circuito utilizado para medir o tempo de contato entre a barra e a base metálica. 
 
Se a barra for solta sucessivas vezes, o valor de tensão 𝑉𝑓, depois de cada colisão, 
estará relacionado com o valor 𝑉𝑖, antes da colisão, por: 
𝑉𝑓 = 𝑉𝑖𝑒
−𝑡𝑐 𝑅𝐶⁄ (8) 
Ao soltar a barra, posicione-a, no máximo 15 cm acima da base metálica, para evitar que a 
ponta dela se amasse. Cuide para que a barra caia perpendicularmente sobre a base, sem 
girar. Repita este procedimento 10 vezes, anote os valores na tabela 2 e a partir daí 
determine o tempo de contato 𝑡𝑐. Neste experimento você pode anotar os valores de 𝑉𝑖 e 
de 𝑉𝑓 em volt (V) ou em milivolt (mV). 
 
 
 
 
46 
𝑁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
𝑉𝑖 (V) 
 𝑉𝑓 (V) 
Tabela 2: Valores da tensão no capacitor, antes e após cada colisão com a base metálica. 
 
Determinando o tempo de contato 𝑡𝑐 
• Faça o gráfico 𝑉𝑓 versus 𝑉𝑖, utilizando o programa Scidavis. Este gráfico é linear? 
• Faça uma regressão linear para obter uma equação empírica do tipo 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵 
• Qual é o significado físico do parâmetro 𝐴? Procure saber o valor da capacitância C 
e da resistência R e determine o tempo de contato 𝑡𝑐 da barra com a base. 
• Com o valor do tempo de contato 𝑡𝑐 determinamos a velocidade de propagação do 
som na barra utilizando a equação 6. 
• Utilizando a equação 5, determine o módulo de elasticidade do material. Compare o 
resultado encontrado com os valores da Tabela 1. 
 
Material ρ (g/cm3) ρ (kg/m3) 𝒗𝒔𝒐𝒎 
Alumínio 2,70 
Aço carbono 7,86 
Latão 8,50 – 8,83 
Ligas de Ti 4,43 
 
Tabela 3. Densidade de alguns materiais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
Calibração de um Termômetro 
 
1 – Introdução 
Através dos sentidos o homem percebe o mundo físico que o cerca. A sensação 
térmica estabelece a primeira noção da temperatura de um corpo, traduzida pelos termos 
frio, quente, gelado, etc. Para fins científicos, o critério do sentido para avaliação da 
temperatura é vago e impreciso, pois depende da pessoa e das condições nas quais a 
mesma se encontrava antes da medição. Além disto, desta forma o resultado da medida 
da temperatura é relativo uma vez que só pode distinguir entre “mais frio” e “mais quente” 
em relação à própria temperatura do corpo humano. Tal medida é sensível também a 
outras grandezas como, por exemplo, a condutividade térmica. Daí a necessidade de 
estabelecer um instrumento padronizado de medida da temperatura que independa dos 
sentidos humanos. 
 Chama-se termômetro o aparelho para medir a temperatura dos corpos. O 
termômetro faz uso de comparações entre a variação de propriedades das substâncias 
como o volume, a pressão, a resistência elétrica, a cor, etc. com a variação da temperatura 
do corpo. 
Uma termorresistência (RTD do inglês Resistance Temperature Detector) é um 
dispositivo que permite determinar a temperatura de um sistema, recorrendo à relação 
entre a resistência elétrica de um material e a sua temperatura.Por norma, quando se fala 
de uma termorresistência ela é identificada pelo material que a constitui e pela resistência 
que apresenta a 0 °C. Por exemplo, o termoresistor comercial mais utilizado é o Pt-100, de 
platina que a 0 °C apresenta uma resistência de 100 Ω. 
O Termoresistor é um dispositivo com boa precisão (na faixa de temperatura 
ambiente o Pt-100, tem precisão de aproximadamente 0,5 ℃ ), longa vida útil, boa 
sensibilidade e ampla aplicação em uma grande faixa de temperatura (Pt-100 de -200ºC a 
850ºC) . 
Os metais apresentam um aumento da resistência elétrica com o aumento da 
temperatura, como mostra o gráfico da Figura 1, da resistência relativa a 0ºC em função da 
 
 
 
 
48 
temperatura. Para uma ampla faixa de valores de temperatura o comportamento é linear e 
obedece a relação 
𝑅𝑇 = 𝑅0(1+∝ (𝑇 − 𝑇0)) 
Onde 𝑅𝑇 é o valor da resistência elétrica à temperatura 𝑇 , 𝑅0 é o valor da resistência 
elétrica à temperatura 𝑇0 e ∝ é coeficiente de temperatura da resistividade do metal. Esta 
equação é do tipo 
𝑅𝑇 = 𝑎 𝑇 + 𝑏 
Sendo 𝑎 = 𝑅0 𝛼 e 𝑏 = 𝑅0 – 𝑅0 𝛼 𝑇0. 
 
 
Figura 1- Variação da resistência elétrica com a temperatura para alguns metais. 
 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivos: Calibrar um enrolamento de fio de cobre como um termômetro, baseado na 
resistência elétrica (Termoresistor), por meio da comparação com outro sensor de 
temperatura. 
 
 
 
 
49 
 
Material Utilizado: Enrolamento de fio de cobre, termômetro, béquer, aquecedor elétrico, 
multímetro e cabos de ligação. 
Procedimentos: 
1. Selecione a escala de medição de resistência no multímetro. 
2. Conecte o multímetro aos terminais do enrolamento de fio de cobre. 
3. Anote o valor da resistência do enrolamento à temperatura ambiente. 
𝑅𝑎 =_____________ 
4. Determine a temperatura ambiente. 
𝑇𝑎 = _________________ 
5. Insira o enrolamento de fio de cobre e o termômetro na água. 
6. Ligue o aquecedor e aqueça a água até o ponto de ebulição. 
7. Desligue o aquecedor e anote os valores da temperatura e da resistência elétrica à 
medida que a temperatura cai. 
(T±0,5) ºC 
R(Ω)± 3% 
Tabela 1: Resistência do enrolamento de cobre em função da temperatura. 
8. Construa o gráfico de resistência elétrica 𝑅 versus a temperatura 𝑇 , usando o 
programa Scidavis. 
9. Ajuste uma reta aos pontos experimentais e escreva a equação de calibração do 
termômetro, tendo como base os valores dos coeficientes angular (A) e linear (B), 
determinados pelo programa Scidavis através de uma regressão linear. 
10. De acordo com a equação de calibração, qual o valor da temperatura ambiente em 
relação ao Ra determinado anteriormente? 
11. Obtenha água gelada (bebedouro) e determine a temperatura da água usando o 
termoresistor calibrado. Compare com o valor obtido com o termômetro. 
12. Estime, usando a equação de calibração, o valor da resistência equivalente ao zero 
absoluto. 
 
 
 
 
 
 
 
50 
Coeficiente de Dilatação Linear 
 
 
 
1 – Introdução 
 
Quando a temperatura de um corpo se eleva, sabemos que há um aumento na 
agitação de seus átomos ou suas moléculas. Em virtude da maior agitação térmica, a 
distância média entre essas partículas torna-se maior e, assim, o corpo, como um todo, 
terá suas dimensões aumentadas, ou seja, o corpo se dilata. No entanto, se a temperatura 
do corpo é reduzida, a distância média entre as partículas diminui e o corpo, como um 
todo, terá suas dimensões reduzidas. Uma maior ou menor dilatação (ou contração) 
dependerá de fatores como dimensão inicial do corpo, material e variação de temperatura. 
O conhecimento destes fatores é de importância em estruturas ou mesmo em 
projetos de máquinas. Senão vejamos: no caso de uma barra ser aquecida, com as 
extremidades fixas, surgirá tensões de origem térmica que, caso muito grandes, poderão 
ultrapassar o limite de elasticidade ou mesmo a tensão de ruptura do material. Nas pontes 
uma extremidade pode ser rigidamente fixa em uma das extremidades, enquanto a outra 
descansa sobre roletes para se dilatar ou contrair livremente. 
Considere uma barra qualquer de comprimento 𝐿0 à temperatura 𝑇0 . Após ser 
aquecida até uma temperatura 𝑇, seu comprimento passa a ser 𝐿. Então, o comprimento 
da barra sofre uma dilatação ∆𝐿 = (𝐿 − 𝐿0) em virtude de sua temperatura ter sofrido uma 
elevação ∆𝑇 = (𝑇 − 𝑇0). É possível verificar, experimentalmente, que existe uma relação 
linear entre ∆𝐿 e ∆𝑇, dada por: 
∆𝐿 = 𝐿0 𝛼 ∆𝑇 (1) 
na qual α é o coeficiente de dilatação linear, uma grandeza que depende do material da 
barra. 
A equação (1) também pode ser usada quando um corpo sofre uma redução de 
temperatura e, consequentemente, uma contração. Neste caso, ∆𝑇 e ∆𝐿 são negativos. 
 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar o coeficiente de dilatação linear de uma barra metálica. 
 
 
 
 
 
51 
Material Utilizado: Aquecedor elétrico, recipiente com água, termômetro, micrômetro de 
leitura direta – precisão 0,01mm, tubo metálico, mangueira de latex e base para fixação do 
tubo e do micrômetro. 
 
 
Procedimentos: 
• Monte o equipamento conforme Figura 1. 
• Coloque o recipiente com água na fonte térmica. 
• Posicione o termômetro para medir a temperatura do tubo. 
 
Figura 1: Ilustração do esquema utilizado. 
 
• Ligue a fonte térmica e espere a água entrar em ebulição. O vapor de água passará 
pelo tubo metálico, elevando-se sua temperatura até entrar em equilíbrio térmico 
com o vapor. Anote o valor dessa temperatura, que será o valor de T0, pois, 
mediremos a variação de temperatura e a variação do comprimento do tubo durante 
o resfriamento. Meça, também, o comprimento do tubo. 
𝑇0 = _________________ e 𝐿0 = ________________ 
• Gire o micrômetro até o ponteiro ficar no zero e desligue a fonte térmica. 
• Anote, na Tabela 1, a temperatura do tubo em função da variação do comprimento, 
durante o resfriamento. 
• Complete a Tabela 1, com os valores de ∆𝑇. 
 
𝑇 (ºC) 
∆𝑇 (ºC) 0 
∆𝐿 (mm) 0 
Tabela 1: Temperatura T e dilatação ∆L do tubo metálico. ∆T é a variação de temperatura. 
 
 
 
 
52 
• Construa o gráfico ∆𝐿 versus ∆𝑇 , com auxílio do programa Scidavis. Faça uma 
regressão linear para obter uma equação empírica do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
• Determine o coeficiente de dilatação linear do tubo, a partir do coeficiente angular 
da equação empírica obtida. 
• Compare o valor encontrado com os valores da Tabela 2. 
 
Material 𝜶 (10-5 ºC-1) 
Ferro 1,2 
Latão 2,0 
Alumínio 2,2 
Tabela 2: Coeficiente de dilatação linear para alguns materiais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
Calor Específico da Água 
 
 
1 – Introdução 
 
Calor é a energia térmica trocada entre dois corpos, ou entre um sistema e um 
ambiente, em virtude de existir entre eles uma diferença de temperatura. A capacidade 
térmica 𝐶 de um corpo é a razão entre o calor Q recebido ou perdido e a consequente 
variação de temperatura ∆𝑇, ou seja, 
C =
Q
∆T
 (1) 
 
Dois objetos de mesmo material, alumínio, por exemplo, possuem uma capacidade térmica 
proporcional à sua massa. Isso porque quanto maior a massa do objeto, maior é a 
quantidade de calor necessária para provocar a mesma variação de temperatura. Assim, é 
conveniente definir a grandeza calor específico 𝑐, que é a capacidade térmica por unidade 
de massa, 
𝑐 =
𝐶
𝑚
=
𝑄
𝑚∆𝑇
 . (2) 
 
O calor específico refere-sea uma substância, enquanto, que a capacidade térmica refere-
se a um corpo. O calor específico de uma substância varia um pouco com a temperatura. A 
Tabela 1 mostra os calores específicos de algumas substâncias à temperatura ambiente. 
 
 
Substância Calor específico 
(cal/g.ºC) (J/kg.K) 
Cobre 0,0923 386 
Vidro 0,20 840 
Gelo (-10 ºC) 0,530 2220 
Água 1,00 4187 
 
Tabela1: Calores Específicos à Temperatura Ambiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar o calor específico da água. 
 
Material Utilizado: fonte de tensão contínua, calorímetro (recipiente termicamente 
isolado), termômetro, becker, resistência elétrica, amperímetro, voltímetro e cabos de 
ligação. 
 
Procedimentos: 
• Monte um circuito elétrico, conforme Figura 1, com a fonte de tensão em série com 
o amperímetro e a resistência. A resistência não aparece na Figura 1, porque ela 
está dentro do calorímetro. Posicione o voltímetro em paralelo para medir a tensão 
na resistência. 
 
Figura 1: Montagem do experimento 
 
• Coloque 100 ml de água no calorímetro. Considere que a massa específica da água 
é 1,0 g/cm3 ou 1,0 g/ml. Observe se a resistência elétrica está em contato com a 
água. 
• Meça a temperatura inicial do sistema (água + calorímetro). 𝑇0 = __________________ 
• Ajuste a tensão na fonte em 12 𝑉, ligue o circuito e acione o cronômetro. Anote, na 
Tabela 2, o tempo decorrido para variações de temperatura de 2 em 2 0C. 
• Meça a corrente i que está circulando no circuito e a tensão V na resistência. 
 
 
 
 
55 
𝑖 = ________________ 𝑉 = ________________ 
 
 
∆𝑻 (ºC) 0 
𝒕(s) 0 
Tabela 2: Variação da temperatura ∆T do sistema em função do tempo t. 
 
A potência elétrica de uma resistência é P=IV e representa a energia elétrica 
transformada em calor, por unidade de tempo, ou seja, 
𝑖𝑉 =
𝑄
𝑡
 
ou 
𝑄 = 𝑖𝑉𝑡 (3) 
Das equações (1) e (2), podemos escrever o calor que o sistema (calorímetro + água) 
recebe, como 
𝑄 = 𝑚𝑐∆𝑇 + 𝐶∆𝑇 , (4) 
em que 𝑚 é a massa da água, 𝑐 é o calor específico da água e 𝐶 é a capacidade 
térmica do calorímetro. Considerando que o calor fornecido pela resistência é igual ao 
calor recebido pelo sistema e que a água e o calorímetro estão sempre em equilíbrio 
térmico, podemos escrever, igualando as equações (3) e (4), 
∆𝑇 =
𝑖𝑉
(𝑚𝑐 + 𝐶)
𝑡. (5) 
• Então, construa o gráfico ∆𝑇 versus 𝑡, com auxílio do programa Scidavis. Faça uma 
regressão linear para obter uma equação empírica do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
• Qual é o significado físico do parâmetro 𝑎? Determine o calor específico da água. 
Segundo o fabricante do calorímetro usado neste experimento, a capacidade 
térmica do calorímetro é 𝐶=20 cal/ºC. 
• O resultado está de acordo com o esperado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
Radiação Térmica 
 
1 – Introdução 
 
Um sistema pode trocar calor com um ambiente através de ondas eletromagnéticas. 
Geralmente, as ondas eletromagnéticas que transferem calor são chamadas de radiação 
térmica. Uma pessoa, por exemplo, ao se aproximar de uma fogueira é aquecida pela 
radiação térmica proveniente do fogo. O calor do Sol chega até nós por radiação térmica, o 
que quer dizer que uma onda eletromagnética não depende de um meio material para se 
propagar, já que entre o Sol e a Terra existe uma grande região de vácuo. 
Todo objeto cuja temperatura está acima de 0 K emite radiação térmica. De acordo 
com a lei de Stefan-Boltzmann, a taxa 𝑃 com a qual um objeto emite energia através de 
radiação eletromagnética é dada por 
𝑃 = 𝐶𝑇4 (1), 
em que 𝐶 = 𝜎𝜀𝐴 depende da emissividade 𝜀 e da área A da superfície do objeto e 𝜎 =
5,6704 𝑥 10−8 𝑊/𝑚2. 𝐾4 é uma constante física conhecida como constante de Stefan-
Boltzmann. A emissividade tem um valor entre 0 e 1, dependendo da composição da 
superfície. Uma superfície com a emissão máxima de 1 é chamada de radiador de corpo 
negro, mas uma superfície como essa é um limite ideal e não existe na natureza. 
 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Medir a potência irradiada pelo filamento de uma lâmpada em função de sua 
temperatura e verificar se os dados experimentais são compatíveis com a lei de Stefan-
Boltzmann. 
 
Material Utilizado: dois multímetros digitais, lâmpada de filamento de tungstênio de 130 V 
e 15W, termômetro, fonte de tensão alternada (varivolt) e cinco cabos. 
 
Procedimentos: 
• Monte o circuito mostrado na Figura 1. 
 
 
 
 
57 
 
Figura 1: Circuito com uma lâmpada ligada a uma fonte de tensão alternada. 
 
• Certifique-se que a lâmpada não se encontra aquecida e use o multímetro digital 
para medir a resistência de seu filamento, R0, e o termômetro para medir a 
temperatura ambiente, T0, que deverá ser expressa em kelvin. 
 
𝑅0 = _________________ 𝑇0 = ___________________ 
 
• Alimente a lâmpada com a fonte varivolt e meça a tensão 𝑉 e a corrente 𝑖 na 
lâmpada. Anote os resultados na Tabela 1. 
Observação: são sugeridos valores altos para a tensão da lâmpada de forma que a 
temperatura do filamento seja relativamente alta e a relação dada pela equação (1) 
possa ser satisfatoriamente empregada, pois, para 𝑇 > 3000 K a emissividade do 
tungstênio varia pouco. 
 
• Para cada par de medidas (𝑉, 𝑖) calcule a resistência do filamento. Lembre-se que 
(𝑅 = 𝑉/𝑖). 
 
• A resistência do filamento varia com a sua temperatura de acordo com a relação 
 
𝑅 = 𝑅0[1 + 𝛼(𝑇 − 𝑇0)], (2) 
 
em que 𝛼 = 4,5 𝑥 10−3 𝐾−1 é o coeficiente de temperatura para a resistividade do 
tungstênio. Isolando 𝑇 na equação (2), temos que: 
𝑇 = 𝑇0 +
(𝑅 − 𝑅0)
𝑅0. 𝛼
 (3). 
 
 
 
 
58 
Use esta expressão para calcular a temperatura (em Kelvin) do filamento da lâmpada para 
cada valor de R. Anote os resultados na Tabela 1. 
 
• Calcule a potência irradiada pela lâmpada e complete a Tabela 1. Lembre-se que 
P=IV. 
 
• Construa o gráfico P versus T4, com auxílio do programa Scidavis, e verifique se, 
nesse caso a dependência entre P e T corresponde ao previsto na equação (1). 
Faça uma regressão linear para obter o valor da constante C. 
 
𝑉 (V) 𝑖 (A) 𝑅(Ω) 𝑇 (K) 𝑃 (W) 
114 
118 
122 
126 
130 
134 
Tabela 1: Uma lâmpada, de resistência R à temperatura T, emite radiação a uma taxa P, quando 
submetida a uma tensão V em um circuito com corrente I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
Lei de Resfriamento de Newton 
 
1 – Introdução 
 
Quando dois objetos, com temperaturas diferentes, são colocados em contato 
térmico, há transferência de calor do objeto mais quente para o mais frio, até ambos 
atingirem a mesma temperatura. 
Para um sólido em contato térmico com um fluido, a taxa de resfriamento é dada por 
 
𝑑∆𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘∆𝑇 (1), 
 
em que 𝑇 é a diferença entre a temperatura da superfície do sólido e do fluido. A 
constante 𝑘 depende de vários fatores – de a superfície ser plana ou curva, ou ainda, de 
ser vertical ou horizontal; de o fluido ser um gás ou um líquido; da densidade, da 
viscosidade, do calor específico e da condutividade térmica do fluido, entre outros [1]. Essa 
relação é conhecida como Equação de Newton para o resfriamento. 
Sendo 𝑇0 a diferença de temperatura entre o objeto e a vizinhança no instante 
inicial 𝑡 = 0, mostre que, após um tempo 𝑡, a diferença de temperatura 𝑇 entre eles é∆𝑇 = ∆𝑇0𝑒
−𝑘𝑡 (2). 
 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Verificar o decaimento exponencial da temperatura em função do tempo e 
determinar o valor de 𝑘. 
 
Material Utilizado: recipiente de alumínio, água, aquecedor elétrico, termômetro e 
cronômetro. 
 
Procedimentos: 
• Meça e anote a temperatura ambiente. 𝑇𝑎 = ___________________. 
• Coloque água no recipiente e aqueça até, aproximadamente, 94°C. Desligue o 
aquecedor, retire o recipiente do mesmo e coloque-o sobre uma base isolante. 
Espere a temperatura alcançar 90 ºC e meça o tempo decorrido para variações de 
 
 
 
 
60 
temperatura de 2 em 2 graus até 60 ºC. Anote os resultados na Tabela 1 e, depois, 
complete-a com os valores de (𝑇 − 𝑇𝑎) e 𝑙𝑛(𝑇 − 𝑇𝑎). 
 
𝑡(s) 𝑇(0C) 𝑇 − 𝑇𝑎 (
0C) 𝑙𝑛(𝑇–𝑇𝑎) 
0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1: Temperatura do sistema (água + recipiente de alumínio) em função do tempo. 
 
• Faça o gráfico ∆𝑇 versus 𝑡, com auxílio do programa Scidavis. Observe se a curva 
obtida pode ser uma exponencial. 
• Construa o gráfico 𝑙𝑛(∆𝑇) versus 𝑡 . Faça uma regressão linear para obter uma 
equação empírica do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
• Qual é o significado físico do parâmetro 𝑏? 
• E do parâmetro 𝑎? Determine o valor da constante 𝑘. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
Lei de Boyle – Transformação Isotérmica 
 
 
1 – Introdução 
 
A Lei de Boyle pode ser enunciada da seguinte maneira: 
 
“Sob temperatura constante, o volume 𝑉 ocupado por uma certa massa de gás é 
inversamente proporcional à pressão 𝑃 à qual o gás está submetido”. 
 
Matematicamente, podemos escrever a lei de Boyle como 
𝑃𝑉 = 𝐶 (1), 
em que 𝐶 é uma constante. Esta relação é rigorosamente satisfeita para gases ideais e 
tem seu valor aproximado para gases reais. 
 
 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivos: (i) Comprovar a validade da Lei de Boyle para uma transformação Isotérmica, 
(ii) determinar a pressão atmosférica local e (iii) a quantidade de gás inicial da amostra. 
 
Material: Aparelho Gaseológico Emília, mostrado na Figura 1. 
 
Figura 1: Esquema geral do equipamento utilizado para a verificação da lei de Boyle. Neste diagrama 
as partes do arranjo são representadas pelas letras de acordo com a legenda: A – manômetro, B – 
manípulo, C – seringa, D – mangueira, E – válvula, F – presilhas, G – suporte. Figura da Referência [1]. 
 
 
 
 
62 
 
O aparelho gaseológico Emília, consiste de uma seringa com escala volumétrica 
conectada a um manômetro por uma mangueira. O manômetro permite apenas medir a 
pressão relativa, que neste experimento é a pressão do gás dentro do aparelho subtraída 
pela pressão atmosférica local. O gás (ar atmosférico) fica armazenado dentro da seringa e 
pode ser comprimido quando o êmbolo é empurrado. 
 
Procedimentos: 
Os procedimentos descritos abaixo estão propostos na Referência [1]. 
• Ajuste o equipamento de maneira que 20,0 mL de ar fiquem contidos inicialmente na 
seringa, nas condições atmosféricas locais, ou seja, com pressão manométrica igual 
a zero. O volume inicial 𝑉0 de gás contido nas várias partes do equipamento 
(seringa, mangueira, válvula e interior do manômetro) é, neste caso, maior que 20,0 
mL. 
 
• Feche a válvula para o ar não escapar e passe a comprimir o ar dentro da seringa 
por um valor fixo |∆𝑉| = 2,0 mL. Anote, na Tabela 1, os valores da variação do 
volume e da pressão ∆p lida no manômetro. 
 
∆p (kgf/cm2) 
∆V (mL) 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 
Tabela 1 – Valores medidos para a variação de pressão e do volume. 
 
Ao comprimir a seringa o novo volume será 𝑉1 = 𝑉0 − |∆𝑉|. Durante este procedimento 
a pressão aumenta, e a nova pressão será 𝑃1 = 𝑃0 + ∆𝑝. Considerando que a compressão 
do gás ocorre isotermicamente, pode-se aplicar a Lei de Boyle, na qual 𝑃0𝑉0 = 𝑃1𝑉1. Assim 
𝑃0𝑉0 = (𝑃0 + ∆𝑝)(𝑉0 − |∆𝑉|), 
resultando em 
∆𝑝 =
𝑃0|∆𝑉|
𝑉0 − |∆𝑉|
 (2). 
O inverso da equação (2) fornece, 
1
∆𝑝
=
𝑉0
𝑃0
1
|∆𝑉|
−
1
𝑃0
 (3). 
 
 
 
 
63 
Constata-se pela equação (3) uma relação linear entre 1/∆p e 1/∆V. A equação da 
reta que representa esta relação possui coeficiente angular 𝑉0𝑃0 e coeficiente linear 1 𝑃0⁄ . 
• Com os dados da Tabela 1, faça o gráfico 1/∆𝑝 versus 1/∆𝑉 com auxílio do 
programa Scidavis. Este gráfico é linear? Ajuste uma reta e determine os 
parâmetros A (coeficiente angular) e B (coeficiente linear) através de uma regressão 
linear. 
• Determine o valor da pressão atmosférica local 𝑃0 e a quantidade inicial 𝑉0 de ar 
dentro do equipamento, a partir dos parâmetros A e B. 
 
Referência: 
.VERTCHENKO, Lev; DICKMAN Adriana Gomes, Revista Brasileira de Ensino de Física 
34, 4312 (2012). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANEXO I: ORIENTAÇÕES GERAIS PARA REDAÇÃO DOS 
RELATÓRIOS TÉCNICOS 
 
a) São individuais; 
b) Podem ser entregues no início da aula de laboratório seguinte ao experimento 
realizado; 
c) Somente alunos que participaram da aula é que podem entregar o relatório; 
d) A nota final de cada relatório será baseada em dois fatores: (1) participação do 
aluno nas atividades e (2) avaliação do relatório em si. 
 
RELATÓRIO: 
 
 O relatório de uma atividade experimental consiste basicamente de três partes, as 
quais são descritas a seguir: 
 
Parte 1: Título, objetivos e introdução 
 
Deve conter uma capa (impressa) contendo: 
• Nome da instituição, departamento/instituto e curso; 
• Título do experimento; 
• Nome do autor(es); 
• Nome do professor; 
• Data e local da realização do experimento; 
 
Em outra folha: 
 
• Objetivos: descreva o que se pretende verificar, medir e aprender com o 
experimento. 
• Introdução: explique claramente os conceitos teóricos e hipóteses que servirão de 
base ao experimento, reforçando no final os objetivos. Apresente de forma 
simplificada, no último parágrafo, o que será feito na prática. 
 
 
Parte 2: Desenvolvimento: 
 
• Materiais: Liste todos os equipamentos e materiais de consumo utilizados. 
• Método: Faça uma breve introdução ao tema do experimento e relate 
detalhadamente todos os procedimentos realizados durante o experimento, os 
métodos de medidas e os cálculos envolvidos. 
• Resultados e análises: Apresente de forma clara os resultados obtidos, os quais 
devem ser destacados no texto com suas respectivas incertezas e unidades. 
Possíveis limitações da prática e/ou métodos devem ser discutidas. 
 
Caso alguma interpolação de dados tenha sido realizada na construção de gráficos, os 
dados da interpolação devem ser descritos no texto (com o correto número de algarismos 
 
 
 
 
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significativos e incertezas); tais dados devem ser relacionados às quantidades físicas e 
equações pertinentes. 
 
Discuta os resultados obtidos e responda as questões propostas no texto da atividade. 
 
➢ Dados: 
 
✓ Tabelas: dados numéricos obtidos durante o procedimento devem ser 
organizados em tabelas, as quais devem conter: 
• Legenda: Inicia com a palavra “Tabela”, seguida pelo seu número. Deve 
contar uma curta frase que descreve seu conteúdo. 
• Cabeçalho: Primeira linha da tabela, que deve conter nomes e/ou 
símbolos das grandezas listadas em cada coluna, com suas respectivas 
unidades e, quando for o caso, suas incertezas. 
• Conteúdo: Resultados a serem apresentados em cada linha e coluna. 
Medidas