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ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES Universidade Estadual Vale do Acaraú Mecânica para Engenharia Civil Profª.: Aldecira Gadelha Diogenes Tipos de Estruturas número de reações de apoio = número de equações de equilíbrio ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS São estruturas que apresentam as mínimas condições de manutenção do equilíbrio estático diante da atuação de qualquer carregamento. A estrutura isostática não apresenta reserva de segurança, por isso caso ocorra o rompimento de um de seus vínculos, a estrutura se tornará hipoestática. Temos: 3 Reações de Apoio → VA , VB e HB 3 Equações de Equilíbrio → ∑FH = 0, ∑FV = 0 e ∑Mz = 0 Temos: 3 Reações de Apoio → HA , VA e MA 3 Equações de Equilíbrio → ∑FH = 0, ∑FV = 0 e ∑Mz = 0 As estruturas hipoestáticas são aquelas que não possuem as condições mínimas de manutenção do equilíbrio estático diante da solicitação de qualquer carregamento. Este tipo de estrutura NÃO pode ser projetada, por serem inadmissíveis para as construções devido à sua INSTABILIDADE. ESTRUTURAS HIPOESTÁTICAS número de reações de apoio < número de equações de equilíbrio Temos: 2 Reações de Apoio → VA e VB 3 equações de Equilíbrio → ∑FH = 0 , ∑FV = 0 e ∑Mz = 0 As estruturas hiperestáticas são as estruturas mais freqüentes na pratica e são as que devem preferencialmente ser utilizadas. Este tipo de estrutura possui reserva de segurança, apresentando portando condições além das necessárias para manter o equilíbrio estático. Caso haja, o rompimento de um de seus vínculos, a estrutura manterá a sua estaticidade. É necessário impor condições de compatibilidade de deformação para obter mais equações e resolver o sistema. ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS número de reações de apoio > número de equações de equilíbrio Temos: 4 Reações de Apoio → VA, HA, VB e HB 3 Equações de Equilíbrio →∑FH = 0 , ∑FV = 0 e ∑Mz = 0 Tipos de Esforços ESFORÇO NORMAL Soma algébrica das componentes, na direção normal à seção, de cada uma das forças atuantes de um dos lados desta seção. O esforço normal pode ser de dois tipos: tração ou compressão. Tração Compressão Convenção de Sinais: + - Tração Compressão N N N N Conclusão: um esforço cortante Qy ou Qz, é positivo quando, calculando pelas forças situadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido positivo dos eixos y e z ou, quando for calculado pelas forças situadas do lado direito da seção, tiver os sentido oposto ao sentido positivo dos eixos y e z. Em caso contrário, o esforço cortante será negativo. Esforço Cortante NegativoEsforço Cortante Positivo Esforço Cortante em Relação ao eixo z: Esforço Cortante Positivo Esforço Cortante Negativo + Q Q Q Q - Esforço Cortante NegativoEsforço Cortante Positivo Esforço Cortante em Relação ao eixo y: ESFORÇO CORTANTE Soma vertical das componentes, sobre o plano da seção, das forças situadas em um dos lados desta seção, na perpendicular do eixo da estrutura. O esforço cortante pode ocorrer em relação ao eixo y ou em relação ao eixo z. Convenção de Sinais: MOMENTO TORÇOR Soma algébrica dos momentos das forças situadas de um dos lados desta seção em relação ao eixo normal à seção que contém o seu centro de gravidade. Momento Torçor Positivo Momento Torçor Negativo Convenção de Sinais: Momento Torçor Positivo Momento Torçor Negativo + - T T T T Bordo Comprimido Bordo Tracionado Bordo Comprimido Bordo Tracionado Momento Fletor Negativo Momento Fletor em Relação ao eixo z: Momento Fletor Positivo Momento Fletor Negativo Momento Fletor em relação ao eixo y: Momento Fletor Positivo Convenção de Sinais: Momento Fletor Positivo Momento Fletor Negativo + -m m m m Bordo Comprimido Bordo Tracionado Bordo Comprimido Bordo Tracionado Soma algébrica dos momentos das forças atuantes de um dos lados da seção em relação ao seu centro de gravidade. Quando ocorre o momento fletor, um dos bordos da viga sofre tração e o outro bordo sofre compressão. Assim como o esforço cortante, o momento fletor pode ocorre em torno do eixo x ou em torno do eixo y. MOMENTO FLETOR RESUMINDO: No caso mais geral, podemos ter os seguintes esforços simples: a) Esforço Normal N; b) Esforços Cortantes Qy e Qz; c) Momento Torçor T; d) Mementos Fletores my e mz Solicitações em Estruturas Isostáticas Submetidas a Diferentes Tipos de Carregamentos ESFORÇOS SIMPLES Ao analisar as forças atuantes nos elementos de uma treliça, verificamos, através do método das seções, que as forças são axiais em toda a barra. Veja: a a F F A B Corte a-a: F FF FA A’ A’ B A’ CÁLCULO DOS ESFORÇOS NA SEÇÃO aa Nos elementos de uma estrutura qualquer, os pontos internos não estão sempre submetidos somente a forças axiais. Estudaremos a seguir os esforços internos em uma viga submetida a carregamentos não axiais. Considere a viga seguinte: a a F1 A BA’ F2 F3 F5 F4 Ao fazermos o corte a-a devemos adicionar as reações que a parte da viga secionada realizava sobre a viga restante. Em geral, a viga secionada resiste à translação em x e y, além de resistir a uma tendência de rotação em relação ao eixo z (perpendicular ao plano xy). F1 A A’ F2 V N M BA’ F3 F5 F4 M N V a a F1 A BA’ F2 F3 F5 F4 As reações N, V e M são explicadas a seguir: N é conhecida como força normal ou axial e é responsável pela tração ou compressão do elemento; V é a força cortante ou cisalhante, responsável pela tendência de “corte” da viga; M é conhecido como momento fletor e é responsável pela flexão da viga. Em geral, os esforços V e M são mais importantes no projeto de uma estrutura do que N. Basta imaginar uma régua, você conseguiria quebrá-la por tração? Para quebrar a régua, basta entortá-la. Nesse caso, dizemos que a régua quebrou devido ao momento fletor. Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M. (i) Força cisalhante (V>0) A A’ V BA’ V a a A BA’ Corte a-a: Análise do lado esquerdo, V para cima Análise do lado esquerdo, V para baixo Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M. (ii) Momento fletor (M>0) A A’ M BA’ M a a A BA’ Corte a-a: Análise do lado esquerdo, V para cima Análise do lado esquerdo, V para baixo Como dito anteriormente, no projeto de uma viga, as forças cisalhantes e momentos fletores são geralmente mais importantes que as forças axiais e, portanto, estes serão os objetos de nosso estudo. No exemplo seguinte, vamos calcular os valores de V e M em pontos específicos de uma viga. Em seguida, vamos introduzir o estudo do comportamento de V e M ao longo de uma viga. a a A EB 10N b b DC 5N 5N 1,0m 1,0m 1,0m 1,0m Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D. Visto que o cálculo de V e M é fundamental para o projeto de vigas (e todo tipo de estrutura ou elemento que contenha carregamento transversal), deve-se estudar o comportamento dessas variáveis ao longo da viga. Para realizar esse estudo, basta que se faça cortes para distâncias arbitrárias em toda a extensão da viga. Estas seções devem ser estudadas em regiões determinadas pelo surgimento ou término de um novo carregamento (força concentrada, carga distribuída ou momento binário). É conveniente fazer os gráficos de V e M logo abaixo da representação gráfica do problema (desenho da viga). Exemplo 2) Diagramas de V e M: A C 10N B 5N 5N 2,0m 2,0m 5.0 -5.0 2.0 4.0 x [m] V [N] 10.0 2.0 4.0 x [m] M [N.m] Traçado de Diagramas em Viga Isostática Submetida a Carga Concentrada Apresentamos umaestrutura bi apoiada, com um apoio de 20 gênero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a uma carga concentrada P. Cálculo das Reações de Apoio: ∑FV =0 → VA + VB = P ∑MB = 0 → VA . L – P . b = 0, logo: VA = Pb/L ∑MA = 0 → VB . L – P . A = 0, logo: VB = Pa/L Conferindo: VA +VB = Pb/L + Pa/L = P → OK VB = Pa L VA = Pb L P x S1 y S2 L a b B C A Cálculo dos Esforços na Seção S1: Q1 = VA = Pb/L → constante m1 = VA . x = Pb/L . x → Equação de uma reta Cálculo dos Esforços na Seção S2: Q2 = VA – P = VA – ( VA + VB) = Pb/L – (Pb/L +Pa/L) = Pb/L – Pb/L – Pa/L = - Pa/L → cte m2 = VA . y – P ( y – a )= Pb/L . y – P ( y – a )→ Equação de uma reta Calculando os esforços nas seções S1 e S2: Q2 m2 Q1 m1 VA = Pb L x S1A P x S1 y S2 C A VA = Pb L DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE + - Pb L Pa L O diagrama de esforço cortante deve ser traçado seguindo o sentido das forças atuantes na estrutura. Analisando a estrutura a partir do lado esquerdo, inicialmente temos: - No ponto A, a força cortante Pb/L para cima, - Posteriormente, no ponto C, a carga concentrada P para baixo. - E finalmente, no ponto B, a força Pa/L para cima. Observe que o diagrama de esforço cortante de uma estrutura submetida apenas a cargas concentradas é uma constante B A C DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR Cálculo do Momento Fletor: mA = 0 e mB = 0 mC esquerda= VA. a = Pb/L . a = Pba/L → Equação da reta mC direita = VB . b = Pa/L . b = Pab/L → Equação da reta m máx = Pab L + Observe que o diagrama de momento fletor de uma estrutura submetida apenas a cargas concentradas é retilíneo. Traçado de Diagramas em Viga Isostática Submetida a Carga Uniformemente Distribuída A B q Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20 gênero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a uma carga uniformemente distribuída q. Cálculo das Reações de Apoio: ∑FV =0 → VA + VB = q . L ∑MB = 0 → VA . L – qL . L/2 = 0, logo: VA = qL/2 ∑MA = 0 → VB . L – qL . L/2 = 0, logo: VB = qL/2 Conferindo: VA +VB = qL/2 + ql/2 = qL → OK Como não há carga horizontal atuando na barra ou mesmo carga inclinada com componente horizontal, não existem reações no eixo x. Portanto,neste caso não há diagrama de esforço normal. VA = qL 2 VB = qL 2 DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE Cálculo do Esforço Cortante: DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR Cálculo do Momento Fletor: Traçado de Diagramas em Vigas Inclinadas Submetidas a Carga Concentrada DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL Cálculo do Esforço Normal: N(x) = -VA . sen+ q . sen. x (equação da reta) p/x = 0 → NA = - qL . sen 2 p/x = L → NB = -qL . sen + q . sen . x 2 → NB = qL . sen 2 + - qL sen 2 qL sen 2 DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE Cálculo do Esforço Cortante: Q(x) = VA . cos– q . cosx (equação da reta) p/x = 0 →QA = qL . cos 2 p/x = L →QB = qL . cos– q . cos. x 2 →QB = -qL . cos 2 + - qL . cos 2 qL . cos 2 DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR Cálculo do Momento Fletor: m(x) = VA. cos .x – q.cos . x . x 2 m(x) = qL . cos .x – q.cos . x² 2 2 + q . cos. L² 8 Cálculo do Momento Máximo: m máx = qL/2 . cos . L/2 – q. cos . ½ . (L/2)² m máx = q. cosL²/4 – q. cos . L²/8 = q.cos . L²/8 Carga Triangular P BA S PS Cálculo das Reações de Apoio: ∑FV =0 → VA + VB = ½ . P . L ∑MB = 0 → VA . L – ½ . P . L . L/3 = 0, logo: VA = PL²/6L = PL/6 ∑MA = 0 → VB . L – ½ . P . L . 2L/3 = 0, logo: VB = PL/3 Conferindo: VA +VB = PL/6 + PL/3 = PL/2 → OK VA = PL 6 VB = PL 3 Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20 gênero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a uma carga triangular. DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE VA = Pl 6 L PS = P. x S Cálculo dos Esforços na seção S: PS/x = P/L → PS = Px/L Cortante: QS = VA – ½ . PS . x = PL/6 – ½ . Px/L . x QS = PL/6 – Px²/2L → Parábola do 2º grau PL 6 PL 3 + - A DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR Cálculo do Momento Fletor: mS = PL/6 . x – ½ . PS . x . x/3 = PL/6 . x – ½ . Px/L . x . x/3 mS = PL/6 . x – PX³/6L → Parábola do 3º grau Cálculo do Momento Máximo: → O momento máximo ocorre no ponto onde o cortante é nulo, para que a seção S ocorra onde o cortante é nulo, temos: QS = PL/6 – Px²/2L = 0 → x² = L²/3 → x = 0,577 . L m máx = PL/6 . 0,577L – P.(0,577L)³/6L m máx = 0,09622L² - 0,032PL² m máx = 0,064PL² + m máx = 0,064PL² 0,064PL² Exemplo 1:
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