Exercicios de Álgebra

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Ejercicios de Álgebra 
1. Muestre que 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 9𝑥 + 6 
es irreducible en ℚ[𝑥]. Sea 𝜃 una raíz de 𝑝(𝑥). Encuentre la inversa de 1 + 𝜃 en ℚ(𝜃). (Corregir: se debe 
usar paréntesis en ℚ(𝜃), porque es una extensión de cuerpos, no un polinomio en 𝜃) 
Solución. 
Usaremos el criterio de Eisenstein y el Lema de Gauss: 
Proposición. [Criterio de Eisenstein] 
Sea 𝐷 un dominio de factorización única (DFU) y sea 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 ∈ 𝐷[𝑥] un polinomio 
primitivo (máximo común divisor de sus coeficientes igual a 1) no constante. Suponga que existe un elemento 
primo 𝛼 ∈ 𝐷 tal que 𝛼 ∤ 𝑎𝑛, 𝛼 ∣ 𝑎𝑗 para todo 0 ≤ 𝑗 < 𝑛 e 𝛼
2 ∤ 𝑎0. Entonces 𝑝(𝑥) es irreductible en 𝐷[𝑥]. 
Lema. [Lema de Gauss] 
Sean 𝐷 un dominio de factorización única (DFU), 𝐾 = 𝐹𝑟𝑎𝑐(𝐷) el cuerpo de fracciones de 𝐷 y sea 𝑝(𝑥) =
𝑎𝑛𝑥
𝑛 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 ∈ 𝐷[𝑥] un polinomio primitivo no constante. Entonces 𝑝(𝑥) ∈ 𝐷[𝑥] es irreductible si, y 
solamente si, 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] es irreductible. 
En particular, sea 𝐷 = ℤ, 𝐾 = 𝐹𝑟𝑎𝑐(ℤ) = ℚ, y sea 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 9𝑥 + 6 ∈ ℤ[𝑥]. 
 Considere el número primo 𝛼 = 3 ∈ ℤ, note que 
3 ∤ 1 
3|9 
3|6 
9 = 32 ∤ 6 
Entonces por el criterio de Eisenstein, 𝑝(𝑥) ∈ ℤ[𝑥] es irreductible. Ahora bien, por el lema de Gauss, 
𝑝(𝑥) ∈ ℚ[𝑥] también es irreductible. 
 Considere 𝜃 una raíz de 𝑝(𝑥), es decir: 
0 = 𝑝(𝜃) 
0 = 𝜃3 + 9𝜃 + 6 
Luego agregando y retirando elementos: 
0 = 𝜃3 + 9𝜃 + 6 
0 = 𝜃3 + 𝜃2 − 𝜃2 − 𝜃 + 10𝜃 + 10 − 4 
0 = 𝜃2(1 + 𝜃) − 𝜃(1 + 𝜃) + 10(1 + 𝜃) − 4 
4 = (𝜃2 − 𝜃 + 10)(1 + 𝜃) 
1 = (
1
4
𝜃2 −
1
4
𝜃 +
5
2
) (1 + 𝜃) 
Evidentemente 
(1 + 𝜃) (
1
4
𝜃2 −
1
4
𝜃 +
5
2
) = 1 ⟹ (1 + 𝜃)−1 =
1
4
𝜃2 −
1
4
𝜃 +
5
2
∈ ℚ(𝜃) 
 
2. Determine el grado sobre ℚ de 3 + √7
3
. 
Solución. 
Sabemos que ℚ ⊆ ℚ(3 + √7
3
) ⊆ ℂ, pues 3 + √7
3
∈ ℂ (el cual es algebraico por ser suma de elementos 
algebraicos), entonces buscar el grado de 3 + √7
3
 sobre ℚ implica calcular [ℚ(3 + √7
3
): ℚ]. Por otro 
lado ℚ(3 + √7
3
) = ℚ(√7
3
), pues 3 ∈ ℚ, entonces sólo debemos calcular el grado [ℚ(√7
3
): ℚ]. 
Notemos que √7
3
 también es algebraico sobre ℚ, pues es raíz del polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 7 ∈ ℚ[𝑥]. Por 
el criterio de Eisenstein (con 𝛼 = 7 primo), 𝑝(𝑥) ∈ ℤ[𝑥] es irreductible y por el Lema de Gauss 𝑝(𝑥) ∈
ℚ[𝑥] es también irreductible. 
Notemos que 𝑝(𝑥) ∈ ℚ[𝑥] es mónico (coeficiente principal 1), irreductible y √7
3
 es una raíz de 𝑝(𝑥), 
entonces 𝑝(𝑥) = 𝐼𝑟𝑟(√7
3
, ℚ)(𝑥), es decir [ℚ(√7
3
): ℚ] = 3. Por lo tanto, el grado de 3 + √7
3
 sobre ℚ 
es igual a 3. 
 
Sólo para complementar: 
𝑞(𝑥) = 𝐼𝑟𝑟(3 + √7
3
, ℚ)(𝑥) = 𝑝(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)3 − 7 
𝑞(𝑥) = 𝑥3 − 9𝑥2 + 27𝑥 − 34 ∈ ℚ[𝑥], 
sería el polinomio irreductible de 3 + √7
3
 sobre ℚ. 
 
3. Determine el campo (cuerpo) de descomposición de 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥2 − 2 sobre ℚ. 
Solución 
Notemos que 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥2 − 2 = (𝑥2 − 2)(𝑥2 + 1) ∈ ℚ[𝑥]. Luego no es difícil notar que ±√2 y 
±𝑖 son raíces de los polinomios 𝑝1(𝑥) = 𝑥
2 − 2, 𝑝2(𝑥) = 𝑥
2 + 1 y por ende raíces de 𝑝(𝑥), por lo que 
tenemos la siguiente cadena de inclusiones 
ℚ ⊆ ℚ(√2) ⊆ ℚ(√2, 𝑖) ⊆ ℂ 
Notemos que: 
[ℚ(√2): ℚ] = 2 [ℚ(√2, 𝑖): ℚ(√2)] = 2 
al tener grados primos, no podemos inserir cuerpos intermediarios. Ahora bien, sea ℚ ⊆ 𝐿 el cuerpo de 
descomposición de 𝑝(𝑥), entonces √2, 𝑖 ∈ 𝐿 y por consiguiente ℚ(√2, 𝑖) ⊆ 𝐿, se sigue la igualdad de la 
minimalidad de 𝐿, es decir 𝐿 = ℚ(√2, 𝑖). 
 
4. Determine el grado de la extensión ℚ (√3 + 2√2) sobre ℚ. 
Solución 
Sea 𝛼 = √3 + 2√2, entonces 𝛼2 − 3 = 2√2, es decir: (𝛼2 − 3)2 − 8 = 0 
𝛼4 − 6𝛼2 + 1 = 0 
Consideremos el polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 6𝑥2 + 1 ∈ ℚ[𝑥], notemos que 𝑝(𝑥) no es irreductible, en efecto: 
𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 6𝑥2 + 1 = (𝑥2 + 2𝑥 − 1)(𝑥2 − 2𝑥 − 1) 
Consideremos ahora 
𝑝1(𝑥) = 𝑥
2 + 2𝑥 − 1 ∈ ℚ[𝑥] 𝑝2(𝑥) = 𝑥
2 − 2𝑥 − 1 ∈ ℚ[𝑥] 
Afirmación: 𝑝1(𝑥) y 𝑝2(𝑥) son irreductibles en ℚ[𝑥]. 
 
Por el lema de Gauss, es suficiente mostrar que 𝑝1(𝑥) y 𝑝2(𝑥) son irreductibles en ℤ[𝑥]. Suponga lo 
contrario, es decir por ejemplo, suponga que 𝑝1(𝑥) ∈ ℤ[𝑥] no es irreductible, entonces existen 𝛼, 𝛽 ∈ ℤ 
tales que 
𝑥2 + 2𝑥 − 1 = (𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛽) = 𝑥2 − (𝛼 + 𝛽)𝑥 + 𝛼𝛽 
luego: 
𝛼 + 𝛽 = −2 
𝛼𝛽 = −1 
De la última ecuación, 𝛼 = 1 ó 𝛼 = −1 
 Si 𝛼 = 1, entonces 1 + 𝛽 = −2, de allí: 𝛽 = −3. Sin embargo, 𝛼𝛽 = 1(−3) = −3 ≠ −1 
 Si 𝛼 = −1, entonces −1 + 𝛽 = −2, de allí: 𝛽 = −1. Sin embargo, 𝛼𝛽 = (−1)(−1) = 1 ≠ −1 
Obteniendo un absurdo; entonces 𝑝1(𝑥) es irreductible en ℤ[𝑥] y por lo tanto 𝑝1(𝑥) ∈ ℚ[𝑥] es 
irreductible. De forma análoga se muestra que 𝑝2(𝑥) ∈ ℚ[𝑥] también es irreductible. 
 
 
Dado que 𝛼 es raíz de 𝑝(𝑥) entonces es raíz de 𝑝1(𝑥) ó de 𝑝2(𝑥), es decir 
𝑝1(𝑥) = 𝐼𝑟𝑟(𝛼, ℚ)(𝑥) ó 𝑝2(𝑥) = 𝐼𝑟𝑟(𝛼, ℚ)(𝑥) 
En cualquiera de los dos casos 
2 = deg(𝐼𝑟𝑟(𝛼, ℚ)(𝑥)) ⟹ [ℚ (√3 + 2√2) : ℚ] = [ℚ(𝛼): ℚ] = 2 
 
Observación: 
Una forma alternativa directa de mostrar lo anterior es notar que 
𝛼 = √3 + 2√2 = √(1 + √2)
2
= 1 + √2 ⟹ 𝑝2(1 + √2) = 0 
Entonces 
𝑝2(𝑥) = 𝐼𝑟𝑟(𝛼, ℚ)(𝑥) ⟹ [ℚ(𝛼): ℚ] = 2 
Por otro lado 
−𝛼 = −√3 + 2√2 = −√(1 + √2)
2
= −1 − √2 ⟹ 𝑝1(−1 − √2) = 0 
Entonces 
𝑝1(𝑥) = 𝐼𝑟𝑟(−𝛼, ℚ)(𝑥) ⟹ [ℚ(−𝛼): ℚ] = [ℚ(𝛼): ℚ] = 2