Cálculo Integral I

. = p(2n−1)(x) = 0
CAPI´TULO 13. DERIVADA DO PRODUTO, INDUC¸A˜O E A DERIVADA DE
XN , N ∈ Z. 173
mas se fizermos a derivada de ordem 2n temos algo do tipo:
p(2n)(x) = (2n)! · g(x) + (x− x) · h(x)
e portanto
p(2n)(x) 6= 0.
A Afirmac¸a˜o 8.1 do Cap´ıtulo 11 diz que ha´ ma´ximo ou mı´nimo local.
Ja´ a suposic¸a˜o de que x e´ uma ra´ız de ordem exatamente 2n+ 1, n ∈ N significa
que:
f(x) = (x− x)2n+1 · g(x),
onde g(x) e´ um polinoˆmio a coeficientes Reais tal que
g(x) 6= 0.
Enta˜o
p(x) = p′(x) = p′′(x) = . . . = p(2n)(x) = 0
mas se fizermos a derivada de ordem 2n+ 1 temos algo do tipo:
p(2n+1)(x) = (2n+ 1)! · g(x) + (x− x) · h(x)
e portanto
p(2n+1)(x) 6= 0.
A Afirmac¸a˜o 8.1 do Cap´ıtulo 11 diz que ha´ uma inflexa˜o.
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5. A Regra de Sinais de Descartes para as ra´ızes de um polinoˆmio
Neste Cap´ıtulo, que trata da induc¸a˜o matema´tica poderemos provar uma regra
cla´ssica, que possivelmente remonta a Harriot (1631) e que teria chegado a Descartes
via a obra de Cardano.
Trata-se de uma estimativa dos nu´mero de ra´ızes Reais de um polinoˆmio. Inicial-
mente se estima as ra´ızes positivas, mas facilmente se adapta para as negativas.
Precisaremos da induc¸a˜o matema´tica sobre o grau n do polinoˆmio. O procedi-
mento para recair em grau n− 1 sera´ derivar o polinoˆmio dado.
Comec¸emos introduzindo algumas convenc¸o˜es e notac¸o˜es.
Quando x e´ uma ra´ız de p(x) de ordem exatamente n diremos que, contada com
multiplicidade, ela vale por n ra´ızes. O nu´mero de ra´ızes positivas de um polinoˆmio
p(x) contadas com multiplicidade sera´ denotado a seguir ZP(p).
Ordenados pelo grau crescente de cada monoˆmio, considere o nu´mero de vezes
que muda o sinal dos coeficientes sucessivos de um polinoˆmio p(x). Esse nu´mero sera´
denotado por MS(p). Por exemplo,
MS(−1 + 3x− 3x2 + x3) = 3 e ZP(p) = 3, 0 < x = 1
MS(−1− 3x− 3x2 + x3) = 1 e ZP(p) = 1, 0 < x = 22/3 + 21/3 + 1
MS(1 + x2) = 0 e ZP(p) = 0,
MS(−1 + x) = 1 e ZP(p) = 1, 0 < x = 1.
5. A REGRA DE SINAIS DE DESCARTES PARA AS RAI´ZES DE UM
POLINOˆMIO 174
Em seu livro Geometria, Descartes da´ como exemplo:
p(x) = −120 + 106 · x− 19 · x2 − 4 · x3 + x4
para o qual
MS = 3 e ZP(p) = 3, 0 < x = 2, 3, 4.
Posso dar mais dois exemplos:
p(x) = 2− 3 · x+ 3 · x2 − 3 · x3 + x4
tem
MS = 4 e ZP(p) = 2, 0 < x = 1, 2;
p(x) = 8− 12 · x+ 14 · x2 − 15 · x3 + 7 · x4 − 3 · x5 + x6
tem
MS = 6 e ZP(p) = 2, 0 < x = 1, 2.
Afirmac¸a˜o 5.1. (parte da Regra de sinais de Descartes)
Seja p(x) = a0 + ak1 · xk1 + ak2 · xk2 + . . .+ an · xn, polinoˆmio a coeficientes Reais
de grau n ≥ 1 com
a0 · aki 6= 0 e 1 ≤ k1 ≤ k2 ≤ . . . ≤ n.
Enta˜o:
i) Se a0 · an > 0 enta˜o ZP(p) e´ um nu´mero par1. Se a0 · an < 0 enta˜o ZP(p) e´
um nu´mero ı´mpar.
ii) ZP(p) =MS(p) ou ZP(p) =MS(p)− 2 · j para algum j ∈ N.
Claro que o nu´mero de ra´ızes negativas de p(x) pode tambe´m ser estimado,
considerando-se a mesma Afirmac¸a˜o 5.1, mas aplicada agora para o novo polinoˆmio:
q(x) := p(−x).
Demonstrac¸a˜o. (da Afirmac¸a˜o2 5.1)
Prova do item i):
Caso a0 · an > 0:
Apo´s poss´ıvel multiplicac¸a˜o por −1, posso supoˆr que
a0 > 0 e an > 0.
Ou bem o gra´fico de y(x) na˜o intersecta o eixo dos x > 0 - e nesse caso ZP(p) = 0
- ou bem o faz de dois modos poss´ıveis:
1Adoto a convenc¸a˜o de considerar 0 como nu´mero par.
2A prova que dou desta Afirmac¸a˜o expo˜e o que se aprende no artigo de Xiaoshen Wang, A
simple proof of Descartes’s rule of signs, The American Mathematical Monthly, Vol. 111, No. 6, p.
525-526. 2004
CAPI´TULO 13. DERIVADA DO PRODUTO, INDUC¸A˜O E A DERIVADA DE
XN , N ∈ Z. 175
• i): tangenciando o eixo. Formando portanto ma´ximos ou mı´nimos locais de
y = p(x): nesse caso a ra´ız tem multiplicidade par (compare com a Afirmac¸a˜o
4.1). A contribuc¸a˜o a ZP(p) dessas tangeˆncias e´ par.
• ii): atravessando o eixo x > 0. O que pode ser feito transversalmente ou
formando inflexo˜es. Neste caso cada ra´ız tem multiplicidade ı´mpar (compare
com a Afirmac¸a˜o 4.1). Mas como
p(0) = a0 > 0 e lim
x→+∞
p(x) = +∞,
pois an > 0, concuimos que cada vez que o eixo x > 0 e´ atravessado pelo
gra´fico no ponto x1 no sentido do semi-plano y > 0 ao semiplano y < 0
devera´ haver uma outra ra´ız x2 em que o gra´fico atravessa o eixo x > 0 no
sentido do semi-plano y < 0 ao semiplano y > 0. Enta˜o as ra´ızes x1 e x2
contribuem juntas para ZP(p) com um nu´mero par, soma de dois ı´mpares.
Logo ZP(p) e´ par (incluindo o 0).
Caso a0 · an < 0:
Apo´s poss´ıvel multiplicac¸a˜o por −1, posso supoˆr que
a0 > 0 e an < 0.
Como
p(0) = a0 > 0 e lim
x→+∞
p(x) = −∞,
pois an < 0, o T.V.I. nos garante que ha´ alguma ra´ız e portanto ZP(p) ≥ 1. O
mesmo tipo de argumento do Caso anterior agora da´ que ZP(p) e´ ı´mpar.
Prova do item ii):
Sera´ feita por induc¸a˜o no grau n.
Para n = 1 temos p(x) = a0 + a1 · x.
A condic¸a˜o MS(p) = 0 equivale a a0 · a1 > 0. E nesta situac¸a˜o a ra´ız
x = −a0
a1
< 0
da´ que ZP(p) = 0.
A condic¸a˜o MS(p) = 1 equivale a a0 · a1 < 0. E nesta situac¸a˜o a ra´ız
x = −a0
a1
> 0
da´ que ZP(p) = 1.
Portanto ZP(p) =MS(p) e o item ii) vale para n = 1.
Suponhamos como hipo´tese de induc¸a˜o que a afirmac¸a˜o do item ii)
ZP(p) =MS(p) ou ZP(p) =MS(p)− 2 · j, j ∈ N
valha para quaisquer polinoˆmios de grau ≤ n− 1.
Sera´ u´til re-enunciar esta hipo´tese da seguinte maneira equivalente:
5. A REGRA DE SINAIS DE DESCARTES PARA AS RAI´ZES DE UM
POLINOˆMIO 176
Hipo´tese: para quaisquer polinoˆmios de grau ≤ n− 1 vale ZP(p) ≤MS(p) e, ou
bem ZP(p) e MS(p) sa˜o pares ou bem ZP(p) e MS(p) sa˜o ı´mpares.
Seja agora o polinoˆmio a coeficientes Reais de grau n ≥ 2:
p(x) = a0 + ak1 · xk1 + ak2 · xk2 + . . .+ an · xn,
a0 · aki 6= 0 e 1 ≤ k1 ≤ k2 ≤ . . . ≤ n.
Se divide o resto da prova em dois casos:
Caso 1) a0 · ak1 > 0:
Considero a derivada de p(x)
p′(x) = (k1 · ak1 · xk1−1 + k2 · ak2 · xk2−1 + . . .+ n · an · xn,
Note que a0 · ak1 > 0 garante que
MS(p) =MS(p′).
Ademais, como a0 e ak1 teˆm o mesmo sinal e como o sinal do coeficiente do termo
de ordem mais alta de p e de p′ e´ o mesmo, a aplicac¸a˜o do Item i) ja´ provado a p(x)
e depois a p′(x) dira´ que ou bem ZP(p) e ZP(p′) sa˜o nu´meros pares ou bem ZP(p)
e ZP(p′) sa˜o nu´meros ı´mpares.
Aplico a hipo´tese de induc¸a˜o a p′(x), cujo grau e´ n − 1: ZP(p′) ≤ MS(p′) e, ou
bem ZP(p′) e MS(p′) sa˜o pares ou bem ZP(p′) e MS(p′) sa˜o ı´mpares.
Concluo por enquanto que ou bem ZP(p) e MS(p) sa˜o pares ou bem ZP(p) e
MS(p) sa˜o ı´mpares. Isso ja´ prova parte do Item ii).
Agora, pelo Teorema de Rolle:
ZP(p′) ≥ ZP(p)− 1
pois na˜o podem haver duas ra´ızes sucessivas de p(x) sem que entre elas haja uma ra´ız
de p′(x).
Enta˜o:
MS(p) =MS(p′) ≥ ZP(p′) ≥ ZP(p)− 1,
ou seja,
MS(p) + 1 ≥ ZP(p).
Como sabemos que ou bem ZP(p) e MS(p) sa˜o pares ou bem ZP(p) e MS(p) sa˜o
ı´mpares isso forc¸a que:
MS(p) ≥ ZP(p),
como quer´ıamos para completar o Item ii).
Caso 2) a0 · a1 < 0: a prova e´ bem parecida.
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CAPI´TULO 13. DERIVADA DO PRODUTO, INDUC¸A˜O E A DERIVADA DE
XN , N ∈ Z. 177
6. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 6.1. (resolvido)
Prove por induc¸a˜o: n! ≥ 2n−1, ∀n ≥ 2.
Exerc´ıcio 6.2. Derive o produto de treˆs func¸o˜es (deriva´veis):
( f(x) · g(x) · h(x) )′
Exerc´ıcio 6.3. Produza 4 exemplos de polinoˆmios p de grau 6 em que, no item ii)
da Afirmac¸a˜o 5:
ZP(p) =MS(p)− 2 · j,
o nu´mero j ∈ N vale j = 0, 1, 2, 3.
CAP´ıTULO 14
Derivada da composic¸a˜o de func¸o˜es
A composic¸a˜o de func¸o˜es simples produzindo func¸o˜es complicadas e´ o ana´logo
matema´tico da composic¸a˜o de processos simples que produzem efeitos complicados
na natureza, nas reac¸o˜es qu´ımicas, nos processos biolo´gicos, etc.
Da´ı a importaˆncia de sabermos derivar composic¸o˜es.
1. Regra da composta ou da cadeia
A palavra que costuma se usar regra cadeia poderia ser substitu´ıda pelo sinoˆnimo