MATÉRIA DE PROBABILIDADE

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PROBABILIDADE
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. 
A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
Inicialmente para falarmos sobre probabilidade devemos definir o que é um experimento aleatório.
Experimentos Aleatórios 
Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados que não podem ser previstos com certeza. Embora não saibamos qual o resultado que irá ocorrer num experimento, em geral conseguimos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. As variações de resultados, de experimento para experimento, são devidas a uma multiplicidade de causas que não podemos controlar, as quais denominamos acaso.
EXEMPLOS DE EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
Lançar uma moeda e observar a face de cima.
Lançar um dado e observar o número da face de cima.
Lançar duas moedas e observar as sequências de caras e coroas obtidas.
d) De um baralho de 52 cartas, selecionar uma carta e observar seu naipe.
e) De uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 2 bolas brancas, selecionar uma bola e observar sua cor.
Espaço Amostral
Chamamos de espaço amostral, e indicamos por S ou Ω, um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
EXEMPLOS:
Lançar um moeda e observar a face de cima.
Ω = { K, C}, em que K representa cara e C, coroa.
b) Lançar um dado e observar o número da face de cima.
Ω = {1,2,3,4,5,6}. 
Probabilidade:
Considerando um espaço amostral S, não-vazio, e um evento E, sendo E ( S, a probabilidade de ocorrer o evento E é o número real P (E), tal que: 
P(E) = n (E)
 n (S)
Sendo 0 ( P(E) ( 1 e S um conjunto equiprovável, ou seja, todos os elementos têm a mesma “chance” de acontecer. 
n (E): número de elementos do evento E.
n (s): número de elementos do espaço amostral S.
Exemplo:
Lançando-se um dado, a probabilidade de sair um número ímpar na face voltada para cima é obtida da seguinte forma:
S = { 1,2,3,4,5,6} n (S) = 6
E = { 1,3,5} n(E) = 3
P (E) = n (E) = P(E) = 3 = 1 = 0,5 = 50%
 n (S) 6 2
UNIÃO DE DOIS EVENTOS:
Considerando A e B dois eventos contidos em um mesmo espaço amostral S, o número de elementos da reunião de A com B é igual ao número de elementos do evento A somado ao número de elementos do evento B, subtraído do número de elementos da intersecção de A com B.
n (A ( B) = n (A) + n (B) _ n ( A ( B )
Sendo n (S) o número de elementos do espaço amostral, vamos dividir os dois membros da equação por n(S) a fim de obter a probabilidade P (A ( B ). 
n (A ( B) = n (A) + n(B) - n(A ( B) 
 n (S) n (S) n (S) n(S)
P(A ( B) = P(A) + P(B) – P(A ( B)
EXEMPLO:
De uma urna com 20 bolinhas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bolinha. Para calcular a probabilidade de essa bolinha ter um número divisível por 2 ou por 3,
Consideramos:
S = { 1,2,3, ... ,20}
A: Conjunto dos números divisíveis por 2
A = { 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}; n (A) = 10.
B: Conjunto dos números divisíveis por 3:
B = { 3,6,9,12,15,18} ; n (B) = 6. 
(A ( B) : Conjunto dos números divisíveis por 2 e por 3:
(A ( B) = { 6,12,18} n(A ( B) = 3.
Então teremos:
P(A ( B) = P(A) + P(B) – P (A ( B)
P (A ( B) = 10 + 6 - 3 = 13
 20 20 20 20
P (A ( B) = 0,65 = 65%.
Probabilidade Condicional:
Considerando os eventos A e B de um espaço amostral S, define-se como probabilidade condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B e indicado por P A , a razão: 
 B
P A = P (A ( B) 
 B P (B)
Introduziremos a noção de probabilidade condicional através do seguinte exemplo: 
Consideremos 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos, 100 são homens (H) e 150 são mulheres (M); 110 cursam física (F) e 140 cursam Química (Q). A distribuição dos alunos é a seguinte: 
	 DISCIPLINA
SEXO
	Física
	Química
	Total
	H
	40
	60
	100
	M
	70
	80
	150
	Total
	110
	140
	250
Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química, dado que é mulher?
Pelo quadro vemos que esta probabilidade é de 80/150 e representamos: 
P (Q/M) = 80/150 (Probabilidade de que o aluno curse química, condicionado ao fato de ser mulher).
Observamos, porém, que P(M ( Q) = 80/250 e P(M)= 150/250. 
Para obtermos o resultado do problema, basta considerar que:
 80 
P (Q | M) = 250 = 80
 150 150
 250
Logo:
P (Q | M) = P (M ( Q)
 P (M)
Sejam A ( Ω e B ( Ω. Definimos a probabilidade condicional de A, dado que B ocorre (A|B) como segue: 
P (A|B) = P (A ( B) se P(B)(0 
 P (B)
Também:
P(B|A) = P(B ( A) ,se P(A)( 0
 P (A) 
EXERCÍCIOS:
Qual é a probabilidade de ocorrer o número 5 no lançamento de um dado?
2) Qual é a probabilidade de se obter um número par no lançamento de um dado? 
3) Um casal planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de os 3 filhos serem do mesmo sexo?
4) Um urna contém 200 fichas numeradas de 1 a 200. Retirando uma ficha dessa urna, qual é a probabilidade de se obter um número maior que 80? 
5) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Retirando-se ao acaso uma bolinha da urna, qual a probabilidade de essa bolinha ter um número múltiplo de 4 ou de 3? 
6) Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar?
7) Numa pesquisa feita com 600 pessoas de uma comunidade, verificou-se que 200 lêem o jornal a, 300 lêem o jornal B e 150 lêem os jornais A e B. Qual a probabilidade de, sorteando-se uma pessoa, ela ser leitora do jornal A ou do jornal B?
8) Um grupo de pessoas está classificado da seguinte forma: 
	 Esportes 
Sexo
	Futebol
	Natação
	Vôlei
	Total
	Masculino
	300
	200
	60
	560
	Feminino
	150
	60
	30
	240
	Total
	450
	260
	90
	800
Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que esta pessoa joga futebol, qual a probabilidade de que ela seja uma mulher?