Lei dos senos e lei dos cossenos

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AULAS 29 e 30 
Prof. Rodrigo Fonseca 
Lei dos 
Senos 
Em um mesmo triângulo, a razão entre o lado e o 
seno do ângulo oposto a esse lado é constante 
ex: 
h 
45° 60° 
8 x 



sen60
8
sen45
x
x
h
sen60 
 8.sen45x.sen60
8
h
sen45 
 sen45h .8
 x.sen60h 3
68
x 
2
3
2
2
8x

Lei dos 
Senos 
Em um mesmo triângulo, a razão entre o lado e o seno do 
ângulo oposto a esse lado é igual ao diâmetro da 
circunferência circunscrita nesse triângulo 
C B a 
b 
β 
A’ 
c 
γ 
α 
2R 
α 
A 2R
a
senα  2R
senγ
c
senβ
b
senα
a
2R
senα
a

Lei dos 
Senos 
C B 
135° 
A 
R2  sen
c
sen
b
sen
a
02 
C B a 
b 
β 
c 
γ 
α 
A 
R 
R = 6 cm 
cm26a 
R2
sen135
a  12.sen135a
2
2
Em um mesmo triângulo, a razão entre o lado e o seno do 
ângulo oposto a esse lado é igual ao diâmetro da 
circunferência circunscrita nesse triângulo 
a 
Lei dos 
Cossenos 
“Teorema de Pitágoras” para um triângulo qualquer: 
obtusângulo, acutângulo ou retângulo 
ex: 
h 
C A 
m 
x 
B 
c 
α b-m 
b 
m²h²c²  2bc.cos-c²b²x² m²h²c² m)²-(bh²x² 
c.cosαm  c
m
cosα 
m²2bm-b²h²x² 
2bm-c²b²x² 
Note que: 
α = 90° ⇒ cosα = 0 ⇒ x² = b² + c² 
Lei dos 
Cossenos 
“Teorema de Pitágoras” para um triângulo qualquer: 
obtusângulo, acutângulo ou retângulo 
= 
01 
x 
30° 
A 
B 
4 
C 
34
03212x-x² 
).x.cos(3032.4-x²)²3(44² 
2
3
.x.38-x²4816 
x= 8 
x= 4 
30° 
A’’ 
C 
A’ 
B 
34
4 
4 
4 
4 
60° 
30° 
Triângulo isósceles obtusângulo 
 
Triângulo escaleno retângulo 
06 
30° 
A 
O 
1 
B 
α 
B 
A 
0 
2 
1 
30° 
2.senαx Lei dos Senos 


30sen
1
sen
x

0 < x ≤ 2 
-1 ≤ senα ≤ 1 
-2 ≤ 2.senα ≤ 2 
x 
Note que: 
x = 2 ⇒ senα = 1 ⇒ α = 90° 
05