Integrais de Linha e de Superfície

Prévia do material em texto

Capítulo 7
Integrais de Linha e de Superfície
Os conceitos de integral de linha e de integral de superfície são abordados
a um nível elementar neste curso de análise. Algumas noções deverão ser
aceites intuitivamente e priviligia-se a geometria dos problemas, cientes que
algumas das noções apresentadas exigem uma preparação matemática que
está fora do âmbito deste curso.
7.1 Integrais de Linha
Seja Γ uma linha regular de R3, de classe C1. Isto significa que Γ é a imagem
(ou traço) de uma função r : I = [a, b] ⊂ R → R3 de classe C1 e tal que
r′(t) 6= 0R3 ,∀t ∈ I. A função r diz-se uma parametrização de Γ. Uma
parametrização induz na linha Γ uma orientação. Duas parametrizações
distintas da mesma linha podem preservar ou inverter a orientação da
linha.
Exemplo 102 A função r : I = [0, 2pi] → R2 definida por
r(t) = (cos t, sin t)
parametriza uma circunferência Γ de centro na origem e raio 1. A orientação
induzida é a contrária ao movimento dos ponteiros do relógio, o sentido
directo. Também a função c : I = [0, 2pi] → R2 definida por
c(t) = (cos t,− sin t)
168 Cap. 7: Integrais de Linha e de Superfície
parametriza a circunferência Γ. No entanto a orientação induzida por c é a
dos ponteiros do relógio, o sentido retrógado.
Vamos agora definir um novo conceito, o conceito de integral de uma fun-
ção escalar ou de uma função vectorial ao longo da linha Γ assim como
as propriedades mais importantes destes integrais. Consideremos primeira-
mente as funções escalares.
7.1.1 Integrais de linha de uma função escalar
Seja Γ uma linha regular de R3, de classe C1 e r : [a, b] → R3 uma sua
parametrização. Seja f : D ⊆ R3 → R um campo escalar cujo domínio
D contenha a linha Γ tal que a função composta f ◦r é uma função contínua.
Definição 68 O integral
∫
Γ
fds =
∫
r
fds =
b∫
a
(f ◦ r) (t) ‖r′(t)‖ dt
Designa-se por integral da função escalar f ao longo da linha Γ ou integral
de linha do campo escalar f.
Vejamos agora que o integral de linha de uma função escalar não depende
da representação paramétrica usada para definir a da linha.
Teorema 34 Sejam
r : I = [a, b] ⊂ R → R3
e
c : J = [d, e] ⊂ R → R3
duas parametrizações da curva regular Γ de classe C1. Seja f : D ⊆ R3 → R
um campo escalar cujo domínio D contenha a linha Γ. Admitamos que quer
f ◦ r quer f ◦ c são funções contínuas. Então∫
r
fds =
∫
c
fds
7.1 Integrais de Linha 169
Demonstração: Se r e c parametrizam a mesma linha, então existe uma
bijecção h : [d, e] → [a, b] tal que c = r ◦ h. Usando a definição,
∫
Γ
fds =
∫
c
fds =
e∫
d
(f ◦ c) (t) ‖c′(t)‖ dt
Mas pelo teorema da derivada da função composta, c′(t) = (r ◦ h)′ (t) =
r′(h(t))h′(t), logo
∫
c
fds =
e∫
d
f (r (h(t))) ‖r′(h(t))‖ |h′(t)| dt
Fazendo a mudança de variável θ = h(t), dθ = h′(t)dt podemos considerar
dois casos
1. Se h(d) = a ∧ h(e) = b então dizemos que c e r determinm a mesma
orientação na linha. Neste caso, h é monótona crescente e h′(t) > 0,
logo |h′(t)| = h′(t) e
∫
c
fds =
b∫
a
f (r (θ)) ‖r′(θ)‖ dθ =
∫
r
fds
2. Se h(d) = b∧h(e) = a então dizemos que c e r determinam orientações
opostas na linha. Neste caso, h é monótona decrescente e h′(t) < 0,
logo |h′(t)| = −h′(t) e
∫
c
fds =
a∫
b
−f (r (θ)) ‖r′(θ)‖ dθ
=
b∫
a
f (r (θ)) ‖r′(θ)‖ dθ
=
∫
r
fds
170 Cap. 7: Integrais de Linha e de Superfície
cqd
Como acabámos de verificar o integral de linha de uma função escalar
reduz-se a um integral definido através de uma representação paramétrica da
linha e o valor desse integral não depende da parametrização escolhida.
Exemplo 103 Seja f : R3 → R definida por f(x, y, z) = x + 3y2 + z e Γ o
segmento de recta que une (0, 0, 0) e (1, 1, 1). Calcular
∫
Γ
fds. Uma parame-
trização deste segmento é
r(t) = (t, t, t), t ∈ [0, 1]
Então,
∫
Γ
fds =
1∫
0
f (t, t, t) ‖r′(t)‖ dt
=
1∫
0
(
t+ 3t2 + t
)√
3dt
=
√
3
[
t2 + t3
]t=1
t=0
= 2
√
3
Exemplo 104 Seja f : R3 → R definida por f(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
Considere-se hélice Γ definida por r(t) = (sin t, cos t, t), t ∈ [0, 2pi] e cujo
traço se pode ver na figura 7.1. Calcular
∫
Γ
fds. Ora, r′(t) = (cos t,− sin t, 1)
e ‖r′(t)‖ =
√
cos2 t+ sin2 t+ 12 =
√
2, logo
∫
Γ
fds =
2pi∫
0
(
sin2 t+ cos2 t+ t2
)√
2dt
=
√
2
2pi∫
0
(
1 + t2
)
dt
=
√
2
[
t+
t3
3
]t=2pi
t=0
=
√
2
(
2pi +
8pi3
3
)
7.1 Integrais de Linha 171
-1-1
-0,5-0,5
0 00
1
0,5 0,5
2
1 1
3
4
5
6
Figura 7.1: Hélice definida por r(t) = (sin t, cos t, t)
Exemplo 105 Seja f : R2 → R definida por f(x, y) = xy e Γ a fronteira
do triângulo
T =
{
(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x}
Calcular
∫
Γ
fds. Neste caso não é possível definir uma parametrização de Γ
de classe C1, mas sim de classe C1 aos bocados. Seja, por exemplo seja
r(t) =


(0, t), t ∈ [0, 1]
(1, t− 1) t ∈ [1, 2]
(3− t, 3− t) t ∈ [2, 3]
uma parametrização de Γ. Então,
∫
Γ
fds =
1∫
0
f (0, t) ‖r′(t)‖ dt+
2∫
1
f (1, t− 1) ‖r′(t)‖ dt+
3∫
2
f (3− t, 3− t) ‖r′(t)‖ dt+
172 Cap. 7: Integrais de Linha e de Superfície
Ora,
r′(t) =


(0, 1), t ∈ [0, 1]
(0, 1) t ∈ [1, 2]
(−1,−1) t ∈ [2, 3]
e portanto
∫
Γ
fds =
1∫
0
0dt+
2∫
1
(t− 1) dt+
3∫
2
(3− t)2
√
2dt
Donde, ∫
Γ
fds = 0 +
1
2
+
√
2
3
Um caso particular é aquele em que a linha Γ é uma linha do plano.
Admitamos que r : I = [a, b] ⊂ R → R2 definida por r(t) = (x(t), y(t))
parametriza Γ. Admita-se que f é uma função de duas variáveis. Então
∫
Γ
fds =
b∫
a
f (x(t), y(t))
√
(x′(t))2 + (y′(t))2dt
Se f(x, y) ≥ 0 este integral tem uma interpretação geométrica simples. Re-
presenta a área de uma ”vedação” em que a base é a linha Γ, imagem de r e
a altura no ponto (x, y) é f(x, y), tal como a figura 7.2 ilustra.
Exemplo 106 Calcular a área da vedação que é mostrada na 7.2 sabendo
que f(x, y) = x e a curva é parametrizada por r(t) = (t, t2), t ∈ [0, 2] . A área
pedida é
∫
r
fds =
2∫
0
f
(
t, t2
)√
12 + (2t)2dt
=
2∫
0
t
√
1 + 4t2dt
=
1
12
[(
1 + 4t2
)3/2]2
0
=
=
1
12
(
17
√
17− 1
)
7.1 Integrais de Linha 173
4
y 3
2
1
00
0
0,5
0,5
1
1,5
2
1
x
z 1,5
2
Figura 7.2: Integral de linha como a área de uma vedação
Definição 69 O comprimento de uma linha parametrizada por
r : I = [a, b] ⊂ R → R3
é ∫
c
1ds =
b∫
a
‖r′(t)‖ dt
Exemplo 107 Calcular o perímetro do cardióide mostrado na figura 6.18.
A equação polar do cardióde é ρ = a (1 + cos θ) com θ ∈ [0, 2pi] sendo a uma
constante positiva. Portanto uma parametrização é,
r(t) = (a (1 + cos θ) cos θ, a (1 + cos θ) sin θ) , θ ∈ [0, 2pi]
Deste modo
r′(t) =
(−2a sin θ cos θ − a sin θ, a cos θ + a cos2 θ − a sin2 θ) , θ ∈ [0, 2pi]
e
‖r′(t)‖ =
√
(−2a sin θ cos θ − a sin θ)2 + (a cos θ + a cos2 θ − a sin2 θ)2
=
√
2a2 cos θ + 2a2
174 Cap. 7: Integrais de Linha e de Superfície
Logo
∫
r
fds =
2pi∫
0
√
2a2 (1 + cos θ)dθ
= a
√
2
2pi∫
0
√
1 + cos θdθ
= a
√
24
√
2
= 8a
Observe-se que
√
1 + cos θ =
√
1 + 2 cos2(θ/2)− 1 = 2 |cos(θ/2)|
e portanto
2pi∫
0
√
1 + cos θdθ = 2
pi∫
0
2 cos(θ/2)dθ = 4
√
2
7.1.2 Integrais de linha de um campo vectorial
Seja Γ uma linha regular de R3, de classe C1 e r : [a, b]→ R3 uma sua para-
metrização. Seja F : D ⊆ R3 → R3 um campo vectorial cujo domínio
D contenha a linha Γ tal que a função composta F ◦r é uma função contínua.
Definição 70 O integral
∫
Γ
F · ds =
∫
r
F · ds =
b∫
a
(F ◦ r) (t) · r′(t)dt
Designa-se por integral da função vectorial F ao longo da linha Γ ou integral
de linha do campovectorial F.
Definição 71 Se admitirmos que F representa um campo de forças, o
integral da função vectorial F ao longo da linha Γ representa o trabalho
realizado por F para deslocar uma partícula de r(a) para r(b) ao longo da
linha Γ. Isto é,
W =
∫
Γ
F · ds
7.1 Integrais de Linha 175
Vejamos agora que o integral de linha de um campo vectorial depende da
orientação da representação paramétrica usada para definir a linha.
Teorema 35 Sejam r : I = [a, b] ⊂ R → R3 e c : J = [d, e] ⊂ R → R3
duas parametrizações da curva regular Γ de classe C1. Seja F : D ⊆ R3 → R3
um campo vectorial cujo domínio D contenha a linha Γ tal que a quer F ◦ r
quer F ◦ c são funções contínuas.
1. Se a orientação de Γ induzida por r é a mesma que a orientação
induzida por c então ∫
r
F · ds =
∫
c
F · ds
2. Se a orientação de Γ induzida por r é oposta à orientação induzida
por c então ∫
r
F · ds = −
∫
c
F · ds
Demonstração: Se r e c parametrizam a mesma linha Γ, então existe uma
bijecção h : [d, e] → [a, b] tal que c = r ◦ h. Usando a definição,
∫
Γ
F · ds =
∫
c
F · ds =
e∫
d
(F ◦ c) (t) · c′(t)dt
Mas pelo teorema da derivada da função composta, c′(t) = (r ◦ h)′ (t) =
r′(h(t))h′(t), logo
∫
c
F · ds =
e∫
d
F (r (h(t))) · r′(h(t))h′(t)dt
Usando a mudança de variável θ = h(t), dθ = h′(t)dt podemos considerar
dois casos
1. Se h(d) = a ∧ h(e) = b então dizemos que c e r determinm a mesma
orientação na linha. Neste caso, h é monótona crescente e
∫
c
F · ds =
b∫
a
F (r (θ)) · r′(θ)dθ =
∫
r
F · ds
176 Cap. 7: Integrais de Linha e de Superfície
2. Se h(d) = b∧h(e) = a então dizemos que c e r determinam orientações
opostas na linha. Neste caso, h é monótona decrescente e
∫
c
F · ds =
a∫
b
F (r (θ)) · r′(θ)dθ
= −
b∫
a
F (r (θ)) · r′(θ)dθ
= −
∫
r
F · ds
cqd
O integral de limha de um campo vectorial pode ser visto como o integral
de linha de um outro campo escalar. De facto basta obervar que se ‖r′(t)‖ 6= 0
então
F (r (t)) · r′(t) = F (r (t)) · r
′(t)
‖r′(t)‖ ‖r
′(t)‖
Observando que T (t) = r
′(t)
‖r′(t)‖
é o versor tangente à trajectória de r em t,
a função escalar definida por F (r (t)) · r′(t)
‖r′(t)‖
, é a projecção do campo F na
tangente à curva em t. Assim
∫
r
F · ds =
a∫
b
F (r (t)) · r′(t)dt
=
a∫
b
F (r (t)) · r
′(t)
‖r′(t)‖ ‖r
′(t)‖ dt
=
∫
r
(F · T ) ds
Ou seja o integral do campo vectorial F ao longo de Γ é igual ao integral
do campo escalar resultante da projecção de F sobre a tangente a Γ
ao longo de Γ.
Exemplo 108 Calcular
∫
r
F · ds em que r é a hélice da figura 7.1, defi-
nida por r(t) = (sin t, cos t, t), t ∈ [0, 2pi] e F o campo vectorial definido por
7.1 Integrais de Linha 177
F (x, y, z) = (x, y, z). Ora
∫
r
F · ds =
2pi∫
0
(sin t, cos t, t) · (cos t,− sin t, 1)dt
=
2pi∫
0
(sin t cos t− cos t sin t+ t)dt
= 2pi2
Definição 72 Dada uma parametrização r : I = [a, b] ⊂ R → R3 de uma
linha Γ, podemos definir a parametrização oposta rop : I = [a, b] ⊂ R → R3
definida por rop(t) = r(a+ b− t)
Exemplo 109 Calcular
∫
c
F · ds em que c é a parametrização oposta a de-
finida por r(t) = (sin t, cos t, t), t ∈ [0, 2pi] , hélice da figura 7.1 e F o campo
vextorial definido por F (x, y, z) = (x, y, z). Podemos usar o teorema 35 e
uma vez que c inverte a orientação induzida por r,
∫
c
F · ds = −2pi2. Usando
a definição, temos necessidade de parametrizar c. Assim,
c(t) = rop(t) = r(0 + 2pi − t) = (sin(2pi − t), cos(2pi − t), 2pi − t), t ∈ [0, 2pi]
Ou seja,
c(t) = (− sin(t), cos(t), 2pi − t), t ∈ [0, 2pi]
e
∫
r
F · ds =
2pi∫
0
(− sin(t), cos(t), 2pi − t) · (− cos t,− sin t,−1)dt
=
2pi∫
0
(t− 2pi)dt
= −2pi2
Um modo usual de escrever integrais de linha de campos vectoriais recorre
ao conceito de forma diferencial. Seja F : D ⊆ R3 → R3 um campo
vectorial tal que
F (x, y, z) = (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z))
178 Cap. 7: Integrais de Linha e de Superfície
e r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , t ∈ [a, b].
De facto∫
r
F · ds =
∫
r
F (r(t)) · r′(t)dt
=
b∫
a
(f1(r(t)), f2(r(t)), f3(r(t))) · (x′(t), y′(t), z′(t)) dt
=
b∫
a
[f1(r(t))x
′(t) + f2(r(t))y
′(t) + f3(r(t))z
′(t)] dt
=
b∫
a
[
f1
dx
dt
+ f2
dy
dt
+ f3
dz
dt
]
dt
Consideremos a forma diferencial f1dx + f2dy + f3dz, o integral de linha
escreve-se ∫
r
F · ds =
b∫
a
f1dx+ f2dy + f3dz
Exemplo 110 Calcular I =
∫
Γ
2xyzdx + x2zdy + x2ydz em que Γ é o seg-
mento de recta que une os pontos A(1, 1, 1) e B(1, 2, 4), orientado de A para
B. Uma parametrização de Γ é, por exemplo, (x, y, z) = A + t(B − A), t ∈
[0, 1], ou seja, (x, y, z) = (1, 1 + t, 1 + 3t), t ∈ [0, 1]. Então,
I =
1∫
0
[
2xyz
dx
dt
+ x2z
dy
dt
+ x2y
dz
dt
]
dt
=
1∫
0
[
2.1(1 + t)(1 + 3t).0 + 12(1 + 3t).1 + 12(1 + t).3
]
dt
=
1∫
0
(1 + 3t+ 3 + 3t) dt
=
[
4t+ 3t2
]1
0
= 7
7.1 Integrais de Linha 179
Teorema 36 Seja Γ uma linha regular de R3, de classe C1 e r : [a, b]→ R3
uma sua parametrização. Seja f : D ⊆ R3 → R um campo escalar de
classe C1. Então ∫
Γ
∇f · ds = f(r(b))− f(r(a))
Demonstração: Pela definição,
∫
Γ
∇f · ds =
b∫
a
∇f(r(t)) · r′(t)dt
Mas pela regra da derivada da função composta, (f ◦ r)′ (t) = ∇f (r(t))·r′(t),
logo
∫
Γ
∇f · ds =
b∫
a
∇f(r(t)) · r′(t)dt
=
b∫
a
(f ◦ r)′ (t)dt
e pelo teorema fundamental do cálculo integral,
∫
Γ
∇f · ds =
b∫
a
(f ◦ r)′ (t)dt
= f(r(b))− f(r(a))
cqd
Usualmente um campo de vectores que seja o gradiente de uma função
escalar diz-se um campo de gradientes e a função escalar designa-se por
função potencial. O teorema que acabámos de mostrar diz-nos que o in-
tegral de linha de um campo de gradientes não depende da linha, apenas
da diferença de potenciais entre o ponto final e do ponto inicial da linha.
Exemplo 111 Calcular
∫
Γ
∇f · ds em que f(x, y) = x2 cos y e Γ é a linha
parametrizada por r(t) =
(
et−1, sin pi
t
)
, t ∈ [1, 2] . Basta observar que∫
Γ
∇f · ds = f(r(b))− f(r(a))
180 Cap. 7: Integrais de Linha e de Superfície
e como f(r(2)) = f(e, 1) = e2 cos 1 e f(r(1)) = f(0, 0) = 0, segue-se que∫
Γ
∇f · ds = e2 cos 1
Exemplo 112 Calcular o trabalho do campo de forças F , definido por
F (x, y, z) =
(
x3, y, z
)
ao longo de Γ, sendo Γ a circunferência no plano xz de raio 2 e centro na
origem. Observe-se que F é o gradiente da função escalar definida por
f(x, y, z) =
x4
4
+
y2
2
+
z2
2
De facto, ∇f(x, y, z) =
(
4x3
4
, 2y
2
, 2z
2
)
= F (x, y, z). Então
∫
Γ
F · ds =
∫
Γ
∇f · ds = f(r(b))− f(r(a))
em que r é uma parametrização da circunferência de raio 2 no plano xz. Por
exemplo,
r : x = 0, y = 2 cos θ, z = 2 sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2pi
Como se trata de uma linha fechada, r(b) = r(a),∫
Γ
F · ds =
∫
Γ
∇f · ds = f(r(2pi))− f(r(0)) = 0
portanto o trabalho é zero.
7.2 Integrais de Superfície
Para iniciarmos o estudo das superficies, consideremos dois casos distin-
tos. Primeiramente, o das superfícies que são gráfico de uma função escalar
f : D ⊆ R2 → R e seguidamente o caso das superfícies que não estão
nessa condição.
7.2 Integrais de Superfície 181
6
y
5
4
3
-2
2
-1
1
0
00
1
1
2
2
3
4
5x
6
Figura 7.3: Superfície S, gráfico de f(x, y) = sinx + sin y, (x, y) ∈ [0, 2pi] ×
[0, 2pi]
Exemplo 113 Consideremos a superfície S, gráfico da função definida por
f(x, y) = sinx+ sin y, (x, y) ∈ [0, 2pi]× [0, 2pi]
tal como a figura 7.3 ilustra
Exemplo 114 Consideremos a superfície S, cujunto de nível de valor 4 da
função h : R3 → R definida por h(x, y, z) = (x − 1)2 + y2 + z2 tal como a
figura 7.4 ilustra Como sabemosesta superfície não é gráfico de uma função
-1
0
1 x
2-2
-2
-1
0
1 3
-1
y 2
z 0
1
2
Figura 7.4: Superfície S, conjunto de nível da função h : R3 → R
de duas variáveis.
182 Cap. 7: Integrais de Linha e de Superfície
Tal como sucedia com as linhas, vamos definir superfície como sendo a
imagem de uma função.
Definição 73 Seja ϕ : D ⊂ R2 → R3 em que D é um domínio de R2.
A superficie S, parametrizada por ϕ, é o conjunto dos pontos R3, imagem de
D por ϕ.
S = ϕ(D)
Se ϕ for uma função de classe C1, dizemos que a superfície S é de classe C1.
Exemplo 115 A superfície do exemplo 113 ilustrada na figura 7.3 por ser
gráfico de uma função tem uma parametrização simples
ϕ : [0, 2pi]× [0, 2pi] → R3
(u, v) 7→ (u, v, sin u+ sin v)
Exemplo 116 A superfície do exemplo 114 ilustrada na figura 7.4 tem uma
parametrização mais complexa
ϕ : [0, 2pi[× [0, pi] → R3
(u, v) 7→ (1 + 2 cosu sin v, 2 sin u sin v, 2 cos v)
Verifique que (1 + 2 cosu sin v − 1)2 + (2 sinu sin v)2 + (2 cos v)2 = 4
Definição 74 Seja ϕ : D ⊂ R2 → R3 uma função de classe C1 defi-
nida por
ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
parametrização da superficie S. Seja ϕ(u0, v0) um ponto de S. O vector
Tu(u0, v0) =
(
∂x
∂u
(u0, v0),
∂y
∂u
(u0, v0),
∂z
∂u
(u0, v0)
)
se não nulo é um vector tangente em ϕ(u0, v0) à curva de S definida por
v = v0. O vector
Tv(u0, v0) =
(
∂x
∂v
(u0, v0),
∂y
∂v
(u0, v0),
∂z
∂v
(u0, v0)
)
se não nulo é um vector tangente em ϕ(u0, v0) à curva de S definida por
u = u0. O vector N , definido por
N = Tu × Tv
se não nulo é um vector normal à superfície S no ponto ϕ(u0, v0).
Se N 6= 0R3 ,∀(u, v) ∈ D, dizemos que S é uma superfície regular.
7.2 Integrais de Superfície 183
Definição 75 Se ϕ parametriza a superfície regular S e ϕ(u0, v0) = (x0, y0, z0) ∈
S então
(x− x0, y − y0, z − z0) · Tu × Tv = 0
diz-se plano tangente a S no ponto ϕ(u0, v0).
Exemplo 117 Verificar se a superfície definida pela parametrização
ϕ(u, v) = (u cos v, u sin v, u)
com u ≥ 0 e v ∈ [0, 2pi] é uma superfície diferenciável e regular. Dizemos
que é uma superfície diferenciável porque a função ϕ é uma função vectorial
diferenciável. Existem os vectores
Tu(u, v) = (cos v, sin v, 1)
e
Tv(u, v) = (−u sin v, u cos v, 0)
O vector N = Tu × Tv é
N = (cos v, sin v, 1)× (−u sin v, u cos v, 0)
ou seja,
N = (−u cos v,−u sin v, u)
Ora, N = 0R3 se e só se 

−u cos v = 0
−u sin v = 0
u = 0
⇔ u = 0
Logo a Superficie não é regular em ϕ(0, v) = (0, 0, 0). Geometricamente
verificamos que ϕ descreve a superfície definida por
z =
√
x2 + y2
ou seja a folha superior de um cone com vértice na origem, o ponto em que
a superfície não é regular.
184 Cap. 7: Integrais de Linha e de Superfície
Exemplo 118 Seja S o gráfico de uma função diferenciável f : R2 → R.
Verificar que a superfície é regular em todos os pontos. Consideremos a
parametrização
ϕ(u, v) = (u, v, f(u, v))
com (u, v) ∈ R2. Então ϕ é uma função vectorial diferenciável e existem os
vectores
Tu(u, v) =
(
1, 0,
∂f
∂u
(u, v)
)
e
Tv(u, v) =
(
0, 1,
∂f
∂v
(u, v)
)
Além disso, o vector N = Tu × Tv é
N =
(
1, 0,
∂f
∂u
(u, v)
)
×
(
0, 1,
∂f
∂v
(u, v)
)
(7.1)
=
(
−∂f
∂u
(u, v),−∂f
∂v
(u, v), 1
)
6= 0R3
uma vez que a terceira componente é 1.
Vamos agora definir um novo conceito, o conceito de integral de uma
função escalar ou de uma função vectorial sobre a superfície S, assim
como as propriedades mais importantes destes integrais. Consideremos pri-
meiramente as funções escalares.
7.2.1 Integrais de superfície de uma função escalar
Seja S uma superfície parametrizada por ϕ : D ⊂ R2 → R3 uma função
de classe C1tal que
ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
Seja f : S ⊆ R3 → R um campo escalar contínuo.
Definição 76 O integral∫
S
fdS =
∫
D
f(ϕ(u, v)) ‖Tu × Tv‖ dudv
Designa-se por integral da função escalar f sobre a superfície S ou integral
de superfície do campo escalar f .
7.2 Integrais de Superfície 185
Veremos mais adiante que este integral é independente da parametrização
da superfície. Uma aplicação deste integral é o cálculo de áreas de superfícies.
Definição 77 A área da superfície S parametrizada por ϕ : D ⊂ R2 → R3 é
A(S) =
∫
S
1dS =
∫
D
‖Tu × Tv‖ dudv
Proposição 17 Seja S uma superfície, gráfico de uma função diferenciável
f : D ⊂ R2 → R. Então de 7.1, a área da superfície é
A(S) =
∫
S
1dS
=
∫
D
∥∥∥∥
(
−∂f
∂u
(u, v),−∂f
∂v
(u, v), 1
)∥∥∥∥ dudv
=
∫
D
√(
∂f
∂u
)2
+
(
∂f
∂v
)2
+ 1dudv
Exemplo 119 Calcular a área de da superfície esferica x2+y2+z2 = 1, z ≥
0. Uma parametrização desta superfície é
ϕ(u, v) =
(
u, v,
√
1− u2 − v2
)
com u2 + v2 ≤ 1. Então uma vez que
∂f
∂u
=
−u√
1− u2 − v2
e
∂f
∂v
=
−v√
1− u2 − v2
o integral
A(E) =
∫
D
√(
∂f
∂u
)2
+
(
∂f
∂v
)2
+ 1dudv
com D = {(u, v) : u2 + v2 ≤ 1} é um integral impróprio,
A(E) =
∫
D
1√
1− u2 − v2dudv
186 Cap. 7: Integrais de Linha e de Superfície
Este integral existe, e fazendo uma mudança de variável para coordenadas
polares,
A(E) = lim
L→1−
L∫
0
2pi∫
0
ρ√
1− ρ2dθdρ
= 2pi lim
L→1−
[
−
√
1− ρ2
]L
0
= 2pi lim
L→1−
(
−
√
1− L2 + 1
)
= 2pi
Por forma a evitar o aparecimento de um integral imprópio poderíamos
parametrizar a superfície usando outra função. É o que fazemos no exemplo
seguinte.
Exemplo 120 Uma parametrização da superfície x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0 é
ϕ(u, v) = (cosu sin v, sinu sin v, cos v) (7.2)
com (u, v) : u ∈ [0, 2pi[ ∧ v ∈ [0, pi
2
]
. Então
Tu(u, v) = (− sin u sin v, cosu sin v, 0)
e
Tv(u, v) = (cosu cos v, sin u cos v,− sin v)
Além disso, o vector N = Tu × Tv é
N =
(− cosu sin2 v,− sin u sin2 v,− sin v cos v) 6= 0R3 (7.3)
Logo,
‖N‖ =
√(− cos u sin2 v)2 + (− sinu sin2 v)2 + (− sin v cos v)2
=
√
cos2 u sin4 v + sin2 u sin4 v + sin2 v cos2 v
=
√
sin4 v + sin2 v cos2 v
= sin v
7.2 Integrais de Superfície 187
e
A(E) =
pi
2∫
0
2pi∫
0
sin vdudv
= 2pi
pi
2∫
0
sin vdv
= 2pi
(
− cos pi
2
+ cos 0
)
= 2pi
7.2.2 Integrais de superfície de um campo vectorial
Seja S uma superfície parametrizada por ϕ : D ⊂ R2 → R3 uma função
de classe C1 tal que
ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
Seja F : S ⊆ R3 → R3 um campo vectorial contínuo.
Definição 78 O integral∫
S
F · dS =
∫
ϕ
F · dS =
∫
D
F (ϕ(u, v)) · (Tu × Tv) dudv
Designa-se por integral da função vectorial F sobre a superfície S ou integral
de superfície do campo vectorial F .
Exemplo 121 Calcular
∫
S
F ·dS em que F é o campo de vectores definido por
F (x, y, z) = (x, y, z) e S a superfície da esfera x2+y2+z2 = 1. Consideremos
a parametrização definida por 7.2 mas agora com (u, v) : u ∈ [0, 2pi] ∧ v ∈
[0, pi] . O vector N = Tu × Tv é dado por 7.3 e portanto, pela definição de
integral de superfície de um campo vectorial,∫
S
F · dS =
∫
D
F (ϕ(u, v)) · (Tu × Tv) dudv
188 Cap. 7: Integrais de Linha e de Superfície
com D = [0, 2pi]× [0, pi] . Como
F (ϕ(u, v)) = (cosu sin v, sinu sin v, cos v)
e
(Tu × Tv) =
(− cos u sin2 v,− sin u sin2 v,− sin v cos v)
segue-se que
F (ϕ(u, v)) · (Tu × Tv) = − sin v
Logo,
∫
S
F · dS =
2pi∫
0
pi∫
0
(− sin v) dvdu
=
2pi∫
0
(cospi − cos 0) du
=
2pi∫
0
−2du = −4pi
Tal como para as linhas em que a parametrização induzia uma orientação
na linha, vejamos que para algumas superfícies ( superficies de duas faces) a
parametrização também induz uma orientação. No caso da superficie esférica
a normal à superficie num ponto tem, como sabemos, a direção radial. No
exemplo que considerámos, a parametrizaçãodefinida por 7.2 é tal que o
vector normal é
N =
(− cosu sin2 v,− sin u sin2 v,− sin v cos v)
= − sin v (cosu sin v, sinu sin v, cos v)
Como − sin v ≤ 0, para todo v ∈ [0, pi] , facilmente verificamos que
N = −r sin v
em que r é o vector posição, r = (x, y, z), aponta para o centro da esfera.
Dizemos que a parametrização 7.2 parametriza a esfera segundo a normal
interior.
7.2 Integrais de Superfície 189
Definição 79 Uma superfície orientada é uma superfície de duas faces
para a qual se especifica o versor normal. Em cada ponto da superfície pode-
mos considerar dois versores n1 e n2 tais que n1 = −n2 . A cada um destes
versores associamos uma face da superfície.
Exemplo 122 Consideremos a superfície de uma esfera. Podemos consi-
derar a superfície da esfera orientada segundo a normal que aponta para o
centro da esfera, normal interior ou a esfera orientada segundo a normal que
aponta para fora da esfera, a normal exterior.
Exemplo 123 Se considerarmos um plano, podemos também definir duas
orientações distintas. No entanto a noção de exterior e interior não é clara.
Convenciona-se considerar a normal exterior aquela que tem a ter-
ceira componente positiva.
Definição 80 Calcular
∫
S
F · dS em que F é o campo de vectores definido
por F (x, y, z) = (x, y, z) e S a superfície da esfera x2+y2+ z2 = 1 orientada
segundo a normal exterior. A parametrização definida por 7.2 parametriza S
segundo a normal interior. Para que N = Tu×Tv aponte para fora da esfera
podemos fazer uso da conhecida regra da mão direita e daí decorre que u deve
ser a variável associada ao crecimento da latitude e v a variável associada
ao crescimento da longitude. Assim vamos definir a parametrização
ϕ(u, v) = (cos v sin u, sin v sinu, cos u) (7.4)
com (u, v) : u ∈ [0, pi] ∧ v ∈ [0, 2pi] . Então
Tu(u, v) = (cosu cos v, cosu sin v,− sin u)
e
Tv(u, v) = (− sinu sin v, sin u cos v, 0)
Além disso, o vector N = Tu × Tv é
N =
(
sin2 u cos v, sin2 u sin v, sin u cosu
) 6= 0R3 (7.5)
N = sinu (sin u cos v, sin u sin v, cosu)
Como sinu ≤ 0, para todo u ∈ [0, pi] , facilmente verificamos que
N = r sinu
190 Cap. 7: Integrais de Linha e de Superfície
em que r é o vector posição, r = (x, y, z), aponta para fora da esfera. Assim∫
S
F · dS =
∫
D
F (ϕ(u, v)) · (Tu × Tv) dudv
com D = [0, pi]× [0, 2pi] . Como
F (ϕ(u, v)) · (Tu × Tv) = sinu
Logo,
∫
S
F · dS =
2pi∫
0
pi∫
0
(sinu) dudv
=
2pi∫
0
(− cos pi + cos 0) du
=
2pi∫
0
2du = 4pi
Verificamos assim que o integral sobre a superfície orientada segundo a
normal exterior é simétrico ao integral sobre a superfície orientada se-
gundo a normal interior. Mais geralmente, os teoremas seguintes permitem
garantir que o integral sobre uma superfície orientada é independente da
parametrização.
Teorema 37 Seja S uma superfície orientável e ϕ1 e ϕ2 suas parametriza-
ções regulares de S que induzem a mesma orintação a S. Então∫
ϕ1
F · dS =
∫
ϕ2
F · dS
Teorema 38 Seja S uma superfície orientável e ϕ1 e ϕ2 suas parametriza-
ções regulares de S que induzem orintação contrária a S. Então∫
ϕ
1
F · dS = −
∫
ϕ
2
F · dS
7.2 Integrais de Superfície 191
O integral de um campo vectorial sobre uma superfície S pode ser visto
como o integral de um outro campo escalar. De facto basta obervar que se
‖Tu × Tv‖ 6= 0 então
F (ϕ(u, v)) · (Tu × Tv) = F (ϕ(u, v)) · Tu × Tv‖Tu × Tv‖ ‖Tu × Tv‖
Observando que n = Tu×Tv
‖Tu×Tv‖
é o versor normal à superfície em ϕ(u, v) com o
mesmo sentido de Tu×Tv, a função escalar F (ϕ(u, v)) · Tu×Tv‖Tu×Tv‖ é a projecção
do campo F sobre a direcção definida pelo versor n. Assim∫
S
F · dS =
∫
D
F (ϕ(u, v)) · (Tu × Tv) dudv
=
∫
D
F (ϕ(u, v)) · Tu × Tv‖Tu × Tv‖ ‖Tu × Tv‖
=
∫
S
(F · n) dS
Ou seja o integral de superfície do campo vectorial F é igual ao integral
de superfície do campo escalar resultante da projecção de F sobre o
versor normal à superfície n = Tu×Tv
‖Tu×Tv‖
.
192 Cap. 7: Integrais de Linha e de Superfície