Fenomeno de Transporte.AULA5

Prévia do material em texto

Fenômenos de Transporte I 
 
 
Aula 05 
Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez 
1 
5. Equações básicas na forma integral para um 
volume de controle. 
5.1- Leis básicas para um sistema 
As leis básicas para um sistema são brevemente resumidas a seguir. 
Conservação de Massa 
Como um sistema é, por definição, uma porção arbitrária de 
matéria de identidade fixa, ele é constituído da mesma quantidade 
de matéria em todos os instantes. A conservação de massa exige que 
a massa, M, do sistema seja constante. Numa base de taxa, temos: 
 0 
dt
dM
 
sistema



( 1 ) 
 ρdV dm M 
M(sistema) V(sistema)
sistema  ( 2 ) 
onde 
2 
 
dt
Pd
 F 
sistema






( 3 ) 
A Segunda Lei de Newton 
Para um sistema movendo-se em relação a um eixo referencial fixo, a 
segunda lei de Newton estabelece que a soma de todas as forças 
agindo sobre o sistema é igual à taxa de variação da quantidade de 
movimento linear do sistema. 
onde a quantidade de movimento linear do sistema é dada por: 
 ρdV v dmv P 
M(sistema) V(sistema)
sistema  

( 4 ) 
3 
O Princípio da Quantidade de Movimento Angular 
O princípio da quantidade de movimento angular (ou do momento 
da quantidade de movimento) para um sistema estabelece que a taxa 
de variação da quantidade de movimento angular é igual à soma de 
todos os torques atuando sobre o sistema. 
 
dt
Hd
 T 
sistema






( 5 ) 
onde a quantidade de movimento angular do sistema é dada por: 
 ρdV vr dmvr H 
M(sistema) V(sistema)
sistema   

( 6 ) 
4 
A Primeira Lei da Termodinâmica 
A primeira lei da termodinâmica é um enunciado da conservação da 
energia para um sistema. 
W Q dE  
 W Q 
dt
dE
 
..
Sistema



 ρdV dm E 
M(sistema) V(sistema)
sistema   ee( 9 ) 
( 8 ) 
( 7 ) 
Esta equação pode ser escrita na forma de taxa como 
onde a energia total do sistema é dada por: 
e 
 gz 
2
v
 u 
2
e ( 10 ) 
5 
6 
Sistema 
Q ( + ) 
Q ( - ) 
W ( - ) 
W ( + ) 
Fronteira do sistema 
A Segunda Lei da Termodinâmica 
Se uma quantidade de calor, Q , for transferida para um sistema à 
temperatura T, a segunda lei da termodinâmica estabelece que a 
variação da entropia, dS, do sistema satisfaz a relação: 
 
T
Q
 dS 

 ( 11 ) 
 Q
T
1
 
dt
dS
 
.
sistema



( 12 ) 
Em uma base de taxa, podemos escrever 
onde a entropia do sistema é dada por: 
 ρdV s sdm S 
M(sistema) V(sistema)
sistema  ( 13 ) 
7 
5.2- Relação entre as derivadas do sistema e a formulação 
para volume de controle. 
Normalmente quando estudamos escoamento de fluidos é 
conveniente fixar uma certa região do espaço e analisar o que 
acontece no interior desta região com o tempo. 
Esta região fixa recebe o nome de volume de controle (VC) e é 
baseado no método de Euler , ou seja, em vez de acompanhar 
as partículas, analisamos seu comportamento numa região 
fixa no espaço. O método tradicional de estudo é a base do 
método de Lagrange. 
8 
Como estabelecer as equações para o volume de controle? 
Antes de responder especificamente esta questão, podemos 
descrever a dedução em termos gerais. 
Considere um VC fixo no espaço em relação ao sistema de 
coordenadas x, y e z. Vamos imaginar que selecionamos uma 
porção arbitrária de um fluido em escoamento em algum 
instante t = t0, conforme mostrado na Figura 1a. Em t0, as 
fronteiras do sistema e do VC coincidem. 
9 
Figura 1a 
Após um tempo infinitesimal t, o sistema terá se 
movimentado para um novo local, conforme mostrado na 
Figura 1b. Em t = t0 + t, o sistema ocupa as regiões II e III. O 
sistema desloca-se com relação ao VC após um t. 
10 
Figura 1b 
A fim de desenvolver a formulação para volume de controle de 
cada lei básica, partindo da formulação para o sistema, 
usaremos o símbolo N para designar qualquer propriedade 
extensiva deste (N = M, 𝐏 , 𝐇 , E, S). A correspondente 
propriedade intensiva será designada por . 
 
m
N
  ( 14 ) 
 e (energia), E N 
s , (entropia) S N 
 vr , angular) movimento de e(quantidad H N 
v , linear) movimento de e(quantidad P N 
 1 , (massa) M N 












onde: 
11 
ETA (  ) 
 
     N N N N N N 
N N 
t tIIIIVCt tIIIIIt ts
tVCts
000
00



Observando a Figura 1a e 1b, notamos que o sistema, que estava 
inteiramente dentro do volume de controle no instante t0, está 
parcialmente fora do volume de controle no instante t0 + t. 
As regiões I e II, juntas, formam o volume de controle, e a região III 
que, junto com a região II, delimita o sistema no instante t0 + t. 
Assim: 
12 
 
 
t
N N
lim 
dt
dN
 00
tst ts
0 t 
sistema 



 

( 15 ) 
Da definição de derivada, a taxa de variação do Nsistema é dado por: 
Substituindo na definição de derivada do sistema, obtemos: 
  
t
N N N N
lim 
dt
dN
00 tVCt tIIIIVC
0 t 
sistema 



 

   
 
t
N
lim 
t
N
lim 
t
N N
lim 
dt
dN
 
3
t tI
0 t 
2
t tIII
0 t 
1
tVCt tVC
0 t 
s
0000
   







 





( 16 ) 
13 
O termo (1) na equação 16 é simplificado para: 
 
 ρdV
t
 
t
N
 
t
N N
lim 
VC
VCtVCt tVC
0 t 
00 










( 17 ) 
Para avaliar o termo (2), primeiro será desenvolvido uma expressão 
para NIII)to + t examinando a sub-região (3) da região III. 
Para essa sub-região, temos: 
   ρdV N 
t tt tIII 00 
 ( 18 ) 
14 
O volume do cilindro na sub-região III é dado por: 
t A.dv Ad. dAcos dV 



 ( 19 ) 
Portanto, para a sub-região III, podemos escrever: 
( 20 ) 
Deste modo, podemos integrar sobre toda região III, e obter, para o 
termo (2) na equação 16, 
 t A.dvρ dN 
t tIII 0





 A.dvρ 
t
tA.dvρ
lim 
t
dN
lim 
t
N
lim 
III
IIIIII
0
0
SC
SC
0 t 
SC
t tIII
0 t 
t tIII
0 t 







 








( 21 ) 
15 
Podemos desenvolver uma análise similar para a sub-região (1) da 
região I, e obter, para o termo (3) da equação 16. 

 A.dvρ 
t
N
lim 
I
0
SC
t tI
0 t 



( 22 ) 
O produto escalar da equação 22 será negativo, requerendo um 
sinal negativo para produzir um resultado positivo. 
 
Finalmente, podemos usar as equações 17, 21 e 22 para obter: 
 A.dvρ A.dvρ ρdV
t
 
dt
dN
 
IIII SCSCVC
s
 



  
( 23 ) 
16 
As duas últimas integrais podem ser combinadas porque SCI e 
SCIII constituem a superfície de controle inteira, 
 A.dvρ ρdV
t
 
dt
dN
 
SCVC
s
 



 
( 24 ) 
A equação 24 é a relação fundamental entre a taxa de 
variação de qualquer propriedade extensiva arbitrária, N, de 
um sistema e as variações dessa propriedade associadas com 
um volume de controle. Alguns autores referem-se a equação 
24 como o Teorema de Transporte de Reynolds. 
17 
 ρdV dmN 
M(sistema) V(sistema)
sistema   ( 25 ) onde 
18 
Interpretação Física 
.Ad área da através N extensiva epropriedad da fluxo de taxaa é A.dvρ
 tempo;de unidadepor Ad área de elemento do através massa de fluxo de taxaa é A.dvρ
controle; de superfície da através N extensiva epropriedad da fluxo de líquida taxaa é A.dvρ
controle; de volumedo dentro contida N extensiva epropriedad da totalquantidade a é ρdV
controle; de volumeno contido massa de elemento um é ρdV
massa; de unidadepor N, a entecorrespond intensiva epropriedad a é 
controle; de volume
do dentro arbitrária extensiva epropriedad da tempoo com variaçãode taxaa é ρdV
t
sistema; do N arbritária extensiva epropriedadqualquer de variaçãode taxaa é 
dt
dN
SC
VC
VC
s















19 
d𝐀 
𝐯 
 𝐯.d𝐀 = vdAcos 
SC 
d𝐀 𝐯 
SC 
𝐯.d𝐀 = +vdA 
 = 00 
𝐯 
𝐯.d𝐀 = -vdA 
 = 1800 
SC 
d𝐀 
Avaliação do produto escalar 𝐯.d𝑨 
20 
5.2- Conservação de Massa 
O primeiro princípio físico ao qual aplicamos a relação entre as 
formulações de sistema e de volume de controle é o princípio de 
conservação da massa: “A massa do sistema permanece constante” 
 0 
dt
dM
 
sistema



onde 
 ρdV dm M 
M(sistema) V(sistema)
sistema  
( 1 ) 
( 2 ) 
21 
 A.dvρ ρdV
t
 
dt
dN
 
SCVC
s
 



 
As formulações de sistema e de volume de controle são 
relacionados pela equação 24. 
onde 
 ρdV dm N 
M(sistema) V(sistema)
sistema   
( 24 ) 
( 25 ) 
22 
Para deduzir a formulação de volume de controle da conservação 
de massa, fazemos 
 1 , M N  
Com essa substituição na equação 24, obtemos 
 A.dvρ ρdV
t
 
dt
dM
 
SCVC
s
 



 
( 26 ) 
Comparando a equação 26 com a 1, obtemos 
 
 
 
 
 
que é a equação da conservação de massa para um volume de 
controle. Esta equação é conhecida também como equação da 
continuidade. 
 0 A.dvρ ρdV
t
 
SCVC





( 27 ) 
23 
Casos especiais 
Em casos especiais, é possível simplificar a equação 27. 
Fluidos incompressíveis ( = cte): 
 
 
 
 
Regime permanente e fluido incompressível: 
 
 
 
 
Regime permanente e fluido compressível: 
 
 
 
 
 0 A.dv dV
t
 
SCVC





( 28 ) 
 0 A.dv 
SC


( 29 ) 
 0 A.dv 
SC


( 30 ) 
24 
Exemplo 01: Considere o escoamento permanente de água em uma 
junção de tubos mostrado na figura. As áreas das seções são: A1 = 
0,2 m2 , A2 = 0,2 m
2 e A3 = 0,15 m
2. O fluido também vaza para fora 
do tubo através de um orifício em 4, com uma vazão volumétrica 
estimada em 0,1 m3/s. As velocidades médias nas seções 1 e 3 são v1 = 
5m/s e v3 = 12m/s, respectivamente. Determine a velocidade do 
escoamento na seção 2. 
25 
Solução: 
Considerações: 
1- Escoamento permanente (dado), 
2- Escoamento incompressível, 
3- Propriedades uniformes em cada seção. 
A equação geral para um volume de controle é a equação 26, 
porém podemos escrever imediatamente a equação 28 por causa 
da consideração 1 e 2. 
 
 
 
 
Assim, temos: 
 
 
 
onde Q4 é a vazão em volume do vazamento para fora. 
 0 A.dv 
SC


 0 Q A.v A.v A.v 
4332211

 ( 1 ) 
( 29 ) 
26 
Vamos examinar os três primeiros termos na equação 1 e os sentidos 
dos vetores velocidades e áreas: 
27 
Usando estes resultados na equação 1, temos: 
     
2
322
2
2
43311
2
4332211
0,2m
/sm1,0 0,15m12m/s 0,2m5m/s
 v
A
Q Av Av
 v
0 Q Av A v Av





 m/s5,4 v
2

Lembre-se de que v2 representa o módulo da velocidade, que 
assumimos supostamente apontar para fora do volume de controle. 
O fato de v2 ter sinal negativo significa que, na verdade, temos uma 
entrada de escoamento na seção 2, portanto a nossa hipótese não era 
correta. 
28 
Exemplo 02: A Figura mostra o desenvolvimento de um escoamento 
laminar de água num tubo reto (raio R). O perfil de velocidade na 
seção 1 é uniforme com velocidade U paralela ao eixo do tubo. O 
perfil de velocidade na seção 2 é assimétrico, parabólico, com 
velocidade nula na parede do tubo e velocidade máxima, vmáx , na 
linha de centro do tubo. Qual é a relação que existe entre U e vmáx? 
Qual é a relação que existe entre a velocidade média na seção 2 e a 
velocidade máxima? 
29 
Solução: 
Considerações: 
1- Escoamento permanente, 
2- Escoamento incompressível, 
3- As propriedades não são uniformes em cada seção. 
A equação geral para um volume de controle é a equação 26, porém 
podemos escrever imediatamente a equação 28 por causa da 
consideração 1 e 2. 
 0 A.dv 
SC


 
R
r
 1 v v
2
2
máx 






30 
R
0
2
42
máx
2
R
0
2
2
máx
2
R
0
2
A
21
A
2211
4R
r
 
2
r
2v UR
rdr
R
r
 12v UR
rdr πv2 R πU
0 vdA UA
0 A.dv A.v 
2
2






















 2U vmáx 


































2
42
2
máx
m
R
0
2
42
2
máx
m
R
0
2
2
2
máx
m
R
0
2
2
máx2m
A
m
4R
R
 
2
R
R
2v
 v
4R
r
 
2
r
R
2v
 v
rdr
R
r
 1
R
2v
 v
rdr π2
R
r
 1v
Rπ
1
 v
vdA 
A
1
 v
 
2
v
 v máxm 
31 
Exemplo 03: Um óleo incompressível é despejado com uma vazão Q 
constante em um reservatório cilíndrico de diâmetro D. O óleo vaza através 
de um orifício de diâmetro d, localizado na base do reservatório, com uma 
velocidade de saída dada por v = (2gh)1/2 , em que h é o nível do óleo, 
conforme é mostrado na Figura. Considerando que o jato de óleo possui 
diâmetro d no orifício de saída, determine: 
a) A equação diferencial que descreve a evolução, com o tempo, do nível h 
de óleo supondo um nível inicial qualquer; 
b) O nível máximo, hmáx , de óleo no reservatório a partir do qual o 
escoamento fica em regime permanente. 
c) Considerando que o tanque não tenha alimentação, qual seria o tempo 
para esvaziá-lo a partir de h? 
32 
Solução: 
a) Escolhemos como volume de controle o volume ocupado pelo óleo do 
reservatório, de forma que a ocorrência de variação do nível h implica 
na variação do volume de controle com o tempo. 
Q 
v 
A2 
A1 
h 
SC 
d 
Q 
VC 
 0 A v Av dt
h
4
D π
d
0 A.v A.v 
dt
dV
0 A.dv dV
t
cte) (ρ 0 A.dvρ dVρ
t
 
22
Q
11
2
2211
SCVC
SCVC



















+z 
33 
l)diferencia (equação 2gh
D
d
 
D π
4Q
 
dt
dh
0 
4
d π
2gh Q 
4
D π
dt
dh
2
2
2
22


b) No regime permanente qualquer característica ou propriedade do 
escoamento é invariante com o tempo, ou seja, a partir do instante em que 
o escoamento fica permanente tem-se: 
 
gdπ
8Q
 h 
42
3
máx 
 2gh
D
d
 
D π
4Q
0 
dtdh
máx2
2
2
máx




34 
c) A variação do nível h implica na variação do volume de controle com o 
tempo. 
Q 
v 
A2 
h 
SC 
d 
VC 

0 A v 
dt
h
4
D π
d
0 A.v A.v 
dt
dV
0 A.dv dV
t
cte) (ρ 0 A.dvρ dVρ
t
 
22
2
221
0 
1
SCVC
SCVC




















+z 
35 
 
 
dg2
Dh2
 t 
22/1
2

 
 
   




t
0
2/1
2
2
h
0
1/2
2/1
2
2
1/2
1/22/1
2
2
2
2
22
dtg2
D
d
 
h
dh
dtg2
D
d
 
h
dh
hg2
D
d
 
dt
dh
2gh
D
d
 
dt
dh
0 
4
d π
2gh 
4
D π
dt
dh
36 
Exemplo 04: Água está entrando em um tanque bem agitado com uma 
vazão de 68,1 kg/h e 13,62 kg/h de sal (NaCl) também entra no sistema. A 
solução resultante, com uma vazão de 54,48 kg/h, está saindo do tanque; 
por causa do efeito da boa agitação realizada, a solução que deixa o 
tanque é a mesma que a da solução no interior do sistema. Considerando-
se que existem 45,4 kg de água pura no interior do tanque, no início da 
operação, e que as vazões de entrada e saída são mantidas constantes, 
calcular a concentração de saída (fração mássica de sal) após 1 hora. 
NaCl H2O 
Solução 
68,1 kg/h 13,62 kg/h 
45,4 kg de água para t = 0 
54,48 kg/h 
37 
 
 ) 1 ( 0 m m 
t
M
0 Aρv Aρv 
t
M
0 A.vρ A.vρ 
t
M
0 A.dvρ 
t
ρV
0 A.dvρ ρdV
t
0 A.dvρ ρdV
t
 
.
2
.
1
m
22
m
11
2211
SC
SCVC
SCVC
.
2
.
1


























38 
Balanço de massa global no tanque de mistura contínuo (equação1): 
 
(3) t 
h
kg
27,24 45,4kg M
0) (t 45,4kg M ;t 
h
kg
27,24 M M
dt
h
kg
27,24 dM
(2) 
h
kg
27,24 
t
M
0 
h
kg
54,48 
h
kg
13,62 68,1 
t
M
0 m m 
t
M
00
t
0
M
M
.
2
.
1
0













(1) 
39 
Balanço parcial de massa de sal (NaCl) no tanque de mistura contínuo: 
 
 
(4) 0 
h
kg
48,54 w 
h
kg
13,62 M
t
w
 w
t
M
0 m w m M
t
w
 w
t
M
0 mw mw M
t
w
 w
t
M
0 m w m w 
t
Mw
A
A
A
A2
.
AA1
.
A
A
A2
.
 w
A2A1
.
1 
A1
A
A
A2
.
A2A1
.
A1
A
A






















40 
27,24t 45,4 M 
( 3 ) 
 0 48,54 w 13,62 M
t
w
 w
t
M
 A
A
A 




 ( 4 ) 
 
 
 
 
 
 


















Aw
0
A
A
t
0
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
81,72w 13,62
dw
 
27,24t 45,4
dt
0 27,24t 45,4
t
w
 81,72w 13,62
1)(x 0 13,62 27,24t 45,4
t
w
 81,72w
0 w48,54 13,62 27,24t 45,4
t
w
 27,24w
0 48,54 w 13,62 27,24t 45,4
t
w
 w
t
27,24t 45,4
Substituindo (3) em (4), temos: 
41 
     
         
 
 
(5) 
6t 10
10
 1
6
1
 w
6w 1 
10
6t
 1
6w 1ln 
10
6t
 1ln
13,62
81,72w 13,62
ln 
45,4
27,24t 45,4
ln3
13,62ln 81,72w 13,62ln 45,4ln 27,24t 45,4ln3
81,72w 13,62ln
81,72
1
 27,24t 45,4ln
27,24
1
3
A
A
3
A
3
A
A
w
0A
t
0
A

































 











 





Para t = 1 h, wA = 0,126 (fração mássica de NaCl) 
42 
Exemplo 05: Um fluido, com massa específica de 1050 kg/m3, flui 
em regime permanente através da caixa retangular. Dados: A1 = 
0,05 m2; A2 = 0,01 m
2; A3 = 0,06 m
2; V1 = 4i m/s e V2 = -8j m/s, 
determine a velocidade V3. 
43 

     
/sm 0,28 A.v
m j0,01m/s j8 m i0,05m/s i4 A.v
A.v A.v A.v
0 A.v A.v A.v
0 A.dvρ
0 A.dvρ ρdV
t
3
33
22
33
221133
332211
SC
SCVC
permanente
regime 
















VC 
+x 
-y 
= 0 
44 
 0 A.v 
33

Como , o fluxo é para fora da seção 3, assim temos : 
   
 m/s j2,34 i4,04 v
jcos60m/s 4,67 isen60m/s 4,67 v
jcos60 v isen60 v v
m/s 4,67 v
0,06m
/sm28,0
 /sm28,0
A
1
 v
/s0,28m A v A.v
3
00
3
0
3
0
33
3
2
3
3
3
3
3
3333










3
v

060
+x 
-y