TESTE DE MANN WHITNEY 2013

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Teste de Mann-Whitney 
 
 
 
Luisa Zanolli Moreno 
Médica veterinária, mestranda do curso de pós-graduação em saúde pública da Faculdade 
de Saúde Pública da Universidade de São Paulo 
 
André Moreno Morcillo 
 
Professor Associado do Departamento de Pediatria da Faculdade de Ciências 
Médicas da Universidade Estadual de Campinas 
Pesquisador do CIPED – Centro de Investigação em Pediatria da 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teste de Mann-Whitney 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campinas – São Paulo – Brasil 
[Dezembro de 2012] 
 
 
1 
O método recomendado para comparar as médias de dois grupos 
independentes é o teste t de Student. No entanto, muitas vezes a variável de 
trabalho não tem distribuição normal ou é qualitativa do tipo ordinal, casos em que 
não se deve usar o teste t de Student. 
Uma alternativa muito útil para resolver estas situações é o teste de Mann-
Whitney1, cuja exigência é de que a variável de estudo seja quantitativa ou 
qualitativa do tipo ordinal. 
 
Uma situação real 
 
Coelho et al. (2005)2 realizaram uma pesquisa com o objetivo de analisar o 
perfil lipídico de estudantes do Curso de Medicina da Faculdade de Medicina de São 
José do Rio Preto, SP-FAMERP (N=380), e verificar sua relação com os fatores de 
risco para doenças cardiovasculares. A Tabela II, apresentada a seguir, contém os 
dados referentes ao perfil lipídico. Os autores usaram o teste de Mann-Whitney 
para comparar os valores do perfil lipídico em relação ao sexo. 
 
 
 
1
 Mann HB, Whitney DR. On a test of whether one of two randon variables is stochastically larger than 
the other. Ann Math Statist. 1947; 18: 50-60. 
2
 Coelho VG, Caetano LF, Liberatore Júnior RDR, Cordeiro JA, Souza DRS. Perfil lipídico e fatores de risco 
para doenças cardiovasculares em estudantes de medicina. Arq Bras Cardiol. 2005; 85(1):57-62. 
 
 
 
2 
Mann-Whitney é um teste que avalia a distribuição de “postos” ou “ranks”. 
Quando o utilizamos para comparar dois grupos, não comparamos suas médias ou 
medianas, na verdade comparamos as distribuições dos ranks dos grupos. 
 
A questão dos “postos” ou “ranks” 
 
Quando temos uma sequência de números tal como a representada pelos 
valores 44, 12, 250, 23, 100 e 54, nós podemos colocá-los numa ordem de 
importância crescente: 12, 23, 44, 54, 100 e 250. O menor dos números ocupa a 
primeira posição da série (1ª), os números 100 e 250, por serem os maiores, 
ocupam as duas últimas posições (5ª e 6ª). 
Se usarmos a posição de cada número na série ordenada como uma “nota”, 
“posto” ou “rank”, teremos uma série bem mais simples3, com os números 1, 2, 3, 
4, 5 e 6. O primeiro elemento da série ordenada recebeu rank 1, o segundo 
recebeu rank 2, o terceiro recebeu rank 3, e assim por diante. 
No teste de Mann-Whitney comparamos os ranks de cada grupo. O grupo 
que tem maiores valores da variável terá os ranks mais altos! 
 
Vejamos um exemplo! Desejando comparar as idades (anos) de jogadores 
de futebol de dois centros de treinamento, um pesquisador (A) visitou um centro e 
colheu os dados na parte da manhã, período em que a escola é frequentada por 
crianças, enquanto o pesquisador (B) visitou o outro centro no período noturno, 
quando há predominância de adultos. Os resultados são apresentados a seguir. 
 
Pesquisador A: 7, 8, 9, 10, 11, 12 
Pesquisador B: 29, 33, 34, 35, 36 
 
Fica muito claro que os dados do pesquisador (B) apontam que a idade dos 
frequentadores do centro visitado por ele é maior que a do outro centro. 
 
Agora, vamos transformar estas idades em ranks e comparar os ranks dos 
centros. 
 
 
3
 Trata-se de uma progressão aritmética com a1=1, an=N e razão 1 
 
 
3 
Inicialmente reunimos todas as idades num único grupo e, a seguir, fazemos 
a ordenação das idades e a atribuição dos ranks. 
 
Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 
Idades 7 8 9 10 11 12 29 33 34 35 36 
Ranks 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
 
Observe que a menor idade (7 anos) ocupa a primeira posição da série 
ordenada e, consequentemente, o seu rank é 1; oito anos ocupa a segunda posição 
e recebeu rank 2; a idade 11 anos ocupa a última posição da série e seu rank é 11. 
Como os ranks dos sujeitos do pesquisador (A) estão em vermelho e os do 
pesquisador (B) estão em azul, fica fácil notar que as idades em azul, por serem 
maiores que as idades em vermelho, receberam ranks maiores. A soma dos ranks 
vermelhos é 21 enquanto a dos ranks azuis é 45! 
 
Vejamos um outro exemplo! Desejando avaliar o resultado do sorteio de 
números aleatórios obtidos a partir de duas calculadoras de marcas diferentes, 
obtivemos os resultados apresentados abaixo. 
 
Calculadora A: 24, 61, 67, 52, 96 
Calculadora B: 86, 80, 49, 38, 81 
 
Tal como no exemplo anterior reunimos todos os números sorteados 
formando um único grupo e a seguir fazemos a ordenação. 
 
Grupo não ordenado: 24, 61, 67, 52, 96, 86, 80, 49, 38, 81 
Grupo ordenado: 24, 38, 49, 52, 61, 67, 80, 81, 86, 96 
 
A seguir, atribuímos os ranks 
 
Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 
Valor 24 38 49 52 61 67 80 81 86 96 
Ranks 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 
 
 
4 
Os ranks em vermelho são referentes aos resultados obtidos com a 
calculadora A e os ranks em azul com a calculadora B. Não é tão fácil avaliar qual 
calculadora gerou números aleatórios maiores. A soma dos ranks vermelhos é 16 
enquanto a soma dos azuis é 29. Neste caso a diferença entre as somas dos ranks 
(13 pontos) é bem menor que a observada no exemplo anterior que era de 24 
pontos. 
 
Mais detalhes sobre a atribuição de ranks 
 
Uma situação especial ocorre quando há observações com valores iguais 
(repetição de valores). Neste caso devemos fazer uma modificação na forma de 
atribuir os ranks aos valores repetidos. 
 
Fizemos uma pequena modificação nos dados do primeiro exemplo, levando 
à repetição de algumas idades. 
 
Pesquisador A: 7, 8, 8, 10, 11, 12 
Pesquisador B: 29, 33, 34, 34, 36 
 
 
Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 
Idades 7 8 8 10 11 12 29 33 34 34 36 
Ranks 1 4 5 6 7 8 11 
 
Observe que ocupando a segunda e a terceira posição temos dois valores 
iguais (8 anos). O mesmo ocorre na 9ª e na 10ª posições (34 anos). Como atribuir 
ranks a esses valores? 
Fácil! A idade 8 anos que ocupa a 2ª posição receberia rank 2 e a idade 8 
que ocupa a 3ª posição receberia rank 3. Como são valores iguais é justo que 
ambas recebam o mesmo rank. Para tal, calculamos a média dos ranks envolvidos 
e cada uma receberá um rank final igual ao valor da média. 
Assim, no caso da idade igual a oito anos temos ranks 2 e 3. Como a média 
é 2,5, cada idade igual a oito anos receberá rank 2,5. 
 
 
5 
Com relação às idades 34 anos, elas ocupam as posições 9ª e 10ª, sendo 
que a média dos ranks é 9,5. Cada idade igual a 34 anos receberá rank 9,5. Veja a 
distribuição completa dos ranks na tabela abaixo. 
 
Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 
Idades 7 8 8 10 11 12 29 33 34 34 36 
Ranks 1 2,5 2,5 4 5 6 7 8 9,5 9,5 11 
 
Outro exemplo: num conjunto de 4.500 observações de alturas temos 
empatados os elementos 278º, 279º, 280º e 281º com o valor 145 cm; os 
elementos 376º, 377º, 378º com 147,5 cm. 
 
Os ranks das alturas iguais a 145 cm é (278+279+280+281)/4=279,5 e os 
ranks das altura iguais a 147,5 cm é (376+377+378)/3=377 
 
Posição ... 278º 279º 280º 281º ... 376º 377º 378º ... 
Alturas... 145,0 145,0 145,0 145,0 ... 147,5 147,5 147,5 ... 
Rank ... 279,5 279,5 279,5 279,5 ... 377 377 377 ... 
 
 
Como executar o teste de Mann-Whitney 
 
O teste de Mann-Whitney nada mais é que uma maneira lógica de 
comparação da distribuição dos ranks dos dois grupos estudados. 
Para a realização do teste as observações originais das duas amostras 
independentes são reunidas em um único grupo, sendo o conjunto ordenado e 
transformado em ranks, que serão utilizados para calcular a estatística U. 
 
 
 
6 
Usaremos a seguinte terminologia: 
 
n1 - número de casos da menor amostra 
n2 - número de casos da maior amostra 
N - total de casos das duas amostras 
R1 - soma dos ranks da amostra com menor número de casos (n1) 
R2 - soma dos ranks da amostra com maior número de casos (n2) 
 
Inicialmente calculamos duas estatísticas chamadas de U1 e U2 a partir de R1 
e de R2 pelas fórmulas abaixo. A menor delas receberá o nome de estatística U. 
 
( )
R12
1n1.n1
n2.n11 −
+
+=U 
 
( )
R22
1n2.n2
n2.n12 −
+
+=U 
 
 
Teste de Hipóteses Bilateral 
 
H0 : as duas amostras apresentam a mesma distribuição de ranks 
H1 : as duas amostras apresentam distribuições diferentes de ranks 
 
Uma vez determinado o valor de U (o menor dos valores entre U1 e U2), 
recorremos à tabela bilateral de U considerando α=0,05, procurando localizar o 
valor crítico de U. Nesta tabela o valor crítico de U está no cruzamento da coluna 
igual ao tamanho do grupo menor (n1) e da linha referente ao tamanho do grupo 
maior (n2). Esta tabela é apresentada no final do texto. 
 
Se o valor de U calculado for menor ou igual ao valor de U crítico rejeitamos 
H0. 
 
Se U > Ucrítico não rejeitamos H0 
Se U ≤ Ucrítico rejeitamos H0 
 
 
 
7 
Retomando o primeiro exemplo, apresentamos as idades obtidas nos dois 
grupos. Avaliar se há diferença entre as idades dos dois grupos, considerando 
α=5%. 
 
Pesquisador A: 7, 8, 9, 10, 11, 12 
Pesquisador B: 29, 33, 34, 35, 36 
 
Definindo as hipóteses de trabalho: 
 
 H0: os grupos têm distribuições iguais 
 H1: os grupos têm distribuições diferentes 
 
Inicialmente reunimos todas as idades num único grupo. A seguir, fazemos a 
ordenação das idades e a atribuição dos ranks. 
 
Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 
Idades 7 8 9 10 11 12 29 33 34 35 36 
Ranks 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
 
O menor grupo tem 5 casos (n1=5) e o outro tem 6 casos (n2=6). 
A soma dos ranks do grupo menor é 45 (R1=45) e a soma dos ranks do 
grupo maior é 21 (R2=21). Agora podemos calcular U1 e U2. 
 
U1 = 5 x 6 + [(5 x 6)/2] - 45 = 0 
 
U2 = 5 x 6 + [(6 x 7)/2] - 21 = 30 
 
Portanto, U é igual a zero. Podemos verificar na tabela de distribuição de U 
que o valor de U crítico para n1=5 e n2=6 é 3. Valor demarcado pelo retângulo 
vermelho na figura seguinte. 
N2 1 2 3 4 5 6 7 
2 - - 
3 - - - 
4 - - - 0 
5 - - 0 1 2 
6 - - 1 2 3 5 
7 - - 1 3 5 6 8 
8 - 0 2 4 6 8 10 
9 - 0 2 4 7 10 12 
N2 1 2 3 4 5 6 7 
2 - - 
3 - - - 
4 - - - 0 
5 - - 0 1 2 
6 - - 1 2 3 5 
7 - - 1 3 5 6 8 
8 - 0 2 4 6 8 10 
9 - 0 2 4 7 10 12 
 N1 
N2 1 2 3 4 5 6 7 
2 - - 
3 - - - 
4 - - - 0 
5 - - 0 1 2 
6 - - 1 2 3 5 
7 - - 1 3 5 6 8 
8 - 0 2 4 6 8 10 
9 - 0 2 4 7 10 12 
N2 1 2 3 4 5 6 7 
2 - - 
3 - - - 
4 - - - 0 
5 - - 0 1 2 
6 - - 1 2 3 5 
7 - - 1 3 5 6 8 
8 - 0 2 4 6 8 10 
9 - 0 2 4 7 10 12 
 N1 
 
 
 
8 
Como U < Ucrítico, podemos rejeitar H0, concluindo que a diferença observada 
nas idades dos grupos é estatisticamente significante. 
 
Retomando o exemplo dos números aleatórios temos: 
 
Calculadora A: 24, 61, 67, 52, 96 
Calculadora B: 86, 80, 49, 38, 81 
 
Definindo as hipóteses de trabalho: 
 
 H0: os grupos têm distribuições iguais 
 H1: os grupos têm distribuições diferentes 
 
 
Tal como no exemplo anterior, reunimos todos os números formando um 
único grupo, fazemos a ordenação dos dados e, a seguir, atribuímos os ranks. 
 
Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 
Valor 24 38 49 52 61 67 80 81 86 96 
Ranks 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 
 
Os ranks em vermelho são referentes aos resultados obtidos com a 
calculadora A e os ranks em azul com a calculadora B. Neste caso os dois grupos 
têm o mesmo número de casos, portanto n1=5 e n2=5. Como n1 é igual a n2, 
arbitrariamente eu escolho a soma dos ranks vermelhos como R1 (R1=16) enquanto 
a soma dos azuis será R2 (R2=29). A seguir, calculamos U1 e U2. 
 
U1 = 5 x 5 + [(5 x 6)/2] - 16 = 24 
U2 = 5 x 5 + [(5 x 6)/2] - 29 = 11 
 
 
 
9 
Portanto, U é igual a 11. Podemos verificar na tabela de distribuição de U 
que o valor de U crítico para n1=5 e n2=5 é 2. Como U > U crítico não podemos 
rejeitar H0, concluindo que a diferença observada na distribuição dos números 
aleatórios dos dois grupos não é estatisticamente significante. 
 
 N1 
N2 1 2 3 4 5 6 7 
2 - - 
3 - - - 
4 - - - 0 
5 - - 0 1 2 
6 - - 1 2 3 5 
7 - - 1 3 5 6 8 
8 - 0 2 4 6 8 10 
9 - 0 2 4 7 10 12 
N2 1 2 3 4 5 6 7 
2 - - 
3 - - - 
4 - - - 0 
5 - - 0 1 2 
6 - - 1 2 3 5 
7 - - 1 3 5 6 8 
8 - 0 2 4 6 8 10 
9 - 0 2 4 7 10 12 
 N1 
N2 1 2 3 4 5 6 7 
2 - - 
3 - - - 
4 - - - 0 
5 - - 0 1 2 
6 - - 1 2 3 5 
7 - - 1 3 5 6 8 
8 - 0 2 4 6 8 10 
9 - 0 2 4 7 10 12 
N2 1 2 3 4 5 6 7 
2 - - 
3 - - - 
4 - - - 0 
5 - - 0 1 2 
6 - - 1 2 3 5 
7 - - 1 3 5 6 8 
8 - 0 2 4 6 8 10 
9 - 0 2 4 7 10 12 
 
 
 
� Uma situação especial – grupos com grande número de casos 
 
Quando n1>20 ou n2>40 não temos os valores de U crítico! 
 
Nestas condições, grandes grupos, verificou-se que U tem distribuição 
normal. Assim, U deve ser transformado em z escore e sua probabilidade de 
ocorrência verificada na tabela de z (Curva Normal Reduzida). 
 
Para calcularmos o z escore de U, precisamos da média e do desvio padrão 
de U, pois: 
σ
µ
U
U
U
U
z
−
= 
 
1) Determinando a média de U (µU) 
2
nn
µ
21
U
×
= 
 
 
 
 
 
 
10 
2) Determinando o desvio padrão de U (σU) 
 
( )
( )( )





 +
×
×
=
12
C-1N.1-NN.
1)-NN.
nn
σ
21
U 
 
Onde: 
 
C : correção decorrente de valores empatados 
nnN 21 += 
∑= CC i 
ffCi −= 3 
f : número de elementos empatados dentro de um grupo de valores. 
 
Uma vez determinado o valor de zU , desenhamos uma curva normal 
reduzida e marcamos as áreas de rejeição de H0 de um teste bilateral com α=5%, 
que correspondem aos valores de z maiores que +1,96 na cauda direita e dos 
valores de z menores que -1,96 na cauda esquerda, tal como é apresentado na 
figura seguinte. 
 
 
 
Sempre que 96,1−≤zU ou 96,1+≥zU rejeitamos H0, concluindo que os grupos 
têm distribuições diferentes. De uma maneira mais simples, podemos dizer que os 
grupos são diferentes! 
 
Considerando que o fator de correção “C” é um pouco confuso, a seguir 
apresentamos um exemplo do cálculo de “C”. 
 
 
 
11 
Por exemplo, dentro de um conjunto de dados observaram-se empates tal 
como é apresentado abaixo: 
 
... 100, 100, 100, ... , 120, 120, ... , 150, 150, 150, 150, 150, ... 
 
O primeiro grupo com empates tem três elementos [100, 100, 100], 
portanto, a frequência (f) de valores 100 é 3 (f=3). Calculamos o fator de correção 
decorrente destes empates da seguinte forma: 
243333)100( =−=−= ffC 
O segundo grupo com empatestem dois elementos [120,120], portanto, 
f=2. O fator de correção decorrente destes empates é: 
62233)120( =−=−= ffC 
O terceiro grupo com empates tem cinco elementos [150,150,150,150,150], 
portanto, f=5, e seu fator de correção é: 
1205533)150( =−=−= ffC 
A seguir, somamos os valores de correção dos grupos de empates (Ci) e 
obtemos o fator de correção total (C). 
CCCCC i )150()120()100( ++==∑ 
150120624 =++=C 
Este valor (C=150) será usado na fórmula do σU . 
 
 
Outro exemplo! Comparando-se dados de altura de dois grupos em relação 
ao sexo, encontramos empates que proporcionam C = 150, com n1=120 (número 
de meninos), n2=150 (número de meninas), U = 9538. 
n1 = 120 n2 = 150 N = 270 U = 9538 C = 150 
 
 
 
12 
Definindo as hipóteses de trabalho: 
 
 H0: os grupos têm distribuições iguais 
 H1: os grupos têm distribuições diferentes 
 
Definindo o nível de significância: α=0,05 ou 5% 
 
Cálculo da média de U: 90002
150120
2
21
=
×
=
×
=
nn
Uµ 
 
Cálculo do desvio padrão de U: 637,612
150-271269702
269270
150120
=




 ××
×
×
×
=σU 
 
Cálculo do zU: 
σ
µ
U
U
U
U
z
−
= ⇒ 84,06,637
90009538
=
−
=zU 
 
Desenhamos a curva normal reduzida com as áreas de rejeição. 
 
 
 
Observe que z=0,84 está fora das caudas de rejeição (áreas amarelas), 
caindo na área de não rejeição de H0! Portanto, com esse valor de U, H0 não pode 
ser rejeitado, concluindo-se que os grupos têm distribuições iguais! 
 
 
13 
Bibliografia 
Bunchaft G – Estatística sem mistérios. 4ª ed. Petrópolis, RJ: Vozes, 1997. 
Callegari-Jacques SM – Bioestatística: princípios e aplicações. 1ª ed. Porto 
Alegre: Artmed, 2003. 
Campos H – Estatística experimental não-paramétrica. 3ª ed. Piracicaba. 
Departamento de Matemática e Estatística da Escola Superior de Agricultura 
“Luiz de Queiroz” da Universiade de São Paulo, 1979. 
Daniel WW – Biostatistics – A foundation for analysis in the health sciences. 6th 
ed., New York: John Wiley & Sons, Inc., 1995. 
Levin J – Estatística aplicada às Ciências Humanas. São Paulo: Harper & Row do 
Brasil, 1987. 
Siegel S – Estatística não-paramétrica. Rio de Janeiro: Editora McGraw-Hill, 
1975. 
Vieira S – Bioestatística: tópicos avançados. Rio de Janeiro: Editora Campus, 
2003. 
Zar JH – Biostatistical analysis. 2nd ed. Englewood Cliffs: Prentice-Hall Inc., 
1984. 
 
 
14 
O teste de Mann-Whitney no SPSS 
 
 
O SPSS sempre realiza o teste de Mann-Whitney calculando o z escore de U 
e obtendo a probabilidade bilateral pela Distribuição Normal. 
 
 
� Na barra do Menu click em <Statistics> ⇒ <Nonparametric Testes> ⇒ <2 
Independent Samples ...>. 
 
 
 
 
 
 
� Selecione a variável de estudo e a leve para a janela <Test Variable List>. 
 
� Selecione a variável que representa os grupos, levando-a para a janela 
<Grouping Variables >. 
 
� Click em <Define Groups> para informar os códigos dos grupos de estudo. 
 
� Click em <Continue> e, a seguir, em <OK>. 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
 
� Abaixo apresentamos um típico output do teste de Mann-Whitney 
 
 
NPar Tests 
 
Mann-Whitney Test 
 
253 187,95 47550,50
73 78,77 5750,50
326
ORIGIN country
of origin
1 American
2 European
Total
WEIGHT 
vehicle weight
(lbs.)
N
Mean
Rank
Sum of
Ranks
Ranks
 
 
3049,500
5750,500
-8,718
,000
Mann-Whitney U
Wilcoxon W
Z
Asymp. Sig. (2-tailed)
WEIGHT 
vehicle
weight
(lbs.)
Test Statisticsa
Grouping Variable: ORIGIN country
of origin
a. 
 
 
Na tabela “Ranks” encontramos o número de casos e as somas dos ranks de 
cada grupo (47550,50 para o grupo 1 e 5750,50 para o grupo 2). Na tabela “Test 
Statisticsa” o valor de U (3049,500), o valor do z escore de U (-8,718) e o valor de 
p (0,000).
 
 
16 
 
Distribuição de U do teste de Mann-Whitney (Bilateral ao nível de 5%) 
 
N1 
N2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
2 - - 
3 - - - 
4 - - - 0 
5 - - 0 1 2 
6 - - 1 2 3 5 
7 - - 1 3 5 6 8 
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30 - 5 13 23 33 43 54 65 76 87 98 109 120 131 143 154 166 177 189 200 
31 - 5 14 24 34 45 56 67 78 90 101 113 125 136 148 160 172 184 196 208 
32 - 5 14 24 35 46 58 69 81 93 105 117 129 141 153 166 178 190 203 215 
33 - 5 15 25 37 48 60 72 84 96 108 121 133 146 159 171 184 197 210 222 
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37 - 6 17 29 41 55 68 81 95 109 123 137 151 165 180 194 209 223 238 252 
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