Matemática aplicada a Biologia

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Programa de Pós-graduação em Engenharia Biomédica 
Instituto de Pesquisa e Desenvolvimento - Univap 
 
 
 
 
Matemática 
Biológica 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Rodrigo Sávio Pessoa 
 
 
 
 
 
 
 
 
São José dos Campos 
2014 
 
 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO 
 EM ENGENHARIA BIOMÉDICA 
2 
 
Sumário 
 
 Pag. 
Tópico 1 Grandezas Físicas e Teoria de Erros em Medidas Experimentais 4 
 1.1 Introdução 4 
 1.2 Grandezas físicas 4 
 1.3 Conversão de unidades 9 
 1.4 Notação Científica 12 
 1.5 Teoria de Erros 13 
Tópico 2 Conjuntos e Função Matemática 17 
 2.1 Revisão de conceitos elementares 17 
 2.2 Funções 26 
Tópico 3 Principais Funções Elementares 34 
 3.1 Função constante 34 
 3.2 Função polinomial do 1º grau 34 
 3.3 Função polinomial do 2º grau 35 
 3.4 Função exponencial 39 
 3.5 Função logarítmica 40 
Tópico 4 Cálculo Diferencial e Integral: Limite e Continuidade de uma função 45 
 4.1 Limite 45 
 4.2 Continuidade de uma função 50 
Tópico 5 Cálculo Diferencial e Integral: Derivadas 53 
 5.1. A reta tangente 53 
 5.2. A derivada de uma função num ponto 55 
 5.3. Regras de derivação 56 
 5.4 Derivada das funções elementares 58 
 5.5 Derivadas sucessivas 59 
 5.6 Aplicação de derivada 60 
Tópico 6 Cálculo Diferencial e Integral: Integral 62 
 6.1. Integral indefinida 62 
 6.2. Propriedades da integral indefinida 63 
 6.3. Integral definida 63 
 6.4. Teorema fundamental do cálculo 71 
Tópico 7 Equações Diferenciais de Primeira Ordem 74 
 7.1 Introdução 74 
 7.2 O método de separação de variáveis 75 
 7.3 Aplicações 77 
Tópico 8 Aplicações de Equações Diferenciais nas Ciências Biológicas 78 
 8.1 Biologia populacional 78 
 8.2 Crescimento de uma célula 81 
 8.3 Absorção de drogas 83 
 8.4 Reações químicas 84 
 
 
 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO 
 EM ENGENHARIA BIOMÉDICA 
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Tópico 1. Grandezas Físicas e Teoria de Erros em Medidas 
Experimentais 
 
 
 
1.1 Introdução 
 
Qual é a função da Matemática aplicada à Biologia? 
 
A função da Matemática aplicada à Biologia é explorar a relação natural que existe 
entre Biologia e Matemática. Biologia gera problemas complexos e a Matemática cria 
caminhos para interpretá-los. Em contrapartida, modelos matemáticos propiciam novas 
questões que podem ser somente testadas em sistemas biológicos reais. Para uma 
verdadeira compreensão de Matemática aplicada à Biologia se fez necessário, inicialmente, 
compreender Biologia e Matemática, para evitar o uso incorreto de conceitos e ideias 
dessas áreas. 
Biologia faz parte do cotidiano, independentemente de especialidades profissionais. 
Como um simples exemplo, basta abrir os jornais para ler notícias sobre Biologia. Por que 
o HIV aumenta muito rapidamente em certas populações? Como substâncias tóxicas agem 
em nosso organismo? Biólogos, tradicionalmente, têm tentado responder estes tipos de 
questões, mas profissionais com outras formações podem contribuir na busca de respostas 
para estas questões. 
 
Modelagem matemática 
 
Quando se começa a aplicar Matemática à Biologia o problema é posto em 
palavras, não há fórmulas. O profissional fala o que está querendo investigar, quais tipos 
de respostas está buscando, quais procedimentos experimentais/técnicas utiliza e quais são 
os ingredientes relevantes para o problema. Isto significa fazer/escolher as hipóteses. 
Observe que mesmo o problema sendo biológico, na maioria das vezes haverá ingredientes 
físicos, químicos, etc. 
O matemático deve então fazer o papel de um tradutor simultâneo. Ele colocará o 
problema da linguagem coloquial para a linguagem matemática e vice-versa. Esta tarefa 
não é fácil, mas é de grande importância. 
Portanto, para iniciar um estudo quantitativo de um problema biológico é 
importante o conhecimento de alguns conteúdos da matemática e da física. Neste tópico 
inicial, discutiremos sobre grandezas físicas e a forma correta de representa-las tanto na 
forma teórica, quanto na forma experimental. 
 
1.2 Grandezas físicas 
 
Grandeza física: é tudo aquilo que pode ser medido. 
São exemplos de grandezas físicas: comprimento, massa, velocidade, aceleração, 
temperatura, força, corrente elétrica, etc. 
 
É de extrema importância em engenharia, ciências físicas e biológicas que saibamos 
obedecer a coerência de unidades e dimensões de uma equação qualquer. Uma equação 
deve sempre possuir coerência dimensional. Você não pode somar automóvel com maçã, 
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por exemplo; dois termos só podem ser somados caso eles possuam a mesma unidade. Por 
isso, faz-se necessário o aprendizado destes conceitos. 
 
1.2.1. Coerência Dimensional 
 
 Começando com a equação do movimento retilíneo uniforme (MRU): 
 
x = x0+v.t (1) 
 
onde x representa a posição de qualquer objeto no eixo x, x0 representa a posição inicial, v 
é a velocidade do móvel e t o tempo. 
 No lado esquerdo da equação 1 temos somente o termo referente a posição do 
móvel, ou seja, um comprimento qualquer que pode estar em metros, quilômetros, etc. 
Agora, no lado direito da equação temos a soma de dois termos, x0 e v.t . Para que ocorra a 
soma de ambos os termos, há a necessidade de que ambos possuam a mesma dimensão, ou 
seja, comprimento, caso contrário, a equação acima estaria errada. Portanto, somente é 
possível somar grandezas físicas que tenham a mesma dimensão. 
 
Uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente 
homogênea! 
 
 Traduzindo a frase acima, notamos que as dimensões de um membro da equação 
devem ser iguais as dimensões do outro membro. Seria completamente errada a expressão: 
 
80 quilogramas = 30 metros + x metros 
 
Para facilitar a análise das dimensões presentes em uma equação, adotaremos os seguintes 
símbolos: 
 
Comprimento [L] 
Massa [M] 
Tempo [T] 
 
 Aplicando a fórmula dimensional na equação (1) teremos: 
 
x posição = [ L ] 
t tempo = [ T ] 
v 
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑎𝑜
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
=
[L]
[𝑇]
 
x = x0 + vt => [L] = [L] + 
[L]
[𝑇]
 [T] => [L] = [L] + [L] 
 Note que finalmente a equação (1) é uma equação que possui uma coerência de 
unidades. 
 Na área da física chamada mecânica, adotam-se a massa (M), o comprimento (L) e 
o tempo (T) como grandezas fundamentais. 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
1) Faça a análise dimensional das equações abaixo e verifique quais estão 
dimensionalmente incorretas, onde: 
 
v0 é a velocidadeinicial do objeto; 
a é a aceleração do corpo; 
x0 é a posição inicial do objeto; 
Δx = x−x0 é o deslocamento; 
g é a aceleração da gravidade; 
r é o raio de uma circunferência; 
v é a velocidade; 
t é o tempo; 
W é o trabalho realizado. 
 
a) x = x0+v0.t+1/2.a.t
2 
b) v = v0+a.t
2 
c) v = v0
2
 + 2.a.Δx 
d) t = (v0.sen θ) / g 
e) a = v / r 
f) W = F.Δx.cosθ 
 
1.2.2. Coerência de Unidades 
 
O Sistema Internacional de Unidades – SI 
 
“Todo o conhecimento que não pode ser expresso por números é de qualidade pobre e 
insatisfatória". (Lorde Kelvin, grande cientista britânico) 
 
 As informações aqui apresentadas irão ajudar você a compreender melhor e a 
escrever corretamente as unidades de medida adotadas no Brasil. 
A necessidade de medir é muito antiga e remota à origem das civilizações. Por 
longo tempo cada país, cada região, teve o seu próprio sistema de medidas, baseado em 
unidades arbitrárias e imprecisas, como por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: 
palmo, pé, polegada, etc. Isso criava muitos problemas para o comércio, porque as pessoas 
de uma região não estavam familiarizadas com o sistema de medida das outras regiões. 
Imagine a dificuldade em comprar ou vender produtos cujas quantidades eram expressas 
em unidades de medida diferentes e que não tinham correspondência entre si. 
Os sistemas de unidades utilizados na antiguidade e atualmente são os sistemas 
imperial e métrico decimal. 
(I) Sistema imperial (unidade inglesa): baseado em medidas estabelecidas pelos reis 
ingleses, sendo algumas delas com base em medições no corpo dos reis (polegada, pé, 
jarda, etc.). Os únicos países do mundo que adotam esse sistema são a Libéria, Birmânia e 
Estados Unidos. 
(II) Sistema métrico decimal: é um sistema de medição decimalizado. Adotado pela 
primeira vez em 1789, numa tentativa de resolver o problema de sistemas de medida como 
o imperial, a França pediu à Academia de Ciências da França que criasse um sistema de 
medidas baseado numa "constante natural". Assim foi criado o Sistema Métrico Decimal. 
Posteriormente, muitos outros países adotaram o sistema, inclusive o Brasil, aderindo à 
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"Convenção do Metro". O Sistema Métrico Decimal adotou, inicialmente, três unidades 
básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma. 
 Entretanto, o desenvolvimento científico e tecnológico passou a exigir medições 
cada vez mais precisas e diversificadas. Por isso, em 1960, o sistema métrico decimal foi 
substituído pelo Sistema Internacional de Unidades - SI, mais complexo e sofisticado, 
adotado também pelo Brasil em 1962 e ratificado pela Resolução nº 12 de 1988 do 
Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial - Conmetro, 
tornando-se de uso obrigatório em todo o Território Nacional. 
 Basicamente o SI pode ser divido em MKS (metro, quilograma, segundo) e CGS 
(centímetro, grama, segundo). 
 As unidades SI podem ser escritas por seus nomes ou representadas por meio de 
símbolos. 
 
Exemplos: 
 
Unidade de comprimento Unidade de tempo Unidade de massa 
nome: metro nome: segundo nome: quilograma 
símbolo: m símbolo: s símbolo: kg 
 
Observações: 
 
 Os nomes das unidades SI são escritos sempre em letra minúscula. Exemplos: 
quilograma, newton, metro cúbico. As exceções ocorrem somente no início da frase e 
"grau Celsius". 
 
 O símbolo é um sinal convencional e invariável utilizado para facilitar e 
universalizar a escrita e a leitura das unidades SI. Por isso mesmo não é seguido de ponto. 
 
 Certo Errado 
segundo s s. ou seg. 
metro m m. ou mtr. 
kilograma kg kg. ou kgr. 
hora h h. ou hr. 
 
 O símbolo não tem plural, invariavelmente não é seguido de "s". 
 Certo Errado 
cinco metros 5 m 5 ms 
dois kilogramas 2 kg 2 kgs 
oito horas 8 h 8 hs 
 
 Ao escrever uma unidade composta, não misture nome com símbolo. 
 
Certo Errado 
quilometro por hora 
km/h 
quilometro/h 
km/hora 
metro por segundo 
m/s 
metro/s 
m/segundo 
 
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 O prefixo quilo (símbolo k) indica que a unidade está multiplicada por mil. 
Portanto, não pode ser usado sozinho. 
 
Certo Errado 
quilograma; kg quilo; k 
 
 Use o prefixo quilo da maneira correta. 
 
Certo Errado 
quilômetro kilômetro 
quilograma kilograma 
quilolitro kilolitro 
 
 O SI é baseado em sete Unidades Padrões Fundamentais: 
 
Grandeza Nome Plural Símbolo 
comprimento metro metros m 
tempo segundo segundos s 
massa quilograma quilogramas kg 
corrente elétrica ampère ampères A 
temperatura 
termodinâmica 
kelvin 
kelvins 
K 
quantidade de substância mol mols mol 
Intensidade luminosa candela candelas cd 
 
 
 As unidades de outras grandezas como velocidade, força e energia são derivadas 
das sete grandezas acima. Na tabela abaixo estão listadas algumas destas grandezas: 
 
Grandeza Nome Plural Símbolo 
área metro quadrado metros quadrados m² 
volume metro cúbico metros cúbicos m³ 
ângulo plano radiano radianos rad 
velocidade metro por segundo metros por segundo m/s 
aceleração metro por segundo metros por segundo m/s² 
massa específica 
quilograma por 
metro cúbico 
quilogramas por 
metro cúbico 
kg/m³ 
vazão 
metro cúbico por 
segundo 
metros cúbicos por 
segundo 
m³/s 
força newton newtons N 
pressão pascal pascals Pa 
trabalho, energia, 
quantidade de calor 
joule joules J 
potência, fluxo de 
energia 
watt watts W 
 
 
 
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1.3 Conversão de unidades 
 
Toda vez que você se refere a um valor ligado a uma unidade de medir, significa 
que, de algum modo, você realizou uma medição. O que você expressa é, portanto, o 
resultado da medição, que apresenta as seguintes características básicas: 
 
 
 
Nesta seção veremos como converter as unidades de uma dada grandeza física, 
representar o valor numérico medido na forma de notação científica, bem como utilizar 
métodos de arredondamento em número com mais de uma casa decimal após a vírgula. 
 
 Fatores de Conversão de Comprimento 
 
Tabela 1. Fatores de conversão de unidades de comprimento. 
 
 
→ Exemplos de conversão de unidades: 
 
Converter as seguintes medidas de áreas para unidade de km2: 
 
a) 100 m2 1 m = 0,001 km, então 1 m2 = (0,001 km)2 
1 m2 = 0,000001 km2 
 
 Logo: 100 m2 = 100 x 0,000001 km2 
100 m2 = 0,0001 km2 
 
b) 150 hm2 1 hm = 0,1 km, então 1 hm2 = (0,1 km)2 
1 hm2 = 0,01 km2 
 
Logo: 150 hm2 = 150 x 0,01 km2 
150 hm2 = 1,5 km2 
 
c) 100000 dm2 1 dm = 0,0001 km, então 1 dm2 = (0,0001 km)2PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO 
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 1 dm2 = 0,00000001 km2 
 
Logo: 100000 dm2 = 100000 x 0,00000001 km2 
100000 dm2 = 0,001 km2 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
2) Converta as seguintes medidas de comprimento para cm: 
a) 2,5 m b) 1,3 km 
c) 200 dam d) 10500 mm 
 
3) Converta as seguintes medidas de áreas para m2: 
a) 1 km2 b) 5 dam2 
c) 2,5 mm2 d) 3 cm2 
 
4) Converta as seguintes medidas de volume para m3 
a) 1,85 cm3 b) 11,5 mm3 
c) 3,2 dam3 d) 0,1 km3 
 
 
 Fatores de Conversão de Tempo 
 
Tabela 2. Fatores de conversão de unidades de tempo. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
5) Converta as seguintes medidas de tempo em segundos: 
a) 1h 10min b) 1 semana 
c) 48h d) 2h 26min 
 
6) Converta: 
a) 300 dias em segundos 
b) 89000 segundos em dia, hora, minutos e segundos 
 
 
 
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 Fatores de Conversão de Unidades Derivadas 
 
Tabela 3. Fatores de conversão de unidades de velocidade. 
 
Converter de Para Multiplicar por 
metros por segundo (m/s) pés por minuto (ft/min) 196,8 
metros por segundo (m/s) milhas por hora (mi/h) 2,2369 
metros por segundo (m/s) quilômetros por hora (km/h) 3,60 
quilômetros por hora (km/h) metros por segundo (m/s) 0,2778 
quilômetros por hora (km/h) milhas por hora (mi/h) 0,6214 
 
Embora a tabela seja útil, convém aprender a forma clássica de efetuar a conversão 
de unidades, conforme segue no exemplo: 
Converter de km/h para m/s: 
10
𝑘𝑚
ℎ
×
1000𝑚
1𝑘𝑚
×
1ℎ
60𝑚𝑖𝑛
×
1𝑚𝑖𝑛
60𝑠𝑒𝑔
=
10 × 1000
60 × 60
= 2,77 𝑚/𝑠 
 
Tabela 4. Alguns outros exemplos de conversão de unidades. 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
7) Converta: 
a) 35 km/h em m/s 
b) 100 m/s em km/h 
c) 600W em HP 
d) 35 HP em cv 
e) 3,5 cv em J/s 
f) 500 mmHg em kgf/cm2 
g) 1000 pol em km 
h) 3500 ml em galões 
 
 
 Fatores de Conversão de Temperatura 
 
Tabela 5. Fatores/relações de conversão de unidades de temperatura. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
8) Converta: 
a) 109ºF em K 
b) -50ºC em K 
c) 300 K em ºC 
 
 
1.4 Notação Científica 
 
Como visto anteriormente, o trabalho em laboratório ou até mesmo de simulação 
exige que se utilize números de diversas ordens de grandezas, ficando difícil o manuseio 
de números muito pequenos ou grandes. Para isso, a notação científica supre a necessidade 
do uso de números com tamanhos mais coerentes e fáceis de trabalhar. 
A notação científica possui algumas regras simples de serem utilizadas, são elas: 
1. Utilizar apenas um algarismo significativo antes da vírgula; 
2. Este número não pode ser menor do que 1 (um) e nem maior que 9 (nove). 
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3. Escrever os algarismos após a vírgula seguido do número 10n onde, a potência n é o 
número de casas em que se andou com a vírgula até ficar apenas um número a esquerda da 
vírgula. 
Exemplos: 
3563,2 m = 3,5632×103m 
0,000001234 mm = 1,234×10−6 mm 
0,02m × 0,13m = 2,0×10−2m × 1,3×10−1m = 2,0×1,3×10−2−1 = 2,6×10−3 m 
(6,31×10−5 m)3 = (6,31)3×(10−5)3 m3 = 251,2396×10−15 m3 = 2,512396×10−13 m3 
Devido ao uso da notação científica, o Bureau Internacional de Pesos e Medidas 
recomendou os seguintes prefixos: 
 
Tabela 6. Prefixos utilizados no SI. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
9) Escreva em notação científica as seguintes medidas: 
a) 0,00005 
b) 300,2 
c) 0,00000000198 
d) 230120,2 
 
1.5 Teoria de Erros 
 
A medida de uma grandeza é obtida, em geral, através de uma experiência, na qual 
o grau de complexidade do processo de medir está relacionado com a grandeza em questão 
e também com o processo de medição. Por isso, este tópico visa introduzir conceitos 
importantes sobre erros de medidas. 
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1.5.1 Erros de uma medida 
 
Algumas grandezas possuem seus valores reais conhecidos e outras não. Quando 
conhecemos o valor real de uma grandeza e experimentalmente encontramos um resultado 
diferente, dizemos que o valor obtido está afetado de um erro. 
ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma 
grandeza e o valor real ou correto da mesma. 
 
Matematicamente: erro = valor medido  valor real 
 
A determinação do erro de medida não é simples, pois há na maioria dos casos uma 
combinação de inúmeros fatores que influem, de forma decisiva, no resultado da medição. 
Portanto, o erro “verdadeiro” de uma medida é sempre impossível de ser conhecido, sendo 
possível apenas uma estimativa do erro máximo aceitável. Nesta seção irar-se-á dar uma 
pequena introdução sobre tipos de erros e o cálculo do erro aleatório provável, dado pelo 
cálculo do desvio padrão. 
Existem diversas classificações de erros na literatura especializada, entretanto, há 
três principais que são: 
1. Erro de escala: é o erro associado ao limite de resolução da escala do instrumento de 
medida. 
2. Erro sistemático: é o erro em que o medidor sofre, de maneira constante, em todo o 
processo de medição. No momento da descoberta da sua origem, o erro sistemático é 
possível de ser minimizado ou até mesmo sanado; 
3. Erro aleatório: é o erro que decorre de perturbações estatísticas impossíveis de serem 
previstas, sendo assim, difícil de evitá-los. 
 
1.5.1.1 Valor mais provável de uma grandeza 
 
Sejam x1, x2, x3,..., xn as n medidas realizadas de uma mesma grandeza física X. O 
valor médio desta grandeza denotado por x̅ é definido pela média aritmética dos valores 
medidos, ou seja, 
 
 x̅ =
(x1+x2+x3+⋯+x𝑛)
𝑛
=
1
𝑛
∑ xi
𝑛
i=1 (1) 
 
Deste modo, x̅ representa o valor mais provável da grandeza medida. Ao se realizar 
várias medidas, os valores obtidos tendem a estarem mais próximos deste valor. O valor 
médio é o que melhor representa o “valor real” da grandeza. 
 
 
 
1.5.1.2 Desvio das medidas 
 
No entanto, não se pode afirmar que o valor mais provável seja o valor real da 
grandeza. Assim, representando-se uma medida qualquer da grandeza X por Xi, não se 
pode dizer que a diferença (Xi - X̅ = δX) seja o erro da medida Xi. Neste caso quando se 
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conhece o valor mais provável, não se fala em “erro”, mas sim em Desvio ou Discrepância 
da medida (ou Incerteza). 
 
Desvio de uma medida, 𝛅X, é a diferença entre um valor medido e o valor adotado 
que mais se aproxima do valor real (em geral o valor médio). 
 
Matematicamente: incerteza = valor medido  valor médio 
 
É interessante saber de quanto as medidas individuais Xi se afastam do valor médio, 
ou seja, de que maneira as medidas Xi se distribuem em torno do valor médio. A esse fato 
denominamos “dispersão”. Para medir a dispersão são utilizadas algumas propriedades da 
série de medidas, tais como a Variância e o Desvio Padrão: 
 
Variância (s2): A variância é definida como a soma dos quadrados dos desvios de todos 
os valores da grandeza dividida pelo número de medidas menos uma. A variância é 
representada por s2, sendo calculada pela fórmula: 
 
𝑠2 =
(x1−x̅)
2+(x2−x̅)
2+⋯+(xn−x̅)
2
𝑛−1
=
∑ (xi−x̅)
2𝑛
𝑖=1
𝑛−1
 (2) 
 
O denominador “n – 1” da variância é determinado pelos graus de liberdade. O principio 
dos graus de liberdade é constantemente utilizado na estatística. Considerando um conjunto 
de “n” observações (dados) e fixando uma média para esse grupo, existe a liberdade de 
escolher os valores numéricos de n – 1 observações, o valor da última observação estará 
fixado para atender ao requisito de ser a soma dos desvios da média igual a zero. No caso 
especifico do cálculo da variância, diz-se que os “n” graus de liberdade originalmente 
disponíveis no conjunto sofreram a redução de uma unidade porque numa estatística, a 
média já foi calculada dos dados do grupo e aplicada na determinação da variância. 
 
Desvio padrão (𝜎x): O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância e, 
portanto, expresso na mesma unidade da grandeza medida (kg, cm, atm, etc.): 
 
 
𝜎x = √
(x1−x̅)2+(x2−x̅)2+⋯+(xn−x̅)2
𝑛−1
= √
∑ (xi−x̅)2
𝑛
𝑖=1
𝑛−1
 (3) 
 
 
Para um conjunto com n medições, o desvio padrão experimental representa uma 
estimativa da dispersão de Xi em torno do valor médio x̅. Isso significa que se os 
resultados forem bastante próximos uns dos outros, então o desvio padrão será "pequeno", 
e se os resultados forem dispersos, o desvio padrão será "grande". 
 
1.5.1.3 Desvio padrão final 
 
 Até agora, ainda não informamos como deve ser relatado o valor de uma grandeza 
submetida a medições. Já sabemos, a princípio, que a grandeza pode ser representada, de 
modo satisfatório pelo seu valor médio. Porém, quando efetuamos um conjunto de 
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medições devemos ser capazes de informar com qual qualidade a média pode ser uma 
estimativa do valor verdadeiro. Ou seja, devemos sempre informar uma incerteza associada 
à média encontrada. 
 Poderíamos pensar, num primeiro nível, que a incerteza possa ser estimada pelo 
desvio padrão da média. Porém, devemos atentar que o cálculo do desvio padrão da média 
leva em conta somente as contribuições dos erros aleatórios, e não considera os erros 
sistemáticos. Existe, pois, uma incerteza residual que ainda não foi considerada. 
 Essa incerteza residual (𝜎𝑟), no caso de instrumentos de medida, costuma vir 
indicada pelo fabricante. Quando não é indicada, podemos adotar, pelo bom senso, que se 
trata da metade da menor divisão da escala. 
 Assim, o resultado de um conjunto de medições é: 
 
𝑥 = 𝑥 ± 𝜎𝑓 
 
em que 𝜎𝑓 é o desvio (ou incerteza) padrão final e pode ser calculada por: 
 
𝜎𝑓 = √𝜎𝑓2 + 𝜎𝑟2 
 
Como exemplo da teoria acima proposta, dada a seguinte tabela abaixo, com 
valores de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer, iremos calcular o seu 
valor mais provável (média) e o seu desvio padrão. 
 
Tabela 7. Valores de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer. Note que 
aqui não é necessário usar o desvio residual pois não foi fornecido. 
Medida Comprimento (m) 
1 1,42 
2 1,40 
3 1,38 
4 1,41 
5 1,43 
6 1,42 
7 1,39 
8 1,40 
 
Assim, o valor mais provável da medida, X̅, é dado por: 
 
X̅ =
1
8
(1,42 + 1,40 + 1,38 + 1,41 + 1,43 + 1,42 + 1,39 + 1,40) =
11,25
8
= 1,40̅625𝑚 
X̅ = 1,41̅𝑚 
 
O desvio padrão será dado por 
 
𝜎X = √
(1,42 − 1,41)2 + (1,40 − 1,41)2 + (1,38 − 1,41)2 + (1,41 − 1,41)2 + (1,43 − 1,41)2 + (1,42 − 1,41)2 + (1,39 − 1,41)2 + (1,40 − 1,41)2
8 − 1
 
 
𝜎X = √
0,0001 + 0,0001 + 0,0009 + 0 + 0,0004 + 0,0001 + 0,0004 + 0,0001
7
 
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16 
 
 
𝜎X = 0,01̅732𝑚 → 𝜎X = 0,02𝑚 
 
Portanto, o modo correto de representar o valor mais provável do corpo de prova e o seu 
respectivo erro é o seguinte: 
(1,41 ± 0,02)𝑚 
 
Note que o número de casas após a vírgula para ambos os valores tem que ser compatível. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
10) Sete homens foram pesados e os resultados em kg foram: 
57,0; 62,9; 63,5; 64,1; 66,1; 67,1; 73,6 
Determine o valor médio, a variância e o desvio padrão das medidas. 
 
11) Foram feitas cinco observações de um comprimento com uma régua milimetrada, cujos 
valores (em milímetros) foram: 12,3 ; 12,5 ; 12,6 ; 12,2 ; 12,7. Determine o valor médio 
das medidas e o respectivo desvio padrão. 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
1. Paulo Fernando de Arruda Mancera, Matemática para Ciências Biológicas, Notas 
de Aula, 2002. 
2. Piacentini, J. J.; Grandi, B. C. S.; Hofmann, M. P.; Lima, F. R. R.; Zimmermann, 
E., Introdução ao Laboratório de Física, 2ª Edição, Editora da UFSC, Florianópolis, 
2001. 
3. Halliday, David; Resnick, Robert; Merrill, John. Fundamentos de Física I. São 
Paulo. Livros Técnicos e Científicos, 2009. 
4. Carvalho, Alex Moreno, Eleni; Bonatto, Francisco Rogerio; Silva, Ivone Pereira, 
Aprendendo metodologia científica: Uma orientação para os alunos de graduação, 
125 p., 2 ed., São Paulo, 2000. 
5. Serway, Raymond A., Física I – Mecânica e gravitação, v.1, 3.ed., 394 p. Rio de 
Janeiro. Livros Técnicos e Científicos, 1996. 
6. Serway, Raymond A., Princípios de Física: mecânica clássica –v.1, São Paulo, 
Thomson, 403 p., 2007. 
 
 
 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO 
 EM ENGENHARIA BIOMÉDICA 
17 
 
 
Tópico 2. Conjuntos e Função Matemática 
 
 
 
2.1 Revisão de conceitos elementares 
 
2.1.1 Propriedades básicas dos números 
 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
 
 O método mais direto de resolver frações é o do máximo divisor comum: 
 
b
a
 + 
d
c
 = 
bd
c
d
bd
a
b
bd












 = 
bd
bcda 
 
 
Ex. 1) 
3
2
 + 
7
5
 = 
73
5
7
73
2
3
73






 





 
 = 
21
1514 
 = 
21
29
 
 
Ex. 2) 
5
4
 - 
7
2
 = 
75
2
7
75
4
5
75






 




 
 = 
35
1028 
 = 
35
18
 
 
 
 Para 3 ou mais frações o procedimento é o mesmo. 
 
 
b
a
 + 
d
c
 + 
f
e
 = 
fdb
e
f
fdb
c
d
fdb
a
b
fdb


















 = 
fdb
edbcfbafd )()()( 
 
 
 
Ex. 3) 
7
5
 + 
5
2
 - 
4
3
 = 
457
3
4
457
2
5
457
5
7
457






 





 





 
 = 
 
 = 
720
335228520


 = 
140
51
 
 
 
 
 
 
 
 
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DIVISÃO COM FRAÇÕES 
 
d
c
b
a

 É só inverter a 2ª fração e multiplicar 
 
d
c
b
a

 = 
c
d
b
a

 = 
bc
ad
 
 
Ex. 1) 
7
4
3
2

 = 
4
7
3
2

 = 
12
14
 = 
6
7
 
 
Ex. 2) 
3
4
8
5
 = 
4
3
8
5

 = 
32
15
 
 
Ex. 3) 
2
1
7
4
8
5
5
2


 = 
72
78
85
5528




 = 
14
1
40
41
 = 
1
14
40
41

 = 
20
287
 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RELATIVOS 
 
Ex. 1) –2 + (–3)  –2 – 3 = – 5 
 
Ex. 2) +5 – (–8)  5 + 8 = 11 
 
Ex. 3) (–2)  (–3) = 6 
 
Ex. 4) (–3)  5 = –15 
 
Ex. 5) (–2)2 = (–2)  (–2) = 4 
 
Ex. 6) (–3)3 = (–3)2  (–3) = 9  (–3) = – 27 
 
Resolver: 
 
a) –9 + 12 – (–14) = b) 13 + (–9) – 3 = 
c) 7 – (–8) = d) –14 – (–12) – 24 = 
e) (–3)  (–8) + 25 = f) 9  (–2)  (–3) = 
g) (–5)2 = h) (–2)5 = 
 
RADICAIS 
 
n mA  A = radicando; n = índice da raiz e m = expoente do radicando. 
n mA = A
m/n (fórmula geral) 
 
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19 
 
Ex. 1) 
4
 = 2 22 = 2
2/2 = 21 = 2’ 
Ex. 2) 
3 27
 = 
3 33
 = 3 
Ex. 3) 
5 1024
 = 5 102 = 2
10/5 = 22 = 4 
Ex. 4) 
 2x
 = 
x
  
x
 = 
2x
 = x 
 
OPERAÇÕES COM RADICAIS 
 
Ex. 1) 
x
  
x
 = 
2x
 = x2/2 = x 
Ex. 2) 
x
  
y
 = 
yx
 
Ex. 3) 
3 8
 = 3 32 = 2 
Ex. 4) 
81
64
 = 
2
2
9
8 = 
2
9
8





 = 
9
8
 
Ex. 5) 
2n
n
x
x = )2(  nnx = 2x = x 
Ex. 6) 
16
 = 
42
 = 2/42 = 2 
 
EXPONENCIAIS 
 
Ax  A é a base e x é o expoente. 
 
P1) Ax  Ay = Ax+y 
P2) Ax / Ay = Ax-y 
P3) (Ax)y = Ax.y 
 
P4) (A . B)x = AxBx 
P5) 
x
x
A
A

1
 e x
B
A





 = 
x
x
B
A
 = Ax . B-x 
 
Ex. 1) 27 = 23+4 = 23 . 24 = 8  16 = 128 
Ex. 2) (22)3 = 26 = 23+3 = 23 . 23 = 8  8 = 64 
Ex. 3) (2  3)3 = 23  33 = 22  2  32  3 = 4  2  9  3 = 216 
Ex. 4) 
20
23
5
5 = 523-20 = 53 = 52  5 = 25  5 = 125 
 
Resolver: 
a) 210 b) 
2
4
7
7
 c) 4
2
3






 d) 16  2-3 
 
PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA 
 
1) A  (B + C) = A  B + A  C 
2) (A  B)(C + D) = A(C + D)  B(C + D) 
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20 
 
 
Ex. 1) 2(4 + x) = 8 + 2x 
Ex. 2) (3 – x)(x – 2) = 3(x – 2) – x(x – 2) 
 = 3x – 6 – x2 + 2x = -x2 + 5x – 6 
 
Resolver: 
a) (x - 
7
)(x + 
7
) b) (a + b)(a + b) 
c) (2 + 
3
)(2 - 
3
) d) (2 + 
x
)(3 + 2
x
) 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS (A+B)2 
 
Pode ser resolvido usando a propriedade distributiva ou a regra a seguir: 
 
(A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + 2AB + B2 
(A – B)2 = (A – B)(A – B) = A2 – 2AB + B2 
 
Ex. 1) (x – 2)2 = x2 – 4x + 4 
 
Resolver: 
a) (x – 3)2 b) (a + 2)2 c) (x + y)2 
 
DIFERENÇA DE QUADRADOS 
 
x2 – a2 = (x – a)(x + a) 
 
Ex. 1) x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) 
Ex. 2) x2 – 3 = (x - 
3
)(x + 
3
) 
Ex. 3) x2 – A = (x - 
A
)(x + 
A
) 
 
Resolver: 
a) (
3
 - 2)(
3
 + 2) = b) x2 – 16 = 
c) x2 – 7 = d) (2 + 
3
)(2 - 
3
) = 
 
BINÔMIO AO CUBO 
 
(a + b)3 = (a + b)2  (a + b) 
 
FATORAÇÃO (TIRAR UM FATOR COMUM PARA FORA DO PARÊNTESES) 
 
Ex. 1) 2x2 + 4x = 2x(x + 2) 
Ex. 2) x
x
 + x2 = x(
x
 + x) 
Ex. 3) 
)2)(3(
)3(4)3(5 22


xxx
xxxx
 = 
  
  23
435)3(


xxx
xxxx
 = 
2
4155


x
xx
 = 
2
159


x
x
 
 
 
 
 
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21 
 
Resolver: 
a) 
12
48 2


x
xx
 = b)     
 13
1213


x
xxx
 = 
c)  
 ba
ba


2 = d)  
 2
42


x
x
 = 
 
RACIONALIZAÇÃO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Consiste em tirar uma raiz do denominador. 
Ex. 1) 
n A
1
  
n n
n n
A
A
1
1

  
n A
1
 = 
n n
n n
A
A 1 = 
A
A
n n 1 
Ex. 2) 
2
1
 = 
2
2
  
2
1
 = 
2
2 
Ex. 3) 
3
3 2
3 3
3 2
33 2
3 2
3
93
3
39
3
39
3
9
3
3
3
9

 
 
Resolver: 
 a) 
3
3
 b) 
3 5
3
 c) 
4 3
2
 d) 
3 9
1
 
 
RACIONALIZAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
Multiplica numerador e denominador pelo denominador com o sinal do meio trocado, para resultar 
numa diferença de quadrados. 
Ex.1) 
1)1(
)()(
)()(
2 












 x
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
xx
xx
x
xx
x
 
 
Ex. 2) 
)32(3
1
)32(3
22
)32(3
)32(
32
)32(
3
32
3
2











 
 
Resolver : 
a) 
21
1

 b) 
x1
1
 c) 
1
2
x
 
d) 
73
7

 e) 
ba 
1
 f) 
23
1

 
 
 
 
 
 
 
 
 
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22 
 
2.1.2 Conjuntos 
 
Intuitivamente, conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, números, pessoas, etc. 
Indicamos os conjuntos por letras maiúsculas do nosso alfabeto e seus elementos por letras 
minúsculas. 
 Podemosrepresentar um conjunto de diferentes maneiras: 
 
 Por extensão: Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados 
por vírgula ou ponto-e-vírgula. Ex.: A ={1,3,5}. 
 
 Por compreensão: Atribuindo uma característica comum a todos os seus elementos. 
Ex.: B = {x | x é número ímpar menor que sete}. 
 
  Pelo diagrama de Venn: Ex.: 
 
 
 
PRINCIPAIS SÍMBOLOS 
 

 pertence (elemento do conjunto) 
 

 não pertence (elemento do conjunto) 
 | tal que 
 

 está contido (conjunto de elementos) 
 

 não está contido (conjunto de elementos) 
  existe ao menos um 

! existe um único 

 não existe 

 para todo ou qualquer 

 implicação 

 equivalência 

 união 

 intersecção 
 
Exemplo: 
 Sendo P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determine, por extensão, os seguintes conjuntos: 
A = {x  P | x = 3k, k  P} = {0, 3, 6, 9} 
B = {x  P | x = 2k, k  P} = {1, 2, 4, 8} 
 
Observações 
 Um conjunto que não tem elementos é chamado conjunto vazio e representado por  ou { }. 
 
 Quando o conjunto é infinito utilizamos reticências (...). Ex.: E = {1, 2, 3, ...}. 
 
 Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto 
de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também é elemento de B. Ex.: Se 
A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5} então A 

 B ou A é subconjunto de B. 
 
 Chamamos de A  B o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B. Ex.: 
Se A = {1, 2, 3, 8} e B = {2, 8, 9} então A  B = {2, 8}. 
 
 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO 
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23 
 
 Chamamos de A  B o conjunto formado por todos os elementos de A ou B. 
Considerando os conjuntos A e B do exemplo anterior, temos A  B = {1, 2, 3, 8, 9}. 
 
2.1.3 Principais conjuntos numéricos 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS – N 
 
 N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z 
 
 Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q 
 
 Q = {x | x = 
b
a
, com a  Z, b  Z e b  0} 
 
Observações 
 Z  Q, pois se 
Q
a
aZa 
1
,
. 
 Todo número racional pode ser representado na forma decimal, e podemos ter dois 
casos: 
 
1) a representação decimal é finita: 
 
6,0
5
3
;75,1
4
7

 
 
2) a representação decimal é infinita periódica: 
 
...5222,0
90
47
...333,0
3
1

 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS – I 
 Considere os números 
2
, 
3
 e  , suas representações decimais são: 
 
2
 = 1,4142135... 
 
3
 = 1,7320508... 
 = 3,1415926535... 
 e = 2,71828... (número de Euler) 
Observe que existem decimais infinitas não periódicas, às quais damos o nome de números 
irracionais que não podem ser escritos na forma 
b
a
. Todas as raízes não exatas são exemplos de 
números irracionais. 
 
 
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS 
 
 R = Q U I = { x | x é racional ou x é irracional} 
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24 
 
Portanto, são números reais: 
 os números naturais; 
 os números inteiros; 
 os números racionais; 
 os números irracionais. 
 Podemos representar os Reais em uma reta que chamamos Reta Real: 
 
 
 
Cada número Real tem um ponto na reta associado a ele e cada ponto da reta tem um 
número Real que o representa e a este número chamamos coordenada do ponto ou abscissa do 
ponto. 
 
 
2.1.4 Alguns conceitos importantes 
 
MÓDULO DE UM NÚMERO –   
 
O módulo de um número é geometricamente a distância dele ao ponto de coordenada zero. 
Assim: 






0,
0,
asea
asea
a
 
 
Exemplo: 
Se 
3a
 então 
3a
 ou 
3a
 
 Se 
3a
 então 
33  a
 
 Se 
3a
 então 
33  aoua
 
 
 
 
PAR ORDENADO E PLANO CARTESIANO 
 
Se a e b são números reais, então (a, b) é um par ordenado de números reais, onde o 
primeiro elemento é a e o segundo elemento é b. 
Representação Gráfica no Plano Cartesiano: 
 
 
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25 
 
 P é o ponto de coordenadas a e b. 
 O número a é chamado abscissa de P. 
 O número b é chamado ordenada de P. 
 A origem do sistema é o ponto O(0,0). 
 
 
Exemplo: 
Represente os pontos: M(2,3), N(-1,4), P(-2,-1), Q(3,-2), R(4,0), S(-3,0), T(0,1) e V(0,-3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Complete usando os símbolos  ou : 
a) – 7 __ N b)
2
 __ Q c) ½ __ I d)
4
9
 __ Q 
e) 0,1666... __ Q f) 
64
__ R g) 3,232 __ Q h) 
3 27
__ Z 
 
2) Determine, por extensão, os seguintes conjuntos: 
a) {x  N / 1  x  4} 
b) {x  Z / -3 < x  3} 
c) {x  Z / 0  x < 5} 
d) {x  N / x  -3} 
e) {x  Z / x > 4} 
 
 
2.1.5 Intervalos 
 
 Chamamos de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais. Assim, dados dois 
números reais a e b, com a < b, temos: 
 
 intervalo aberto 
]a, b[ = { x  R | a < x < b } 
 
 intervalo fechado 
M(2, 3) 
2 
3 
x 
y 
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26 
 
[a, b] = { x  R | a  x  b } 
 
 intervalo semi-aberto à direita 
]a, b] = { x  R | a < x  b } 
 
 intervalo semi-aberto à esquerda 
[a, b[ = { x  R | a  x < b } 
 
 intervalos infinitos 
]a, + [ = {x  R | x > a} 
 
 [a, + [ = {x  R | x  a} 
 
 ]– , a[ = {x  R | x < a} 
 
 ]– , a] = {x  R | x  a} 
 
Observação: ]– , + [ = R 
 
 
Exemplo: Usando a notação de conjuntos, escreva os intervalos: 
a) [6, 10] = { x  R | 6  x  10 } 
b) ]-1, 5] = { x  R | -1 < x  b } 
c) ]-, 3[ = { x  R | x < 3 } 
 
 
Operações com intervalos 
 
 Intersecção 
)(
 
A  B = { x  U | x  A e x  B } 
 
 União 
)(
 
A  B = { x  U | x  A ou x  B } 
 
 Diferença (–) 
A – B = { x  U | x  A e x  B } 
 
Exercício: 
 
a) Se A = {x  R | 2  x < 5} e B = {x  R | 3  x < 8}, determine A  B, A 

B, e A – B. 
 
b) Se A = {x  R | -2  x  0} e B = {x  R | 2  x < 3}, determine A  B, A 

B, e A – B. 
 
 
2.2 Funções 
 
As funções desempenham um papel importante na ciência. A observação mostra que há 
certos fenômenos que apresentam regularidade, isto é, comportamento idêntico, desde que as 
condições iniciais sejam as mesmas. A busca de uma função que representa uma determinadasituação é chamada “modelagem matemática”. 
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27 
 
 Suponhamos, por exemplo, que queremos estudar uma variação de espaço e tempo no 
fenômeno da queda de corpos no vácuo. Procuramos a regularidade do fenômeno (a lei). Quanto 
menores forem os intervalos de tempo em que fizermos as medições, melhor se conhecerá a 
variação. 
 Suponhamos que se fizeram as medições de segundo em segundo e que encontramos: 
 
Tempos (em segundos) 0 1 2 3 4 5 ... 
Distâncias (em metros) 0 4,9 19,6 44,1 78,4 122,5 ... 
 
Esta tabela dá a primeira ideia da lei: d = ½ gt2. 
 Se “t” é a variável do conjunto dos tempos e “d” a variável do conjunto das distâncias, a lei 
é a correspondência entre t e d. Dizemos que “d” é função da variável “t” e escrevemos 
simbolicamente d = f(t), onde t é a variável independente e d a variável dependente. 
 Dizemos que uma variável y é função de uma variável x, se e somente se, a cada valor de x 
(variável independente) corresponde um único valor de y = f(x) (variável dependente). 
 Outros exemplos 
1) Se uma torneira despeja 30 

 de água por minuto, o volume de água despejada dependerá do 
tempo que a torneira ficar aberta: 
 Após 1 minuto será de 30 

; 
 Após 2 minutos será de 230 

 = 60 

; 
 Após 5 minutos será de 530 

 = 150 

; 
 Após 40 minutos será de 4030 

 = 1200 

 
 Indicando o tempo por x e o volume por y, temos y=30x. A cada valor de x tem um único 
valor para y. Dizemos que “y é função de x ”. 
2) A tarifa do táxi é uma função do número de quilômetros rodados, ou seja, para cada número de 
quilômetros rodados equivale um único valor a ser pago. 
3) A cota de contribuição do imposto de renda é função do rendimento do indivíduo. 
4) A receita total é função da quantidade vendida. 
5) O custo total depende da quantidade produzida. 
 
A maioria das funções pode ser expressa através de uma relação (ou lei) matemática, como 
os exemplos anteriores. Entretanto, existem funções que não podem ser expressas por uma lei 
matemática. Neste caso a relação entre as variáveis é feita através de tabelas, conjunto de pares 
ordenados, etc. 
Exemplo: a temperatura máxima no mês de fevereiro de 2002, de certa cidade, é função da data, 
pois cada dia tem uma única temperatura máxima. 
 
2.2.1 Definição 
 
 Uma função f de um conjunto A num conjunto B é uma regra que associa a cada elemento 
de A um único elemento de B. Diz-se neste caso que a função f está definida em A com valores em 
B. 
Indica-se que  é uma função de A em B pela notação: 
BAf :
 (lê-se: função f de A em B) 
 
yx 
 (lê-se: a cada valor de 
Ax
 associa-se um só valor 
y
de B) 
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28 
 
 O domínio de uma função f é o conjunto dos possíveis valores da variável independente x. 
Indica-se por Dom f ou D(f ), assim, Dom  = A; 
 Chamamos o conjunto B de contradomínio da função. Indica-se por C(), logo, C()=B; 
 Chamamos o elemento y de B, associado ao elemento x de A de imagem de x pela função 
. Indica-se y = (x); 
 Chamamos de Conjunto Imagem o conjunto dos elementos y de B que são imagens dos 
elementos x de A. Indica-se por Im ou Im(). Observação: Im()  . 
 Função real de variável real é aquela cujo domínio e contradomínio são os reais. 
 Nas funções reais quando o domínio não está especificado considera-se que o domínio será 
de todos os reais x para os quais y = f(x) tem significado nos reais. 
 
Exercícios 
 
1) Expresse por meio de uma fórmula matemática a função 
RRf :
 que a cada real x associa: 
a) o seu quadrado b) a sua terça parte c) a sua metade somada com três 
 
2) Se A = { -2, -1, 0, 1 } e 
ZAf :
 definida por f(x) = x2 – 1 calcule Im(f). 
 
3) Dada a função 
RRf :
, definida por f(x)=2x-7 pede-se: 
a) f(-2) b) 






2
1
f
 c) 






5
3
f
 d) 
 0f
 
 
4) Dada a função 
RRf :
 definida por f(x)=x2-9x+14, determina: 
a) f(-3) b) f(0) c) f(7) 
 
5) Na função 
RRf :
 definida por 
3
1
2
3
)(  xxf
, determina x para que f(x) = 0. 
 
6) Determina o domínio das seguintes funções de variável real: 
a) 
52)(  xxf
 b) 
2
32
)(



x
x
xf
 
c) 
4
2
)(



x
x
xf
 d) 
423)(  xxxf
 
e) 
23)(  xxf
 f) 
xxxf 3)( 2 
 
g) 
2
1
4)(


x
xxf
 h) 
16
35
)(
2 


x
x
xf
 
 
 
2.2.2 Estudo do gráfico no Plano Cartesiano 
 
 Analise os gráficos a seguir e identifique quais representam e quais não representam 
funções. Em seguida, determine o domínio e a imagem das funções: 
 
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29 
 
 
 
Observações 
 O domínio de uma função é obtido pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas 
(eixo x). 
 A imagem é obtida pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas (eixo y). 
 
2.2.3 Estudo do sinal de uma Função 
 
 Os valores de x para os quais f(x)=0 chamam-se zeros ou raízes da função. 
Geometricamente os zeros de uma função são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo x. 
 f é positiva para um elemento x, x  Dom f se, e somente se f(x) > 0; 
 f é negativa para um elemento x, x  Dom f se, e somente se f(x) < 0. 
 
Exemplo: 
 
Observando o gráfico acima, temos: 
 f(1) = 0 e f(5) = 0 , logo, os números 1 e 5 são os zeros da função; 
 f é positiva quando x  (– ; 1) ou x  (5; + ); 
 f é negativa quando x  (1; 5). 
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30 
 
Observação: nota que o sinal da função para um elemento x, x  Dom f é o sinal de f(x) e não o 
sinal de x. 
2.2.4 Crescimento e Decrescimento de uma Função 
 
 
Observamos que: 
 no intervalo A, aumentando o valor de x, aumenta também o valor 
de y. Dizemos então que a função é crescente no intervalo A . 
 no intervalo B, aumentando o valor de x, o valor y diminui. 
Dizemos então que a função é decrescente no intervalo B. 
De forma geral: 
 
 
 
 
Exercício: 
Dada a função representada pelo gráfico abaixo, determine: 
 
a) os zeros da função; 
b) o(s) intervalo(s) onde a função é crescente e o(s) intervalo(s) onde ela é decrescente; 
c) o(s) intervalo(s) onde a função é positiva e o intervalo onde ela é negativa. 
 
 
 
Sendo 
2 1 e xx
 elementos de um conjunto 
21 com , xxfDomA 
, 
diz-se que a função é crescente em A se 
 )()( 21 xfxf 
e decrescente se
).()( 21 xfxf PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO 
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31 
 
LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS 
1) Determine, por extensão, os seguintes conjuntos: 
a) 
 42/  xx
 c) 
 37/  xx
 e) 
 012/ 2  xxx
 
b) 
 31/*  xx
 d) 
 1023/*  xx
 f) 
 31/ 2  yx
 
 
2) Os conjuntos A = 
 42 e /  xxx
 e B = 
 065/ 2  xxx
 são iguais? 
Justifica. 
 
 
3) Dados A=(-4,3], B=[-5,5] e E=(-

,1), calcula: 
a) A    E b)     E c) (     
 
 
4) Dados os conjuntos A = {a,b,c}, B = {b,c,d} e C = {a,c,d,e}, então qual é o conjunto P = 
  C)  (C – B)      C). 
 
 
5) Qual é a intersecção dos conjuntos Q     e   Q   ? 
 
 
6) Sendo 
:f
 uma função definida por f(x)=x2-3x-10 , calcula: 
a) f(-2) b) f(-1) c) f(0) d) f(1/2) 
 
 
7) Dada a função 
:f
 definida por f(x) = x2 – 5x + 6, calcula os valores reais de x 
para que se tenha: 
a) f(x)=0 b) f(x)=12 c) f(x)=6 
 
 
8) Sejam as funções definidas por f(x) = 2x + a e g(x) = 5x – b. Calcula o valor de a e b de 
modo que se tenha f(3) = 9 e g(1) = 3. 
 
 
9) Dada a função 
:f
 definida por f(x) = x2 – x – 12, determina k para que f(k + 1) = 
0. 
 
10)Dada a função 
3
1
2
1
)(




xx
xf
, 
a) qual o valor de f(-1) e 3f(0)? 
b) Encontra m de modo que 
)0()1( ffm 
 
c) Calcula x para que f(x)=
2
3
. 
 
11)Calcule o domínio das funções: 
a) 
9
1
1
1
)(
2 




xx
x
xf
 g) 
4
21
)(
3




x
x
x
x
xf
 
b) 
12)(  xxf
 h) 
xxf 3)( 
 
c) 
2
1
)(



x
x
xf
 i) 
xxxf 3)( 2 
 
d) 
5 xy
 j) 
 
34
23



x
x
y
 
e) 
35  xy
 k) 
3xy 
 
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32 
 
f) 
4
2

x
y
 l) 
3-x
1-2x
 
4



x
x
y
 
 
12) (PUC/Campinas-SP) Em certa cidade, os taxímetros marcam, nos percursos sem 
parada, uma quantia inicial de 4 UT (Unidade Taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro 
rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrava 8,2 UT, qual foi o 
total de quilômetros percorridos? 
 
13) Os esboços seguintes representam funções; observando-os, determine o domínio e o 
conjunto imagem de cada uma das funções. 
 
 
Respostas 
1) a){0,1,2,3,4}; b){1,2,3}; c){}; d){4}; e){-3,4}; f){
22 , 22
} 
2) Sim. A = B = {2,3} 
3) a) (-4,1); b) (

,5]; c)[-5,1) 
4) {a,b,c,e} 
5)

 
6) a) 0; b) -6; c) -10; d) -45/4 
7) a){2,3}; b){-1,6}, c){0,5} 
8) a =3 e b =2 
9) k =-4 ou k =3 
10) a) -7/12, -5/2; b) - 7/3; c) {4, 7/3} 
11) a)
}3 e 1 e 3/{  xxxx
 ou IR – {-3, 1, 3}; b) [½ ; +); c) (2; +); 
d) ; e) ; f) ; g) [1; +); h) ; i ) ; j ) 
}4/3/{  xx
 ou IR – {¾} ; k) ; 
 l ) 
} 3 e 4/{  xxx
 ou IR – {3, 4} 
12) 21; 
13) a) 
)2,2[f Im
)3,2[ 

fDom
 b) 
)3,2(f Im
)4,2( 

fDom
 
 
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33 
 
 c) 
]2,0[f Im
]5,0[f 

Dom
 d)
]3,1[f Im
)3,3(f 

Dom
 
 e) 
]3,2(f Im
}1{]4,3[f 

Dom
 f) 
)3,1(f Im
}1{)3,3(f 

Dom
 
 
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34 
 
 
Tópico 3. Principais funções elementares 
 
 
 
3.1 Função constante 
 
 Dado um número real k, chama-se função constante a função 
:f
, definida por 
f(x) = k. 
 
Exemplos 
a) f(x) = 1 b) f(x) = -3 c) f(x) =
2
 d) f(x) = 
3
5
 
Gráfico da função constante 
 
O gráfico da função constante f(x) = k é uma reta paralela ao eixo x passando pelos pontos 
de ordenada y = k. Nos exemplos (a) e (b) acima temos: 
 
 
3.2 Função polinomial do 1º grau 
 
Dados os números reais a e b, com a  0, chama-se função do 1º grau a função 
:f
, definida por y = ax + b ou f(x) = ax + b. 
O número a é chamado coeficiente angular e o número b é chamado coeficiente linear 
(onde a reta corta o eixo y). 
 
 
 
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35 
 
 
Exemplos: 
 
 a) f(x)=5x-2 coeficiente angular: ___ coeficiente linear: ___ 
 
 b) y = x + 3 coeficiente angular: ___ coeficiente linear: ___ 
 c) g(x)= 
2
x

 coeficiente angular: ___ coeficiente linear: ___ 
 
Observação: 
xxf )(
 é chamada Função Identidade. 
 
Gráfico da função polinomial do 1ºgrau 
 
 O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta não paralela nem ao eixo x, nem ao eixo y. 
Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem também é o conjunto dos números reais. 
Ou seja, Dom f=

 e Im f = 

. 
 
Exemplos: 
1) Construa o gráfico das seguintes funções: 
 
a) Y = 2x+3 b) y = -2x+3 
 
2) Escreva a função correspondente ao gráfico: 
 
 
3.3 Função polinomial do 2º grau 
 
Dados os números reais a e b, com a  0, chama-se função polinomial de 2º grau ou 
função quadrática a função 
:f
, definida por y = ax2 + bx + c ou f(x) = ax2 + bx + c. 
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36 
 
 
Exemplos: 
a) f(x) = x2 – 4x – 3 a = ____ b =____ c =____ 
b) y = x2 – 9 a = ____ b =____ c =____ 
c) g(x) = – 4x2 + 2x – 3 a = ____ b =____ c =____ 
d) h(x) = x2 + 7x a = ____ b =____ c =____ 
 
Exercício: Sendo f(x) = (m + 5)x2 + 2x – 4, determine m de modo que: 
a) f(x) seja do 2º grau 
b) f(x) seja do 1º grau 
 
Gráfico da função quadrática 
 
 O gráfico de uma função do 2º grau é uma curva denominada parábola. Seu domínio é o 
conjunto dos números reais e sua imagem é um subconjunto dos números reais. Ou seja, Dom f=

 e Im f  

. 
 
Exemplos: 
Construa o gráfico das seguintes funções: 
b) f(x) = x2b) g(x) = – x2 
 
 
 Concavidade 
 
 O sinal de a (coeficiente de x2) determina a concavidade da parábola. Assim: 
 Se a > 0 (a positivo), a concavidade é voltada para cima:  
 Se a < 0 (a negativo), a concavidade é voltada para baixo:  
 
Podemos verificar isto nos exemplos anteriores, onde f(x) tem concavidade voltada para 
cima, pois a = 1 e g(x) tem concavidade voltada para baixo, pois a = – 1. 
 
 
 Zeros (ou raízes) de uma função do 2º grau 
 
 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO 
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37 
 
 Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que anulam a 
função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Em termos de representação gráfica, são as abscissas dos 
pontos onde a parábola corta o eixo x. 
 Denomina-se equação do 2º grau com uma variável toda equação da forma ax2 + bx + c = 0 
, onde x é a variável e a, b, c 

 

 com a 

0. 
Observação: c é a ordenada do ponto (0, c), onde a parábola corta o eixo y. 
 
Exemplos: 
a) 2x2 – 3x + 1 = 0 a = 2; b = -3; c = 1 
b) x2 – 4 = 0 a = 1; b = 0; c = -4 
c) y2 + 3y = 0 a = 1; b = 3; c = 0 
d) 5x2 = 0 a = 5; b = 0; c = 0 
 
Resolução de Equações do 2º Grau 
Resolver uma equação significa determinar o conjunto solução (ou conjunto verdade) dessa 
equação. Para a resolução das equações do 2º grau, utilizamos a Fórmula Resolutiva ou Fórmula de 
Báskara dada abaixo: 
 Se ax2 + bx + c = 0 e a  0, então 
 
 
 
 Se 
0
 a equação tem raízes reais 





0
0
 
 Se 
0
 a equação não tem raízes reais. 
 
Exemplos: Dada a função f, calcular os zeros desta função. 
a) f(x) = 2x2 – 3x + 1 b) h(x) = x2 – 4 c) g(x) = x2 + 3x 
d) y = 5x2 e) g(x) = x2 – 5x + 7 f) y = x2 – 6x + 9 
 
Vértice da Parábola 
 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou um ponto de ordenada mínima. A 
esse ponto chamaremos vértice da parábola e o representaremos por V(xv,yv) onde 
a
b
x
2


 , onde 
acb 42 
 
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38 
 
 
a
y
a
b
x vv
4
 e 
2
 


 
 
Assim: 
 
 
Exemplos 
 
1) Determine as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função 
23)( 2  xxxf
 
2) Determine a e b de modo que o gráfico da função definida por 
92  bxaxy
 tenha 
o vértice no ponto (4,-25). 
 
 
Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau 
 Examinando os gráficos abaixo, observa-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
1) A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor? 
 
 





 

aa
b
V
4
,
2
 
Se a > 0, 
av
y
4


 é o valor 
mínimo da função. 
Se a < 0, 
av
y
4


 é o valor 
máximo da função. 
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39 
 
 
 
3.4 Função exponencial 
 
Dado um número real a, tal que a  1 e a > 0, é dado o nome de função exponencial de 
base a à função 
:f
definida por y = ax ou f(x) = ax . 
Exemplos: 
a) f(x) = 2x 
b) f(x) =
 x2
 
c) f(x) = (0,4)x 
d) f(x) = x






3
1
 
e) f(x)=
xe
 
 
Gráfico da função exponencial 
 
O gráfico de uma função exponencial é uma curva, em que devem ser observadas algumas 
particularidades: 
 
 o gráfico nunca corta o eixo das abscissas (Ox), ou seja, a função não tem zeros (raízes); 
 o gráfico corta o eixo das ordenadas (Oy) no ponto (0,1); 
 os valores de y são sempre positivos. 
 
Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é o conjunto dos números reais 
positivos. Ou seja, Dom f = 

 e Im f = 

*
= [0; +[. 
 
Quanto à base da função, devemos considerar dois casos: 
 
 Base maior que um (a > 1) f (x) = ax ( a > 1 ) 
 
 A função é crescente. 
 Dom f = 

. 
 Sua imagem são os reais positivos, Im = 

*
= [0; +[. 
 Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1  y2 > y1. 
 
 
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 Base entre zero e um (0 < a < 1) f (x) = ax ( 0 < a < 1 ) 
 
 A função é decrescente. 
 Dom f = 

. 
 Sua imagem são os reais positivos, Im = 

*
= [0; +[. 
 Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1  y2 < y1. 
 
 
 
As funções exponenciais são usadas para representar muitos fenômenos nas ciências naturais e 
sociais. A base mais comumente usada é o número e = 2,7182 ..., número irracional chamado 
número de Euler. 
Assim, a função exponencial de base e, f (x) = ex e a função exponencial de base 1/e , f 
(x) = (1/e)x = e-x têm os seguintes gráficos: 
 
 
3.5 Função logaritmica 
 
Dado um número real a, tal que a  1 e a > 0, é dado o nome de função logarítmica de base 
a à função 

*:f
 definida por y = logax ou f(x) = logax . 
 Exemplos 
a) 
xxf 2log)( 
 
b) 
xxf
2
1log)( 
 
c) 
xxxf e lnlog)( 
 
 
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Algumas observações quanto aos logaritmos 
 
 Definição de logaritmo: 
xyxa 
ya log
, a > 0. 
 Só existe logaritmo de um número positivo, já que a base é positiva (a > 0) e o resultado 
de qualquer potência positiva é um número positivo. 
 Quando a base não estiver escrita, subentendemos que é a base 10, ou seja, 
xx loglog10 
. 
 Quando a base for o número de Euler, a constante e, chamamos de “logaritmo natural” e 
usamos a notação ln, ou seja, 
xx lnloge 
. 
 
Gráfico da função logarítmica 
 
O gráfico de uma função logarítmica é uma curva, em que devem ser observadas algumas 
particularidades: 
 
 o gráfico nunca corta o eixo das ordenadas (Oy); 
 o gráfico corta o eixo das abscissas (Ox) no ponto (1,0), ou seja, 1 é a raiz ou zero da 
função; 
 os valores de x são sempre positivos. 
 
Seu domínio é o conjunto dos números reais positivos e sua imagem é o conjunto dos 
números reais. Ou seja, Dom f = 

*
 e Im f = 

. 
 
Quanto à base da função, devemos considerar dois casos: Base maior que um (a > 1) f (x) = logax ( a > 1 ) 
 
 A função é crescente. 
 Dom f = . 
 Sua imagem são os reais positivos (Im =

). 
 Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1  y2 > y1. 
 
 

*
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 Base entre zero e um (0 < a < 1) f (x) = logax ( 0 < a < 1 ) 
 
 A função é decrescente. 
 Dom f = 

*
. 
 Sua imagem são os reais positivos (Im = 

). 
 Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1  y2 < y1. 
 
 
Da mesma forma que na função exponencial, a base mais comumente usada é o número de 
Euler e chamamos este logaritmo de “logaritmo natural”: 
xx lnloge 
 . 
 
 
Exercício: Fazer o esboço do gráfico e determina o domínio e a imagem para cada função abaixo 
definida: 
1) f(x) = 8x 2) g(x) = 8x + 1 3) y = 
2
3
1






x 
4) h(x) = 
xln
 5) 
xy
5
1log
 6) p(x) =
xln2 
 
 
 
 
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LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS 
 
1) Dada a função f(x) = 4x – 2, pede-se: 
a) o valor de x para o qual se tenha f(x)=0. 
b) o valor de x que tem imagem 1. 
 
2) Sendo f(x+3) = 2x + 4, pede-se: 
a) f(0) b) f(5) 
3) Construa o gráfico das funções abaixo, determinando domínio, imagem, zero da função e sinal 
da função. 
a) y = x b) f(x)=
2
 c) f(x) =5-3x d) f(x)=0 
4) Dada a função linear y = ax + b, sabendo-se que f(1) = 6 e f(2) = 11. Encontre a e b. 
 
5) Encontre a lei da função determinada pelo gráfico abaixo: 
 
 
6) Dada a função f, calcule os zeros desta função e represente graficamente, sendo: 
a) 
67)( 2  xxxf
 
b) 
62)( 2  xxxf
 
c) 
12)( 2  xxxf
 
d) 
3)( 2  xxf
 
e) 
36)( 2  xxf
 
f) 
2)4()(  xxf
 
g) 
2)9()(  xxf
 
 
7) Sendo 
33 3)( 2  xxxf
 calcule: 
a) f(3) b) 
33
)3()3(

 ff
 
8) Dadas as funções reais f(x) = x2 – 1 e g(x) = –x2, calcule o valor de f(–1).g(–2). 
 
9) Sendo f(x) = x2 + 2x – 1 e g(x) = x2 , determine os valores de x para os quais f(x) = g(x). 
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10) Determine k, de modo que f(x) = (k – 3)x2 – 4 não possua raízes reais. 
 
11) Dada à função representada pelo gráfico abaixo determine: 
 
 
 
a) Dom f 
b) Im f 
c) os zeros da função; 
d) os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente; 
e) os intervalos onde f é positiva e onde é negativa. 
 
 
12) A parábola que representa graficamente a função y = –2x2 + bx + c passa pelo ponto (1, 0) e 
seu vértice é o ponto de coordenadas (3, k). Determina o valor de k. 
 
 
 
 
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Tópico 4. Cálculo Diferencial e Integral: 
Limite e Continuidade de uma função 
 
 
4.1 Limite 
 
4.1.1. Definição 
 
O conceito de limite de uma função é fundamental para o estudo e compreensão do cálculo. 
Aproveitaremos a ideia intuitiva de limite de se aproximar o máximo possível de um ponto e, 
mesmo assim, nunca alcançá-lo. 
Antes, porém, é conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x 
tende a “a”, não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto “a”, pois quando 
calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto desejamos do ponto 
“a”, porém não coincidente com “a”, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do 
ponto “a”. 
Consideremos a função definida por . Vamos estudar o limite de f(x) quando 
x tende a 2, ou seja, . 
 
Observemos que para x = 2, a função não é definida, ou seja, não existe o f(2). Entretanto, 
lembrando que 4x2 - 16 = (2x + 4) (2x - 4), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = 
2x + 4. 
Mesmo não existindo f(2), o limite de f(x) quando x tende a 2 existe e pode ser calculado 
da seguinte forma: 
 
 
Estudaremos a função f quando x assume valores próximos de 2, porém, diferente de 2. 
Atribuindo a x valores próximos de 2, porém menores que 2, temos: 
 
Se atribuirmos a x valores próximos de 2, porém maiores que 2, temos: 
 
Observemos em ambas as tabelas que, quando x se aproxima cada vez mais de 2, f(x) 
aproxima-se cada vez mais de 8. 
 
Definição: Se os valores da função f(x) se aproximarem cada vez mais do número L, 
enquanto x se aproximar cada vez mais do número a, diz-se que L é o limite de f(x), 
quando x tende a a, e escreve-se 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
 
 
 
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4.1.2. Propriedades dos limites 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Observação: 
 
Enfatizamos que a propriedade 3 de limites é válida apenas quando o limite da função, que aparece 
no denominador, não é igual a zero no ponto em questão. Caso o denominador seja igual a zero, 
podemos simplificar a expressão, solucionando assim nosso problema, conforme exemplo seguinte: 
 
 
, resulta numa indeterminação com o denominador igual a zero. Logo, não podemos aplicar 
imediatamente a propriedade 3, temos que primeiro contornar essa indeterminação, simplificando 
as expressões: 
 
 
 
Indeterminações Matemáticas: 
As indeterminações matemáticas são normalmente apresentadas da seguinte forma: 
 
Exemplos práticos: 
 
(1) Um carro em movimento progressivo e passa pela origem da trajetória em t = 0s, com 
uma velocidade escalar constante de 6 m/s. A tabela 01 demonstra as posições do objeto ao 
longo do tempo. 
 
 
 
Plotando os dados em um gráfico (Figura 01) posição (x) em função do tempo (t), é 
possível explorar limites da função. 
 
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