Grandeza Vetorial - Grandeza Escalar- unip

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Antes de iniciarmos nosso estudo vamos definir alguns conceitos importantes. 
 
� Corpo Rígido 
Um corpo rígido pode ser considerado o 
conjunto de partículas agrupadas de forma 
que a distância entre as partes que 
constituem o corpo ou o sistema não sofram 
mudança, ou seja, essas partículas não se 
alteram para um referencial fixado no 
próprio corpo. 
Quando o transatlântico está manobrando 
no porto ele é considerado um corpo rígido, 
pois as partículas agrupadas que formam o 
navio não sofrem mudança, ou seja, essas 
partículas não se alteram para um 
referencial fixado no próprio navio. 
O corpo rígido executa os movimentos de rotação, 
translação ou os dois de forma combinada. 
 
� Ponto Material 
Um ponto material possui massa, mas suas dimensões 
(comprimento, altura e largura) podem ser desprezadas. 
 
Quando o transatlântico está em alto mar ele é considerado 
um ponto material. 
 
 
 
� Grandeza Escalar: 
 
É aquela grandeza que quando indicamos apenas o valor numérico e a unidade de sua medida temos 
informação suficiente para o entendimento da mesma. 
Ex.: Tempo; se dissermos: “Nos encontraremos em 5 minutos” todos compreendem perfeitamente a 
informação. 
Mais alguns exemplos: Massa, Temperatura, Pressão, Trabalho. 
 
� Grandeza Vetorial 
 
É aquela grandeza que para se ter a informação completa precisamos dizer mais que o valor numérico e a 
unidade da grandeza física. 
Se dissermos: “Para chegar ao seu destino é só seguir 10km” essa informação não esta completa, pois a pessoa 
não saberá em que direção deve seguir os 10km, nem em que sentido. Imagine que você esta a beira de uma 
rodovia e pergunta para alguém e o informante diz: “Para chegar ao seu destino é só seguir 10km na rodovia” 
Certo, mas ainda falta alguma coisa!!! O que é?!?! O sentido! Em que sentido da rodovia você deve seguir 
10km? Então a informação completa deve ser do tipo: “Para chegar ao seu destino é só seguir 10km na 
rodovia sentido Norte” . Agora sim... você pode seguir viagem. 
Ex.: Deslocamento, Velocidade, Aceleração, Força. 
 
Para representarmos as grandezas vetoriais utilizamos um vetor que é um segmento de reta orientado. 
 
 
 
Falaremos muito sobre força no nosso curso, então vamos defini-la também. 
 
� Força 
Uma Força é o resultado da interação entre corpos. Ela pode produzir equilíbrio, variação de velocidade ou 
deformação. É puxão ou empurrão. 
A Força é uma grandeza vetorial, através da qual se quantifica a interação entre esses dois corpos. 
As unidades de medida de força são: 
 
No SI →	N	�newton
	 	 	 	 As	relações	entre	essas	medidas	são:	No	CGS			 →	dyn	�dina
	 	 	 	 1	kgf		=		9,8	N 
No MKS →	kgf	�kilograma-força
 1 N = 105 dyn 
 
Chamamos de Força Resultante (FR) a força que sozinha produz o mesmo efeito da ação de várias forças sobre 
um mesmo corpo. É a força que resulta da soma de todas as forças que agem sobre o corpo. 
 
� Princípio da Inércia (1ª Lei de Newton) 
Uma partícula sob força resultante nula mantém-se em equilíbrio estático, ou seja, ou a partícula está parada 
ou em movimento retilíneo uniforme com velocidade vetorial constante. $%&&&&' = 	0 
 
� Princípio Fundamental da Dinâmica (2ª Lei de Newton) 
A resultante das forças aplicadas sobre um ponto material é igual ao produto da sua massa pela aceleração 
adquirida. $%&&&&' = ) ∙ 	+' 
 
Esse princípio nos diz que um corpo em repouso necessita da aplicação de uma força para que possa se 
movimentar (variar sua velocidade), e para que um corpo que está em movimento pare é necessária a 
aplicação de uma força. 
 
� Princípio da Ação e Reação (3ª Lei de Newton) 
Sempre que um corpo A aplica uma força de ação $',- sobre um corpo B, este aplica sobre o corpo A uma 
força de reação $'-, . 
As forças de ação e reação são sempre de mesma natureza, ou seja, se força de ação é de contato sua força de 
reação também deve ser de contato; se força de ação é de campo sua força de reação também deve ser de 
campo. 
As forças de ação e reação tem mesmo módulo (mesmo valor numérico), mesma direção (mesma linha de 
ação) e sentidos opostos. 
 
Vamos definir agora alguns tipos de forças 
 
� Força Peso (Natureza: força de campo) 
Todos os corpos próximos à superfície terrestre ou de qualquer corpo celeste, ficam sujeitos à ação da força de 
campo gravitacional, essa força chamamos de Força Peso ou simplesmente Peso �.&'
. Tal força sempre atua no 
sentido de aproximar o corpo para da superfície. O peso é definido por: 
 
 .&' = ) ∙ /' (vetorial) 
 . = ) ∙ / (algébrico) 
 
0	&&&' 
Percebemos então que, o peso de um corpo pode variar dependendo do campo gravitacional no qual ele está 
inserido. O mesmo corpo terá pesos diferentes se estiver no campo gravitacional terrestre ou lunar. Em contra 
partida sua massa sempre será constante. 
 
 
 
 
 
 
� Força Normal (Natureza: força de contato) 
Sempre que houver compressão entre duas superfícies surgirá uma força perpendicular a elas denominada 
Força Normal �1&&'
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A Força Peso e a Força Normal 
 NÃO FORMAM 
 um par ação e reação. 
 
 
 
 
 
� Força de Tração 
É a força trocada entre um corpo e um fio ideal e sua ação é sempre no sentido de puxar o corpo com o fio. 
Fio ideal é aquele fio inextensível, flexível e de massa desprezível. Ele transmite a força de uma extremidade 
à outra. 
 
 
 
 
 
Em um fio ideal: 
.&' 
−.&' 
1&&' 
−	1&&' 
1&&' 
−	1&&' 
1&&' −	1&&' 
3&' 
3&',	 3&'-	 $'	 
A B 
43&',4 	= 	 43&'-4 
−	1&&' 
1&&' 
−.&' 
.&' 
Ɵ
F 
x 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Antes de iniciarmos o estudo de Estática vamos 
aprender a trabalhar com vetores. 
Temos que aprender a decompor os vetores, e para 
isso utilizaremos as relações trigonométricas. 
O gráfico ao lado mostra um vetor $' que forma um 
ângulo Ɵ com o eixo x. 
 
 
 
As componentes de um vetor são determinadas pela 
sombra do vetor em cada um dos eixos cartesianos. 
Então trace linha paralelas aos eixos x e y que 
passem pela extremidade do vetor F. O tamanho 
definido em cada um dos eixos será a componentes 
de F neste eixo. 
Como mostra a figura ao lado. 
 
 
 
 
Se movimentarmos a componente Fy para a posição 
indicada na figura ao lado podemos visualizar um 
triangulo retângulo. Esse triângulo será utilizado 
para escrevermos as funções seno e cosseno do 
ângulo Ɵ e assim poderemos escrever as 
componentes Fx e Fy. 
Ɵ
F 
x 
y 
Fx 
Fy 
Ɵ
F 
x 
y 
Fx 
Fy Fy 
Ɵ
Cateto 
oposto ao 
ângulo Ɵ 
 
Cateto adjacente ao ângulo Ɵ 
Olhando para o triângulo retângulo vamos escrever as funções trigonométricas e definir as componentes do vetor. 
 
 
 
 
Quando trabalhamos com um sistema de forças, em equilíbrio ou não, é muito difícil que tenhamos apenas uma força, 
então precisamos aprender a trabalhar com mais de uma força aplicada no mesmo ponto. 
Vamos iniciar nossos estudos com um sistema onde estão aplicadas 
três forças, $	&&&'5	, $	&&&'6	7		$	&&&'8	 como mostra a figura ao lado e determinar a 
força resultante ($'%
 deste sistema. 
 
Dados: $	&&&'5	 = 201 $	&&&'6 = 501	 $	&&&'8 = 301 
 
O primeiro passo é identificarmos no desenho quais 
as forças estão fora do eixo e iniciarmos a decomposição 
dessas forças. Neste caso é necessário decompor as forças $	&&&'5	, $	&&&'6. 
Não é necessário decompor a força $	&&&'8 pois a mesma está sobre o eixo Y. 
 
Determinamos as decomposições dos vetores F1 e F2 utilizando 
as funções trigonométricas seno e cosseno dos ângulos marcadosem cada uma das forças 
 
 cos 30° = $5>$5 	→ 	$5> = $5 . cos 30°	 
sen 30° = $5@$5 	→ 	$5@ = $5 . sen 30° 
cos 60° = $6>$6 	→ 	$6> = $6 . cos 60°	 
sen 60° = $6@$6 	→ 	$6@ = $6 . sen 60° 
Nas equações das componentes vamos substituir os valores numéricos conhecidos, são eles: 
- valores das forças que foram dados e , 
- valores de seno e cosseno dos ângulos que determinamos com a calculadora científica. 
y 
x 
$8&&&&' 
60° 30° 
y 
x 
$	&&&'3 
60° 30° $5>&&&&&&' 
$5@&&&&&&' 
$6>&&&&&&' 
$6@&&&&&&' 
 $5> = $5 . cos 30° 		→ 	$5> = 20.0,866	 → 	$5> = 17,32	1				 $5@ = $5 . sen 30° 	→ 	$5@ = 20.0,5						 → 	$5@ = 10,001 
$6> = $6 . cos60°	 → 	$6> = 50.0,5						 → 	$6> = 25,001 $6@ = $6 . sen 60° 	→ $6@ = 50.0,866		 → $6@ = 43,301 
Vamos lembrar que a força F3 é igual a 30N e que não precisa 
ser decomposta pois está sobre o eixo Y. 
 
Agora que conhecemos os valores numéricos das componentes das forças 
Vamos montar as equações da força resultante (FR) de cada eixo 
 
Analisando primeiramente o eixo X, temos: 
 
Para a direita no eixo X a componente F1x e para a esquerda a componente F2x. 
Assim a força resultante no eixo X que chamaremos de FRX será a soma de todas as forças que estão no eixo X, cada 
uma entra na equação com o sinal correspondente ao sentido do eixo, ou seja: 
 $%D =	$5D −	$6D = 17,32 − 25,00	 → 	$%D =	−7,681 
 
Agora, analisando o eixo Y, temos: 
 
Para cima as componentes F1Y e F2Y e para baixo a força F3. 
Assim a força resultante no eixo Y que chamaremos de FRY será a soma de todas as forças que estão no eixo Y, cada 
uma entra na equação com o sinal correspondente ao sentido do eixo, ou seja: 
 $%E =	$5E +	$6E 	− 	$8 = 10,00 + 43,30 − 30,00 →	$%E = 	23,301 
Até neste ponto nós calculamos a força resultante em cada um dos eixos X e Y. 
Como a resultante FRX deu um valor negativo, isso significa que essa força está sendo aplicada no sentido negativo do 
eixo X (para a esquerda) e a resultante FRY deu positiva, então essa força está aplicada no sentido positivo do eixo Y 
(para cima), a representação gráfica dessas forças vemos abaixo: 
 
 
Até aqui então aprendemos que podemos substituir todas as 
três forças iniciais F1 , F2 e F3, por duas forças FRX e FRY 
colocadas sobre os eixos. 
Mas o que realmente queremos é determinar uma força 
resultante, ou seja, poder substituir todas as três forças iniciais 
por apenas uma força resultante, para isso precisamos calcular 
a força resultante entre as componentes FRX e FRY. 
 
 
 
y 
x 
$	&&&'3 
60° 30° $5>&&&&&&' 
$5@&&&&&&' 
$6>&&&&&&' 
$6@&&&&&&' 
y 
x $%>&&&&&&' 
$%@&&&&&&' 
Para determinarmos a força resultante entre FRX e FRY devemos visualizar a representação gráfica da soma deste 
vetores, como segue abaixo: 
Percebam que na figura da direita temos as componentes FRX e FRY sendo somadas e resultando na força FR, na figura 
da direita movimentamos o vetor FRY de forma a conseguirmos visualizar um triangulo retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos lembrar do Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 
 
 
Desta forma, como chegamos nos resultados 
$%D =	−7,681 e $%E = 	23,301, agora vamos calcular FR 
$%6 = $%D6 +	$%E6 = �−7,68
6 + �23,30
6 = 58,98 + 542,89 = 601,87		 $%6 = 601,87	 → 	$% =	√601,87 →	$% = 	24,53	1 esse resultado significa que podemos substituir as três forças 
iniciais por apenas uma força de 24,53N mas precisamos indicar a direção desta força, ou seja, o ângulo entre esta 
força e o eixo X. 
Para calcularmos o ângulo devemos novamente olhar para um triângulo retângulo e utilizar uma das relações 
trigonométricas. Agora utilizaremos a tangente. 
 
 
 
 
 
Dessa forma: 
H/I = 	 JKLMLN	NONPLNJKLMLN	KQRKJMSLM 		→ H/I = TUVTUW 	→ H/I = X68,8YZ[,\]X → H/I = 3,03 
I 
y 
x $%>&&&&&&' 
$%@&&&&&&' 
I 
y 
x $%>&&&&&&' 
$%@&&&&&&' $%@&&&&&&' 
b 
c 
Ɵ
Cateto 
oposto ao 
ângulo Ɵ 
Cateto adjacente ao ângulo Ɵ 
I 
y 
x $%>&&&&&&' 
$%@&&&&&&' $%@&&&&&&' 
Este é o valor da tangente do angulo Ɵ, para sabermos o valor do ângulo Ɵ devemos utilizar a função arco tangente 
que na calculadora é representada por tg -1 ou atg, dependendo do modelo da sua calculadora. 
I = H/Z5�3,03
 → I = 71,74° 
Assim a força resultante da ação das 3 forças iniciais, será FR = 24,53N aplicada com um ângulo de 71,74º como 
mostra a figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora sim, vamos começar nosso estudo de Mecânica, ramo da Física que estuda o estado de repouso ou de 
movimento de corpos sujeitos à ação de forças. 
A mecânica é dividida em: 
 - mecânica dos corpos rígidos 
 - mecânica dos corpos deformáveis 
 - mecânica dos fluídos 
A mecânica dos corpos rígidos é ainda subdividida em: 
 
 
 
 
 
 
Neste semestre estudaremos a parte de Estática e para facilitar nosso estudo o em duas partes: 
 
- Estática do Ponto Material 
 
- Estática do Corpo Extenso 
 
ESTÁTICA 
Corpos em repouso 
Trata do equilíbrio dos corpos 
Corpos em movimento com 
velocidade constante 
DINÂMICA Trata do movimento acelerado dos corpos 
$%&&&&' = 	0 
$%&&&&' = ) ∙ 	+' 
 
71,74° 
y 
x 
y 
x 
$8&&&&' 
60° 30° 
Estática do Ponto Material 
Na análise da Estática do ponto material vamos aplicar a Condição de Equilíbrio Estático do Ponto Material: 
 
 (entende-se: a força resultante sobre o corpo é igual a Zero) 
 
Utilizaremos o método da Decomposição Cartesiana para fazer esse estudo, assim: 
 ^_	7`a_	b → c$'D = 0&' 				→ 		 	$%D = 0 
 ^_	7`a_	d →c$'E = 0&' 				→ 		 	$%E = 0 
 
Segue um exemplo resolvido: 
 
Um bloco de peso 100 N. encontra-se em equilíbrio suspenso por dois 
cabos considerados ideais, conforme ilustrado na figura. Pedem-se as 
trações em cada cabo. 
 
Solução: 
 
 
1º) Determinamos as decomposições dos vetores T1 e T2 
 
T1X = T1*cos 60º T1y = T1*sen 60º 
T2X = T2*cos 40º T2y = T2*sen 40º 
Não é necessário decompor o peso P pois o mesmo está sobre o eixo Y 
 
2º) Vamos avaliar as condioções de equilíbrio sobre cada um dos eixos separadamente 
∑$&&'b = 0&&' 				→ 		 	$fb = 0 
T1X – T2X = 0 → T1*cos 60º – T2*cos 40º = 0 
substituindo os valores conhecidos vem: 
T1*0,5 – T2*0,766 = 0 eq. (1) gcomo	não	conhecemos	os	valores	de	T1	e	T2	vamos	chamar	essa	equação	de		�1
	e	vamos	continuar	a	resolução	do	eixo	Y 
∑$&&'d = 0&&' 				→ 		 	$fd = 0 
T1Y + T2Y – P = 0 → T1*sen 60º + T2* sen 40º – P = 0 
substituindo os valores conhecidos vem: 
T1*0,866 + T2*0,643 – 100 = 0 eq. (2) oainda	não	conhecemos	os	valores	de	T1	e	T2	vamos	chamar	essa	equação	de		�2
	e	vamos	resolver	o	sistema	linear	formado	pelas	equações	�1
e	�2
 
T1*0,5 – T2*0,766 = 0 eq. (1) 
T1*0,866 + T2*0,643 – 100 = 0 eq. (2) 
 
 
. = 1001 
36 35 40° 60° 
. = 1001 
35 36 
35> 
35@ 36@ 
36> 60˚ 40˚ X 
Y 
	$&&&'% =	0&' 
Temos varias maneiras de resolver um sistema linear, este vamos resolver por substituição: 
 
Isolando T1 na equação (1) , vem: 
 
T1*0,5 = T2*0,766 T5 =		 qr∗Y,[\\			Y,t 	→		 T5 = 1,532 ∗ T6			 eq. (3) 
 
Agora que temos o valor de T1 em função de T2, substituiremos esse valor na equação (2) 
 
T1*0,866 + T2*0,643 – 100 = 0 
(1,532*T2)*0,866 + T2*0,643 – 100 = 0 
1,327*T2 + 0,643* T2 – 100 = 0 
1,970*T2 – 100 = 0 
1,970*T2 = 100 
T2 = 100/1,970 → T2 = 50,76 N 
 
Determinamos o valor de T2 então vamos substituir na equação (3) 
T1 = 1,532*T2 
T1 = 1,532*(50,76) 
T1 = 77,76 N 
Assim, determinamosentão as trações pedidas T1 = 77,76 N e T2 = 50,76 N. 
 
Agora vocês devem tentar fazer os exercícios. 
1) Decomposição Vetorial: A intensidade da força F indicada nas figuras a seguir é de 80 N. Calcule suas 
componentes nas direções horizontal e vertical. 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
F 
x 
y 
 53º 
Fx = 
 
Fy = 
Fx = 
 
Fy = 
F 
x 
 65° 
y 
2) Converta as unidades indicadas na tabela. 
25 N kgf 
23 kgf N 
95 N kgf 
8,8 kgf N 
Exercícios: 
 
 
 
3
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
3) a) 60kgf b) 4 crianças 
4)20N 
5) 50N ; 86,6N ; 100N 
6) a 
7) c 
8) 800N 
9) 7kg