2014.2_mecanica_geral__aula_4 (1)

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ESFORÇOS INTERNOS 
SOLICITANTES
Universidade Estadual Vale do Acaraú
Mecânica para Engenharia Civil
Profª.: Aldecira Gadelha Diogenes
Tipos de Estruturas
número de reações de apoio
=
número de equações de equilíbrio
ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
São estruturas que apresentam as mínimas condições de manutenção 
do equilíbrio estático diante da atuação de qualquer carregamento. A estrutura 
isostática não apresenta reserva de segurança, por isso caso ocorra o 
rompimento de um de seus vínculos, a estrutura se tornará hipoestática.
Temos:
3 Reações de Apoio → VA , VB e HB
3 Equações de Equilíbrio → 
∑FH = 0, ∑FV = 0 e ∑Mz = 0
Temos:
3 Reações de Apoio → 
HA , VA e MA
3 Equações de Equilíbrio → 
∑FH = 0, ∑FV = 0 e ∑Mz = 0
As estruturas hipoestáticas são aquelas que não possuem as 
condições mínimas de manutenção do equilíbrio estático diante da 
solicitação de qualquer carregamento. Este tipo de estrutura NÃO pode 
ser projetada, por serem inadmissíveis para as construções devido à 
sua INSTABILIDADE.
ESTRUTURAS HIPOESTÁTICAS
número de reações de apoio
<
número de equações de equilíbrio
Temos:
2 Reações de Apoio → VA e VB
3 equações de Equilíbrio → ∑FH = 0 , ∑FV = 0 e ∑Mz = 0
As estruturas hiperestáticas são as estruturas mais freqüentes na 
pratica e são as que devem preferencialmente ser utilizadas. Este tipo de 
estrutura possui reserva de segurança, apresentando portando condições 
além das necessárias para manter o equilíbrio estático. Caso haja, o 
rompimento de um de seus vínculos, a estrutura manterá a sua 
estaticidade.
É necessário impor condições de compatibilidade de deformação 
para obter mais equações e resolver o sistema.
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
número de reações de apoio
>
número de equações de equilíbrio 
Temos:
4 Reações de Apoio → VA, HA, VB e HB
3 Equações de Equilíbrio →∑FH = 0 , ∑FV = 0 e ∑Mz = 0
Tipos de Esforços
ESFORÇO NORMAL
Soma algébrica das componentes, na direção normal à seção, de cada uma 
das forças atuantes de um dos lados desta seção. O esforço normal pode ser de dois 
tipos: tração ou compressão.
Tração Compressão
Convenção de Sinais:
+ -
Tração Compressão
N N N N
Conclusão: um esforço cortante Qy ou Qz, é positivo quando, calculando pelas 
forças situadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido positivo dos eixos y e z 
ou, quando for calculado pelas forças situadas do lado direito da seção, tiver os 
sentido oposto ao sentido positivo dos eixos y e z. Em caso contrário, o esforço 
cortante será negativo.
Esforço Cortante NegativoEsforço Cortante Positivo
Esforço Cortante em Relação ao eixo z:
Esforço Cortante Positivo Esforço Cortante Negativo
+
Q
Q Q
Q
-
Esforço Cortante NegativoEsforço Cortante Positivo
Esforço Cortante em Relação ao eixo y:
ESFORÇO CORTANTE
Soma vertical das componentes, sobre o plano da seção, das forças situadas 
em um dos lados desta seção, na perpendicular do eixo da estrutura. O esforço cortante 
pode ocorrer em relação ao eixo y ou em relação ao eixo z.
Convenção de Sinais:
MOMENTO TORÇOR
Soma algébrica dos momentos das forças situadas de um dos lados desta seção 
em relação ao eixo normal à seção que contém o seu centro de gravidade.
Momento Torçor Positivo Momento Torçor Negativo
Convenção de Sinais:
Momento Torçor Positivo Momento Torçor Negativo
+ -
T T T T
Bordo Comprimido
Bordo Tracionado Bordo Comprimido
Bordo Tracionado
Momento Fletor Negativo
Momento Fletor em Relação ao eixo z:
Momento Fletor Positivo Momento Fletor Negativo
Momento Fletor em relação ao eixo y:
Momento Fletor Positivo
Convenção de Sinais:
Momento Fletor Positivo Momento Fletor Negativo
+ -m m m m
Bordo Comprimido
Bordo Tracionado
Bordo Comprimido
Bordo Tracionado
Soma algébrica dos momentos das forças atuantes de um dos lados da seção em 
relação ao seu centro de gravidade. Quando ocorre o momento fletor, um dos bordos 
da viga sofre tração e o outro bordo sofre compressão.
Assim como o esforço cortante, o momento fletor pode ocorre em torno do eixo x 
ou em torno do eixo y. 
MOMENTO FLETOR
RESUMINDO:
No caso mais geral, podemos ter os seguintes esforços simples:
a) Esforço Normal N;
b) Esforços Cortantes Qy e Qz;
c) Momento Torçor T;
d) Mementos Fletores my e mz
Solicitações em 
Estruturas Isostáticas 
Submetidas a Diferentes 
Tipos de Carregamentos
ESFORÇOS SIMPLES
Ao analisar as forças atuantes nos elementos de uma treliça, 
verificamos, através do método das seções, que as forças são 
axiais em toda a barra.
Veja:
a
a
F F
A B
Corte a-a:
F FF FA A’ A’ B
A’
CÁLCULO DOS ESFORÇOS NA SEÇÃO aa
Nos elementos de uma estrutura qualquer, os pontos internos não 
estão sempre submetidos somente a forças axiais.
Estudaremos a seguir os esforços internos em uma viga 
submetida a carregamentos não axiais.
Considere a viga seguinte:
a
a
F1
A BA’
F2 F3
F5
F4
Ao fazermos o corte a-a devemos adicionar as reações que a 
parte da viga secionada realizava sobre a viga restante.
Em geral, a viga secionada resiste à translação em x e y, além de 
resistir a uma tendência de rotação em relação ao eixo z 
(perpendicular ao plano xy).
F1
A A’
F2 V
N
M
BA’
F3
F5
F4
M
N
V
a
a
F1
A BA’
F2 F3
F5
F4
As reações N, V e M são explicadas a seguir:
N é conhecida como força normal ou axial e é responsável pela tração 
ou compressão do elemento;
V é a força cortante ou cisalhante, responsável pela tendência de “corte” 
da viga;
M é conhecido como momento fletor e é responsável pela flexão da viga.
Em geral, os esforços V e M são mais importantes no projeto de 
uma estrutura do que N. Basta imaginar uma régua, você 
conseguiria quebrá-la por tração? Para quebrar a régua, basta 
entortá-la. Nesse caso, dizemos que a régua quebrou devido ao 
momento fletor.
Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e 
M.
(i) Força cisalhante (V>0)
A A’ V BA’
V
a
a
A BA’
Corte a-a:
Análise do lado esquerdo, V para cima Análise do lado esquerdo, V para baixo
Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e 
M.
(ii) Momento fletor (M>0)
A A’
M
BA’
M
a
a
A BA’
Corte a-a:
Análise do lado esquerdo, V para cima Análise do lado esquerdo, V para baixo
Como dito anteriormente, no projeto de uma viga, as forças 
cisalhantes e momentos fletores são geralmente mais 
importantes que as forças axiais e, portanto, estes serão os 
objetos de nosso estudo.
No exemplo seguinte, vamos calcular os valores de V e M em 
pontos específicos de uma viga. Em seguida, vamos introduzir o 
estudo do comportamento de V e M ao longo de uma viga.
a
a
A EB
10N
b
b
DC
5N 5N
1,0m 1,0m 1,0m 1,0m
Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.
Visto que o cálculo de V e M é fundamental para o projeto de 
vigas (e todo tipo de estrutura ou elemento que contenha 
carregamento transversal), deve-se estudar o comportamento 
dessas variáveis ao longo da viga.
Para realizar esse estudo, basta que se faça cortes para 
distâncias arbitrárias em toda a extensão da viga. Estas 
seções devem ser estudadas em regiões determinadas pelo 
surgimento ou término de um novo carregamento (força 
concentrada, carga distribuída ou momento binário).
É conveniente fazer os gráficos de V e M logo abaixo da 
representação gráfica do problema (desenho da viga).
Exemplo 2)
Diagramas de V e M: A C
10N
B
5N 5N
2,0m 2,0m
5.0
-5.0
2.0 4.0
x [m]
V [N]
10.0
2.0 4.0 x [m]
M [N.m]
Traçado de Diagramas em 
Viga Isostática Submetida a 
Carga Concentrada 
Apresentamos umaestrutura bi apoiada, com um apoio de 20 gênero e 
outro de 10. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a uma carga 
concentrada P. 
Cálculo das Reações de Apoio:
∑FV =0 → VA + VB = P
∑MB = 0 → VA . L – P . b = 0, logo: VA = Pb/L
 ∑MA = 0 → VB . L – P . A = 0, logo: VB = Pa/L
Conferindo: VA +VB = Pb/L + Pa/L = P → OK
VB = Pa
 L
VA = Pb
 L
P
x
S1
 y
S2
L
a b
B
C
A
Cálculo dos Esforços na Seção S1:
Q1 = VA = Pb/L → constante
m1 = VA . x = Pb/L . x → Equação de uma reta
Cálculo dos Esforços na Seção S2:
Q2 = VA – P = VA – ( VA + VB) = Pb/L – (Pb/L +Pa/L) = Pb/L – Pb/L – Pa/L = - Pa/L → cte
m2 = VA . y – P ( y – a )= Pb/L . y – P ( y – a )→ Equação de uma reta 
Calculando os esforços nas seções S1 e S2:
Q2
m2
Q1
m1
VA = Pb
 L
x
S1A
P
x
S1
 y
S2
C
A
VA = Pb
 L
DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
+
-
Pb
 L
Pa
 L
O diagrama de esforço cortante deve ser traçado seguindo o sentido das 
forças atuantes na estrutura. Analisando a estrutura a partir do lado esquerdo, 
inicialmente temos:
- No ponto A, a força cortante Pb/L para cima, 
- Posteriormente, no ponto C, a carga concentrada P para baixo.
- E finalmente, no ponto B, a força Pa/L para cima. 
Observe que o diagrama de esforço cortante de uma estrutura submetida 
apenas a cargas concentradas é uma constante 
B
A
C
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
Cálculo do Momento Fletor:
mA = 0 e mB = 0
mC esquerda= VA. a = Pb/L . a = Pba/L → Equação da reta
mC direita = VB . b = Pa/L . b = Pab/L → Equação da reta
m máx = Pab
 L
+
Observe que o diagrama de momento fletor de uma estrutura submetida 
apenas a cargas concentradas é retilíneo.
Traçado de Diagramas
em Viga Isostática Submetida 
a Carga Uniformemente 
Distribuída
A B
q
Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20 gênero e 
outro de 10. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a uma carga 
uniformemente distribuída q. 
Cálculo das Reações de Apoio:
∑FV =0 → VA + VB = q . L
∑MB = 0 → VA . L – qL . L/2 = 0, logo: VA = qL/2
 ∑MA = 0 → VB . L – qL . L/2 = 0, logo: VB = qL/2
Conferindo: VA +VB = qL/2 + ql/2 = qL → OK
Como não há carga horizontal atuando na barra ou mesmo carga inclinada 
com componente horizontal, não existem reações no eixo x. Portanto,neste caso não há 
diagrama de esforço normal.
VA = qL
 2
VB = qL
 2
DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
Cálculo do Esforço Cortante:
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
Cálculo do Momento Fletor:
Traçado de Diagramas em 
Vigas Inclinadas 
Submetidas a Carga 
Concentrada
DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL
Cálculo do Esforço Normal: 
N(x) = -VA . sen+ q . sen. x (equação da reta) 
p/x = 0 → NA = - qL . sen
 2
p/x = L → NB = -qL . sen + q . sen  . x
 2
 → NB = qL . sen
 2
+
-
qL sen
 2
qL sen
 2
DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
Cálculo do Esforço Cortante:
Q(x) = VA . cos– q . cosx (equação da reta)
p/x = 0 →QA = qL . cos
 2
p/x = L →QB = qL . cos– q . cos. x
 2
 →QB = -qL . cos 
 2
+
-
qL . cos
 2
qL . cos
 2
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
Cálculo do Momento Fletor: 
m(x) = VA. cos  .x – q.cos  . x . x
 2
m(x) = qL . cos  .x – q.cos  . x²
 2 2
+
q . cos. L²
 8
Cálculo do Momento Máximo:
m máx = qL/2 . cos . L/2 – q. cos . ½ . (L/2)²
m máx = q. cosL²/4 – q. cos . L²/8 = q.cos . L²/8
Carga Triangular
P
BA
S
PS 
Cálculo das Reações de Apoio:
∑FV =0 → VA + VB = ½ . P . L
∑MB = 0 → VA . L – ½ . P . L . L/3 = 0, logo: VA = PL²/6L = PL/6
 ∑MA = 0 → VB . L – ½ . P . L . 2L/3 = 0, logo: VB = PL/3
Conferindo: VA +VB = PL/6 + PL/3 = PL/2 → OK
VA = PL
 6 VB = PL
 3
Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20 gênero e 
outro de 10. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a uma carga 
triangular. 
DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
VA = Pl
 6
 L
PS = P. x
S
Cálculo dos Esforços na seção S:
PS/x = P/L → PS = Px/L 
Cortante:
QS = VA – ½ . PS . x = PL/6 – ½ . Px/L . x
QS = PL/6 – Px²/2L → Parábola do 2º grau
PL
6
PL
3
+
-
A
DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR
Cálculo do Momento Fletor:
mS = PL/6 . x – ½ . PS . x . x/3 = PL/6 . x – ½ . Px/L . x . x/3
mS = PL/6 . x – PX³/6L → Parábola do 3º grau 
Cálculo do Momento Máximo: 
→ O momento máximo ocorre no ponto onde o cortante é nulo,
 para que a seção S ocorra onde o cortante é nulo, temos:
QS = PL/6 – Px²/2L = 0 → x² = L²/3 → x = 0,577 . L
m máx = PL/6 . 0,577L – P.(0,577L)³/6L
m máx = 0,09622L² - 0,032PL² 
m máx = 0,064PL² 
+
m máx = 0,064PL²
0,064PL²
Exemplo 1: