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CAPÍTULO 2
RISCO E RETORNO
A partir da perspectiva do saber fazer, neste capítulo você terá os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
 Entender a relação entre risco e retorno.
 Dominar os procedimentos estatísticos necessários para aferir e medir o risco 
de um ativo ou carteira de ativos.
 Calcular o risco e o retorno.
 Compreender o modelo de formação de preços de ativos e sua relação com a 
linha de mercado de títulos.
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 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
59
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
CONTEXTUALIZAÇÃO
No capítulo anterior foram apresentadas técnicas e conceitos relacionados ao 
valor do dinheiro no tempo. Aquelas análises, as quais utilizaram o cálculo do valor 
presente e futuro de uma quantia, desconsideram um aspecto muito importante 
que existe no mercado fi nanceiro: o risco do investimento. Em contrapartida, este 
capítulo versará sobre a relação entre risco e retorno de um ativo, constatando 
que deverá existir uma recompensa por correr risco, a qual é chamada de prêmio 
pelo risco. De modo geral, a relação entre risco e retorno é positiva e direta, ou 
seja, quanto maior for o risco, maior deverá ser o retorno potencial exigido. Assim, 
os novos conceitos tornam-se fundamentais para a escolha de qual a melhor 
opção de investimento e devem ser estudados.
Antecipando brevemente o que será detalhado ao decorrer do capítulo, o 
risco envolve tanto os ativos individuais quanto as carteiras com vários ativos. 
Ainda, existem dois tipos de riscos, o sistemático e não sistemático. O risco 
sistemático afeta todos os ativos da economia de alguma forma, por outro lado, 
o não sistemático afeta, no máximo, um número pequeno de ativos. Para mitigar 
o risco não sistemático, pode-se utilizar o princípio da diversifi cação através da 
composição de uma carteira de ativos diferentes. 
Este capítulo foi estruturado da seguinte forma: a primeira seção traz uma 
introdução ao risco e ao retorno, a segunda apresenta as ferramentas de cálculo 
necessárias para conseguir mensurar o risco e o retorno de um ativo individual, a 
seguinte calcula o risco de uma carteira de ativos, a quarta descreve o modelo de 
formação de preços de ativos (CAPM), a quinta analisa as linhas de mercado de 
títulos (SML) e a última exibe algumas aplicações.
INTRODUÇÃO AO RISCO E AO RETORNO
De acordo com Gitman (2005), o risco e o retorno esperado de uma empresa 
impactam profundamente sobre o preço de sua ação e os dois fatores em conjunto 
são os principais determinantes do valor de uma empresa no mercado. O gestor 
fi nanceiro deverá avaliar minuciosamente todas decisões visando assegurar que o 
retorno esperado faça jus ao nível de risco que foi assumido, pois decisões corretas 
provocam um aumento no preço da ação da empresa, benefi ciando os acionistas. 
Portanto, é fundamental que o profi ssional saiba mensurar, avaliar e comparar as 
relações entre risco e retorno para que suas decisões colaborem para a criação de 
valor na empresa. Para começar a entender como determinadas relações ocorrem, 
as próximas subseções descrevem os conceitos de risco e retorno para que, na 
próxima seção, seja analisado como mensurar determinados conceitos.
60
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
a) Risco
Em fi nanças, o risco é a probabilidade de ocorrer uma perda fi nanceira, 
conforme destacou Gitman (2005). De forma alternativa, o autor afi rma que o risco 
é uma incerteza originada pela variabilidade dos retornos de um ativo fi nanceiro. 
Muitos títulos públicos relacionados à dívida do governo praticamente não 
apresentam riscos, pois remuneram uma quantia fi xa garantida, diferentemente 
do mercado de ações, em que há uma grande variabilidade no preço da ação, 
além da incerteza relacionada ao montante de dividendos a serem pagos pelas 
empresas aos seus acionistas. Uma vez que os governos podem emitir dinheiro 
ou aumentarem impostos para pagarem suas dívidas, as Letras do Tesouro, títulos 
emitidos pelo governo com vencimento de curto e médio prazo, praticamente não 
apresentam riscos de inadimplência e acabam sendo usados como referência no 
mercado fi nanceiro e nas comparações com as demais opções de investimento.
De acordo com Ross et al. (2013), o prêmio pelo risco é uma quantia 
excedente dada pela diferença exigida pelo investidor entre a magnitude do 
retorno que um ativo com risco proporciona e a quantia de retorno que um ativo 
sem risco pagará. O conceito fi cará mais claro no decorrer desta seção, logo, não 
se preocupe com ele por enquanto.
 
A fi gura a seguir apresenta um breve resumo das principais fontes do risco 
para empresas e seus acionistas. Enquanto que o risco operacional e o fi nanceiro 
são específi cos à empresa, os riscos associados à taxa de juros, à liquidez e ao 
mercado são riscos exclusivos dos acionistas. Além dos demais riscos descritos 
na fi gura, há o risco moral. O risco moral surge quando a ação do Agente não 
é observável pelo Principal ou, ainda, quando o Agente possui uma informação 
privilegiada após o contrato ter sido fi rmado. 
61
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Figura 5 – Fontes de risco
Fonte: Gitman (2005).
Em economia, a assimetria de informação é um tema de pesquisa que premiou 
economistas com o Nobel da área. No problema de risco moral, os participantes 
têm a mesma informação quando o contrato (transação econômica) é assinado, 
porém o problema de informação assimétrica surge somente após o contrato ter 
sido fi rmado, mais especifi camente quando o Principal não consegue observar e/
ou monitorar perfeitamente as ações/esforço do Agente. Um exemplo prático de 
como acontece na relação entre empregador e empregado é útil para entender 
o conceito de risco moral. Podemos citar um caso do empregador (Principal) 
contratar um empregado (Agente), e ambos assinaram um contrato de trabalho no 
qual especifi ca um salário (equivalente à sua produtividade) e as funções a serem 
62
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
exercidas pelo empregado. Ocorre que o empregador não consegue mensurar 
diretamente o esforço, a conduta e a ética do empregado enquanto ele trabalha. 
Assim, o empregador teria difi culdades de avaliar se a remuneração, previamente 
acordada, de fato, corresponde à produtividade exercida pelo empregado no 
trabalho. Em outras palavras, uma vez que a remuneração foi previamente 
estabelecida e garantida ao empregado, o empregado pode não disponibilizar 
todo seu potencial de trabalho para a empresa e, mesmo assim, o empregador 
não terá como visualizar com certeza.
• Preferências com relação ao risco
No dia a dia e em diversos contextos, o ser humano enfrenta situações que 
envolvem riscos. Entretanto, há algumas pessoas que não estão dispostas a 
arriscar nada e outras, ao contrário, fazem questão de ter um comportamento/
escolha que envolva risco. Da mesma maneira, os administradores fi nanceiros 
apresentam diferentes comportamentos quando se trata de assumir riscos. 
A fi gura a seguir apresenta uma forma de entender como os riscos funcionam 
no mercado de ações. O eixo das abscissas mede o risco, enquanto o eixo das 
ordenadas mensura o retorno exigido. 
Figura 6 – Preferências com relação ao risco
Fonte: Gitman (2005).
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RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Como pode ser observado na fi gura anterior, o comportamento com relação 
ao risco pode assumir três formas: avesso, indiferente e propenso. O administrador 
avesso ao risco exige que o retorno aumente quando o risco se eleva. Ocorre 
porque ele tem medo da perda fi nanceira e, assim, exige uma contrapartida, no 
caso, um retorno mais alto que compense o risco mais elevado que ele assumiu. 
Observe que, no gráfi co, na medida em que o risco aumenta (de x1 para x2), o 
retorno esperado para o administrador avesso ao risco também aumenta.
De forma contrária,o administrador propenso ao risco exige um retorno 
menor quando o risco aumenta. Uma vez que ele gosta de correr riscos, ele está 
disposto a abrir mão de parte do retorno para assumir maiores riscos. Por fi m, 
como o próprio nome já diz, o administrador indiferente ao risco não exige maiores 
ou menores retornos quando o nível de risco varia para mais ou menos.
Obviamente, grande parte dos administradores fi nanceiros são avessos 
ao risco, exigindo sempre um retorno maior para enfrentarem maiores riscos. 
Uma vez que, na grande maioria das vezes o administrador fi nanceiro lida com 
recursos de terceiros, ou seja, da empresa em que ele é responsável ou de um 
cliente, pessoa física, em uma consultoria de investimentos em que ele atua, os 
administradores tendem a ter uma postura conservadora. Como é o caso mais 
comum e factível, o restante deste livro assume que o administrador fi nanceiro é 
avesso ao risco. 
b) Retorno
Durante a defi nição do conceito de risco, constatou-se que o risco é medido 
em função da variabilidade do retorno de um ativo. É necessário defi nir o retorno e 
apresentar como podemos calculá-lo. Para Ross et al. (2013), o retorno é o ganho 
ou a perda proporcionada por um ativo em um determinado período de tempo. No 
que diz respeito à forma de calculá-lo, devemos saber, antes de qualquer outra 
coisa, que o retorno possui dois componentes: o componente referente à renda 
de retorno do ativo (dividendo) e a variação ocorrida no preço do ativo (mudança 
no preço do ativo). De modo geral, o cálculo da taxa de retorno de um ativo (kt) 
qualquer, na data t, envolve resolver a seguinte expressão:
k C P P
Pt
t t t
t
=
+ − −
−
1
1
64
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Sendo:
kt a taxa observada, esperada ou exigida de retorno durante o período t.
Ct o fl uxo de caixa recebido do investimento no ativo no período de t - 1 a t.
Pt o preço (valor) do ativo no período t.
Pt-1 o preço (valor) do ativo no período t - 1.
Observe que, quando t for defi nido em anos, kt representa a taxa anual de 
retorno. No entanto, a periodicidade não precisa ser necessariamente anual, 
podendo ser estabelecida em dias, meses ou décadas, por exemplo. Para facilitar 
a ilustração, vamos considerar dois exemplos. Suponha que você tenha comprado 
um imóvel no valor de R$ 100.000,00. Imediatamente após a compra, você 
colocou o imóvel para alugar durante um ano e recebeu, em forma de aluguel, R$ 
6.000,00 no fi m do período. Ainda, no fi m deste ano, o imóvel estava avaliado em 
R$ 106.000,00. Qual é a taxa de retorno do investimento?
Inserindo os dados na equação, encontra-se:
Portanto, a taxa de retorno do investimento imobiliário é de 12% ao ano. 
Suponha, desta vez, que você adquiriu na bolsa de valores 1.000 ações da 
Empresa M&M cuja cotação, no início do ano, era de R$ 40,00 por ação. Após 
um ano, a empresa pagou R$ 5,30 de dividendo por ação e, assim, você recebeu 
um total de R$ 5.300,00 de dividendos. Ainda, o preço da ação subiu na bolsa de 
valores, após um ano, para o valor de R$ 48,00 a unidade. Devemos nos perguntar: 
qual é a taxa de retorno do investimento? Primeiramente, podemos analisar a 
compra de ações da Empresa M&M como está apresentada na fi gura a seguir:
 
6000,00 106000,00 10
k C P P
P
k
t
t t t
t
t
=
+ −
=
+ −
−
−
1
1
00000,00
100000,00
 
12000,00
100000,00
 
kt =
 0,12kt =
65
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Figura 7 – Retorno total
Fonte: O autor.
Note que o valor bruto total do retorno é de R$ 53.300,00, o que inclui a 
valorização do preço das ações e os dividendos pagos por ela. Para calcular a 
taxa de retorno, basta inserir os valores na fórmula da seguinte maneira: 
O resultado sugere que a taxa de retorno das ações da Empresa M&M, 
após um ano, foi de 33%. Nos exemplos fi cou evidente que o mercado de 
ações proporcionou uma maior taxa de retorno em comparação ao investimento 
imobiliário. Embora tenha sido apenas um exercício fi ctício para facilitar o 
entendimento do cálculo de retorno, o fato é que constantemente o administrador 
fi nanceiro se depara com diversas opções de investimento, e as opções, por sua 
vez, oferecem diferentes taxas de retorno e diferentes riscos. 
 
5.300,00 48000,00 40
k C P P
P
k
t
t t t
t
t
=
+ −
=
+ −
−
−
1
1
0000,00
40000,00
 
13300,00
100000,00
 
kt =
 0,33kt =
66
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Deixando de lado o mundo fi ctício, de modo a ter uma ideia real de como os 
investimentos apresentam diferentes rendimentos ao longo da história recente, 
será utilizada a excelente análise feita por Ross et al. (2002), a qual demonstra 
a evolução das taxas históricas de retorno, ano após ano, para quatro opções 
distintas de investimento muito utilizadas no mercado fi nanceiro americano. As 
opções analisadas pelos autores são as seguintes:
i. Ações de grandes empresas: trata-se de uma carteira de ações 
ordinárias formada pelas 500 maiores empresas americanas (medidas 
pelo valor total de mercado das ações em circulação). 
ii. Ações de pequenas empresas: carteira constituída por ações de 
pequenas empresas que correspondem apenas a 20% do valor do 
mercado das ações em circulação na Bolsa de Valores de Nova York. 
iii. Títulos de longo prazo do Tesouro: composto por uma carteira de 
títulos da dívida emitidos pelo governo dos Estados Unidos nos quais o 
prazo de vencimento é de 20 anos.
iv. Letras do Tesouro: carteira relacionada às Letras do Tesouro dos 
Estados Unidos com prazo de três meses.
O gráfi co a seguir apresenta a evolução histórica, para o período de 1925 a 
2000, das quatro opções de investimento supracitadas, além da infl ação americana 
medida pelo índice de preços ao consumidor (IPC). Obter informações sobre a 
infl ação é importante porque, a partir delas, é possível calcular taxas de retorno 
reais. Ademais, as séries de tempo fi nanceiras, geralmente, são apresentadas 
dimensionando o eixo vertical de tal forma que distâncias iguais medem iguais 
variações percentuais em valor. Não obstante, o eixo vertical registra o índice de 
preço das opções de investimento, ano base 1925, e o eixo horizontal os anos. 
67
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Gráfi co 3 – Investimento de $ 1,00 em diferentes tipos de carteiras: 1925-2000
Nota: Modifi cações na escala foram feitas para apresentar as cinco séries juntas.
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Perceba que foi indicado, ao fi nal de cada série de tempo, o valor que a 
carteira atingiu no ano 2000, demonstrando, facilmente, o tamanho do crescimento 
vivenciado em cada uma das opções de investimento ao longo do período de 75 
anos (1925-2000). De imediato, fi ca evidente que a melhor opção de investimento, 
para o período analisado, foi a carteira de ações de pequenas empresas, pois 
cada dólar investido em 1925 tornou-se US$ 6.402,23 em 2000. A segunda melhor 
opção foi o portfólio constituído com ações de grandes empresas que apresentou 
um desempenho ligeiramente menor que o das pequenas empresas. A cada um 
dólar investido nas ações das grandes empresas em 1925 valeria US$ 2.586,52 
no ano 2000. 
68
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Por outro lado, cada dólar gasto em 1925, comprando títulos de longo prazo 
do governo americano, passaria a valer US$ 48,86 em 2000, um desempenho 
muito inferior se comparado às opções relacionadas com o mercado de ações. 
Com um desempenho apenas levemente superior à infl ação do período, cada 
US$ 1,00 investido em letras do tesouro americano em 1925 passaria a valer US$ 
16,56 em 2000. Perceba que o aumento no nível de preços foi tal que, no ano de 
2000,apenas US$ 9,71 eram necessários para substituir o US$ 1,00 de 1925. 
Dado o histórico dos retornos sobre as opções de investimento em análise, 
a questão que surge é: por que alguém deixaria de comprar ações de pequenas 
empresas, visto que são elas as que apresentaram os maiores retornos no 
período considerado? Um indicativo da resposta pode ser obtido com uma análise 
mais atenta ao próprio gráfi co anterior. 
Embora as carteiras compostas por Letras do Tesouro e as formadas por 
Títulos de longo prazo do governo americano cresceram mais lentamente que 
as carteiras constituídas por ações de empresas que atuam na bolsa de valores, 
percebe-se que o crescimento das Letras do Tesouro e dos Títulos do governo foi 
mais constante no período analisado. De forma contrária, as ações das pequenas 
empresas, aquelas que apresentaram o maior retorno, cresceram de forma 
mais instável. Note que as ações das pequenas empresas foram as que tiveram 
menor retorno durante os primeiros dez anos. Ainda, a valorização das ações das 
pequenas empresas vivenciou um retorno menor que os Títulos do governo de 
longo prazo por quase 15 anos, conforme destacaram Ross et al. (2002). 
Uma vez que a variabilidade dos retornos das ações é maior que o retorno das 
opções relacionadas aos Títulos do governo, conservadores, portanto, os investidores 
mais avessos ao risco podem optar por um retorno menor no qual ofereça um menor 
risco. Isso explica porque há compra de títulos do governo mesmo quando eles 
oferecem um retorno menor que as demais alternativas de investimento. 
Analisando de forma criteriosa a situação, podemos analisar a variabilidade 
de diferentes investimentos construindo gráfi cos, como serão apresentados nos 
Gráfi cos 2 e 3 que foram retirados de Ross et al. (2002). Estruturalmente, o 
gráfi co estabelece que o eixo vertical aponta as taxas de retorno (em percentual) 
e, no eixo horizontal, mensura os anos. Assim, podemos construir barras 
69
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Gráfi co 4 – Taxa de retorno das Letras do Tesouro Americano
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Uma análise comparativa dos Gráfi cos 4 e 5 tornará evidente a diferença 
de escala do eixo vertical de cada uma delas, sugerindo que a variabilidade na 
taxa de retorno das duas opções de investimento é bem desigual. As Ações de 
Pequenas Empresas apresentaram, em alguns anos, retornos negativos, por 
outro lado, há uma taxa de retorno que quase chegou a 150% no ano de 1933. 
Entretanto, apesar de ser muito interessante a análise possível feita através dos 
dois gráfi cos, é difícil de comparar as duas opções somente através dos gráfi cos. 
Para tornar a análise mais clara, é útil calcular a taxa média de retorno de cada 
uma das opções de investimento ou, ainda, tabular os dados.
verticais, desenhadas a partir do eixo horizontal, nas quais sua altura informa a 
taxa de retorno para o ano em questão. Por exemplo, ao observar o Gráfi co 4, 
perceberemos que as Letras do Tesouro não apresentaram nenhuma taxa de 
retorno negativa em todo período, sendo que a taxa de retorno máxima foi de 
15,21%, em 1981, e mínima de 0%, em 1939 e 1949. 
70
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Gráfi co 5 – Taxas de retorno das ações de Pequenas Empresas
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
A Tabela 18 demonstrará a taxa média de retorno e o prêmio de risco de cada 
uma das opções de investimento analisadas. A taxa de retorno média (k) pode 
ser encontrada simplesmente tomando a média aritmética das taxas do período 
em análise, ou seja, basta somar o retorno ocorrido em cada período t, sendo t = 
1,2,...,T, e, após, dividir pelo número total de períodos (T), que, neste caso, é 75. 
Mais formalmente, a fórmula para a taxa de retorno médio de um período é:
Executando para a série história das taxas de retorno das opções de 
investimento analisadas, encontram-se as taxas médias de retorno. Novamente, fi ca 
claro que as ações apresentaram uma taxa de retorno muito superior aos Títulos do 
Governo e às Letras do Tesouro no período entre 1925-2000. Vale destacar, ainda, 
que as médias calculadas são nominais, pois não levam em conta a infl ação do 
período. Considerando a perda de poder de compra do dinheiro, a taxa de retorno 
real das Letras do Tesouro, dos Títulos de longo prazo do Governo, da carteira de 
ações de grandes empresas e do portfólio de ações de pequenas empresas é de 
aproximadamente 0,7%, 2,5%, 9,8% e 14,1% ao ano, respectivamente. Neste caso, 
a taxa de retorno real dos investimentos foi facilmente obtida diminuindo, da taxa 
nominal média de retorno, a infl ação média do período.
k
k
T
t
T
t= =1Σ
71
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Tabela 18 – Taxas anuais médias e prêmios de risco: 1926-2000
Investimentos / Infl ação Taxa média de Retorno Prêmio pelo risco
Ações de Pequenas Empresas 17,3% 13,4%
Ações de Grandes Empresas 13,0% 9,1%
Títulos de longo prazo do Governo 5,7% 1,8%
Letras do Tesouro 3,9% 0,0%
Infl ação 3,2% -
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
O prêmio pelo risco, também apresentado na Tabela 18, pode ser calculado 
através da diferença entre a taxa de retorno nominal de uma determinada 
opção de investimento e a taxa nominal de retorno das Letras do Tesouro. As 
comparações são realizadas sempre estabelecendo como referência as Letras 
do Tesouro porque elas são consideradas uma opção de investimento sem risco, 
dado que o governo pode imprimir mais dinheiro, ou ainda, aumentar os impostos 
para liquidá-las sempre que precisar. É exatamente determinada a diferença 
entre a taxa de retorno de um investimento com risco e a taxa de retorno de um 
ativo sem risco que é chamada de prêmio pelo risco. Analisando os resultados, 
podemos afi rmar que as ações, tanto das pequenas como das grandes empresas, 
apresentaram um prêmio pelo risco muito superior aos Títulos de longo prazo do 
Governo no período 1925-2000.
Por fi m, esta seção deixa três grandes aprendizados: deve-se fi car atento ao 
histórico da taxa média de retorno e ao desvio-padrão das opções de investimento, 
além do prêmio pelo risco. Determinados conceitos podem ser fundamentais na 
tomada de decisão de qual investimento, dada a preferência com relação ao risco 
de cada investidor. 
MENSURAÇÃO DO RISCO E DO RETORNO
Na seção anterior foi apresentado o histórico das taxas de retorno médio de 
algumas opções de investimento. Entretanto, quando é necessário fazer previsões 
sobre o retorno de determinados investimentos, os cálculos se alteram porque 
qualquer previsão envolve incerteza, de modo que os retornos esperados de cada 
ativo possuam probabilidades diferentes de ocorrerem e, assim, eles apresentam 
diferentes níveis de risco ao administrador fi nanceiro.
Ainda, em diversos momentos do capítulo anterior foi comentada sobre a 
variabilidade da taxa de retorno histórica sem que fosse feito qualquer tipo de 
apresentação mais formal sobre o tema ou como se pode mensurá-la. No mercado 
fi nanceiro, determinada variabilidade é comumente chamada de volatilidade do 
72
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
ativo, sendo ela um ponto fundamental a ser estudado na administração fi nanceira. 
Assim, este capítulo apresentará, de uma maneira formal, que a variabilidade de 
um ativo pode ser obtida por meio de cálculos estatísticos, mais especifi camente, 
através da variância/ desvio-padrão e do coefi ciente de variação da taxa de 
retorno de um ativo. 
a) Valor esperado, desvio-padrão e correlação 
Quando é necessário fazer previsões acerca dos retornos futuros de um 
investimento, deve-se, primeiramente, ter em mente que os ativos apresentam 
riscos e devem ser bem avaliados antes da tomada de decisão. Afi rmar que existe 
risco em um ativo signifi ca dizer que ele, no futuro, pode assumir várias taxas de 
retornos e que as taxas estão associadas aprobabilidades de elas efetivamente 
ocorrerem. O cálculo para obter a taxa média de retorno, anteriormente 
apresentado, deve ser modifi cado, e mais especifi camente, é necessário utilizar 
um conceito estatístico conhecido como esperança matemática ou também 
chamado de valor esperado. 
Algumas defi nições importantes devem ser feitas, como segue:
• Uma variável aleatória é uma função que defi ne um valor 
numérico real a cada resultado de um experimento aleatório, 
sendo que elas podem ser classifi cadas, fundamentalmente, em 
discretas ou contínuas.
• Um experimento é um processo que gera resultados defi nidos. 
Ainda, um experimento aleatório pode ser repetido inúmeras 
vezes e, considerando as mesmas condições, podem apresentar 
resultados diferentes. Cada um dos resultados possíveis é 
chamado de ponto amostral.
• O espaço amostral é um conjunto constituído por todos os 
resultados possíveis de um experimento aleatório.
• Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral.
73
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
O valor esperado, ou a média de uma variável aleatória, é uma medida de 
posição central da variável. Neste capítulo, a variável aleatória analisada é a taxa 
de retorno de um ativo. Considerando que todos resultados e probabilidades são 
conhecidas, sendo determinadas probabilidades desiguais, o valor esperado da 
taxa de retorno de um ativo pode ser calculado da seguinte forma:
 
Sendo:
E k  o valor esperado da taxa de retorno do ativo.
kj a taxa de retorno esperada para a ocorrência j.
Prj a probabilidade de ocorrência j.
Perceba que o cálculo do valor esperado é muito simples, basta, 
primeiramente, ponderar cada retorno esperado de acordo com a sua probabilidade 
de ocorrência e, após, somar os retornos ponderados. Salientamos que, se as 
probabilidades forem desconhecidas e estiver disponível uma amostra histórica 
de taxas de retorno, então obter o valor esperado ( E k  ) é igual a calcular a 
média aritmética ( k ), ou seja, o cálculo torna-se simplesmente k k Tj
n
j= =1Σ / . 
Ainda, o subscrito j pode se referir tanto a um cenário específi co (neste caso, um 
determinado estado da economia) como a uma observação da amostra (ou seja, 
se for utilizada uma série de tempo, então j é a observação ocorrida no período j), 
dependendo do contexto da análise. Destaca-se, ainda, que j = 1,2,...,n, sendo n o 
total de cenários/observações da amostra.
Com relação à variabilidade do retorno de um ativo e, consequentemente, 
ao risco que ele tem, podemos utilizar o desvio-padrão da taxa de retorno como 
uma variável proxy para o risco. O desvio-padrão é uma medida de variabilidade 
baseada nos desvios dos valores observados com relação a sua média, lembrando 
que o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. 
De modo geral, quanto maior for o desvio-padrão de um ativo, maior será o 
seu risco. Ainda, sem fazer qualquer tipo de inferência com relação ao futuro, o 
desvio-padrão (DP) da taxa de retorno pode ser calculado da seguinte forma:
E k k Prj
j
n
j  = ×
=
∑
1
DP
k k
n
j
n
j
=
−( )
−
=Σ 1
2
1
74
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
As notações seguem as mesmas anteriores, exceto o novo termo introduzido 
DP, que representa o desvio-padrão da taxa de retorno. 
Uma aplicação possível para a fórmula mais recentemente apresentada é 
para calcular o desvio-padrão histórico da taxa de retorno das diferentes opções 
de investimento analisadas na anteriormente. Entretanto, quando o cálculo 
envolver o desvio-padrão previsto e as probabilidades forem conhecidas, será 
necessário modifi car ligeiramente a fórmula anterior, inserindo as probabilidades 
de ocorrência de cada retorno. A expressão de cálculo para o desvio-padrão do 
retorno esperado (σ k ) pode ser descrita da seguinte forma:
Concluindo, as notações seguem as mesmas anteriores. 
Embora a principal forma de mensurar o risco de um ativo seja através do seu 
desvio-padrão, muitas vezes é útil utilizar coefi ciente de variação, especialmente 
para comparar dois diferentes ativos. O coefi ciente de variação (CV) é uma medida 
de variabilidade relativa na qual aponta o quão grande é o desvio-padrão com 
relação a sua média. A fórmula para calcular o coefi ciente de variação esperado 
é dada por:
Apenas como análise descritiva dos dados históricos, pode ser expressa como:
Apresentadas as estatísticas que fornecem uma boa medida de risco do ativo, 
a seguir é abordado o conceito de distribuição de probabilidades. Podemos afi rmar, 
desde já, que as distribuições de probabilidades são uma forma alternativa muito 
útil para avaliar o risco de um ativo, principalmente porque nem sempre é possível 
conhecer todas as probabilidades associadas aos diversos retornos possíveis. 
σ k j
j
n
jk E k Pr= −  ( ) ×
=
∑
2
1
 
CV DP
k
=
CV
E k
k=
 
σ
75
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
b) Distribuição de probabilidades
As distribuições de probabilidades proporcionam uma boa estimativa do risco 
de um determinado ativo. Quando se fala em probabilidade, uma das primeiras 
coisas que vêm à cabeça é a probabilidade de algo ocorrer. Sendo um pouco mais 
formal, a probabilidade é um número que representa a chance que um determinado 
evento possui de ocorrer. Usualmente, são atribuídos números reais no intervalo 
entre 0 e 1 para a probabilidade, sendo que os resultados mais próximos de 1 são 
aqueles que têm mais chances de ocorrer e, os mais próximos de 0, o contrário. 
Ainda, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual. 
Uma vez que a distribuição de probabilidade descreve a maneira como as 
probabilidades estão distribuídas sobre os valores de uma variável aleatória, 
conhecer e utilizar determinadas distribuições para analisar o risco de um ativo é 
um desafi o interessante e importante para o administrador fi nanceiro, porque ao 
analisar um ativo fi nanceiro e sua distribuição de probabilidades, será possível 
associar as diversas taxas de retornos esperadas às probabilidades delas 
efetivamente se concretizarem. 
No entanto, para estudar as distribuições de probabilidades é necessário 
apresentar, primeiro, alguns conceitos estatísticos que fornecerão as bases para 
o entendimento do assunto. Muitas vezes, a análise gráfi ca de uma série histórica 
de retornos não permite, ou ainda, não é sufi ciente para extrair informações 
relevantes sobre o investimento que está sendo avaliado. Nesses casos, é mais 
fácil sintetizar os dados históricos das taxas de retorno através da sua distribuição 
de frequências, seja ela absoluta, relativa ou cumulativa.
A distribuição de frequência é uma síntese tabular dos 
dados que demonstra o número/fração em cada um dos diferentes 
intervalos não sobrepostos. Quando números forem tabulados, ela 
se chama distribuição de frequência absoluta e, se a tabulação for 
pela fração, então denomina-se distribuição de frequência relativa.
Os intervalos, também conhecidos como números de classes 
da distribuição, servem para agrupar os dados, sendo recomendado 
utilizar entre 5 e 20 classes em uma distribuição de frequência. 
Com relação à amplitude do intervalo, pode ser determinada por 
76
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
uma divisão, na qual o numerador é estabelecido pelo maior valor 
observado nos dados, subtraído do menor valor observado na amostra, 
e o denominador é o número de classes defi nido. Por fi m, devemos ter 
o cuidado ao estabelecer os limites dos intervalos para que cada valor 
observado nos dados pertença a somente uma classe. 
Ao construir uma distribuição de frequência absoluta dos dados históricos das 
taxas de retorno das ações de grandes empresas americanas, obteremos uma 
tabela, tal como a Tabela 19. Ela será arquitetada, primeiramente, estabelecendo 
17intervalos com amplitude de 10% de taxa de retorno cada, e, após, contado o 
número de anos em que se observou retornos anuais em cada um dos intervalos 
defi nidos. Por exemplo, no intervalo abrangendo retornos de 11% a 20% foram 
encontrados 13 anos nos quais a taxa de retorno anual da carteira de ações de 
grandes empresas encontra-se dentro do intervalo. Complementando, 13 anos 
dos 75 retornos anuais disponíveis na amostra estão no intervalo, de modo que, 
considerando uma distribuição de frequência relativa, é possível afi rmar que 17,33% 
dos anos analisados forneceram retornos entre 11% a 20% aos seus acionistas.
Tabela 19 – Distribuição de frequência dos retornos 
das ações de grandes empresas
Intervalo do Retorno Frequência Absoluta Frequência Relativa
-89 a -80 0 0,00
-79 a -70 0 0,00
-69 a -60 0 0,00
-59 a -50 0 0,00
-49 a -40 1 0,01
-39 a -30 1 0,01
-29 a -20 2 0,03
-19 a -10 4 0,05
-9 a 0 13 0,17
1 a 10 11 0,15
11 a 20 13 0,17
21 a 30 12 0,16
31 a 40 13 0,17
77
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
41 a 50 3 0,04
51 a 60 2 0,03
61 a 70 0 0,00
71 a 80 0 0,00
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Entretanto, uma apresentação gráfi ca mais útil pode ser feita com base nas 
informações contidas na tabela anterior, de modo a complementar a análise dos 
dados históricos e facilitar a interpretação. O gráfi co supracitado é denominado 
histograma. O histograma fornece informações relevantes a respeito do formato 
que a distribuição de probabilidades de um determinado conjunto de dados 
assume, além de sinalizar como os dados observados estão dispersos. Lembrando 
que para um ativo, a dispersão de seus retornos é sinônimo de volatilidade. 
Assim, quanto mais dispersos estiverem os dados, maiores são os riscos que o 
investidor assume. O histograma das taxas de retorno da carteira composta por 
ações de grandes empresas, para o período de 1926-2000, é apresentado no 
gráfi co a seguir.
O histograma é uma síntese de dados, previamente tabulados 
e divididos em classes uniformes (não uniforme), feita através de um 
gráfi co de barras no qual estabelece, no eixo vertical, a frequência 
absoluta ou relativa de cada classe e, no eixo horizontal, os diferentes 
intervalos de classe da variável de interesse. Assim, as barras de um 
histograma são retângulos que têm como base os limites de cada 
classe e, como altura, sua frequência correspondente, seja ela 
absoluta ou relativa. Entretanto, para classes não uniformes, a altura 
de cada barra do histograma representa a densidade de frequência 
com que o valor da classe aparece no conjunto de dados.
78
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Gráfi co 6 – Histograma das ações de grandes empresas
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Entretanto, uma vez que o objetivo não é somente avaliar estatísticas 
históricas dos ativos, mas sim, fazer inferências sobre os retornos futuros, a 
probabilidade de obter os retornos esperados deve ser considerada quando os 
investimentos forem avaliados. Neste momento, um leitor mais atento deve estar 
se perguntando o motivo que fez o autor deste livro descrever não somente o 
conceito, mas também construir um histograma, já que, até o presente momento, 
o histograma não foi relacionado com nenhuma probabilidade ou distribuição de 
probabilidades. 
Existem vários argumentos que explicam determinado questionamento. 
Primeiro, o histograma é apresentado por meio de um gráfi co de barras/colunas, 
e esse tipo de apresentação é o mesmo para uma distribuição de probabilidades 
de uma variável aleatória discreta, de modo que entender como o histograma é 
construído auxiliará o estudo das distribuições de probabilidade. Considerando 
uma variável aleatória, um segundo motivo é que a frequência relativa de uma 
distribuição de frequências, observada a partir de uma amostra, é uma estimativa 
da probabilidade, enquanto que o seu histograma é uma estimativa da distribuição 
de probabilidades da variável em questão.
Por fi m, dispondo de uma grande amostra de retornos anuais de um ativo, 
poder-se-ia montar uma distribuição de frequência indicando quantas vezes cada 
retorno aconteceu em determinados intervalos para o período analisado e, após, 
converter esses dados em uma distribuição de probabilidades. Contudo, fazer 
determinada ação vai além dos objetivos deste livro. A alternativa mais frequente 
utilizada em fi nanças é assumir que a distribuição de probabilidades dos ativos 
79
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
segue uma distribuição normal, o que, como será visto mais em frente, é uma 
suposição muito factível e útil para avaliar retornos esperados.
Em termos conceituais, a distribuição de probabilidades fornece uma 
descrição dos prováveis resultados de uma variável aleatória partindo de uma 
amostra da variável. Determinada característica a torna muito útil para avaliar 
opções de investimento. Por exemplo, uma vez que atualmente há uma divulgação 
abundante de dados fi nanceiros, uma amostra pode ser facilmente obtida 
buscando as taxas de retorno de um ativo em um certo período de tempo, como foi 
feito para a carteira de ações de grandes empresas apresentada anteriormente. 
Fazendo apenas mais algumas suposições e utilizando determinada amostra, 
podemos fazer inferência sobre o retorno esperado e seu risco, atribuindo um 
determinado nível de probabilidade. 
Entretanto, para fazer as inferências será necessário conhecer a média e o 
desvio-padrão populacional da taxa de retorno das alternativas de investimento, 
algo que na maioria dos casos não é conhecido. Quando a média e o desvio-
padrão de uma variável aleatória são desconhecidos, determinados valores podem 
ser estimados a partir da amostra histórica coletada. Determinada estimação 
pode ser feita por meio de cálculos estatísticos, mais especifi camente utilizando 
a esperança matemática e o desvio-padrão. A fórmula para determinados 
estimadores varia de acordo com a distribuição de probabilidades escolhida, mas, 
neste momento, ainda não se preocupe com os cálculos. 
As distribuições de probabilidade são divididas em discretas e contínuas. As 
principais distribuições discretas de probabilidade são: a binomial, a de Poisson, 
a geométrica, a hipergeométrica, a multinomial e binomial negativa. Cada uma 
das distribuições de probabilidade discretas é defi nida por uma função de 
probabilidade específi ca que fornece uma probabilidade de ocorrência para cada 
valor que a variável aleatória pode assumir. 
Por outro lado, existe um número maior de distribuições de probabilidade 
contínuas que discretas, sendo que as principais contínuas são: uniforme, 
normal, qui-quadrado, t de Student, Fisher (F), cauchy, gama, beta, exponencial, 
exponencial dupla e weibull. A função densidade de probabilidade é uma função 
que descreve a probabilidade de uma variável aleatória estar em um determinado 
intervalo e implica na probabilidade de uma variável contínua assumir qualquer 
valor em particular é zero. 
Assim, a principal diferença entre as distribuições de probabilidade discretas 
e contínuas é que a discreta fornece, por meio de sua função de probabilidade, 
a probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor específi co, enquanto 
que a contínua, através da função densidade de probabilidade, não produz uma 
80
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
probabilidade diretamente, mas sim, indica a probabilidade da variável aleatória 
assumir qualquer valor em um determinado intervalo. 
Usualmente, as distribuições de probabilidade são apresentadas através de 
gráfi cos que estabelecem, no eixo vertical, a função densidade de probabilidade 
e, no horizontal, os valores que a variável aleatória x pode assumir. Através 
do cálculo da área situada entre a função densidade de probabilidade e o 
eixo correspondente à variável x, emseu plano cartesiano, encontramos a 
probabilidade da variável aleatória estar em um intervalo específi co. Embora as 
mensurações solicitem o conhecimento do cálculo integral, determinada técnica 
não será necessária para os objetivos do capítulo.
A seguir, será apresentada a principal distribuição de probabilidades usada em 
diversas áreas do conhecimento humano, inclusive em fi nanças: a distribuição normal.
• Distribuição normal
Muitos eventos aleatórios apresentam uma distribuição normal de 
probabilidades. A distribuição normal é muito útil de ser estudada porque ela pode 
ser completamente descrita apenas por sua esperança matemática (µ) e por seu 
desvio-padrão (σ) e, devido a isso, torna-se muito fácil obter a probabilidade de 
uma variável aleatória estar em um certo intervalo. Na distribuição normal, 68,3% 
dos resultados prováveis ocorrem entre o intervalo de mais ou menos um desvio-
padrão da média (±1σ ). Considerando dois desvios-padrão com relação à 
media (µ σ± 2 ), tem-se que 95,4% dos resultados estarão cobertos no intervalo, 
enquanto que, para três desvios-padrão, 99,7% dos resultados possíveis 
encontram-se no intervalo µ σ± 3 .
A fi gura a seguir apresenta uma distribuição normal de probabilidades 
que também é usualmente conhecida como gaussiana. Várias características 
relevantes pertencentes deste tipo de distribuição de probabilidades contínua 
devem ser observadas. Primeiro, trata-se de uma distribuição simétrica e que tem 
uma forma que lembra um sino. Afi rmar que uma distribuição é simétrica implica 
em dizer que metade da probabilidade está associada a valores à esquerda do 
seu centro (ponto mais alto que a função densidade atinge, ou seja, sua média) e, 
a outra metade, à direita de sua média.
81
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Figura 8 – Distribuição normal de probabilidades
Fonte: O autor.
Ainda, a média da distribuição pode assumir qualquer valor numérico, ou 
seja, é possível que ela seja positiva, zero ou negativa. Não obstante, embora a 
fi gura anterior não demonstre, as caudas (os extremos) da função densidade de 
probabilidade da normal tendem ao infi nito em ambos lados e, teoricamente, nunca 
encostam no eixo horizontal. Ademais, a curva pode ser mais achatada ou alongada 
que a representação feita pela fi gura anterior, defi nida pela magnitude do desvio-
padrão. Considerando duas curvas normais com uma mesma média, mas desvios-
padrão diferentes, a que apresentar o maior desvio será a mais achatada. Trazendo 
a questão para as taxas de retorno dos ativos, quer dizer que ativos com uma 
mesma média e desvios-padrão diferentes apresentam riscos diferentes, sendo o 
ativo mais arriscado, neste caso, o que apresentar maior desvio-padrão. 
A área sob a função de densidade de probabilidade, defi nida por f (x), 
mensura a probabilidade da variável aleatória. Portanto, para encontrar a 
probabilidade de uma variável aleatória estar contida em um certo intervalo, 
devemos calcular a área correspondente ao intervalo escolhido utilizando a 
função densidade de probabilidade normal. Apesar de que ela não será utilizada 
para calcular as probabilidades neste livro, é relevante apresentar, formalmente, a 
função densidade de probabilidade normal. A função densidade de probabilidade 
normal pode ser expressa da seguinte forma:
f x e
x
( ) =
− −( )







1
2
2
2
2
σ pi
µ
σ
82
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Sendo, de notação nova, o π, que é o número pi (pi ≅ 3,14159 ) e o e, que 
é a função exponencial natural ( e ≅ 2,71828 ). Ainda, por defi nição f x dx( ) =− ∞
∞
∫ 1 
que, em palavras, signifi ca dizer que a área total sob a curva normal é considerada 
como 100%, ou seja, ela equivale à soma das probabilidades de todos os valores 
que a variável aleatória pode assumir. Ainda, quando os parâmetros populacionais 
forem desconhecidos, podemos estimá-los através da esperança matemática e 
do desvio-padrão da seguinte forma: 
De forma comparativa, a fi gura a seguir apresenta uma distribuição normal 
e o histograma da taxa de retorno da carteira de ações de grandes empresas. 
Embora a curva normal seja mais simétrica, mesmo com uma amostra de apenas 
75 observações, percebemos que a frequência relativa dos retornos das grandes 
empresas também se parece com um sino, lembrando o formato da curva normal. 
Ainda, se o número de observações fosse aumentado, tendendo ao infi nito, então 
o teorema do limite central garante que as diferenças entre a forma de ambas 
seriam amenizadas, de modo que a distribuição de probabilidades das taxas de 
retorno convergiria para uma distribuição normal.
 
 
 
µ
σ µ µ
= ( ) = ( )
= −( ) = −( ) ( )
− ∞
∞
− ∞
∞
∫
∫
E x sf x dx
E x x f x dx2 2 2
Figura 9 – Distribuição normal vs histograma ações de grandes empresas
Fonte: O autor.
µ = ( ) = ( )
−∞
∞
∫E x xf x dx
83
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Por fi m, para os propósitos deste livro, basta ter em mente que os retornos 
das opções de investimento são distribuídos, no mínimo, de forma muito próxima 
à distribuição normal. Determinada suposição facilitará muitos cálculos que serão 
realizados adiante. 
c) Risco de um ativo individual e seu retorno esperado
Uma vez que foram expostos o conceito e a forma de cálculo do desvio-
padrão, agora podemos calculá-lo utilizando as séries históricas já conhecidas, 
considerando diferentes opções de investimento. A tabela a seguir demonstra, 
não somente a taxa média de retorno, mas também o desvio-padrão histórico da 
carteira de ações composta por empresas pequenas, do portfólio de ações de 
grandes empresas, dos títulos de longo prazo do governo e das letras do tesouro 
americano, além da infl ação no período (1926-2000).
Tabela 20 – Retornos históricos e desvio-padrão: 1926-2000
Investimentos / Infl ação Retorno médio Desvio-padrão
Ações de Pequenas Empresas 17,3% 33,4%
Ações de Grandes Empresas 13,0% 20,2%
Títulos de longo prazo 5,7% 9,4%
Letras do Tesouro 3,9% 3,2%
Infl ação 3,2% 4,4%
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Ao analisar as estatísticas descritivas das diferentes opções de investimento, 
percebemos a existência de uma relação positiva e direta entre o retorno médio e o 
desvio-padrão dos ativos. Como esperado, na medida em que o retorno aumenta, 
o risco, medido pelo desvio-padrão também aumenta, e a situação refl ete que os 
investidores são avessos ao risco. Ainda, os investidores com menor aversão ao 
risco, no período de 1926-2000, investiram em ações e, por elas apresentarem 
maiores riscos, foram recompensados com retornos maiores. Contudo, esses 
cálculos utilizaram os dados históricos e, neste momento, é necessário começar 
a analisar os retornos e sua variância quando as informações disponíveis se 
referem a retornos futuros e suas probabilidades.
Iniciando pelo caso em que as probabilidades são diferentes e conhecidas, 
considere o exemplo a seguir que é bastante simplifi cado, mas que é útil para o 
entendimento dos cálculos. 
84
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Um especialista realizou uma análise da conjuntura econômica do país e 
atribuiu a existência de três possibilidades em relação à performance da economia 
no curto/médio prazo: recessão, taxa natural de crescimento e aceleração do 
crescimento. Neste caso, há três estados da economia, sendo os únicos cenários 
possíveis. Cada um dos cenários possui uma probabilidade de ocorrer, sendo 
que a recessão é de 25%, a taxa natural de crescimento 50% e a aceleração do 
crescimento em 25%.
Dado que o desempenho da economia pode afetar a rentabilidade dos 
investimentos, a tabela a seguir demonstra como o retorno esperado das opções 
de investimento A e B são afetados pelos estados da economia. Antes mesmo de 
realizar qualquer cálculo,é possível observar que o retorno do ativo B pode ser 
maior se comparado ao ativo A, mas a amplitude de seu retorno (40%-4%=36%) 
é maior, o que implica em maiores riscos. No entanto, devemos calcular o valor 
esperado do retorno médio e do desvio-padrão para tirar conclusões mais robustas.
Tabela 21 – Retornos esperados das opções A e B de investimento
Estados da Economia Probabilidade Retorno - A Retorno - B
Recessão 0,25 15% 04%
Tx. Natural de Crescimento 0,50 20% 23%
Aceleração do Crescimento 0,25 35% 40%
Fonte: O autor.
Iniciando pela taxa de retorno esperada do ativo A e sabendo que há três 
estados possíveis para o futuro da economia, logo n = 3, encontramos:
 
Portanto, o valor esperado do retorno do ativo A é de 22,5%. Da mesma 
forma, podemos calcular o valor esperado do retorno do ativo B, como segue:
 
0,25 0,15 0,25
E k k Pr
E k
A j jj
A
  = ×
  = ∗( ) + ∗
=
∑
1
3
00,35
 0,225
( )
  =E k A
 
0,25 0,
E k k Pr
E k
B j jj
B
  = ×
  = ∗
=
∑
1
3
004 0,50 0,23 0,25 0,40
 
( ) + ∗( ) + ∗( )
E k  =B 0,225
85
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Após os cálculos, os resultados sugerem que os ativos A e B possuem uma 
mesma taxa de retorno esperada, estimada em 22,5%. Então, devemos calcular 
o desvio-padrão para encontrar o risco de cada um dos ativos, visando saber qual 
possui menor risco, lembrando que o desvio-padrão do retorno esperado pode ser 
obtido a partir da seguinte fórmula:
Aplicando para o ativo A:
Para o ativo B:
Logo, o desvio-padrão do ativo B é maior que o do ativo A, o que implica que 
ele apresenta um maior risco. Podemos também calcular uma outra medida de 
variabilidade para determinados ativos, mais especifi camente o coefviciente de 
variação, que pode ser obtido como segue:
Aplicando para o ativo A:
σ k
A
j
j
n
jk E k Pr= −  ( ) ×
=
∑
1
2
σ k
A = −( ) ×  + −( ) ×  + −0,15 0,225 0,25 0,20 0,225 0,50 0,35
2 2
0 2, 225
2( ) × 
=
0,25
 0,001406σ k
A [[ ]+ [ ]+ [ ]0,000313 0,003906
 0,05625
 
σ k
A =
 0,075σ k
A =
σ k
B = −( )  + −( ) ×  + −( )0,04 0,225 0,23 0,225 0,50 0,40 0,225
2 2 2 ××


= [ ]+ [ ]+
0,25
 0,000013 0,σ k
B
0 008556, 0007656
 0,01
[ ]
=σ k
B
66225
 0,127σ k
B = 44
CV
E k
=
 
σ
CV
CV
=
=
0,075
0,225
0,3333
86
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Analisando o ativo B:
Efetuados os cálculos, observamos que o coefi ciente de variação é menor 
para o ativo A e ele apresenta menor risco que o ativo B, resultado que corrobora 
com a análise do desvio-padrão feita anteriormente. Contudo, o coefi ciente de 
variação é mais útil nos casos em que o comparativo é feito entre ativos com 
diferentes rentabilidades e desvios-padrão. Para compreender, acompanhe o 
novo exemplo sintetizado na tabela a seguir.
CV
CV
=
=
0,1274
0,225
0,5662
Tabela 22 – Coefi ciente de variação
Estatísticas Notação Ativo C Ativo D
Taxa de retorno esperada E k  0,10 0,18
Desvio-padrão esperado σ k 0,07 0,09
Coefi ciente de variação CV 0,70 0,50
Fonte: O autor.
Assuma que foram calculados os retornos esperados e desvios-padrão dos 
ativos C e D e os resultados foram apresentados na tabela anterior. Primeiramente, 
o ativo D apresenta uma maior taxa de retorno (18%), porém seu desvio-padrão 
(0,09) também é maior, o que sugere que ele possui maior risco. Entretanto, 
dividindo o desvio-padrão pela taxa de retorno esperada com o objetivo de calcular 
o coefi ciente de variação, percebemos que o coefi ciente de variação do ativo D 
é menor que o do ativo C, o que traz uma aparente dúvida sobre determinar qual 
ativo que possui menor risco. Não há, porém, nenhuma dúvida ou contradição 
nos resultados, uma vez que em comparações de ativos deve-se levar em conta 
a magnitude relativa do retorno, como é feito no coefi ciente de variação e, assim, 
pode-se afi rmar que o ativo D possui um menor risco. 
Supondo agora que as probabilidades sejam desconhecidas e assumindo 
que as distribuições de probabilidade dos investimentos seguem uma distribuição 
normal, podemos utilizar a curva normal para calcular a probabilidade da taxa de 
retorno esperada de um ativo estar em um certo intervalo. Com base na amostra 
histórica retratada na seção anterior, foi possível calcular o valor esperado da 
taxa retorno bem como seu o desvio-padrão considerando a carteira de ações 
de grandes empresas, o portfólio de ações de pequenas empresas, os títulos 
de longo prazo do governo, as letras de tesouro e a infl ação. Os resultados dos 
cálculos serão apresentados na tabela a seguir. 
87
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Tabela 23 – Probabilidades e intervalos
Investimentos / Infl ação E k  σ k Probabilidades Intervalos
Ações de Pequenas Empresas 17,3% 33,4%
68,3% -16,1% a 50,7%
95,4% -49,5% a 81,1%
99,7% -82,9% a 117,5%
Ações de Grandes Empresas 13,0% 20,2%
68,3% -7,2% a 33,2%
95,4% -27,4% a 53,4%
99,7% -47,6% a 73,6%
Títulos de longo prazo 5,7% 9,4%
68,3% -3,7% a 15,1%
95,4% -13,1% a 24,5%
99,7% -22,5% a 33,9%
Letras do Tesouro 3,9% 3,2%
68,3% 0,7% a 7,1%
95,4% -2,5% a 10,3%
99,7% -5,7% a 13,5%
Infl ação 3,2% 4,4%
68,3% -1,2% a 7,6%
95,4% -5,6% a 12,0%
99,7% -10,0% a 16,4%
Sabendo que a distribuição normal tem a propriedade de 68,3%, 95,4% 
99,7% dos resultados possíveis de uma variável aleatória estão, respectivamente, 
entre ±1, ±2 e ±3 desvios-padrão do seu valor esperado foi possível calcular 
os intervalos para os retornos esperados considerando as quatro opções de 
investimento, além da infl ação. Embora seja trivial, um exemplo do cálculo 
realizado para obter determinados intervalos é apresentado. Considerando 95,4% 
de probabilidade e analisando as ações das pequenas empresas, a taxa de 
retorno esperada em um determinado ano estará no seguinte intervalo: [17,3%–
(33,4% x 2)] a [17,3%+(33,4% x 2)].
Fica evidente que, entre as opções avaliadas, aquelas relacionadas com o 
mercado de ações são as mais arriscadas, pois a magnitude dos intervalos para 
a taxa de retorno esperada, em cada nível de confi ança, é maior que a estimada 
para os títulos do governo. Interpretando determinados intervalos para as ações 
de grandes empresas, a probabilidade de que seu retorno, em determinado ano, 
esteja no intervalo entre -7,2% e 33,2%, é de aproximadamente de 2/3. Dito de 
uma outra maneira, existem aproximadamente duas chances em três de que a 
taxa de retorno fi que fora do intervalo. 
88
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Por fi m, os cálculos desta seção consideraram apenas um ativo específi co. 
Entretanto, muitas vezes os investidores utilizam uma carteira de ativos, ou 
seja, eles possuem mais de um ativo simultaneamente. Como se trata de uma 
característica comum no mercado fi nanceiro, a próxima seção demonstra como 
podemos calcular o retorno e o risco de uma carteira.
RISCO E RETORNO DE UMA CARTEIRA DE 
ATIVOS
Um administrador fi nanceiro, em seu dia a dia, não avalia o risco de um ativo 
individual de maneira independentemente das outras opções de investimento 
disponíveis no mercado. Conforme destacou Gitman (2005), muitas vezes criar 
uma carteira de ativos é útil para maximizar o retorno do montante investido dado 
um nível de risco ou, de maneira análoga, para minimizar o risco dado a um 
determinado nível deretorno. Assim, é necessário apresentar como é possível 
medir o retorno e o risco de uma carteira de ativos. Intuitivamente, o cálculo do 
retorno de uma carteira de ativos é uma simples média ponderada dos retornos 
individuais dos ativos que compõem a carteira. 
Existem várias maneiras de realizar a ponderação dentro de uma carteira. 
A mais comum é utilizar o percentual correspondente que cada ativo tem sobre 
o valor total da carteira. Nesse caso, chamamos determinadas porcentagens de 
pesos da carteira, conforme destacaram Ross et al. (2013). Considere uma carteira 
composta pelos ativos A e B na qual foi investido $ 300 e $ 700, respectivamente, 
totalizando o valor da carteira em $ 1000. A ponderação dos ativos da carteira pode 
ser feita utilizando os pesos da carteira denotado por Wj, que são 0,3 (300/1000) 
para o ativo A e 0,7 (700/1000) para o ativo B. Obviamente, Σ j
n
jw= =1 1, ou seja, 
todos os ativos da carteira devem estar incluídos na ponderação, de modo que 
, sendo n o número de ativos da carteira.
 Assim, o retorno esperado da carteira p pode ser calculado utilizando a 
seguinte fórmula:
Sendo:
k p o retorno esperado da carteira p.
wj a proporção do valor total da carteira aplicada no ativo j.
k j é o retorno esperado do ativo j. 
k w kp j j
j
n
= ×
=
∑
1
89
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Para ilustrar como se pode utilizar a fórmula para calcular o retorno esperado 
de uma carteira de ativos, suponha que você recebeu probabilidades para os 
estados futuros da economia. A economia poderá entrar em uma expansão ou em 
uma recessão, além da rentabilidade das ações A, B e C associadas aos estados. 
A tabela a seguir sintetiza determinadas informações. 
Tabela 24 – Retornos das ações e estados
Estado da Economia Probabilidade Ação A Ação B Ação C
Expansão 0,70 13% 16% 25%
Recessão 0,30 8% 6% -5%
Fonte: O autor.
Assuma, ainda, que você investiu 60% do seu dinheiro na Ação C e o 
restante, 40%, foi dividido igualmente entre as Ações A e B. Assim, a questão 
iminente é encontrar o retorno esperado da carteira. No entanto, antes de calculá-
lo, devemos obter individualmente os retornos esperados de cada uma das ações, 
como segue:
 
 
0,7 0,13 0,3 0,08
E k k Pr
E k
A j jj
A
  = ×
  = ∗( ) + ∗(
=
∑
1
2
))
  =
  = ×
=
 0,115
 
E k
E k k Pr
A
B j jj 1
22
∑
  = ∗( ) + ∗( )
  =
E k
E k
B
B
0,7 0,16 0,3 0,06
 0,113
 
0,7 0,25 0,3 0,
E k k Pr
E k
C j jj
C
  = ×
  = ∗( ) + ∗−
=
∑
1
2
005
 0,16
( )
  =E k C
90
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Portanto, as ações A, B e C possuem um retorno esperado de, 
respectivamente, 11,5%, 13% e 16%. Utilizando a fórmula do retorno esperado 
de uma carteira e os valores recentemente calculados dos retornos esperados de 
cada uma das ações, além das ponderações assumidas, encontramos:
Logo, o retorno esperado da carteira é de 14,5%. No entanto, o cálculo do 
desvio-padrão de uma carteira não é uma simples ponderação direta dos desvios-
padrão dos ativos individualmente como foi feito para o retorno esperado da 
carteira. Para encontrar o desvio-padrão de uma carteira, é necessário calcular 
o retorno da carteira, os estados da economia (ks), além do retorno esperado 
da carteira que já foi calculado (kp= 14,5%). A expressão analítica para o cálculo 
do desvio-padrão de uma carteira é praticamente a mesma anteriormente 
apresentada, a diferença é que s é o estado da economia, sendo ela expressa da 
seguinte forma: 
Como não há o retorno da carteira para o período de expansão (e) ou 
recessão (r) da economia, é necessário calculá-los, como segue:
 
0,2 0,115 0,2 0,
k w k
k
p j
j
j
p
= ×
= ∗( ) + ∗
=
∑
1
3
113 0,6 0,16
 0,023 0,026 0,096
 
( ) + ∗( )
= ( ) + ( ) + ( )k p
 0,145k p =
σ k s p s
s
n
p
k k Pr= −( ) ×
=
∑
2
1
 
 0,2 0,13 0,2 0,16
k w k
k
e j j j
e
= ×
= ∗( ) + ∗
=Σ 1
3
(( ) + ∗( )
= ×
= ∗
=
0,6 0,25
 
0,2 0,
k w k
k
e j j j
e
Σ
1
3
008 0,2 0,06 0,6 0,05
 0
( ) + ∗( ) + ∗−( )
= −k r ,,002
91
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Assim, o desvio-padrão da carteira é de:
Logo, o desvio-padrão da carteira é de 9%. 
Infelizmente, mesmo calculando o retorno esperado de um ativo ou de uma 
carteira, não há garantias de que o retorno esperado será igual ao retorno real. A 
próxima seção abordará justamente o porquê de determinados desvios acontecerem. 
 
0,208 0,145
σ
σ
kp s p s
s
n
kp
k k Pr= −( ) ×
= −
=
∑
2
1
(( ) ×  + − −( ) × 
2 2
0,7 0,002 0,145 0,3
 0,0028 0,0065
 
σ kp = [ ]+ [ ]
 0,009
 0,09
σ
σ
kp
kp
=
=
MODELO DE FORMAÇÃO DE PREÇOS DE 
ATIVOS (CAPM)
De modo geral, o retorno real (efetivo) de qualquer ação comercializada nos 
mercados é constituído por duas partes: o retorno esperado e o inesperado. De 
acordo com Ross et al. (2013), o retorno esperado, que também é chamado de 
normal, é aquele que o mercado prevê e que é baseado nas informações que 
os acionistas têm sobre a ação e na compreensão do atual mercado acerca dos 
fatores que condicionarão a ação no futuro. Por outro lado, o retorno inesperado 
é o componente incerto que surge após a expectativa de retorno ter sido criada. 
Determinada parte arriscada deriva de várias fontes, tais como: pelo governo, ao 
divulgar dados surpreendentes sobre a economia (PIB, taxa de juros, câmbio), por 
novas regulamentações sobre o setor que a empresa atua, pelo desenvolvimento 
e pela divulgação de novas tecnologias, entre tantos outros determinantes.
Expressando matematicamente, o retorno real é dado por:
R E k I=   +
92
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Sendo: R é o retorno real, E k  é o retorno esperado e I é o retorno 
inesperado. Assim, o retorno real será diferente do esperado sempre que o retorno 
inesperado for diferente de zero, explicando, assim, porque existe a diferença 
entre o retorno real e esperado. Observe que, se o retorno esperado é maior do 
que o retorno real, então o retorno inesperado é negativo. De maneira análoga, 
o retorno real é maior que o retorno esperado quando o retorno inesperado for 
positivo. Entretanto, na média, o retorno inesperado é zero, fazendo com que o 
retorno real seja igual ao retorno esperado, na média.
Aprofundando a análise do retorno inesperado, percebemos que ele está 
associado à divulgação de uma nova informação que infl uenciará o retorno da 
ação através de uma notícia ou de um anúncio. Entretanto, não é qualquer tipo 
de informação que terá impacto sobre a ação e, para compreender, é necessário 
saber que qualquer anúncio/notícia possui dois componentes: a parte prevista e a 
parte surpresa, sendo que apenas um deles afeta o retorno. 
O elemento previsto é aquela informação que o mercado já utilizou para 
estimar a expectativa de retorno da ação porque se considera que o mercado de 
capitais é efi ciente. Diferentemente, a parte surpresa não havia sido prevista e, 
assim, ela impacta diretamente no retorno inesperado da ação. Por exemplo: se 
havia uma previsão de crescimento do PIB de 8% e a divulgação do resultado, 
através de uma notícia, confi rmou o crescimento, então não há impacto sobre o 
preço da ação, pois o mercado já havia “precifi cado” o anúncio. No entanto, se a 
divulgação apresentasse um crescimentode 4% do PIB, então a notícia realmente 
seria uma novidade, impactando no retorno inesperado. 
Um mercado de capitais efi ciente é um mercado em que seus preços 
correntes refl etem totalmente as informações disponíveis. Ainda, nos mercados 
efi cientes os preços se ajustam imediatamente à divulgação ou ao anúncio de 
novas informações, fazendo com que o Valor Presente Líquido (VPL) de todos os 
investimentos disponíveis seja igual a zero.
Assim, o determinante do risco de um ativo se encontra em seu retorno 
inesperado, que, por sua vez, é resultante do surgimento de surpresas no 
mercado. As surpresas são classifi cadas em dois tipos: risco sistemático e não 
sistemático. De acordo com Ross et al. (2013), o risco sistemático, também 
chamado de risco não diversifi cável ou risco de mercado, é o risco relacionado 
a fatores de mercado que impactam em um grande número de ativos, sendo em 
cada um deles de maneira distinta. Já o risco não sistemático, também conhecido 
por risco diversifi cável, está associado a causas aleatórias que infl uenciam, no 
máximo, um número pequeno de ativos. 
93
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Alguns exemplos de riscos podem ser apresentados para fi car mais evidente 
a diferença entre ambos. Para o risco sistemático, guerras, PIB, taxa de juros, 
incidentes internacionais e ações governamentais são alguns exemplos. Greves, 
ações judiciais, decisões de agências reguladoras e perda de um cliente relevante 
são situações relacionadas ao risco não sistemático. 
Agora que se sabe que o retorno inesperado é determinado pela surpresa 
de mercado e determinada surpresa possui uma parte sistemática (m) e não 
sistemática (e), a fórmula do retorno real pode ser alternativamente expressa como:
Ao separar a surpresa em seus dois componentes, fi cou fácil de identifi car 
que o risco não sistemático (e) é, de certa forma, exclusivo a uma empresa, 
logo, o retorno da maioria dos outros ativos do mercado não são afetados pelo 
risco. Signifi ca que apenas o risco não sistemático pode ser mitigado através do 
processo de diversifi cação da carteira de ativos.
Gitman (2005) utilizou um gráfi co para auxiliar a compreensão dos riscos 
diversifi cável e não diversifi cável. A abordagem do autor também foi utilizada neste 
livro e pode ser observada na Figura 6. Nela, é possível observar o que acontece 
com o risco de uma carteira na medida em que são adicionados, aleatoriamente 
da população, novos ativos. Assim, um gráfi co é construído, no qual o eixo vertical 
mensura o risco total da carteira através do desvio-padrão do retorno, e o eixo 
horizontal apresenta o número de ativos da carteira. 
Observe que, na medida em que se adicionam novos artigos na carteira, 
o risco vai diminuindo somente até um determinado ponto, após, o risco não 
se reduz mais. Assim, conclui-se que parte do risco associado aos ativos 
individuais pode ser eliminado pela formação de uma carteira, entretanto a parte 
complementar não pode ser eliminada. A estratégia de distribuir um montante em 
vários artigos, estabelecendo uma carteira, é chamado de diversifi cação, sendo 
que a diversifi cação é capaz de eliminar do risco.
Através do gráfi co, a diversifi cação elimina a área entre a curva e a reta. 
Assim, dado um número de ativos na carteira, a distância entre o risco (desvio) 
estabelecido pela curva e o determinado pela reta, mensura o risco diversifi cável 
(não sistemático). Por outro lado, a distância entre o eixo vertical e a reta 
estabelece o risco não diversifi cável (sistemático). O risco não diversifi cável, por 
defi nição, afeta todos artigos e, assim, não pode ser eliminado pela diversifi cação, 
independentemente de quantos ativos forem adicionados na carteira. 
R E k m e=   + +
94
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Figura 10 – Diversifi cação e risco de uma carteira
Fonte: Adaptado de Ross et al. (2002).
Resumidamente, conclui-se que o risco total de um investimento, mensurado 
pelo desvio-padrão de sua taxa de retorno, pode ser dividido como segue:
Risco total = Risco sistemático + Risco não sistemático
Visto que o risco não sistemático pode ser praticamente todo eliminado pela 
diversifi cação, devemos concentrar os esforços para entender melhor o risco 
sistemático e saber como mensurá-lo. 
O princípio do risco sistemático estabelece que a taxa de retorno esperada 
de um ativo com risco está condicionada apenas ao risco sistemático do ativo. 
A lógica da afi rmação é porque o risco não sistemático pode ser eliminado sem 
custos, não havendo uma contrapartida fi nanceira por assumir o risco. Conforme 
salientam Ross et al. (2013), os riscos desnecessários, como o risco não 
sistemático, não são premiados pelo mercado.
95
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Usualmente, o coefi ciente beta (βj) é o método utilizado para medir o risco 
sistemático de diferentes ativos. O coefi ciente beta avalia o quanto de risco 
sistemático um ativo com risco tem em relação a um ativo com risco médio. O 
ativo com risco médio, por defi nição, é aquele que apresenta um beta no valor 
de 1. Assim, ativos com beta igual a 0,25 tem um quarto do risco sistemático de 
um ativo médio, enquanto que um ativo com beta igual a 4 tem quatro vezes mais 
risco que o ativo médio.
 
O coefi ciente beta pode ser mensurado empiricamente através de diferentes 
métodos e modelos, o mais usual é através de um modelo de regressão. Assim, 
será necessário coletar os dados históricos dos retornos do ativo em análise e 
os dados do retorno histórico do mercado que estão amplamente disponíveis 
na internet para obter uma amostra. Após a coleta, podemos construir uma 
regressão e estimar o coefi ciente beta. Infelizmente, o processo, além de requerer 
um conhecimento mais avançado de estatística, vai além dos objetivos deste 
livro, entretanto, uma breve síntese de como é estimado o coefi ciente beta será 
apresentada. 
Um modelo de regressão padrão, para a estimação do coefi ciente beta, utiliza 
o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) e pode ser representado 
da seguinte forma:
Sendo:
kj o retorno do ativo j.
km o retorno exigido da carteira de mercado na qual utiliza-se o Standard & 
Poor’s 500 Stock Composite Index como variável proxy.
ej o termo de erro aleatório que refl ete o risco diversifi cável ou não sistemático 
do ativo j, sendo e Nj ~ ,0
2σ( ) .
αj e βj os coefi cientes de interesse, sendo o primeiro o coefi ciente linear 
(intercepto) e, o segundo, o coefi ciente angular. 
Tendo uma ideia de como podem ser obtidos, o mais importante é saber 
interpretar e representar em um gráfi co os betas, além de conhecer como aplicá-
los a carteiras. A tabela a seguir, retirada de Ross et al. (2013), demonstra alguns 
k k ej j j m j= + +α β
β
σj
j m
m
Cov k k
=
( ),
2
96
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
coefi cientes beta estimados para ações de um grupo de empresas americanas. 
De modo geral, os betas são positivos e estão no intervalo entre 0,5 e 2,0, embora 
eles possam estar fora do intervalo e até mesmo assumir números negativos. O 
beta das ações do Google é de 2,6, demonstrando que a ação tende a apresentar 
uma variação de 2,6% em seu retorno para cada ponto percentual de variação do 
retorno da carteira de mercado. Vale destacar que os valores apresentados na 
tabela a seguir não são uma verdade absoluta, pois eles dependem do método de 
estimação, da periodicidade e da frequência dos dados utilizados. Quer dizer que, 
conforme as escolhas do analista, ele poderá encontrar um valor muito diferente 
daqueles contidos na tabela para as mesmas empresas. 
Tabela 8 – Coefi cientes beta de algumas ações de empresas americanas
Ações Coefi ciente beta (βj)
The Gap 0,48
Coca-Cola 0,52
3M 0,64
ExxonMobil 1,14
Abercrombie & Fitch 1,28
eBay 2,13
Google 2,60
Fonte: Ross et al.(2013).
A fi gura a seguir demonstra a relação entre o retorno do ativo e o retorno 
de mercado para os ativos S e R. O eixo vertical mensura o retorno do ativo e o 
horizontal mede o retorno de mercado. Os pontos representam os pares, retorno 
do ativo e retorno de mercado para cada ano do período de 1996 a 2003, do ativo 
S. Não foram marcados os pontos para o ativo R, pois ele foi inserido na análise 
como base de comparação. A linha do Ativo S explica a relação entre retorno do 
ativo e de mercado, e ela pode ser estimada justamente pelo modelo de regressão 
supracitado. Ademais, o coefi ciente (βj) estimado pela regressão mede justamente 
a inclinação da reta. No caso do ativo S, a inclinação (coefi ciente beta) da curva é 
de 1,3, enquanto que para o ativo R a inclinação da curva é de 0,8. Comparando, 
percebemos que o coefi ciente beta do ativo S é mais alto ou, em outras palavras, 
ele possui uma curva mais inclinada, indicando que seu retorno é mais sensível a 
variações dos retornos de mercado. Logo, podemos afi rmar que o ativo R possui 
um menor risco que o ativo S.
97
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Figura 11 – Representação gráfi ca do coefi ciente beta
Fonte: Gitman (2005).
Dispondo dos coefi cientes betas que o compõem, é muito fácil obter o 
coefi ciente beta de uma carteira de ativos. Novamente, a intuição do cálculo é 
ponderar os pesos que cada ativo tem sobre a carteira e multiplicar por seus re-
spectivos betas. O somatório das multiplicações será o beta da carteira. A fórmula 
para encontrar o coefi ciente beta da carteira p é representada por:
Sendo:
βp o coefi ciente beta da carteira p.
wj a proporção do valor total da carteira aplicada no ativo j.
βj o beta do ativo j.
β βp j j
j
n
w= ×
=
∑
1
98
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
Para ilustrar, suponha que tenha uma carteira composta pelas ações das 
empresas The Gap, Coca-Cola, 3M, eBay e Google e que a proporção do valor 
total da carteira aplicada em cada um dos ativos é a mesma. Utilizando os coefi ci-
entes betas apresentados na tabela anterior, é possível obter o coefi ciente beta da 
carteira da seguinte forma:
O beta de uma carteira pode ser interpretado da mesma maneira que um 
ativo individual, ou seja, eles indicam a sensibilidade do retorno da carteira frente a 
variações do retorno da carteira de mercado. Para o beta obtido anteriormente (βp 
= 1,274), quando o retorno de mercado diminui 10%, o retorno da carteira reduz em 
12,74%. Obviamente, uma carteira com um percentual alto de coefi cientes betas 
maiores que 1 tenderá a ter um beta elevado.
A utilidade do coefi ciente beta já fi cou evidente, no entanto, ele ainda será 
útil para estudar uma teoria básica que é amplamente aceita na administração fi -
nanceira. Trata-se do modelo de formação de preços de ativos (Capital Asset Pric-
ing Model - CAPM), o qual associa o risco sistemático ao retorno de todos ativos. 
O modelo CAPM visa a encontrar o retorno esperado de um ativo e ele pode ser 
representado da seguinte forma:
Sendo:
E k j  o retorno esperado do ativo j.
RF a taxa de retorno livre de risco que, frequentemente, utiliza uma Letra 
do Tesouro dos Estados Unidos como variável proxy.
βj o coefi ciente beta.
E km[ ] o retorno de mercado esperado.
 β β
β
p j j
j
p
w= ×
=
=
∑
1
5
00,2 0,48 0,2 0,52 0,2 0,64 0,2 2,13 0,2 2,60
 
×( ) + ×( ) + ×( ) + ×( ) + ×( )
 0,096 0,104 0,128 0,426 0,520
 
βP = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )
 1,274β p =
E k R E k Rj F j m F  = + × [ ]−( ){ }β
99
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Um olhar mais atento à equação do modelo CAPM sugere duas coisas:
• A taxa de retorno livre de risco (RF) é o valor do dinheiro no tempo, ou 
seja, é a taxa de juros livre de risco.
• O prêmio pelo risco de mercado, dado por ( E k Rm F[ ]− ), representa o 
prêmio que o investidor deve receber por assumir um risco sistemático 
médio associado a ter a propriedade da carteira.
Ainda, o modelo CAPM pode ser utilizado em ativos individuais e em 
carteiras de ativos. Não obstante, no modelo CAPM quanto maior for o beta ceteris 
paribus, maior será o retorno exigido. 
Como exemplo, suponha que você deseja descobrir o retorno esperado 
exigido da ação H. Considere que você sabe que o coefi ciente beta associado à 
ação H é de 1,8, que a taxa de juros livre de risco é de 10% e que o retorno da 
carteira de mercado é de 12%. Logo, RF = 10% e E km[ ] =12% . Aplicando os valores 
no modelo CAPM, obtemos:
Com o desenvolvimento do cálculo foram encontrados vários valores inter-
essantes. Um deles é que o prêmio de mercado é de 2% ( E k Rm F[ ]− ). Quando ele 
for ajustado pelo indicador de risco do ativo, β j m FE k R× [ ]−( ){ } , obtemos o prêmio 
de risco do ativo que é de 3,6%. Somando o prêmio de risco com a taxa de juros 
livre de risco, encontramos o retorno exigido para ação H, que é de 13,6%.
E k R E k R
E k
j F j m F
j
  = + × [ ]−( ){ }
  = + × −( ) 
β
 1,8
 
10 12 10
 1,8
 3,6
 
E k
E k
j
j
  = + ×( ) 
  = +[ ]
10 2
10
 13,6E k j  =
100
 AVALIAÇÃO DO TEMPO E RISCO
LINHA DE MERCADO DE TÍTULOS (SML)
A linha de mercado de títulos (SML) nada mais é que a representação 
gráfi ca do modelo CAPM. A SML, como será visto, é uma linha reta que refl ete o 
retorno exigido no mercado para diferentes níveis de risco sistemático (coefi ciente 
beta). Em seu gráfi co, o eixo vertical mede o retorno esperado exigido e, o eixo 
horizontal, o risco sistemático. A fi gura a seguir demonstra a linha de mercado de 
títulos para o exemplo mais recente, aquele que analisou a ação H. 
Na fi gura a seguir foi destacado o tamanho do prêmio de risco de mercado, 
que é de 2,0% (12,0 – 10,0), além da magnitude do prêmio de risco do ativo H, 
que é de 3,6% (13,6 -10,0). Determinados valores já haviam sido calculados 
anteriormente, mas o importante agora é visualizá-los no gráfi co. Não obstante, 
a inclinação da reta SML, assim como qualquer outra reta, é dada pelo seu 
coefi ciente angular. Para o caso da reta SML, a sua inclinação pode ser encontrada 
através da razão entre o prêmio e o risco.
Figura 12 – Linha de mercado de títulos (SML)
Fonte: O autor.
101
RISCO E RETORNO Capítulo 2 
Formalmente, a inclinação da reta SML é dada por:
Aplicando os valores na fórmula, encontramos:
Portanto, a inclinação da reta SML é igual a 2. Em outras palavras, a ação 
H tem uma recompensa de 2% por cada “unidade” de risco não diversifi cável. 
Vale destacar também que a reta SML pode ser traçada utilizando poucas 
informações. Primeiro, podemos marcar o coefi ciente linear dela, que é o local 
onde a reta cruza o eixo vertical. Para a reta SML, o coefi ciente linear é a taxa 
de juros livre de risco (RF) que, para a ação H, é de 10%. Após, podemos marcar 
o ponto referente à coordenada que representa o prêmio de risco de mercado, 
sendo (12 e 1), em que o primeiro elemento da coordenada é o retorno exigido e 
o segundo o coefi ciente beta. Por defi nição, o prêmio de risco de mercado sempre 
é igual a 1. Assim, ele não foi informado nem calculado. As duas marcações já 
são sufi cientes para traçar a reta SML, entretanto, pode-se demarcar ainda a 
coordenada que representa o prêmio por risco da ação H, dada por (13,6 e 1,8), 
desejando visualizar no gráfi co o prêmio por risco da ação H.
No entanto, a reta SML não é estática. Ela pode sofrer deslocamentos com 
o passar do tempo, em decorrência de mudanças nas expectativas infl acionárias 
ou no grau de aversão ao risco dos investidores, por exemplo. Determinadas 
mudanças podem deslocar paralelamente a curva