A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
289 pág.
drenagem fcth

Pré-visualização | Página 25 de 50

æ
è
ç
ö
ø
÷ < -
æ
è
ç
ö
ø
÷ ³ Û
æ
è
ç
ö
ø
÷ < -
æ
è
ç
ö
ø
÷ ³ Û
æ
è
ç
ö
ø
÷ ³ -
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
30
30 171
30 171
a
a
a
onde:
T período da onda;
i declividade do fundo;
y profundidade "efetiva";
F número de Froude.
·· Escoamento Permanente Gradualmente Variado
Existem em grande número, modelos numéricos destinados à solução das equações 4.20 e 4.28, seja
na forma completa ou em qualquer das expressões simplificadas. Em todos os casos, estes modelos
baseiam-se num dos métodos numéricos tradicionais de integração de equações diferenciais, tais como
Hidráulica em drenagem urbana
FCTH Prefeitura do Município de São Paulo
117
diferenças finitas, elementos finitos, elementos de contorno, características e outros. Os métodos de
diferenças finitas são de longe os mais populares entre os pesquisadores hidráulicos pois apresentam
grande facilidade na formulação das expressões numéricas e condições de extremidade.
No caso particular dos escoamentos permanentes, as equações básicas resumem-se à Equação 4.28,
de onde se pode desprezar o termo ¶ ¶Q t :
¶
¶
b ¶
¶x
Q
A
gA
h
x
gAj
2
0
æ
è
ç
ö
ø
÷ + + = ...........................................................................................( 4.29 )
Desenvolvendo a Equação 4.29 em todos os seus termos e fazendo algumas simplificações obtém-se:
Q
A x
Q
A
q gA bF
h
x
Q
A
A
x
gAj
h const
2
2
2
22 1 0
¶b
¶
b
¶
¶
b
¶
¶
+ + - - + =
=
( ) .....................................( 4.30 )
Considerando o esquema da Figura 4.10 , a Equação 4.30 pode ser discretizada através de diferenças
finitas, permitindo a obtenção de um sistema de equações para cálculo da linha d'água:
¶b
¶
b b
x x
i i=
-+1
D
¶
¶
h
x
h h
x
i i=
-+1
D
A
A A
i
i i=
++1
2
Figura 4.10 - Esquema de diferenças finitas para escoamento permanente
Hidráulica em drenagem urbana
FCTH Prefeitura do Município de São Paulo
118
b
b b
i
i i=
++1
2
F
Q B
gAi
i i
i
2
2
3
= F
F F
i
r i i2
2
1
2
2
=
++
O parâmetro j pode ser obtido através da expressões indicadas do regime uniforme visto
anteriormente:
j
j j Q
K
Q
K
i i i
i
i
i
=
+
= × +
æ
è
ç
ö
ø
÷+ +
+
1 1
2
1
2
2
22
1
2
onde:
K C A Rh= × ×
1
2
C
g
f
=
×æ
è
ç
ö
ø
÷
8
1
2
Substituindo as diferenças na Equação 4.30, resulta:
gA
x
F h h
Q
A
q
Q
A x
Q
A
A A
x
gAQ
K K
r i i
i i
i i
h const i i
D D
D
( )( )1 2
1 1
2
1
2
1
2
2
1 2
1
2 2
- - = -
-æ
èç
ö
ø÷
+
+
-æ
èç
ö
ø÷
- +
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
+
+
= +
b b
b b
b
.....................................................( 4.31 )
onde:
b i , Ai e yi representam os parâmetros no trecho compreendido entre i e i + 1.
 A Equação 4.31 aplicada entre diversas seções de um canal produz um sistema de ( )n -1 equações a
n incógnitas:
D h B h E
D h B h E
D h B h E
D h B h En n n n n
1 2 1 1 1
2 3 2 2 2
3 4 3 3 3
1 1 1 1
+ =
+ =
+ =
××××××××××××××××××
+ =- - - -
para o qual os coeficientes são:
Hidráulica em drenagem urbana
FCTH Prefeitura do Município de São Paulo
119
D B
gA
x
F
E
Q
A
q
Q
A x
Q
A
A A
x
gAQ
K K
i i
i
i i i i
h const i i
= - = -
= -
-æ
èç
ö
ø÷
+ +
-æ
èç
ö
ø÷
- +
æ
è
ç
ö
ø
÷+ +
= +
D
D D
( )1
2
1 1
2
2
1
2
2
1 2
1
2 2
b
b
b b
b
.....( 4.32 )
O sistema pode ser solucionado pelo esquema de simples-varredura, adotando-se valores iniciais
para as profundidades e calculando-se para as seções os valores de B , D e E . Com os coeficientes e
uma condição de extremidade (nível d'água a montante ou a jusante), calcula-se os hi pelas equações:
h
E B h
D
h
E D h
B
i
i i i
i
i
i i i
i
+
+
=
- ×
=
- ×
1
1
.............................................................................................................( 4.33 )
Como inicialmente partiu-se de valores de yi incorretos, o cálculo deve ser reiterado até que se
obtenha, para yi , valores próximos entre uma iteração e outra.
A Figura 4.11 mostra os resultado do cálculo do escoamento gradualmente variado num canal
retangular de base b = 5,00 m, escoando a vazão de 5,00 m3/s. O perfil de fundo engloba um trecho de
declividade nula, uma soleira seguida de dois trechos de declividade forte, outro de declividade fraca e
uma soleira terminal. Para os cálculos, o canal foi dividido em 200 seções e o fator de atrito foi estimado
através da equação de regime uniforme adotando-se ks =0,001 m. Os resultados foram obtidos
variando-se o nível d'água na seção de jusante desde o escoamento livre até o afogamento parcial da
soleira, proporcionando-se assim todas as situações possíveis de posicionamento da linha d'água.
Hidráulica em drenagem urbana
FCTH Prefeitura do Município de São Paulo
120
·· Escoamento não Permanente
A modelação dos escoamentos não permanentes tem grande interesse na drenagem urbana para os
estudos de translação de ondas de enchente nos canais e galerias. Nestes fenômenos são aplicadas as
equações genéricas de Saint-Venant, como apresentado em (4.20) e (4.28), incluindo-se as diferenciais
no tempo. A solução destas equações pode ser feita por métodos numéricos diversos, como o método
das características, de diferenças finitas, de elementos finitos, etc. A seguir apresenta-se um exemplo
de solução numérica.
Chaudhry et alli. (1987,1989,1990,1991) e posteriormente Navarro (1992) apresentaram estudos da
aplicação do esquema de MacCormack na simulação numérica dos escoamentos em canais regulares
dotados de pontos singulares, ocorrência de ressaltos hidráulicos e variações de fundo, obtendo grande
sucesso. Este esquema fundamenta-se na aplicação de diferenças finitas de segunda ordem de
acuracidade entre os pontos discretos do canal, considerando as variáveis Q e y (ou h ), como ilustra
a figura a seguir.
Figura 4.11 - Escoamento em canal retangular com diversas situações de controle hidráulico 
calculado a partir das equações.
Hidráulica em drenagem urbana
FCTH Prefeitura do Município de São Paulo
121
A discretização numérica do esquema de MacCormack considera um “grid” espaço-tempo conforme o
indicado na Figura 4.13, e dois grupos de representações finitas para uma grandeza genérica G ,
denominados “predictor” e “corrector”. Espacialmente, o canal é discretizado através das seções
transversais distanciadas de Dx . O domínio do tempo é dividido em intervalos Dt .
Figura 4.12 - Discretização numérica do canal
Figura 4.13 - Grid Espaço-Tempo de MacCormack
Hidráulica em drenagem urbana
FCTH Prefeitura do Município de São Paulo
122
Predictor:
¶
¶
¶
¶
G
t
G G
t
G
x
G G
x
G
G Gi i
t
i i i i
t
i
t
=
-
=
-
=
++ +
* * * _
..... .....
D D
1
2
.....................................................( 4.34 )
Corrector:
¶
¶
¶
¶
G
t
G G
t
G
x
G G
x
G
G Gi i i i i i=
-
=
-
=
+- = -
** * ** * * *
..... .....
D D
1 1
2
....................................................( 4.35 )
A aplicação da Equação 4.34 às equações básicas definem o passo de cálculo denominado Predictor,
da forma:
h h
t
B L
q
Q Q
xi i
t
i i
s
i
t
i
t
i
*
_ _
_
= +
+æ
èç
ö
ø÷
-
-æ
è
ç
ö
ø
÷
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
+
+
+
D
D
1
1
1
Q Q t
Q
A x
Q
A
Q Q
x