Lista 4

Prévia do material em texto

4ª Lista de Exercícios - Cálculo III 
 
1) Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique 
sua resposta: 
 
 
 
2) Prove que se for contínua em e se , 
então existirá tal que para todo tal 
que ‖ ‖ . 
3) Seja aberto, uma função contínua e seja 
um real dado. Prove que o conjunto abaixo é aberto: 
 
 
 
4) Determine as derivadas parciais: 
 
 
5) Considere a função 
 
 
 
 
 
Prove que: 
 
 
 
 
 
 
 
6) Determine uma função tal que: 
 
 
7) Seja e seja ( ) uma 
curva cuja imagem está contida no gráfico de . 
 
 
 
9) Prove que as funções abaixo são diferenciáveis: 
 
10) As funções abaixo são diferenciáveis em (0,0)? Justifique 
sua resposta. 
 
 
11) Determine o conjunto de pontos no qual as funções abaixo 
são diferenciáveis. Justifique: 
 
12) Determine as equações do plano tangente e da reta 
normal ao gráfico da função dada, no ponto dado: 
 
13) Determine o plano que passa pelos pontos e 
 e que seja tangente ao gráfico de . 
14) Determine os planos tangentes ao gráfico de 
 que contenham o eixo x. 
15) Calcule aproximadamente por meio de 
diferenciais. 
16) Seja e seja 
 uma curva diferenciável cuja imagem 
está contida na superfície de nível . Seja 
 . Prove que 
 . 
Interprete geometricamente. 
17) Calcule sendo igual a: 
 
Todas as funções, nos exercícios a seguir, são consideradas 
de classe ou diferenciáveis, quando necessário. 
18) Seja 
 
19) Admita que, para todo 
 
20) Seja uma função definida implicitamente por 
uma equação. Em cada caso, calcule as derivadas parciais de 
primeira ordem de . 
 
21) Sejam e 
 
. Calcule o determinante 
jacobiano: 
 
 
 
 
22) Suponha que as funções diferenciáveis e 
 sejam dadas implicitamente pelo sistema: