Modulo 2 - Lista 3 - Analise 1 - Turma 1º/2013 - Prof Celius

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1
Mo´dulo 2 Lista 3 1.o/2013
1) Sejam I ⊂ R um intervalo aberto, f : I → R deriva´vel e c ∈ I um ponto de mı´nimo estrito
de f . Suponha ainda que exista d 6= c tal que f(d) ≤ f(c), como ilustra a figura ao lado.
a) Verifique que t = 0 e´ um ponto de mı´nimo estrito
da func¸a˜o g(t) = f(td+ (1− t)c), com t ∈ [0, 1].
b) Conclua que existe s > 0 tal que g(0) < g(s).
c) Mostre que existe ξ0 ∈ (0, s) tal que g
′(ξ0) > 0. cd
d) Analogamente, mostre que existe ξ1 ∈ (s, 1) tal que g
′(ξ1) < 0.
e) Conclua dos itens anteriores que f possui pelo menos um ponto cr´ıtico entre c e d.
2) Uma func¸a˜o f : R→ R e´ par (ou impar) se f(−x) = f(x) ∀ x ∈ R (ou f(−x) = −f(x)).
Por exemplo, f(x) = xn e´ uma func¸a˜o par se n ∈ N e´ par, e impar de n for impar.
x−x
x
−x
a) Argumentando com as combinac¸o˜es f(x) ± f(−x), mostre
que toda func¸a˜o se decompo˜e na soma de uma func¸a˜o par
com uma func¸a˜o impar.
b) Mostre que, se f e´ impar, enta˜o necessariamente f(0) = 0.
c) Supondo que f seja par e deriva´vel, use a substituic¸a˜o
h = −k no quociente de Newton 1
h
[f(−x + h) − f(−x)]
para mostrar que f ′ e´ uma func¸a˜o impar.
d) Analogamente, mostre que a derivada de uma func¸a˜o impar e´ uma func¸a˜o par.
e) Conclua que, se f e´ impar, enta˜o o correspondente polinoˆmio de Taylor de f na˜o possui
poteˆncias pares. Fac¸a uma conclusa˜o ana´loga para func¸o˜es pares.
3) Sejam I ⊂ R um intervalo aberto, f : I → R uma func¸a˜o deriva´vel, c ∈ I e
l(x) = f(c) + f ′(c)(x − c) a reta tangente em x = c. O ponto c e´ de inflexa˜o se existe
δ > 0 tal que a diferenc¸a f(x) − f(c) muda de sinal quanto x muda do intervalo (c − δ, c)
para o intervalo (c, c+ δ). Nos itens a seguir, suponha ainda f duas vezes deriva´vel.
a) Mostre que, se existe δ > 0 tal que f ′′(x) > 0 para x ∈
(c− δ, c), enta˜o f(x) > l(x) para todo x ∈ (c− δ, c).
b) Analogamente, se existe δ > 0 tal que f ′′(x) < 0 para x ∈
(c, c+ δ), mostre que f(x) < l(x) para todo x ∈ (c, c+ δ).
c
f(c)
c) Conclua que, nas condic¸o˜es dos dois itens acima, x = c e´ ponto de inflexa˜o de f .
Enuncie um crite´rio ana´logo para ponto de inflexa˜o invertendo os sinais da f ′′.
d) Use o item anterior para determinar os pontos de inflexa˜o da func¸a˜o f : R → R dada
por f(x) = x
1+x2
.
e) Decida, justificando sua resposta, se x = 0 e´ ponto de inflexa˜o da func¸a˜o f : R → R
dada por f(0) = 0 e f(x) = x4 sen( 1
x
) para x 6= 0.
Ana´lise 1 Mo´dulo 2 Lista 3 1.o/2013 – 1/2
4) Considere a func¸a˜o f : (−∞, 1)→ R dada por f(x) = (1−x)−2, cujo gra´fico esta´ ilustrado
na figura abaixo.
1
a) Calcule as derivadas f (n)(x) para n ∈ N.
b) Obtenha a expressa˜o da fo´rmula de Taylor de f em torno de x = 0
e ate´ a orden n ∈ N. Obtenha ainda a expressa˜o do resto Rn+1(x)
em termos da derivada f (n+1).
c) Calcule Mn+1(x) = sup{|f
(n+1)(ξ)|; ξ ∈ [−|x|, |x|]} para n ∈ N e
0 < |x| < 1, justificando a sua resposta.
d) Usando os itens anteriores, determine c0 > 0 tal que a se´rie de Taylor de f , em torno
de x = 0, coincida com f no intervalo (−c0, c0).
e) O valor de c0 obtido acima na˜o e´ o raio de convergeˆncia da se´rie. Justifique essa
afirmac¸a˜o mostrando que a se´rie acima converge para algun x > c0.
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