Carga Térmica Metodologias de Cálculo

T x s
x
¶
=
¶ a
 (3.9) 
 ( ) ( ) ( )1 2, exp / exp /T x s c x s c x s= + -a a (3.10) 
 
Aplicando as condições de contorno das equações (3.6) e (3.7) para determinar as 
constantes c1 e c2, equações (3.11) e (3.12), e substituindo estas equações na equação 
(3.10), obtém-se a equação (3.13) do perfil de temperatura em termos de funções 
hiperbólicas. 
 
 
( )
( ) ( )
( )1 0
exp /
exp / exp /
L s
c T s
L s L s
-
= -
- -
a
a a
 (3.11) 
 
( )
( ) ( )
( )2 0
exp /
exp / exp /
L s
c T s
L s L s
= -
- -
a
a a
 (3.12) 
 ( )
( )( )
( )
( )00
sinh /
,
sinh /
L x s
T x s T s
L s
-
=
a
a
 (3.13) 
 
O subscrito 0 na equação (3.13) indica que o perfil de temperatura é resultado da 
influência da função 0T (s), que é aplicada na face x=0. Com o perfil de temperatura, tem-
se o fluxo de calor pela equação (3.14). 
 
 ( )
( )( )
( )
( )00
cosh /
, /
sinh /
L x s
q x s k s T s
L s
-
=
a
a
a
 (3.14) 
 
 
29 
 
Seguindo os mesmos procedimentos para a situação 2 de condições inicial e de 
contorno, a temperatura e o fluxo de calor são dadas pelas equações (3.15) e (3.16), onde 
o subscrito L indica que o perfil de temperatura e o de fluxo de calor são resultado da 
função LT (s), aplicada na face x=L. 
 
 ( )
( )
( )
( )
sinh /
,
sinh /
LL
x s
T x s T s
L s
=
a
a
 (3.15) 
 ( )
( )
( )
( )
cosh /
, /
sinh /
LL
x s
q x s k s T s
L s
= -
a
a
a
 (3.16) 
 
Com as equações (3.14) e (3.16) é possível conhecer o fluxo de calor em cada face 
da estrutura como resultado da aplicação das funções 0T (s) e LT (s), como apresentado 
nas equações (3.17) a (3.20). 
 
 ( )
( )
( )
( )00
cosh /
0, /
sinh /
L s
q s k s T s
L s
=
a
a
a
 (3.17) 
 ( )
( )
( )00
1
, /
sinh /
q L s k s T s
L s
= a
a
 (3.18) 
 ( )
( )
( )10, /
sinh /
LL
q s k s T s
L s
= - a
a
 (3.19) 
 ( )
( )
( )
( )
cosh /
, /
sinh /
LL
L s
q L s k s T s
L s
= -
a
a
a
 (3.20) 
 
Pela sobreposição das respostas, o somatório dos fluxos nas equações (3.17) e 
(3.19) dá o fluxo total na face x=0, enquanto o somatório das equações (3.18) e (3.20) dá 
o fluxo total na face x=L, conforme equações (3.21) e (3.22). 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 00, 0, 0, 0, 0, LL Lq s q s q s Q s T s Q s T s= + = + (3.21) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0, , , , , LL Lq L s q L s q L s Q L s T s Q L s T s= + = + (3.22) 
 
30 
 
Onde: 
( )
( )
( )0
cosh /
0, /
sinh /
L s
Q s k s
L s
=
a
a
a
 
( )
( )
1
0, /
sinh /L
Q s k s
L s
= - a
a
 
( )
( )0
1
, /
sinh /
Q L s k s
L s
= a
a
 
( )
( )
( )
cosh /
, /
sinh /L
L s
Q L s k s
L s
= -
a
a
a
 
 
As equações (3.21) e (3.22) podem ser reescritas em forma matricial: 
 
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
00
0
0, 0,0,
, , ,
L
LL
Q s Q sq s T s
q L s T sQ L s Q L s
é ù ì üì üï ï ï ï
= ê úí ý í ý
ï ï ï ïê úî þ î þë û
 (3.23) 
 
Como a parede pode ser considerada um sistema, Figura 3.2, cujos dados de 
entrada são as funções de temperatura 0T (s) e LT (s) e os dados de saída são os fluxos de 
calor q (0,s) e q (L,s), a matriz de coeficientes na equação (3.23) corresponde às funções 
de transferência do sistema, relacionando os dados de entrada e saída (UNDERWOOD e 
YIK, 2004). 
 
 
Figura 3.2 - Parede representada como um sistema com dados de entrada e saída 
 
As funções 0T (s) e LT (s) podem representar tanto as temperaturas nas faces da 
parede como as temperaturas do ar dos ambientes interno e externo, as quais serão 
definidas mais adiante. Por enquanto, 0T (s) e LT (s) representam apenas as temperaturas 
nas faces. 
 
31 
 
Manipulando as equações (3.21) e (3.22), e reescrevendo-as em forma matricial, 
é possível relacionar temperatura e fluxo na face x=0 com temperatura e fluxo na face 
x=L, conforme equação (3.24). A matriz na equação é chamada de matriz de transmissão 
da parede, cujos elementos estão indicados abaixo, e cujo determinante é igual a um 
(STEPHENSON e MITALAS, 1971), sendo válida para cada camada de material. 
 
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
0
0, ,
j j L
j j
A s B sT s T s
q s q L sC s D s
é ùì ü ì üï ï ï ï
= ê úí ý í ý
ï ï ï ïê úî þ î þë û
 (3.24) 
 
Onde: 
j: corresponde ao material da camada 
( ) ( )cosh /j j jA s L s a= 
( )
( )sinh /
/
j j
j
j j
L s
B s
k s
a
a
= 
( ) ( )/ sinh /j j j j jC s k s L sa a= 
( ) ( )cosh /j j jD s L s a= 
 
A matriz de transmissão de uma parede formada por várias camadas de material é 
igual ao produto das matrizes de transmissão de cada uma das camadas que a compõem 
(STEPHENSON e MITALAS, 1971). Isto pode ser exemplificado para o caso de uma 
parede formada por três camadas homogêneas de materiais diferentes, dispostas lado a 
lado como na Figura 3.3, sendo cada camada representada pela equação (3.24). 
Chamando de (1, )T s e (1, )q s a temperatura e o fluxo de calor na interface das 
camadas 1 e 2, e (2, )T s e (2, )q s a temperatura e o fluxo de calor na interface de 2 e 3, 
escrevem-se as equações (3.25), (3.26) e (3.27) para as camadas 1, 2 e 3, respectivamente. 
 
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 10
1 1
1,
0, 1,
A s B sT s T s
C s D sq s q s
ì ü ì üé ùï ï ï ï
=í ý í ýê ú
ï ï ï ïë ûî þ î þ
 (3.25) 
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
1, 2,
1, 2,
A s B sT s T s
C s D sq s q s
ì ü ì üé ùï ï ï ï
=í ý í ýê ú
ï ï ï ïë ûî þ î þ
 (3.26) 
 
32 
 
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
3 3
3 3
2,
2, ,
LA s B sT s T s
C s D sq s q L s
ì ü ì üé ùï ï ï ï
=í ý í ýê ú
ï ï ï ïë ûî þ î þ
 (3.27) 
 
 
Figura 3.3 - Fluxo de calor (q) em uma parede com três camadas homogêneas de materiais diferentes 
 
Substituindo a equação (3.27) na equação (3.26) e esta na equação (3.25), obtém-
se a equação (3.28) que relaciona temperatura e fluxo de calor na face x=0 com 
temperatura e fluxo de calor na face x=L para a parede como um todo. 
 
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 1 2 2 3 30
1 1 2 2 3 30, ,
LA s B s A s B s A s B sT s T s
C s D s C s D s C s D sq s q L s
ì ü ì üé ù é ù é ùï ï ï ï
=í ý í ýê ú ê ú ê ú
ï ï ï ïë û ë û ë ûî þ î þ
 (3.28) 
 
Assim, para um número N qualquer de camadas vale a equação (3.29), onde o 
subscrito ss indica a matriz das camadas entre a superfície em x=0 à superfície em x=L. 
 
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
0
0, ,
ss ss L
ss ss
A s B sT s T s
C s D sq s q L s
ì ü ì üé ùï ï ï ï
=í ý í ýê ú
ï ï ï ïë ûî þ î þ
 (3.29) 
 
Onde: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2
1 1 2 2
...ss ss N N
ss ss N N
A s B s A s B s A s B s A s B s
C s D s C s D s C s D s C s D s
é ù é ù é ù é ù
=ê ú ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û ë û
 
 
Percebe-se que a ordem das camadas é de grande importância para caracterizar a 
parede, uma vez que esta ordem influencia a multiplicação das matrizes das camadas. 
 
33 
 
A equação (3.29) pode ser rearranjada para relacionar de forma mais direta os 
fluxos de calor com as temperaturas nas faces, equação (3.30). 
 
 
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
0,
, 1
ss
ss ss
Lss
ss ss
D s
B s B sq s T s
q L s T sA s
B s B s
é ù
-ê ú
ì üì üï ï ï ïê ú=í ý í ýê úï ï ï ïî þ î