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1 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO PLANO Um sistema de eixos ortogonais no plano é constituído de duas retas orientadas x e y, perpendiculares entre si concorrendo no ponto 0 (origem). A reta orientada x é denominada eixo x ou eixo das abscissas; a reta orientada y é denominada eixo y ou eixo das ordenadas. Os eixos coordenados x e y dividem o plano em 4 partes ou quadrantes. Por um ponto qualquer do plano traçam-se perpendiculares sobre cada um dos eixos, determinando neles os pontos Px e Py tal que x = OPx e y = OPy. Sendo assim podemos associar a cada ponto P do plano um par ordenado de números reais, ficando P determinado por suas coordenadas cartesianas (ou retangulares); P(x,y) onde x é abscissa e y é a ordenada de P. Reciprocamente, dado um par de números reais, localiza-se no plano um único ponto P. Há, portanto, uma correspondência bijetiva (biunívoca) entre os pontos do plano e os pares de números reais. Particularidades: a) O(0,0): origem do sistema cartesiano b) Px(x,0): projeção ortogonal de P sobre o eixo das abscissas c) Py(0,y): projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO ESPAÇO É constituído por três retas orientadas x, y e z mutuamente perpendiculares entre si e concorrentes no ponto O. Elementos: ponto O: origem do sistema cartesiano retas orientadas: eixos cartesianos: Ox, Oy e Oz. Planos: planos cartesianos xOy, xOz e yOz. Pelo ponto P do espaço traçam-se três planos paralelos aos planos coordenados individualizando um paralelepípedo retângulo que intercepta os eixos x, y e z nos pontos Px, Py e Pz respectivamente. Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla ordenada de números reais P(x,y,z) que são suas coordenadas, onde: 2 x = OPx: abscissa y = OPy: ordenada z = OPz: cota Este sistema estabelece uma correspondência bijetiva entre cada ponto do espaço e a terna ordenada de números reais. Os planos coordenados dividem o espaço em 8 regiões denominadas octantes. Particularidades: a) O (0,0): origem do sistema. b) P1(x,y,0), P2(0,y,z) e P3(x,0,z): projeções ortogonais de P sobre os planos coordenados. c) Px (x,0,0), Py(0,y,0) e Pz(0,0,z): projeções ortogonais de P sobre os eixos coordenados. Exercícios: 1) Determinar as coordenadas dos pontos do gráfico abaixo: 2) Representar graficamente os seguintes pontos: A (1,2,3), B (2,-3,4), C (1,-2,-3), D (2,3,-2) e E (-2,-2,3) 3 VETORES: Definições. Reta orientada (eixo): uma reta é orientada quando é fixado um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta. Segmento orientado AB: é determinado por um par ordenado de pontos, origem A e extremidade B. Geometricamente é representado por uma seta. B A Segmento nulo: a extremidade coincide com a origem. É um ponto. Segmentos opostos: se AB é um segmento orientado, BA é o oposto de AB. Medida de um segmento: fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real não negativo, denominado comprimento ou módulo. É indicado por AB . O segmento nulo tem comprimento igual a zero. Segmentos opostos tem mesma medida. Direção e Sentido: dois segmentos orientados não nulos tem a mesma direção se suas retas suportes forem paralelas ou coincidentes. O sentido é dado pela seta. Segmentos eqüipolentes: dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Representamos por AB ~ CD. Vetor determinado por um segmento orientado AB: é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB. O vetor determinado por AB é indicado por AB ou AB ou v . Vetores iguais: CDAB se e somente se AB ~ CD. Vetor nulo: é o vetor de direção e sentido arbitrários. É indicado por 0 . Vetores opostos: se ABv o oposto é vABBA . 4 Vetor unitário: vetor de módulo um. 1v . Versor de um vetor não nulo v , é um vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v . v v vvers . Vetores colineares: tem mesma direção. Vetores coplanares: tem representantes (imagens geométricas) sobre um mesmo plano. Soma de ponto com vetor: a soma do ponto A com o vetor v é o ponto B que é a extremidade da imagem geométrica de v construída a partir de A. ABv BvA . OPERAÇÕES COM VETORES Adição: Geometricamente a soma de n vetores é feita considerando as imagens geométricas dos vetores de modo que a extremidade de cada vetor coincida com a origem do vetor seguinte. O vetor resultante é aquele que fecha a poligonal, tendo por origem a origem do primeiro vetor e extremidade a extremidade do último vetor. Dados os vetores wevu , , obter graficamente: a) wu b) wvu c) wu d) uw e) wvu w v u 5 Multiplicação de número real por vetor: O produto de um número real 0k por um vetor 0 v é um vetor vkp . O vetor vk tem mesma direção de v . Ângulo entre dois vetores O ângulo de dois vetores não nulos é o ângulo formado pelas semiretas OA e OB e tal que 0 . Observações: a) Se 0 , os vetores tem a mesma direção e o mesmo sentido. b) Se , os vetores tem a mesma direção e sentidos contrários. c) Se 2 os vetores são ortogonais. Indicamos por vu . d) O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. e) Se vu e k , então vku . f) O ângulo formado pelos vetores veu é o suplemento do ângulo de veu . 6 Exercícios: 1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: 2. Dado o paralelepípedo a seguir, decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: 7 3. Com base na figura do exercício 1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A. 4. Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A. 5. A figura abaixo apresenta um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: 6. Com base na figura do exercício 5, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A. 8 7. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: 8. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores ADeAB , sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar: 9. No hexágono regular ABCDEF, obter: BDFDFEAEc BEAEADb AFFEABa ) ) ) 10. Dados os pontos M, N e P, escrever o vetor PA em função dos vetores PNePM , sabendo que o ponto A pertence à reta suporte de MN e tal que AMAN 3 . 11. Qual a condição que devem satisfazer os vetores veu de modo que o vetor vu seja bissetriz do ângulo por eles formado? 12. Sendo dados 8,4, vuuvu , calcule v e determine os ângulos que o vetor vu forma com u e com v respectivamente. 13. Os vetores veu formam um ângulo de 60 o . Sabe-se que 58 veu . Calcule vuevu . 9 Respostas: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. ABAEAD ,, 12. 60,30,34 13. 7,129 10 VETORES NO 2 E NO 3 Até agora estudamos os vetores sob o ponto de vista geométrico, representando-os por segmentos de reta orientados. Outra forma de representação é a algébrica, onde os vetores são relacionados com o referencial cartesiano. Decomposição de um vetor no plano: Dados dois vetores 21 vev não colineares e um vetor v coplanar a eles, podemos obter v a partir de 21 vev (basta determinar vetores que tenham a mesma direção de 21 vev e que somados resultem v ). v é combinação linear de 21 vev . O conjunto { 21, vv } é denominado base no plano. Qualquer conjunto de dois vetores não colineares forma uma base no plano. Os números 21 aea são as componentes ou coordenadas de v em relação à base { 21, vv }. Na prática as bases mais utilizadas são as ortonormais, isto é, as bases compostas por vetores unitários e ortogonais. Dentre as infinitas bases ortonormais no plano destaca-se a base que determina o sistema cartesiano ortogonal xOy denominada base canônica. Os vetores unitários e ortogonais são simbolizados por jei , ambos com origem na origem do sistema e extremidades em 1,00,1 e respectivamente. Base canônica ji , . Expressão analítica (ou cartesiana) de um vetor Fixada uma base, usaremos a canônica, fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre os vetores do plano e os pares ordenados de números reais. A cada vetor do plano podemos associar um par ordenado de números reais. Os números x e y são as componentes ou coordenadas de v na referida base. 11 Igualdade de vetores: Dois vetores 2211 ,, yxveyxu são iguais se e somente se 2121 yyexx . Operações com vetores: Sejam os vetores 2211 ,, yxveyxu e . 11 2121 , , yxu yyxxvu Vetor definido por dois pontos. Um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Quando as componentes de um vetor AB são calculadas pela diferença AB , temos o representante cuja origem está na origem do sistema. Exemplo: Dados os pontos A(-2,3), B(1,4), C(1,2) e D(4,3) determinar os vetores CDeAB . Paralelismo de dois vetores. Dois vetores 2211 ,, yxveyxu são paralelos se existe um número real tal que vu 2211 ,, yxyx 2211 ,, yxyx 2121 yyexx 2 1 2 1 y y x x Dois vetores são paralelos quando suas componentes são proporcionais. Considera-se o vetor nulo paralelo a qualquer vetor. Se uma das componentes de um vetor for nula, a respectiva componente de um vetor paralelo também é nula. Módulo de um vetor Seja yxv , pelo teorema de Pitágoras temos que 22 yxv A distância entre dois pontos 2211 ,, yxBeyxA é o módulo do vetor AB . ABBAd ),( . 12 Vetores no espaço A base canônica no espaço é composta pelos vetores keji , representados com origem no ponto O. Igualdade de vetores: Dois vetores 222111 ,,,, zyxvezyxu são iguais se e somente se 212121 , zzeyyxx . Operações com vetores: Sejam os vetores 222111 ,,,, zyxvezyxu e . 111 212121 ,, ,, zyxu zzyyxxvu Paralelismo de dois vetores. Dois vetores 222111 ,,,, zyxvezyxu são paralelos se existe um número real tal que vu 222111 ,,,, zyxzyx 222111 ,,,, zyxzyx 212121 zzyyxx 2 1 2 1 2 1 z z y y x x Dois vetores são paralelos quando suas componentes são proporcionais. Módulo de um vetor Seja zyxv ,, pelo teorema de Pitágoras temos que 222 zyxv A distância entre dois pontos 222111 ,,,, zyxBezyxA é o módulo do vetor AB . ABBAd ),( . 13 EXERCÍCIOS: 1. Dados os pontos A(-1,3), B(2,5) e C(3,-1), calcular CBBAeABOA 43 . (-4,1), e (-5,-30) 2. Dados os vetores 6,121,5,4,2 wevu , determinar a e b tais que vbuaw . a= -1 e b =2 3. Dados os pontos A(2,-2) e B(-1,4) e os vetores 1,23,1 veu , determinar: a) a) u c) vu 32 b) b) vu d) d(A,B) 45,97,13,10 4. Calcular os valores de a para que o vetor 2, au tenha módulo 4. 32a 5. Calcular os valores de a para que o vetor 2 1 ,au seja unitário. 2 3 a 6. Dado o vetor 4,3 v , calcular o versor de v e o versor de v 2 . 5 4 , 5 3 7. Em 3 apresentar o vetor genérico que satisfaz a condição: a) Paralelo ao eixo dos x; b) Representado no eixo dos z; c) Paralelo ao plano xy; d) Paralelo ao plano yz; e) Ortogonal ao eixo dos y; f) Ortogonal ao eixo dos z; g) Ortogonal ao plano xy; h) Ortogonal ao plano xz. 8. Dados os pontos A(2,-3,1) e B(4,5,-2), determinar o ponto P tal que PBAP . 2 1 ,1,3P 9. Dados os pontos A(1,2,3), B(-6,-2,3) e C(1,2,1), determinar o versor do vetor BCBAv 23 . 9 4 , 9 4 , 9 7 10. Seja o vetor kjmimv 527 . Calcular m para que 38v . 4m ou 5m 11. Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0,1,2), B(-1,0,-1) e C(2,-1,0). 3112 12. Dado o vetor 3,1,2 v , determinar o paralelo a v que tenha: a) Sentido contrário ao de v e três vezes o módulo de v ; (-6,3,9) b) O mesmo sentido de v e módulo 4; 14 12 ,14 4 , 14 8 c) Sentido contrário ao de v e módulo 5. 14 15 , 14 5 , 14 10 14 13. Determinar o simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3). ,P (-5,-1,-4). 14. Num paralelogramo ABCD, sabe-se que A(1,3,-2) e que as diagonais são 1,0,23,2,4 BDeAC . Calcular as coordenadas dos outros três vértices. B(4,4,-4), C(5,5,-5) e D(2,4,-3). 15. Verificar se os vetores 6 1 , 6 2 , 6 1 1,1,1 veu são unitários. v é unitário 16. Determinar o valor de a para que aaau 2,2, seja um versor. 3 1a 17. Dados os pontos A(1,0,-1), B(4,2,1) e C(1,2,0), determinar o valor de m para que 7v , sendo BCACmv . 2m 18. Determinar o valor de y para que o triângulo de vértices A(4,y,4), B(10,y,-2) e C(2,0,-4) seja equilátero. 2y 19. Obter um ponto P do eixo das cotas cuja distância ao ponto A(-1,2,-2) seja igual a 3. P(0,0,0) ou P(0,0,-4). 20. Dados os pontos A(3,m-1,-4) e B(8,2m-1,m) determinar m de modo que 35AB . 3m ou 1m 15 PRODUTO ESCALAR O produto escalar dos vetores veu , representado por vu ou vu , , é o número real dado por cosvuvu 0 0vu , indica que 0cos é agudo ou nulo. 0vu , indica que 0cos é obtuso ou raso. 0vu , quando um dos vetores é nulo ou quando os dois vetores são ortogonais. Propriedades Para quaisquer vetores wevu , e o número real , valem as propriedades: I) Comutativa: uvvu II) Associativa em relação à multiplicação por escalar: vuvuvu III) Distributiva em relação à adição de vetores: wuvuwvu IV) 2 uuu V) 222 2 vvuuvu Expressão analítica do produto escalar Sejam os vetores kzjyixu 111 e kzjyixv 222 . 212121 zzyyxxvu 1. Dados os vetores kjivekjiu 24853 , calcular vu . 14 2. Sendo 1203,2 evu o ângulo entre veu , calcular vu e vu . 73 e 3. Dados os vetores 1,1,1,1,,12,,1 aweaavaau determinar o valor de a de modo que wvuvu a =2 4. Dados os pontos A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3), determinar o vetor x tal que ACABBCxABx 2 . 15,13,17 x 5. Mostrar que os vetores 2,5,43,2,1 veu são ortogonais. 6. Usando o produto escalar, mostrar que o triângulo de vértices 1,1,2,1,3,2 BA e 2,2,2 C é um triângulo retângulo. 7. Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 10cm. Calcular ACAB . 50 8. Os lados de um triângulo retângulo (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular CBCABCBAACAB . 169 9. Qual o valor de x para que os vetores kjixbekjixa 42145 sejam ortogonais? -3 ou 2 10. Dados os vetores xxcexbxa ,8,22,5,2,,1,2 , determinar o valor de x para que o vetor ba seja ortogonal ao vetor ac . 3 ou -6 16 Ângulo de dois vetores Da definição cos vuvu temos: vu vu cos Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor Seja o vetor não nulo kzjyixv . Ângulos diretores de v são os ângulos e, que v forma com os vetores keji , . Cossenos diretores de v são os cossenos de seus ângulos diretores. v x v zyx iv iv )1( 0,0,1,, cos v y v zyx jv jv )1( 0,1,0,, cos v z v zyx kv kv )1( 1,0,0,, cos Os cossenos diretores de v são as componentes do seu versor: cos,cos,cos,,,, v z v y v x v zyx v v . Como o versor é um vetor unitário, temos: 1coscoscos 222 1. Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3,-2,1). Determinar o ângulo interno ao vértice B. 45 2. Calcular os ângulos diretores de 0,1,1v . 9013545 3. Os ângulos diretores de um vetor são e 60,45 . Determinar . 12060 ou 4. Um vetor v do espaço forma com os vetores jei ângulos de 12060 e , respectivamente. Determinar o vetor v , sabendo que 2v . 2,1,1 5. Determinar o vetor v , sabendo que 4v , v é ortogonal ao eixo Oz, forma ângulo de 60 com o vetor i e ângulo obtuso com j . 0,32,2 17 Projeção de um vetor sobre outro. Sejam dois vetores u e v não nulos e o ângulo entre eles. Podemos decompor v tal que 21 vvv sendo uveuv 21 // . O vetor 1v é denominado projeção ortogonal de v sobre u e é representado por vprojv u 1 Se uvuv 11 // Sabendo que 21 vvv , temos: 12 vvv , substituindo 1v uvv 2 Se 022 uvuv uu uv uuuv uuuv uuv 0 0)( vprojuv u 1 u uu uv vproju )( Interpretação geométrica do módulo do produto escalar O módulo do produto escalar dos vetores uev , sendo u unitário, representa o comprimento do vetor projeção de v sobre u . Determinar o vetor projeção de 3,2,1 u na direção de 2,1,2 v . 18 Exercícios: 1. Calcular n para que seja de 30 o ângulo entre os vetores jvenu 2,,1 . 15 2. Determinar o vetor v , paralelo ao vetor 2,1,1u , tal que 18uv . 6,3,3 3. Determinar o vetor v , sabendo que 5v , v é ortogonal ao eixo Oz, 6wv e kjw 32 . 0,3,4 4. Sabe-se que 4 1 cos 2 1 cos,2 ev . Determinar v . 2 11 , 2 1 ,1 5. O vetor v é ortogonal aos vetores 2,0,13,1,2 weu e forma ângulo agudo com o vetor j . Calcular v , sabendo que 63v . 1,7,2 6. Determinar o vetor v , ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições 101 vv e 52 vv , sendo 1,3,21 v e 2,1,12 v . 0,4,1 7. Calcular o módulo dos vetores vu e vu , sabendo que 4u , 3v e oângulo entre veu é de 60 . 1337 e 8. Sabendo que 2u , 3v e o ângulo entre veu é de rad 4 3 , determinar vuvu 22 . 21526 9. Determinar wvwuvu , sabendo que 2u , 3v e 5w . -9 10. O vetor v é ortogonal aos vetores 0,2,1a e 3,4,1b e forma ângulo agudo com o eixo Ox. Determinar v , sabendo que 14v . 4,6,12 11. Calcule o ângulo formado pelos vetores kjivekjiv 2222 21 e determine um vetor unitário sobre a bissetriz do ângulo desses vetores. 0, 10 1 , 10 3 9 4 cosarc 12. Dados os vetores 1,3,22,2,1 21 vev , determine os vetores bea tais que 121 //, vbevavba . 21322329227 ,,10,,9 ba 13. Os vetores bea formam um ângulo de 60°. Calcule um ângulo formado pelos vetores veu , sabendo que bau 2 , 26, beabav . 182 9111 cosarc 19 14. Os vetores veu são dois lados consecutivos de um paralelogramo e formam um ângulo de 60°. Calcule o ângulo formado pelas diagonais do paralelogramo, sabendo que 24 veu . 7 21 cosarc 15. Dados os vetores 1,1,11,1,0 veu determine os vetores w , sabendo que 5; wevvwuuw . (1,2,0) e (1,0,2) 16. Um vetor unitário v forma com o eixo coordenado Ox um ângulo de 60° e com os outros dois eixos Oy e Oz ângulos congruentes. Calcule as coordenadas desse vetor e o ângulo que ele forma com um vetor kjw . 30 4 6 , 4 6 , 2 1 v 17. Os vetores veu formam um ângulo de 3 2 rad. Sabe-se que 54 veu . Calcule: 1613232) 61) 6123) vuvuc vuvub vuvua 18. Dados os vetores unitários wevu , que satisfaçam a condição 0 wvu , calcule wvwuvu . –3/2 19. Os vértices de um triângulo são M( 1,1,2), N(5,1,3) e Q( -3,9,3). Calcule as coordenadas do vetor HM , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. (2,2,1) 20. Determine u tal que 2u , o ângulo entre 0,1,1veu seja de 45° e que 0,1,1u . 1, 2 2 , 2 2 20 Produto vetorial ou externo O produto vetorial dos vetores 111 ,, zyxu e 222 ,, zyxv , nesta ordem, representado por vu ou vu , é o vetor: 222 111 zyx zyx kji vu Propriedades: )()(:)10 :)9 :)8 ,:)7 :)6 0 0)5 )4 )3 )2 0)1 2222 wvuwvuoassociativéNão senvuvuMódulo vuvuvuLagrangedeIdentidade positivotriedroumformamvuevuSentido v u vuDireção vku u vu wuvuwvu vmuvumvum uvvu uu Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores )3,1,2( u e )0,1,1(v . Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores: a) ij 2 b) ki 23 21 Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial Geometricamente o módulo do produto vetorial mede a área do paralelogramo determinado pelas imagens geométricas de dois vetores. Exercícios: 1. Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores )0,1,4()2,1,3( veu . 117 u.a. 2. Calcular a área do triângulo de vértices A(-1,2,-2), B(2,3,-1) e C(0,1,1). 62 u.a. 3. Calcular x, sabendo que A(x,1,1), B(-2,0,1) e C(1,-2,0) são vértices de um triângulo de área 2 29 . 5 1 3 xoux 4. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores abeba 2 , sendo )3,0,1()2,1,3( bea . kk ),1,7,3( 5. Sabendo que 452,3 eba é o ângulo entre bea , calcular ba . 3 6. Se 33ba , 603 ea é o ângulo entre bea , calcular b . 2 7. Dados os vetores )1,1,2()2,4,3( veu , obter um vetor de módulo 3 que seja ao mesmo tempo ortogonal aos vetores vuevu 2 . 15,3,6 30 1 8. Calcular a área do triângulo de vértices A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3). 6 u.a. 9. Dado o triângulo de vértices A(0,1,-1), B(-2,0,1) e C(1,-2,0), calcular a medida da altura relativa ao lado BC. 7 353 u.c. 10. Dados os vetores 2,1,1)2,2,2(,)1,1,0( wevu , determinar o vetor x , paralelo a w , que satisfaz à condição: vux . 4,2,2 11. Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores )3,1,2()0,1,1( bea . 1,1,1 3 1 22 12. Determinar o valor de m para que o vetor mw ,2,1 seja simultaneamente ortogonal aos vetores )1,3,1()0,1,2( veu . 5m 13. Determine u tal que 2u , o ângulo entre 0,1,1veu seja de 45° e que 0,1,1u . 1, 2 2 , 2 2 14. Determinar u tal que 6,4,21,3,2,33 ueuu . Dos vetores determinados, qual o que forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0)? (3,-3,-3) e (-3,3,3) o primeiro 15. Resolva o sistema kikjia kjia 22 9432 . kjia 16. Determine a tal que 62 aekjikia . (-1,2,1) 17. Determinar vu , sabendo que 113,12 veuvu . 5vu 18. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores uvevu 2 sendo 2,1,00,2,3 veu . Um deles é (-12,-18,9) 19. Dados os vetores 1,2,22,1,3 veu , calcular: a) área do paralelogramo determinado por veu ; 103 b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v . 10 20. Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores veu , sabendo que suas diagonais são 2,1,14,3,1 vuevu . 35 21. Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo A( 4,2,1), B( 1,0,1) e C( 1,2,0). 5 7 h 22. Dado o vetor 0,1,2u , determinar o vetor v ortogonal ao eixo Oz, sabendo que 26 vuevu . (2,-2,0) ou (-2/5, 14/5, 0) 23. Dado 1,2,1u , determine um vetor v ortogonal ao eixo Ox tal que 1331vu e que o vetor vu forme ângulos congruentes com os eixos Oy e Oz. 11,11,0 v 23 24. São dadosos vetores 8,6,263,2,1,1,1,1 wevu . Determinar os vetores bea , ortogonais entre si, sabendo que a é simultaneamente ortogonal aos vetores wbaqueeveu . 5,10,253,4,1 bea 25. É dado o vetor 2,1,0v . Determine o vetor w ortogonal ao eixo Ox, sabendo que 12wv e que 4wv . (0,-4,4) ou (0, 28/5, -4/5) 24 Produto misto O produto misto dos vetores 111 ,, zyxu , 222 ,, zyxv e 333 z,y,xw , nesta ordem, representado por wvu ,, ou wvu ,, é o número real wvu . 333 222 11 ,, zyx zyx zyx wvu Propriedades: I) Nulidade: wvu ,, =0 quando: a) um vetor é nulo, b) dois vetores são paralelos, c) três vetores são coplanares. II) Cíclica: O produto misto independe da ordem circular dos vetores: wvu ,, = vuwuwv ,,,, Porém muda de sinal quando trocamos a posição de dois vetores consecutivos: wvu ,, wuv ,, . O produto misto não se altera se os sinais e forem permutados entre si. wvu wvu III) Associativa em relação à multiplicação por número real m wvu ,, = wvum ,, = wvmu ,, = wmvu ,, Para que valor de m os pontos A(m,1,2), B(2,-2,-3), C(5,-1,1) e D(3,-2,-2) são coplanares? 25 Módulo do produto misto: cos,, wvuwvu é o ângulo formado pelos vetores vu e w podendo ser agudo ou obtuso. Interpretação geométrica do módulo do produto misto Geometricamente o módulo do produto misto dos vetores u , v e w , representa o volume de um paralelepípedo cujas arestas são as imagens geométricas destes vetores. Exercícios: 1. Sabendo que 5,,2,, xwvexwu , calcular: 10)24)36)2) ,2,35),,42)2,3,3),,) dcba xwvudxwvucxwubwxua 2. Um paralelepípedo é determinado pelos vetores 5,1,21,0,2,4,1,3 wevu . Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores veu . 30 17 17 e 3. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 2,1,01 v , 2,,31,2,4 32 mvev seja igual a 33. Calcular a altura desse paralelepípedo relativa à base definida por 21 vev . 89 334 417 hmoum 4. Dados os pontos A( 2,1,1), B( -1,0,1) e C( 3,2,-2), determinar o ponto D do eixo Oz para que o volume do paralelepípedo determinado por DAeCABA , seja 25 u. v. (0,0,-10) ou (0,0,15) 26 5. Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo A( 2,0,0), B( 2,4,0), C( 0,3,0) e P( 2,-2,9). Qual a altura do tetraedro relativa ao vértice P? V= 12 h= 9 6. Sabendo que os vetores 2,1,33,1,,4,1,2 DAemCABA determinam um tetraedro de volume 3, calcular o valor de m. m= -17/2 ou m= 19/2 7. Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores: 323,0,3,2,1,1,,2) 6,3,2,0,1,,1,2) koukwekvkub kkkwevkua 8. Mostre que wvuwuwvvu ,,2,, . 9. Para que valor de m os pontos A(m,1,2), B(2,-2,-3), C(5,-1,1) e D(3,-2,-2) são coplanares? m=4 10. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 1,0,42,,6,0,1,2 321 vemvv seja igual a 10. 6 ou -4 11. Determinar o valor de k para que os vetores kbka ,2,1,1,,2 e )3,0,3( c sejam coplanares. 32 kk 12. Os vetores )1,,1(4,1,1,3,1,2 mmceba determinam um paralelepípedo de volume 42. Calcular m. 3 8 ,2 mm 13. Dados os pontos A(1,-2,3), B(2,-1,-4), C(0,2,0) e D(-1,m,1), determinar o valor de m para que seja de 20 u.v. o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ADeACAB, . 6 ou 2 14. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e D(4,2,7). Calcular a altura relativa ao vértice D. 3 12 2 e 15. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados A(-1,3,2), B(0,1,-1), C(-2,0,1) e D(1,-2,0). Calcular a altura relativa ao vértice A. 10 8 4 e 27 A reta Uma reta fica determinada ou definida quando dela conhecemos a posição e a direção. A posição é assegurada por um ponto conhecido (ponto diretor) e a direção através de um vetor não nulo, também conhecido (vetor diretor). Equações: Seja r uma reta que passa pelo ponto ),,( 111 zyxA e tem a direção do vetor não nulo ),,( cbav . Para que um ponto ),,( zyxP do espaço pertença à reta é necessário que os vetores veAP sejam paralelos. vtAP vtAP tvtAP , Substituindo ),,( zyxP , ),,( 111 zyxA e ),,( cbav , temos a equação vetorial da reta. Equação vetorial da reta: ),,(),,(),,( 111 cbatzyxzyx . Ex.: )5,3,1()4,0,1(: tPr Equações paramétricas da reta: Da equação vetorial isolamos x, y e z, obtendo assim as equações paramétricas da reta ctzz btyy atxx 1 1 1 . Ex.: 12 4 32 tz ty tx Equações simétricas da reta: c zz b yy a xx 111 Ex.: 35 2 2 3 : 1 zyx r Equações reduzidas da reta: )1,,(),1,(),,1( )0,,(),0,(),,0( pmvpmvpmv qnPqnPqnP qpyy nmzx qpyz nmyx qpxz nmxy 28 Exercícios: 1. Determinar um ponto e um vetor diretor de cada uma das retas: a) tz ty tx 2 21 2 b) 2 1 12 4 zyx c) zy zx 21 2 d) xz xy 42 31 e) yz yx 1 f) zyx 2. Determinar as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto A(1,3,0) e tem a direção do vetor )1,4,3( v . 3. Determinar as equações reduzidas, sendo y a variável independente, da reta que passa pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,1). p. 132: 1,2,6,8 Casos particulares Até agora utilizamos as componentes do vetor diretor não nulas, no entanto uma ou duas destas componentes podem ser iguais a zero. 1° caso: Uma das componentes do vetor é nula. O vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, sendo assim a reta é paralela ao plano dos outros dois eixos. a) SeyOzrOxcbva //),,0(,0 1 11 xx c zz b yy b) Se xOzrOycavb //),0,(,0 1 11 yy c zz a xx c) Se xOyrOzbavc //)0,,(,0 1 11 zz b yy a xx 29 2° caso: Duas componentes do vetor são nulas. O vetor tem a direção de um dos vetores kouji , e, portanto a reta é paralela a um dos eixos coordenados. a) Se xOyrouOzrkcvba ////),0,0(,0 1 1 1 1 1 yy xx ctzz yy xx b) Se xOzrouOyrjbvca ////)0,,0(,0 1 1 1 1 1 zz xx zz btyy xx c) Se yOzrouOxriavcb ////)0,0,(,0 1 1 1 1 1 zz yy zz yy atxx Os eixos coordenados são retas particulares. 0 0 : 0 0 : 0 0 : y x Oz z x Oy z y Ox Exercícios: p. 134: 11,12,13e,h. Ângulo de duas retas É o menor ângulo formado pelos vetores diretores. 21 21 cos vv vv , 2 0 Exercícios p.135: 14a,c,15 Condições de paralelismo, ortogonalidade e coplanaridade de duas retas. Se 212121 //// vkvvventãorr Se 0212121 vvvventãorr Se 1r é coplanar a 2r então 2121, AAevv são coplanares 0, 212,1 AAvv . 30 Retas perpendiculares são retas ortogonais e coplanares. 021 vv e 0, 212,1 AAvv Reta ortogonal a duas retas. Se 21 2 1 vvkv r r r Exercícios p.136: 18a,20,22,23a,24b,d,25,27,31,32,35. Exercícios: 1. Dada a reta tz ty tx r 24 3 2 : , determinar o ponto de r tal que: a) a ordenada seja 6; (-1,6,-10) b) a abscissa seja igual a ordenada; (5/2, 5/2, -3) c) a cota seja o quádruplo da abscissa. (-4,9,-16) 2. O ponto P( m,1,n) pertence à reta que passa por A( 3,-1,4) e B( 4,-3,-1). Determinar P. P(2,1,9) 3. Seja o triângulo de vértices A(-1,4,-2), B(3,-3,6) e C(2,-1,4).Escrever equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice oposto C. x = 2 + t, y = -1 – 3/2t, z = 4 + 2t 4. Os pontos M1(2,-1,3), M2(1,-3,0) e M3(2,1,-5) são pontos médios dos lados de um triângulo ABC. Obter equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é M1. x= 2 + t, y = -1 + 4t, z = 3 – 5t 5. Obter equações reduzidas na variável x, da reta: a) que passa por A(4,0,-3) e tem a direção do vetor (2,4,5); y = 2x – 8 , z = 5/2x – 13 b) que passa pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,-1). y= x/2 – 5/2 , z = -2x + 5 6. Representar graficamente as retas de equações: 4 3 ) 1 3 ) 2 4 ) 3 2 ) y x d z y c xz y b z xy a 7. Dados os pontos A(0,0,1), B( 1,2,1) e C( 1,0,1), obtenha as equações da bissetriz interna do triângulo ABC, relativa ao vértice C. x = 1 – t, y = t, z = 1 8. Escreva as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(2,0,-3) e é paralela à reta 6 3 4 3 5 1 : zyx s . x = 2 – 15t, y = 4t, z = - 3 + 18t 31 9. Dada a reta tz ty tx r 1 : e os pontos A(1,1,1) e B( 0,0,1), determine o ponto de r eqüidistante de A e B. P(1,0 0) 10. Sejam P( 1,0,1) e Q( 0,1,1). Determine um ponto C da reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 2 1 . a) A( 1,3,2), B( 2,2,2) não existe C b) A( 3,-2,1), B( 0,0,1) (2,-1,1) ou (4,-3,1) 11. Verifique se as retas 3 1 1 2 1 :0,2,10,1,0: z y x setPr são perpendiculares. 12. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P( 1,0,1) e é perpendicular à reta tz y tx r 1 0: . x = 1 + t, y = 0, z = 1 –t 13. Obtenha os vértices B e C do triângulo eqüilátero ABC, sendo A(1,1,0) e sabendo que o lado BC está contido na reta tz ty x r 0 : . B(0,0,0) e C(0,1,-1) 14. Determine o ângulo entre as retas: 2 5 32: 2 2 3 :) z yxse tz ty tx ra ; 60° 0 3 2 1 : 0 3 3 2 :) y z x se y z x rb . 45° 15. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção de yz yx se zy xr 22 1 : 32 1 2: e é simultaneamente ortogonal a elas. x = 2 + t, y = -1 – 5t, z = 3t 32 16. Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, calcular o ponto de interseção. a) 1 73 5 32 : xz xy se xz xy r I(2,1,3) b) tz ty tx se zyx r 38 4 1 : 4 2 3 1 2 3 : I(1,2,-2) c) 2 1 3 4 : 10 32 : zy xse xz xy r reversas d) hz hy hx se tz ty tx r 131 71 63 : 66 53 2 : I(3,8,12) e) xz xy se tz ty tx r 2 6 :4 2 : coincidentes 17. Determinar os pontos da reta tz ty tx r 23 21 2 : que distam 6 unidades do ponto A( 2,1,3). (4,5,7) e (0,-3,-1) 18. Calcular o ângulo que a reta que passa por A(3,-1,4) e B( 1,3,2) forma com a sua projeção sobre o plano xy. 6 30 cosarc 19. Dado o ponto A( 3,4,-2) e a reta tz ty tx r 24 2 1 : , determinar: a) As equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r; x = 3 – 2h, y = 4, z = -2 + h b) O ponto simétrico de A em relação a reta r. (-5,4,2) 20. Forme as equações simétricas de uma reta traçada pelo ponto A(-1,4,5) e que seja perpendicular à reta 2,1,11,1,2: tPr . 5 2 4 ,1 z y x 33 22. Decompor o vetor v =(-2,-6,-1) em dois vetores bea tais que rbera // sabendo que 1 2 : zy zx r . 2,3,13,3,3 ba 23. Forme as equações reduzidas em função de x, da reta que possui o ponto P( 2,3,-1) e os ângulos diretores são 60°, 120° e 135°. 2212 5 : xz xy r 24. Determine as equações reduzidas, sendo z a variável independente, da reta que passa pelo ponto A(3,-6,0) e é paralela à reta r: x = 2y = 3z. 6 2 3 33 zy zx 25. Os vértices de um triângulo são O(0,0,0), A(3,4,0) e B(1,2,2). Determine as equações reduzidas, sendo z a variável independente, da bissetriz interna do ângulo AÔB. zz zx 5 11 5 7
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