estac exerc diagramas
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I 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
EEESSSTTTÁÁÁTTTIIICCCAAA 
 
DIAGRAMAS 
 
ESFORÇO AXIAL - ESFORÇO TRANSVERSO - MOMENTO FLECTOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO EXEMPLIFICATIVO APRESENTADO NAS AULAS TEÓRICAS 
 
 
 
ISABEL ALVIM TELES
12kN
14kN
9kNm
8 kN/m
5kN
10kN
A
B
C
D
E
F
G
HI
I 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 1/5 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
EXERCÍCIO 
Sem calcular previamente as reacções, determine as expressões analíticas do esforço axial (N), 
esforço transverso (V) e momento flector (M), em cada tramo da estrutura representada na figura. 
Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M) caracterizando todos os pontos notáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONVENÇÃO DE SINAIS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G
HI
1.2 m
0.8 m
0.5 m
0.6 m 0.5 m 0.7 m 0.5 m
12 kN
14 kN
9kNm
8 kN/m
5 kN
10 kN
A
B
C
D
E
F
d
V
e
N
V
N +
d
V
e
N
V
N
+
I 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 2/5 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
\u2022 Tramo CD 
 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\u21d2\u2212=
\u21d2=
=
recta kNm 10 (x) M 
 nível de recta kN 10 (x) V 
0 (x) N 
 
x
CD 
 
 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=
=
=
\u21d2=
 0 M 
kN 10 V 
0 N 
 0)(x 
C 
C 
C 
C 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\u2212=
=
=
\u21d2=
 kNm 6 M 
kN 10 V 
0 N 
 m) 0,60(x 
D 
D 
D 
D 
_______________________________________________________________________________________ 
 
\u2022 Tramo DE 
 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\u21d2+=
\u21d2=
\u21d2=
recta kNm 5 6 (x) M 
 nível de recta kN 5 (x) V 
 nível de recta kN 10 (x) N 
 
x
DE 
 
 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=
=
=
\u21d2=
 kNm 6 M 
kN 5 V 
kN 10 N 
 0)(x 
D 
D 
D 
D 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=
=
=
\u21d2=
 kNm 10 M 
kN 5 V 
kN 10 N 
 m) 0,80(x 
E 
E 
E 
E 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
\u2022 Tramo EB 
 
 
grau) (2º curva kNm 4 10 10 
2
 8 10 10 (x) M 
 recta kN 8 10 (x) V 
 nível de recta kN 5 (x) N 
 
2
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\u21d2\u2212\u2212=\u2212\u2212=
\u21d2\u2212\u2212=
\u21d2=
xxxxx
xEB
 
 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=
\u2212=
=
\u21d2=
 kNm 10 M 
kN 10 V 
kN 5 N 
 0)(x 
E 
E 
E 
E 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\u2212=
\u2212=
=
\u21d2=
kNm 5,84 M 
kN 18,8 V 
kN 5 N 
 m) ,101(x 
B 
B 
B 
B 
 
 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
dx
Md
2 
 
2 
\u21d2< concavidade U 
 
Secção onde o momento é nulo: m 0,766 0 4 10 10 0 2 =\u21d2=\u2212\u2212\u21d2= xxxM 
 
_______________________________________________________________________________________ 
10kN
CD
x
de
5kN D
E
xe
10kN
6kNm
d
8 kN/m
BE
x
e d
10kN
5 kN
10kNm
I 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 3/5 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
\u2022 Tramo IH 
 
 
0 (x) M 
 0 (x) V 
 nível de recta kN 12 (x) N 
 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=
=
\u21d2\u2212=
IH 
 
 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
==
==
\u2212==
\u21d2
 0 M M 
0 V V 
kN 12 N N 
 e 
H I 
H I 
H I 
HI 
 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
\u2022 Tramo HG 
 
 
recta kNm 12 (x) M 
 nível de recta kN 12 (x) V 
 nível de recta kN 14 (x) N 
 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\u21d2\u2212=
\u21d2=
\u21d2=
x
HG 
 
 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=
=
=
\u21d2=
 0 M 
kN 12 V 
kN 14 N 
 0)(x 
H 
H 
H 
H 
kNm 6 M 
kN 12 V 
kN 14 N 
 m) ,500(x 
G 
G 
G 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\u2212=
=
=
\u21d2=G 
 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
\u2022 Tramo FG 
 
 
recta kNm 14 6 (x) M 
 nível de recta kN 14 (x) V 
 nível de recta kN 12 (x) N 
 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\u21d2+\u2212=
\u21d2\u2212=
\u21d2=
x
FG 
 
 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\u2212=
\u2212=
=
\u21d2=
 kNm 6 M 
kN 14 V 
kN 12 N 
 0)(x 
G 
G 
G 
G 
kNm 1 M 
kN 14 V 
kN 12 N 
 m) ,500(x 
F 
F 
F 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=
\u2212=
=
\u21d2=F 
 
 
Secção onde o momento é nulo: m 0,429 0 14 6 0 =\u21d2=+\u2212\u21d2= xxM 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
14kN
G
H
x
e
d12kN
F G
x
de
14kN
12kN
6kNm
d
12kN HI
x
e
I 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 4/5 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
\u2022 Tramo BF 
 
 
recta kNm 148 141 9 (x) M 
 nível de recta kN 14 (x) V 
 nível de recta kN 12 (x) N 
 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\u21d2+\u2212=++\u2212=
\u21d2\u2212=
\u21d2=
xx
BF 
 
 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\u2212=
\u2212=
=
\u21d2=
 kNm 8 M 
kN 14 V 
kN 12 N 
 0)(x 
F 
F 
F 
F 
kNm 8,1 M 
kN 14 V 
kN 12 N 
 m) ,700(x 
B 
B 
B 
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=
\u2212=
=
\u21d2=B 
 
 
Secção onde o momento é nulo: m 0,571 0 14 8 0 =\u21d2=+\u2212\u21d2= xxM 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
\u2022 Tramo AB 
 
 
recta kNm 7 7,64 7 1,8 5,84 (x) M 
 nível de recta