CAP6 - Dinâmica

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Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 72
CAPÍTULO 6
DINÂMICA DO MANIPULADOR
O modelo matemático (ou modelo dinâmico) do manipulador desempenha um papel
preponderante na simulação do movimento, na análise da estrutura do manipulador e no projeto dos
algoritmos de controle. Ele fornece uma descrição da relação entre as forças generalizadas (forças e
torques) aplicadas nas juntas e o movimento do manipulador.
Neste capítulo são introduzidos dois métodos da Mecânica que possibilitam deduzir tal modelo
matemático. Inicialmente, será apresentada a chamada formulação de Euler-Lagrange, a qual é
conceitualmente simples e sistemática. O segundo método refere-se a uma formulação alternativa,
conhecida com formulação de Newton-Euler, que permite obter o modeoo matemático de uma forma
recursiva e computacionalmente mais eficiente.
Nesta seção será apresentado, sem dedução (o leitor interessado deve referir-se a obras de
Mecânica Analítica), um sistema de equações diferenciais, conhecidas como Equações de Euler-
Lagrange, o qual descreve o movimento de um sistema mecânico sujeito a restrições holonômicas, isto
é, aqueles que apresentam equações de restrição ligando suas coordenadas generalizadas.
Quando o movimento de um sistema mecânico estiver de alguma maneira restrito, surgem
também as chamadas forças de restrição, isto é, as forças necessárias para que as restrições sejam
satisfeitas. A determinação das forças de restrição (também denominadas forças de vínculo ou forças
internas) nem sempre é uma tarefa fácil. Sob esse aspecto, a formulação Lagrangiana é uma alternativa
vantajosa, pois ela não requer a determinação das forças de restrição para a obtenção das equações do
movimento.
6.1 INTRODUÇÃO
6.2 FORMULAÇÃO DE EULER-LAGRANGE
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 73
6.2.1 Coordenadas generalizadas
Considere-se um sistema de k partículas sujeito a l restrições holonômicas e possuindo uma
quantidade de graus de liberdade igual à diferença entre a quantidade de graus de liberdade que o
sistema teria se não houvessem restrições e l. Nesse caso, é possível expressar as coordenadas das k
partículas em termos de n coordenadas generalizadas q1, q2, ... , qn, isto é,
ri = ri (q1, q2, ... , qn) i = 1, 2, ... , k (6.2.1)
onde q1, q2, ... , qn são todas independentes. Como ilustração, seja um pêndulo simples constando de
uma massa punctual m fixada a um fio inextensível de comprimento L, conforme mostra a fig. 6.1.
Fig. 6.1 Coordenada generalizada independente q de um pêndulo simples
Considere-se um sistema de coordenadas cartesianas com origem no centro de oscilação e sejam x e y
as coordenadas cartesianas da massa. Pode-se ver facilmente que existe uma equação de restrição para
o sistema, vinculando x e y, obtida pelo fato de que L é constante, que é:
x2 + y2 = L2 (6.2.2)
Se não existisse a restrição acima, a massa teria dois graus de liberdade. Portanto, a quantidade de
graus de liberdade é dada pela diferença 2 - 1 = 1, logo é possível expressar a posição da massa em
termos de n = 1 coordenada generalizada independente (no caso, q1 = q, o ângulo que o fio faz com a
vertical).
Resumindo, sendo n a quantidade de graus de liberdade (igual à quantidade de coordenadas
generalizadas independentes), l a quantidade de equações de restrição e p a quantidade de graus de
liberdade do sistema se não existissem restrições, pode-se afirmar que:
n = p - l (6.2.3)
A idéia de coordenadas generalizadas pode ser usada mesmo quando existe uma infinidade de
partículas. Por exemplo, um corpo rígido tal como uma barra possui uma infinidade de partículas, mas
como a distância entre as mesmas não varia durante o movimento, somente seis coordenadas são
suficientes para especificar completamente a posição da barra: três coordenadas para a posição do
centro de massa da barra e três ângulos de Euler para a orientação do corpo.
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 74
6.2.2 Equações de Euler-Lagrange
Uma vez que tenha sido escolhido um conjunto de coordenadas generalizadas independentes qj,
j = 1, 2, ..., n, onde n é a quantidade de graus de liberdade do sistema mecânico, define-se o
Lagrangiano do sistema mecânico como
L = K– V (6.2.4)
onde K é a energia cinética e V é a energia potencial do sistema. Então, as Equações de Euler-
Lagrange (ou, simplesmente, Equações de Lagrange) são expressas como:
(6.2.5)
onde ti é a força generalizada não conservativa (torque ou força) na direção da coordenada
generalizada independente qi. Recorde-se, aqui, que uma força não conservativa é aquela que não pode
ser obtida por derivação da energia potencial. Assim, a força elástica de uma mola (que pode ser obtida
derivando-se a energia potencial elástica nela acumulada) e a força peso (que pode ser obtida
derivando-se a energia potencial de posição) são forças conservativas e, portanto, não contribuem para
a formação do membro direito das eqs. (6.2.5).
Observe-se que as eqs. (6.2.5) constituem um sistema de n equações diferenciais, uma para cada
grau de liberdade. A seguir, um exemplo elucidativo da aplicação das Equações de Lagrange.
Exemplo Ilustrativo: Manipulador com um só braço
Seja o manipulador da fig. 6.2, consistindo de um braço rígido acoplado a um motor CC através
de um trem de engrenagens:
Fig.6.2 Manipulador com um só braço
Sejam ql e qm os deslocamentos angulares do braço e do motor, respectivamente. Nesse caso, sendo n a
relação de transmissão do trem de engrenagens, tem-se ql = qm/n. A energia cinética do sistema é dada
por
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onde J l e Jm são os momentos de inércia de massa do braço e do motor, respectivamente. A energia
potencial é dada por
onde M é a massa total do braço e l é a distância do centro de massa do braço ao eixo de rotação.
Portanto, o Lagrangiano do sistema vale
Levando L nas Equações de Lagrange, obtem-se
A força generalizada t consiste do torque do motor (entrada) u e dos torques não conservativos
de amortecimento, e Observe-se que estão sendo desprezados os torques restauradores
devidos à elasticidade dos eixos, isto é, estão sendo considerandos eixos rígidos. Transferindo tudo para
o eixo do motor:
Portanto, a expressão completa para a dinâmica desse sistema é dada por
onde
Em geral, a aplicação das Equações de Lagrange a sistemas robóticos conduz a um sistema de
equações diferenciais ordinárias não-lineares de segunda ordem, onde as variáveis dependentes são as
coordenadas generalizadas e a variável independente é o tempo t.
Serão, a seguir, deduzidas expressões convenientes para as energias cinética e potencial de um
objeto rígido, de modo a facilitar o cálculo do Lagrangiano para posterior aplicação nas Equações de
Lagrange.
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 76
6.3.1 Cálculo da Energia Cinética
A energia cinética é constituída por dois termos: a energia cinética de translação, obtida
concentrando-se a massa total do objeto no seu centro de massa, e a energia cinética de rotação, em
torno do seu centro de massa.
Seja um objeto contínuo de massa específica r, função da posição espacial. Logo, a massa do
objeto será dada por
(6.3.1)
onde B denota a região do espaço ocupada pelo objeto. Então, a energia cinética do objeto é dada por
(6.3.2)
onde v é o vetor velocidade da partícula dm localizada nas coordenadas (x, y, z).
Por outro lado, o centro de massa do objeto é localizado pelas coordenadas
(6.3.3)
ou, em uma forma vetorial mais compacta:
(6.3.4)
onde rc é o vetor posição do centro de massa do objeto.
Suponha-se, agora, que um sistema móvel de coordenadas seja fixado ao objeto, com a origem
coincidindo com o centro de massa do objeto. À medida que o objeto se move no espaço, a velocidade
de um ponto arbitrário do mesmo, em relação a um sistema inercial, é dada por
(6.3.5)
onde vc é a velocidade linear do centro de massa, r é o vetor posição do ponto arbitrário e ww éa
velocidade angular do sistema de referência ligado ao objeto, tudo em relação ao sistema inercial.
Entretanto, para o cálculo da energia cinética, é mais conveniente usar a velocidade em termos
do sistema móvel, o que é possível, já que a mudança de sistema de referência não afeta o módulo do
6.3 EXPRESSÕES PARA AS ENERGIAS CINÉTICA E POTENCIAL
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 77
vetor velocidade. Assim, pode-se usar a eq. (6.3.5), porém tendo sempre em mente que a mesma estará
sendo expressa em relação ao sistema móvel de coordenadas. A eq. (6.3.5) pode ser rescrita como
(6.3.6)
de acordo com a propriedade da matriz antissimétrica S(ww) estabelecida no Cap.5. Levando a eq.
(6.3.6) na eq. (6.3.2):
(6.3.7)
Será agora expandido o produto dentro do sinal de integração, composto de quatro termos. O
primeiro termo nos dá
(6.3.8)
onde foi levado em conta que o vetor vc não depende da variável de integração m. Essa quantidade é
justamente a energia cinética de translação de uma partícula de massa m localizada no centro de
massa do objeto. O segundo termo é dado por
(6.3.9)
porque (6.3.10)
já que o centro de massa está localizado na origem do sistema de coordenadas. Pelo mesmo motivo o
terceiro termo, dado por
(6.3.11)
também é nulo. Já o quarto termo demanda algum trabalho. Seja ele definido como
(6.3.12)
Existe uma propriedade das matrizes anti-simétricas, que pode ser facilmente comprovada, pela qual
 S(ww) r = - S(r) ww (6.3.13)
Aplicando a propriedade de transposição aos dois membros da equação acima:
 rT ST(ww) = - wwT ST(r) (6.3.14)
Levando as eqs. (6.3.13) e (6.3.14) na eq. (6.3.12):
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 78
 
 (6.3.15)
Como ww não depende de m:
(6.3.16)
Tendo em vista que o vetor r pode ser escrito sob forma de matriz anti-simétrica, conforme eq. (5.2.4),
tem-se:
 (6.3.17)
pode-se desenvolver a eq. (6.3.16), obtendo-se:
(6.3.18)
Finalmente, é possível rescrever a eq. (6.3.18) como
(6.3.19)
onde I é a matriz inércia, definida a partir da eq. (6.3.18) como
(6.3.20)
O quarto termo, K4, representa a energia cinética de rotação do objeto. Assim, a energia cinética total
do objeto rígido é dada por
(6.3.21)
Considere-se, agora, um manipulador composto por n membros. Foi visto, no capítulo 5, que as
velocidades linear e angular de qualquer ponto de qualquer membro podem ser expressas simplesmente
em termos do Jacobiano e das derivadas das variáveis das juntas. Como, no caso, as variáveis das juntas
são as coordenadas generalizadas, segue-se que, para matrizes Jacobianas apropriadas:
(6.3.22)
dm])()][([
2
1
 TT4 wwww r-SrS-K Bò=
wwww )dm}( )({
2
1
 TT4 rSrSK Bò=
rS
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
0xy-
x-0z
yz-0
 )(
wwww
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
= ò
0xy-
x-0z
yz-0
0x-y
x0z-
y-z0
2
1
 K T4 B
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 79
onde a matriz RiT(q) leva em conta o fato de que a velocidade angular deve ser expressa no sistema de
referência fixado ao membro i. Supondo que o membro i tenha massa mi e que a sua matriz inércia Ii
tenha sido calculada em relação ao sistema de coordenadas do membro i, então, da eq. (6.3.21), segue-
se que a energia cinética total do manipulador é dada por
(6.3.23)
Em outras palavras, a energia cinética total do manipulador tem a forma
 (6.3.24)
onde D(q), denominada matriz inércia generalizada, é uma matriz simétrica positivo definida que
depende, em geral, da configuração do manipulador.
6.3.2 Cálculo da Energia Potencial
Quanto à energia potencial, ela também é obtida concentrando-se a massa total do objeto no seu centro
de massa. No caso de corpos rígidos, a sua única fonte é a gravidade. Seja g o vetor aceleração da
gravidade, expresso no sistema inercial. Então, a energia potencial de uma partícula infinitesimal de
massa dm, localizada no ponto r do objeto é dada por gTrdm. Logo, a energia potencial total do
objeto é
(6.3.25)
ou seja, a energia potencial do objeto é obtida concentrando a massa de todo objeto no seu centro de
massa.
Serão considerados, nesta seção, dois casos especiais para a aplicação das Equações de
Lagrange:
(1) a energia cinética é uma função quadrática do vetor velocidade generalizada, na forma
(6.4.1)
onde a “matriz inércia” D(q) é simétrica e positivo-definida para cada q Î Ân.
6.4 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 80
(2) a energia potencial V = V(q) é independente da velocidade generalizada (os manipuladores
robóticos satisfazem essa condição).
As equações de Euler-Lagrange serão deduzidas a seguir, para tal sistema. Tendo em vista que
(6.4.2)
tem-se
(6.4.3)
e
(6.4.4)
Também
(6.4.5)
Assim, as Equações de Lagrange podem ser escritas
(6.4.6)
Trocando a ordem no somatório e considerando a simetria, pode-se mostrar que
(6.4.7)
Portanto,
(6.4.8)
Os termos
(6.4.9)
são conhecidos como símbolos de Christoffel de primeira espécie. Note-se que, para um k fixado,
tem-se cijk = cjik, o que reduz à metade o trabalho envolvido no cálculo. Finalmente, definindo
(6.4.10)
então as Equações de Lagrange se tornam
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 81
(6.4.11)
Na eq. (6.4.11) existem três tipos de termos:
(1) termos envolvendo as segundas derivadas das coordenadas generalizadas;
(2) termos quadráticos das primeiras derivadas de q, onde os coeficientes podem depender de q, os
quais podem ser classificados em:
(2.1) termos centrífugos: envolvem produtos do tipo 
q
.
i
2
(2.2) termos de Coriolis: envolvem um produto do tipo 
q
.
q
.
ji
 onde i ¹ j
(3) termos envolvendo somente q mas não as suas derivadas, os quais surgem da derivação da energia
potencial.
É comum escrever a eq. (6.4.11) na forma matricial
(6.4.12)
onde o k,j-ésimo elemento da matriz C é definido como
(6.4.13)
A seguir, é apresentado o enunciado de um teorema relacionando as matrizes D e C que aparecem na
eq. (6.4.12), o qual será muito útil no problema de controle de manipuladores.
(O leitor interessado na demonstração do teorema poderá consultar Spong & Vidyasagar, pág. 143).
Seja examinado, agora, um caso especial importante, em que a matriz inércia é diagonal e
independente de q. Nesse caso, segue-se da eq. (6.4.9) que todos os símbolos de Christoffel são nulos,
pois cada dij é uma constante. Além disso, a quantidade dkj não é nula se e somente se k = j, de tal modo
que as eqs. (6.4.11) desacoplam na forma
(6.4.15)
Teorema: Seja a matriz definida por
 (6.4.14)
Então N é antissimétrica, isto é, njk = - nkj.
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 82
Em resumo, o desenvolvimento mostrado nesta seção é muito geral e se aplica a qualquer
sistema mecânico em que a energia potencial seja independente de q
.
 . Na próxima seção será aplicado
tal desenvolvimento a configurações robóticas específicas.
6.5.1 Manipulador cartesiano com dois membros
Seja o manipulador cartesiano da fig. 6.3, onde estão ilustradas as massas e as coordenadas
generalizadas dos membros:
Fig. 6.3 Manipulador cartesiano com dois membros
Como as coordenadas generalizadas das juntas têm dimensões de comprimento, as forças
generalizadas associadas, aplicadas nas juntas, têm dimensões de força e são dadas por fi, i = 1, 2. A
energia cinética tem a forma da eq. (6.41), ao passo que a energia potencial é função apenas de q1 e q2.
Portanto, pode-se usar as fórmulas da seção anterior para obter as equações dinâmicas. Por outro lado,
como as juntas são prismáticas, o Jacobiano da velocidade angular é nulo e a energia cinética de cada
membro consiste somente do termo translacional.
A velocidade do centro de massa do membro 1 é dada por
(6.5.1)
onde
(6.5.2)
Analogamente,(6.5.3)
onde
 (6.5.4)
6.5 ALGUMAS CONFIGURAÇÕES COMUNS
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 83
Portanto, a energia cinética é dada por
(6.5.5)
Comparando com a eq. (6.4.1), vê-se que a matriz de inércia é dada simplesmente por
(6.5.6)
A energia potencial do membro 1 é dada por m1g q1, enquanto que a do membro 2 é dada por m2g q2,
logo a energia potencial total é
(6.5.7)
Pode-se, então, escrever as equações do movimento. Tendo em vista que a matriz de inércia é
constante, os símbolos de Christoffel são nulos. Além disso, os vetores fk são dados por
(6.5.8)
Substituindo na eq. (6.4.11), chega-se a
(6.5.9)
6.5.2 Manipulador planar articulado (cotovelar)
Seja o manipulador da fig. 6.4, onde os ângulos das juntas q1 e q2 servem de coordenadas
generalizadas:
 Fig. 6.4 Manipulador cotovelar
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 84
Seja II momento de inércia do membro i em torno de um eixo perpendicular ao plano xy e
passando pelo centro de massa do membro i. Tendo em conta que estamos usando as variáveis das
juntas como coordenadas generalizadas, pode-se usar o conteúdo da seção 6.4. Inicialmente,
(6.5.10)
onde
(6.5.11)
Analogamente,
(6.5.12)
onde
(6.5.13)
Portanto, a parcela translacional da energia cinética é dada por
 (6.5.14)
A seguir, serão tratados os termos da velocidade angular. Devido à simplicidade deste
manipulador, muitas das dificuldades não aparecem. Em relação ao sistema inercial, tem-se
(6.5.15)
Entretanto, conforme assinalado anteriormente, é necessário exprimir essas velocidades angulares em
relação ao sistemas locais. Felizmente, os eixos z estão todos paralelos nesse caso, de modo que a
expressão acima é também válida em relação aos sistemas locais. Além disso, como wwi está alinhado
com k, o triplo produto wwiTIiwwi reduz-se simplesmente a (I33)i multiplicado pelo quadrado do módulo da
velocidade angular. A quantidade (I33)i é, na verdade, o que foi chamado acima de Ii. Portanto, a
energia cinética de rotação do sistema total é
(6.5.16)
Está tudo pronto para a montagem da matriz de inércia D(q). Para tanto, tem-se apenas que adicionar
as duas matrizes dadas nas eqs. (6.5.14) e (6.5.16), respectivamente. Assim:
 (6.5.17)
Executando a multiplicação acima e usando relações trigonométricas elementares, chega-se a
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 85
(6.5.18)
Pode-se, agora, calcular os símbolos de Christoffel usando a definição (6.4.9), obtendo
(6.5.19)
A energia potencial do manipulador é dada pela soma das energias potenciais dos dois membros,
logo:
 (6.5.20)
Portanto, as funções fk definidas em (6.4.10) tornam-se
(6.5.21)
(6.5.22)
Finalmente, pode-se escrever as equações dinâmicas como em (6.4.11). Substituindo nessa equação as
várias quantidades e omitindo os termos nulos, obtemos
(6.5.23)
Nesse caso, a matriz é dada por
(6.5.24)
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 86
6.5.3 Manipulador planar articulado (cotovelar) com acionamento remoto
Será, agora, ilustrada uma situação em que as coordenadas generalizadas independentes não são
as variáveis das juntas, conforme definidas em capítulos anteriores. Considere-se, novamente, o
manipulador cotovelar, mas supondo, agora, que ambas as juntas são acionadas por motores localizados
na base, conforme mostra a fig. 6.5:
Fig 6.5 Manipulador cotovelar com acionamento remoto
A primeira junta é acionada diretamente pelo atuador 1, enquanto a outra é acionada pelo
atuador 2, através de uma transmissão por correia. Pode-se escolher as coordenadas generalizadas p1 e
p2, de acordo com a fig. 6.6. O ângulo p2 é determinado pelo acionador 2, que está na base, não sendo
afetado (independente, portanto) pelo ângulo p1.
Fig. 6.6 Coordenadas generalizadas para o manipulador da fig. 6.5
Tendo em vista que p1 e p2 não são os ângulos das juntas, não se pode usar os Jacobianos
deduzidos no cap. 5, devendo-se efetuar a análise diretamente. É fácil verificar que
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 87
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 88
A formulação de Newton-Euler leva aos mesmos resultados obtidos através da formulação de
Euler-Lagrange, embora percorrendo um caminho bastante diferente. Na formulação Lagrangiana,
trata-se o robô como um todo e realiza-se a análise usando a função Lagrangiana (diferença entre as
energias cinética e potencial). Na formulação Newtoniana, considera-se cada membro separadamente e
escreve-se as equações que descrevem os seus movimentos linear e angular. Evidentemente, como cada
membro está acoplado aos demais, a equação do movimento de um membro contem forças e torques de
restrição, que aparecem também nas equações do movimento dos demais membros. Utilizando um
procedimento recursivo, é possível determinar todos esses termos de acoplamento e eventualmente
chegar à descrição do manipulador como um todo.
A análise dinâmica de um sistema mecânico consiste em achar relações entre as coordenadas
generalizadas q e as forças generalizadas tt, já apresentadas anteriormente. Deve-se fazer a distinção
entre os dois casos seguintes:
- no primeiro caso, há interesse em obter equações em forma fechada que descrevam a
evolução temporal das coordenadas generalizadas;
- no segundo caso, deseja-se saber quais forças generalizadas necessitam ser aplicadas, a fim
 de realizar uma evolução temporal particular das coordenadas generalizadas.
A distinção reside no fato de que, no segundo caso, quer-se apenas saber qual função temporal
tt produz uma trajetória particular, sem preocupação com a relação entre as duas. Pode-se dizer que, no
6.6 FORMULAÇÃO DE NEWTON-EULER
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 89
primeiro caso, a formulação Lagrangiana é superior, ao passo que, no segundo caso, a formulação
Newtoniana é mais adequada. Já no caso de estudos mais avançados, tais como aqueles que consideram
as deformações elásticas dos membros, a formulação Lagrangiana é claramente superior.
A Mecânica Newtoniana repousa sobre as seguintes Leis:
1. Terceira Lei de Newton:
 “A toda ação corresponde uma reação igual e de sentido oposto”.
Assim, se o corpo 1 aplica uma força f e um torque tt sobre o corpo 2, então o corpo 2 aplica uma força
-f e um torque -tt sobre o corpo 1.
2. Segunda Lei de Newton:
“A taxa de variação da quantidade de movimento linear é igual à força total aplicada ao corpo”.
3. Lei de Euler:
“A taxa de variação da quantidade de movimento angular é igual ao torque total aplicado ao corpo”.
Nas aplicações robóticas, a massa m pode ser considerada constante, de modo que a Segunda
Lei de Newton pode ser escrita como
 ma = f (6.6.1)
onde a é a aceleração linear do centro de massa do corpo e f é a resultante das forças externas
aplicadas, tudo em relação a um sistema inercial de coordenadas.
Aplicando a Lei de Euler ao movimento angular de um corpo:
(6.6.2a)
onde I0 é o momento de inércia do corpo
ww0 é a velocidade angular do corpo
tt0 é a soma dos torques aplicados externamente ao corpo
tudo em relação a um sistema inercial x0y0z0, cuja origem coincide com o centro de massa do corpo.
Em muitos casos, é mais conveniente usar a Lei de Euler em relação a um sistema móvel de
coordenadas xyz, fixado ao corpo, cuja origem coincide com o centro de massa do corpo:
t=
w
dt
)d(I
(6.6.2b)
onde I é o momento de inércia do corpo
ww é a velocidade angular do corpo
tt é a soma dos torques aplicados externamente ao corpo
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 90
tudo em relação a um sistema móvel xyz, cuja origem coincide com o centro de massa do corpo.
Existe uma diferença essencial entre os movimentos linear e angular: enquanto a massa de um
corpo é constante na maioria das aplicações, o seu momento de inércia pode ser ou não constante. Para
ilustrar isso, suponha-se que I seja a matriz de inércia do corpo em relação a um sistema local decoordenadas, fixado ao corpo. Então, I permanece constante, não importando que movimento o corpo
execute. Entretanto, a matriz I0, em relação ao sistema da base, é dada por
onde R é a matriz de rotação do sistema local em relação ao sistema da base. Logo, em geral, a matriz
I0 não é constante, mas varia com o tempo.
Uma maneira de contornar essa dificuldade consiste em escrever a equação para o movimento
angular em relação a um sistema local fixado ao corpo, o que conduz a
(6.6.4)
onde I é a matriz de inércia (constante) do corpo em relação ao sistema local;
 ww é a velocidade angular expressa no sistema local;
tt é o torque total sobre o corpo, também expresso em relação ao sistema local.
Será deduzida, agora, a eq. (6.6.4), mostrando de onde vem o termo ww x [Iww], denominado
termo giroscópico.
Seja R a matriz de rotação do sistema local em relação ao sistema da base, a qual varia com o
tempo. Então, a eq. (6.6.3) fornece a relação entre I e I0. Por outro lado, pós-multiplicando a eq.
(5.3.1) por RT:
(6.6.5)
Em outras palavras, a velocidade angular do corpo, expressa em relação ao sistema da base, é dada pela
eq. (6.6.5). Já em relação ao sistema local, ela é dada por
 (6.6.6)
Portanto, a quantidade de movimento angular, expressa no sistema da base, vale
 (6.6.7)
Derivando em relação ao tempo e levando em conta que I é constante, obtem-se uma expressão para a
taxa de variação da quantidade de movimento angular:
(6.6.8)
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 91
Agora, 
(6.6.9)
Portanto, com relação ao sistema inercial,
(6.6.10)
Com relação ao sistema local, a taxa de variação da quantidade de movimento angular é
(6.6.11)
o que mostra o estabelecimento da eq. (6.6.4). Embora seja possível escrever a equação acima em
relação ao sistema inercial, muitos vetores tornam-se constantes em relação ao sistema do corpo, o que
leva a simplificações significativas nas equações.
Será, agora, usada a formulação de Newton-Euler para deduzir as equações do movimento de
um manipulador de n membros. Para isso, escolhem-se n sistemas de coordenadas, sendo o sistema 0
um sistema inercial e o sistema i um sistema local rigidamente fixado ao membro i, para i ³ 1. A origem
do sistema i coincide com o centro de massa do membro i.
Considerem-se vários vetores, todos expressos no sistema local i. O conjunto seguinte de
vetores está relacionado às velocidades e acelerações de várias partes do manipulador:
ac,i = aceleração do centro de massa do membro i;
ae,i = aceleração da extremidade do membro i (junta i + 1);
wwi = velocidade angular do sistema i com relação ao sistema 0;
aai = aceleração angular do sistema i com relação ao sistema 0.
Já o conjunto abaixo diz respeito a forças e torques:
gi = aceleração da gravidade expressa no sistema i;
fi = força exercida pelo membro i – 1 sobre o membro i;
tti = torque exercido pelo membro i – 1 sobre o membro i;
Ri
i+1= matriz de rotação do sistema i + 1 em relação ao sistema i.
O último conjunto de vetores, a seguir, define características físicas do manipulador, sendo
independentes da configuração q:
mi =massa do membro i;
Ii =matriz de inércia do membro i em relação ao sistema i;
ri,ci = vetor com origem na junta i e extremidade no centro de massa do membro i;
ri+1,ci = vetor com origem na junta i + 1 e extremidade no centro de massa do membro i;
ri,i+1 = vetor com origem na junta i e extremidade na junta i+1.
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 92
Considere-se, agora, o diagrama de corpo livre da fig. 6.7, a qual mostra o corpo i com todas as
forças e torques que atuam sobre ele:
 Fig. 6.7 Forças e torques sobre o corpo i
Analisando a figura acima, vê-se que fi é a força aplicada pelo corpo i-1 sobre o corpo i. Pela 3a
Lei de Newton, o corpo i+1 aplica uma força –fi+1 sobre o corpo i, devendo-se pré-multiplicar essa
força pela matriz de rotação Ri+1i. obtendo-se - Ri+1i fi+1. Explanação análoga se aplica aos torques tti e -
Ri+1itti+1. A força migi é a força gravitacional. Escrevendo a 2a Lei de Newton para o corpo i:
fi - Ri+1i fi+1 + migi = miac,i (6.6.12)
A seguir, será escrita a Lei de Euler. Para isto, é importante notar que o momento exercido por
uma força f em torno de um ponto P pode ser dado por f x r, onde r é o vetor cuja origem é o ponto
de aplicação da força e cuja extremidade é o ponto P. Além disso, como o peso não exerce momento
em relação ao centro de massa, tem-se a Lei de Euler
tti - Ri+1i tti+1 + fi x ri,ci – (Ri+1ifi+1)x ri+1,ci = Ii aai + wwi x (Ii wwi) (6.6.13)
A essência da formulação de Newton-Euler consiste em encontrar os vetores f1, f2, ... , fn e tt1,
tt2, ... , ttn, correspondentes a um dado conjunto de vetores . e ,
...
qqq Em outras palavras, consiste em
achar as forças e os torques que correspondem a um dado conjunto de coordenadas generalizadas e
suas duas primeiras derivadas temporais. Essa informação pode ser usada tanto para obter equações em
forma fechada que descrevem a evolução temporal das coordenadas generalizadas, como para saber
quais forças generalizadas necessitam ser aplicadas, a fim de realizar uma trajetória particular.
A idéia geral pode ser estabelecida assim: dadosqqq e ,
...
, suponha-se que, de algum modo, seja
possível determinar todas as velocidades e acelerações de várias partes do manipulador, isto é, todas as
quantidades ac,i, wwi e aai. Então, pode-se resolver as eqs. (6.6.12) e (6.6.13) recursivamente para achar
todas as forças e torques, da seguinte maneira:
(1) fazer fn+1 = 0 e ttn+1 = 0, o que exprime o fato de que não existe o corpo n+1;
(2) resolver a eq. (6.6.12) para obter
fi = Ri+1i fi+1 + miac,i - migi (6.6.14)
Substituindo, sucessivamente, i = n, n-1, ..., 1, pode-se encontrar todas as forças fi.
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 93
Semelhantemente, pode-se resolver a eq. (6.6.13) para obter
tti = Ri+1i tti+1 - fi x ri,ci + (Ri+1ifi+1)x ri+1,ci + Ii aai + wwi x (Ii wwi) (6.6.15)
Substituindo, sucessivamente, i = n, n-1, ..., 1, pode-se encontrar todos os torques tti.
A solução estará completa calculando-se as relações entre qqq e ,
...
 e ac,i, wwi e aai. Isso pode ser
feito através de um procedimento recursivo no sentido crescente de i, o qual será ilustrado a seguir,
para o caso de juntas rotativas (o caso de juntas prismáticas é ainda mais simples). A fim de distinguir
as quantidades expressas no sistema i daquelas expressas no sistema da base, será usado o símbolo (0)
como sobrescrito para as últimas.
Considere-se, inicialmente, as velocidade e aceleração angulares. A velocidade angular do
sistema i é igual à velocidade angular do sistema i – 1 somada à velocidade angular da junta i:
(6.6.16)
Para obter uma relação entre wwi e wwi-1 é preciso apenas expressar a equação acima no sistema i,
levando em conta que wwi e wwi-1 estão expressos em sistemas diferentes. Isso conduz a
(6.6.17)
onde
(6.6.18)
é o eixo de rotação da junta i expresso no sistema i.
Considere-se, agora, a aceleração angular aai. É importante notar aqui que
(6.6.19)
Em outras palavras, aai é a derivada da velocidade angular do sistema i, porém expressa no
sistema i, ou seja, não é verdadeira a expressão Uma situação semelhante será encontrada
com a velocidade e a aceleração do centro de massa. Da eq. (6.6.16), vê-se que
(6.6.20)
Passando para o sistema i:
(6.6.21)
Considere-se, agora, as velocidade e aceleração lineares. Note-se que, em contraste com a
velocidade angular, a velocidade linear não aparece nas equações dinâmicas. Contudo, há necessidade
de uma expressão para a velocidade linear, para a dedução de uma expressão para a aceleração linear.
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 94
Aplicando a eq. (5.3.6), obtem-se a velocidade linear do centro de massa do corpo i:
(6.6.22)
Já a aceleração linear pode ser obtida a partir da eq. (5.3.9):(6.6.23)
Tendo em conta que
(6.6.24)
pode-se executar a multiplicação e usar a propriedade das matrizes de rotação
(6.6.25)
Transformando ac,i-1 para o sistema i:
(6.6.26)
Para achar a aceleração da extremidade do corpo i, pode-se usar a eq. (6.6.26), substituindo ri,ci
por ri,i+1. Assim:
(6.6.27)
Agora, a formulação recursiva está completa. Pode-se, então, estabelecer a Formulação de
Newton-Euler da seguinte maneira:
(1) começar com as condições iniciais nulas
(6.6.28)
 e resolver as eqs. (6.6.17), (6.6.21), (6.6.27) e (6.6.26) (nessa ordem!) para calcular wwi, aai e
 ac,i, para i crescendo de 1 a n.
(2) começar com as condições terminais
(6.6.29)
e usar as eqs. (6.6.14) e (6.6.15) para calcular fi e tti para i decrescendo de n a 1.
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 95
Será, agora, aplicada a formulação recursiva de Newton-Euler ao manipulador cotovelar da fig.
6.4. Começa-se com a recursão avante (sentido crescente de i) para expressar as várias velocidades e
acelerações em termos de q1, q2 e suas derivadas. Neste caso simples é fácil verificar que
(6.7.1)
de tal modo que não há necessidade de usar as eqs. (6.6.17) e (6.6.21). Além disso, os vetores que são
independentes da configuração são expressos como
(6.7.2)
 (6.7.3)
6.7.1 Recursão Avante: Corpo 1
Usando a eq. (6.6.26) com i = 1 e notando que al,0 = 0:
(6.7.4)
Observe-se como é simples esse cálculo, quando realizado com relação ao sistema 1, em comparação
ao cálculo que seria feito com relação ao sistema 0! Finalmente, tem-se
(6.7.5)
onde g é a aceleração da gravidade. Observe-se que as terceiras componentes das acelerações são,
obviamente, nulas. Analogamente, são também nulas a terceira componente de todas as forças e as duas
primeiras componentes de todos os torques. Para completar a recursão avante do corpo 1, deve-se
calcular a aceleração da extremidade do corpo 1, a qual é obtida a partir da eq. (6.7.4), substituindo lc,1
por l1. Assim:
 (6.7.6)
6.7 APLICAÇÃO AO MANIPULADOR COTOVELAR
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 96
6.7.2 Recursão Avante: Corpo 2
Novamente, usa-se a eq. (6.6.26), substituindo ww2 conforme eq. (6.7.1), o que dá
(6.7.7)
Na eq. (6.7.7), a única quantidade que depende da configuração é o primeiro termo do membro direito,
o qual pode ser calculado como
(6.7.8)
Substituindo na eq. (6.7.7):
(6.7.9)
O vetor gravidade é dado por:
(6.7.10)
Como existem apenas dois corpos, não há necessidade de calcular al,2 e as recursões avantes estão
concluídas.
6.7.3 Recursão retroativa: membro 2
Será feita, agora, a recursão retroativa para calcular as forças e os torques nas juntas. Neste
exemplo, os torques nas juntas são as quantidades aplicadas externamente e o objetivo é deduzir as
equações dinâmicas envolvendo tais torques. Aplica-se, inicialmente, a eq. (6.6.14) com i = 2, notando
que f3 = 0, o que resulta em
 (6.7.11)
(6.7.12)
Pode-se agora substituir, na equação acima, ww2 e aa2 da eq. (6.7.1) e ac,2 da eq. (6.7.9). Observe-se,
também, que o termo giroscópico é nulo, pois ww2 e I2ww2 estão alinhados com k. Também o produto
vetorial f2 x lc2i está alinhado com k e o seu módulo é a componente de f2. O resultado final é
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 97
(6.7.13)
Como tt2 = t2k, vê-se que a equação acima é a segunda equação da eq. (6.5.23).
6.7.4 Recursão retroativa: membro 1
Para completar a dedução, aplica-se as eqs. (6.6.14) e (6.6.15), para i = 1. As equações das
forças e dos torques são, respectivamente,
(6.7.14)
e
 (6.7.15)
São possíveis algumas simplificações. Inicialmente, pode-se fazer R12tt2 = tt2, pois a matriz de rotação
não afeta a terceira componente de um vetor. Em segundo lugar, o termo giroscópico é ainda nulo.
Finalmente, substituindo f1 da eq. (6.7.14) na eq. (6.7.15), obtem-se, após alguma álgebra:
(6.7.16)
Os produtos vetoriais são obtidos diretamente, o único cálculo difícil sendo o de R12f2. O resultado final
é
(6.7.17)
Se, agora, for substituído tt1 da eq. (6.7.13) e rearranjados os termos, obtem-se a primeira equação da
eq. (6.5.23).
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 98
6.1 Verificar a expressão 6.3.19.
6.2 Dado o cilindro oco da figura 6.8, mostrar que
 Fig. 6.8 Cilindro oco
6.3 Muitos robôs incorporam acionamentos harmônicos (“harmonic drives”) para obter grandes
reduções de velocidades. Tais mecanismos introduzem elasticidade torcional nas juntas, conforme
modelado na fig. 6.9. Usando as Equações de Lagrange, deduzir as equações do movimento para este
sistema, considerando que existe uma força generalizada de entrada, ttm, atuando sobre o eixo do motor.
 Fig. 6.9 Acionamento com redutor “Harmonic drive”
6.4 Considere um manipulador cartesiano de 3 membros.
(a) Calcular o tensor de inércia J i para cada membro, i = 1, 2, 3. Assumir que os membros são
 vigas retangulares uniformes, iguais, de comprimento 1, largura ¼ , altura ¼ e massa 1;
(b) Calcular a matriz de inércia 3 x 3 D(q);
(c) Mostrar que os símbolos de Christoffel cijk são todos nulos para este manipulador; o que
 significa isso para as equações dinâmicas do movimento?
(d) Deduzir as equações do movimento na forma matricial
PROBLEMAS