Modulo2-Lista4-Analise1-Turma12013-ProfCelius

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1
Mo´dulo 2 Lista 4 1.o/2013
1) Considere a func¸a˜o f : R → R dada por f(0) = 0 e f(x) = e−1/x
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para x 6= 0.
a) Calcule f ′(x) para x 6= 0. Em seguida, justifique a afirmac¸a˜o de que f e´ deriva´vel em
x = 0 e calcule f ′(0).
b) Proceda de forma ana´loga para calcular f ′′(x), x 6= 0, e f ′′(0).
c) Determine os pontos cr´ıticos e os pontos de inflexa˜o de f .
d) Determine os intervalos em que a func¸a˜o e´ crescente, decrescente, coˆncava e convexa,
e esboce o gra´fico da func¸a˜o.
e) Justifique a afirmac¸a˜o de que f e´ de classe C∞. Em seguida, decida se a func¸a˜o e´
anal´ıtica em x = 0.
2) Suponha f e g func¸o˜es anal´ıtica em um ponto c, e indique a diferenc¸a por h = f − g.
O ponto c e´ um zero de ordem p ∈ {0} ∪ N da func¸a˜o h se h(j)(c) = 0 para 0 ≤ j ≤ p e
h(p+1)(c) 6= 0. Se h(j)(c) = 0 para todo j = 0, 1, 2, . . . , o ponto c e´ dito de ordem infinita.
a) Obtenha a expressa˜o da se´rie de Taylor de h em torno do ponto c.
b) Conclua que, se c e´ um zero de ordem p, enta˜o h escreve-se como h(x) = (x− c)pϕ(x),
onde ϕ(c) 6= 0 .
c) Nas condic¸o˜es do item anterior, obtenha δ > 0 tal que ϕ(x) 6= 0 para |x− c| < δ.
d) Ainda nas condic¸o˜es do item anterior, conclua que c e´ um zero isolado da func¸a˜o h,
isto e´, que h(x) 6= 0 para 0 < |x− c| < δ.
e) Use os itens anteriores para concluir que, se existe uma sequeˆncia xn → c, com xn 6= c
e f(xn) = g(xn) ∀n, enta˜o f(x) = g(x) para todo x em alguma vizinhanc¸a de c.
3) Considere a func¸a˜o f : [0, 1] → R dada por f(x) = 1 + x2. Para uma partic¸a˜o pi de [0, 1],
indique por s(f, pi) e S(f, pi) as somas inferior e superior correspondentes. Em particular,
para a partic¸a˜o pin = {0 <
1
n
< · · · j
n
< · · · < 1}, pode-se mostrar que sn = s(f, pin) e´ uma
sequeˆncia crescente, Sn = S(f, pin) e´ decrescente e sn ≤ Sn ∀ n.
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a) Calculando, verifique que s1 < s2 e S1 > S2.
b) Verifique que, refinando a partic¸a˜o pin com um u´nico ponto, isto
e´, pi = pin ∪ {a} = {0 <
1
n
< · · · j
n
< a < j+1
n
· · · < 1}, tem-se que
sn ≤ s(f, pi) e S(f, pi) ≤ Sn.
c) Use induc¸a˜o para mostrar que o resultado do item anterior e´ ver-
dadeiro se a partic¸a˜o pin for refinada com um nu´mero qualquer de
pontos.
d) Do item anterior conclua, em particular, que sm ≤ Sn quaisquer que sejam m e n. Da´ı
e da monotonicidade, conclua ainda que existem os limites lim sn e limSn.
e) Finalmente, calcule sn e Sn usando a identidade 1
2 + 22 + · · ·n2 = 1
6
n(n+ 1)(2n+ 1),
e verifique que lim sn = limSn.
Ana´lise 1 Mo´dulo 2 Lista 4 1.o/2013 – 1/2
4) Para α ∈ R, a equac¸a˜o
(1− x2)y′′(x)− xy′(x) + α2y(x) = 0
e´ conhecida como a equac¸a˜o de Chebyshev, e esta´ associada a` apro-
ximac¸o˜es uniformes de func¸o˜es cont´ınuas por polinoˆmios. A soluc¸a˜o
pode ser escrita na forma de uma se´rie y(x) =
∑
∞
n=0 anx
n, com os
coeficientes an a serem determinados.
— func¸a˜o - - polinoˆmio
Nesse sentido, observe que a equac¸a˜o equivale a y′′(x) + (α2y(x)− xy′(x)−x2y′′(x)) = 0,
onde os termos entre pareˆnteses corresponte a uma se´rie em poteˆncias da forma xn.
a) Por uma mudanc¸a no ı´ndice do somato´rio, escreva tambe´m a se´rie de y′′(x) em poteˆncias
da forma xn.
b) Obtenha as relac¸o˜es de recorreˆncia, expressando an+2 em temos de an.
c) Do item anterior tem-se que y(x) = a0y0(x) + a1y1(x), em que y0(x) e uma se´ria em
poteˆncia pares e y1(x) e´ uma se´rie em poteˆncias ı´mpares. Use o teste da raza˜o para
determinar o raio de convergeˆncia destas se´ries.
d) Obtenha os treˆs primeiros termos de cada uma das se´ries y0(x) e y1(x).
e) Se α for um inteiro na˜o negativo, enta˜o a equac¸a˜o possui uma soluc¸a˜o polinomial de
grau α. Determine esse polinoˆmio nos casos em que α = 0, 1, 2 e 3.
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